Lineare Algebra 1. Roger Burkhardt

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1 Lineare Algebra 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft HS 2010/11

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3 Einführung Lineare Gleichungen Definition Unter einer linearen Gleichung mit den n Unbekannten x 1, x 2,..., x n versteht man eine Bestimmungsgleichung für die n Unbekannten, in welcher die Unbekannten nur linear auftreten. D.h. eine Gleichung der Form: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = n a k x k = b (1) k=1 dabei nennt man a 1, a 2,..., a n die Koeffizienten und b den Absolutteil der linearen Gleichung.

4 Einführung Beispiel Die Gleichung x 2y + z = 1 ist eine lineare Gleichung mit den drei Unbekannten x, y und z. Aus der Vektorgeometrie wissen wir, dass dies die Koordinatengleichung einer Ebene im dreidimensionalen reellen Raum ist. Bemerkung Unter der Lösungsmenge einer linearen Gleichung versteht man die Menge aller Punkte, die die Gleichung erfüllen. Es versteht sich von selbst, dass die Lösungsmenge einer Gleichung mit n Unbekannten eine Teilmenge des n-dimensionalen Raumes ist.

5 Einführung Beispiel Die Lösung der linearen Gleichung aus dem vorigen Beispiel lautet: L = { (x, y, z) R 3 : x 2y + z = 1 } = {(2y z + 1, y, z)} In der zweiten Darstellung beschreiben wir die Lösungspunkte in Abhängigkeit der beiden Variablen y und z. Wir haben also zwei frei wählbare Variablen und sagen deshalb, dass die Dimension des Lösungsraumes zwei ist. In dieser Schreibweise lassen sich einzelne Elemente der Lösungsmenge einfach durch eine Wahl von Werten für y und z beschreiben. Sei z.b. y = 1 und z = 2, so findet man den Lösungspunkt (1, 1, 2). Natürlich hat unsere Lösungsmenge unendlich viele Elemente (alle Punkte auf der Ebene, die durch diese Koordinatengleichung beschrieben wird).

6 Einführung Matrizen Definition Eine n m-matrix über K ist eine Anordnung von n m Elementen von K nach dem folgenden Schema: a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm Die a ij K nennt man die Koeffizienten der Matrix.

7 Einführung Bemerkung Die waagrecht geschriebenen n-tupel ( ) a i1 a i2 a im nennt man die Zeilen und die senkrecht geschriebenen m-tupel a 1j a 2j die Spalten der Matrix. a nj

8 Einführung Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor Definition Für x = x 1 x 2 x m Km 1 = K m wird das Produkt Ax K n der Matrix A K n m mit dem Spaltenvektor x definiert durch: a 11 a 12 a m 1m x k=1 a 1 m 1kx k a 21 a 22 a 2m Ax :=..... x 2. = k=1 a 2kx k m a n1 a n2 a nm x k=1 a nkx k m

9 Einführung Beispiel Gegeben sei die Matrix A = ( das Produkt dieser Matrix mit dem Spaltenvektor bestimmen: = Ax = ( ) ( ( 3) ). Wir wollen nun ) = ( 7 15 )

10 Definition Lineare Gleichungsysteme Definition Ein System aus m linearen Gleichungen mit n Unbekannten nennt man ein lineares Gleichungssystem. Mit der Matrizenrechnung lässt es sich wie folgt schreiben: a 11 a a 1n a 21 a a 2n Ax = a m1 a m2... a mn x 1 x 2. x n = b 1 b 2. b m = b (2)

11 Definition Dabei nennt man die Matrix A = (a ij ) die Koeffizientenmatrix und den Spaltenvektor b = (b i ) die Absolutglieder des Systems. Sind alle Absolutglieder gleich Null, so nennt man das lineare Gleichungssystem homogen, sonst inhomogen. Weiter nennt man die Matrix A b = (a ij b i ) die man aus der Koeffizientenmatrix durch das Anhängen des Spaltenvektors erhält, die erweiterte Koeffizientenmatrix.

12 Definition Beispiel Das folgende lineare Gleichungssystem besteht aus vier Gleichungen mit drei Unbekannten und ist, da nicht alle Absolutglieder gleich Null sind, ein inhomogenes System: x y z = x + 2y + 3z = 1 2x + 3y + 4z = 0 3x + 4y + z = 0 4x + y + 2z =

13 Definition Bemerkung Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ist die Schnittmenge der Lösungsmengen der linearen Gleichungen aus denen sich das linear Gleichungssystem zusammen setzt. Daraus folgt nun sofort, dass die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems mit n Unbekannten eine Teilmenge des n-dimensionalen reellen Raumes ist.

14 Lösungsverfahren Elementare Zeilenumformungen Theorem Die folgenden Operationen (elementare Zeilenumformungen), angewandt auf ein lineares Gleichungssystem, verändern die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht (sogenannte Äquivalenzumformungen!): Multiplikation einer Gleichung (Zeile der erweiterten Koeffizientenmatrix) mit einer reellen Zahl ungleich Null. Vertauschen zweier Gleichungen (Zeilen der erweiterten Koeffizientenmatrix). Ersetzen der i-ten Gleichung durch eine (nicht triviale) Linearkombination der i-ten und der j-ten Gleichung (Zeilen der erweiterten Koeffizientenmatrix).

15 Lösungsverfahren Bemerkung Die ersten beiden Punkte dürften klar sein. Für den dritten Punkt stelle man sich einmal eine solche Linearkombination vor: s 1 n n a ik x k +s 2 a jk x k = s 1 b i + s 2 b j k=1 } {{ } b i k=1 } {{ } b j Nun gilt sicher, dass alle Lösungen des ursprünglichen Systems diese neue Gleichung auch erfüllen. Fast so einfach lässt sich zeigen, dass keine neuen Lösungspunkte hinzu kommen!

16 Lösungsverfahren Die Gültigkeit des letzten Satzes macht man sich nun zu Nutze um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Dazu formt man das lineare Gleichungssystem, bzw. die erweiterte Koeffizientenmatrix mit den elementaren Zeilenumformungen so um, dass man die Lösungen einfacher bestimmen kann. Dazu gehen wir in einem ersten Schritt soweit, dass wir unterhalb der Diagonalen alles Nullen erzeugen, d.h. die erweiterte Koeffizientenmatrix in die sogenannte Zeilenstufenform umformen!

17 Lösungsverfahren Zeilenstufenform Definition Man nennt eine Matrix, für die gilt: a ij = 0 a ii 0 a st = 0 eine Matrix in Zeilenstufenform. i > j i < k s > k t (3) Bemerkung Jede Matrix lässt sich (wenn auch Spaltenvertauschungen zugelassen sind) durch elementare Zeilenumformungen in Zeilenstufenform überführen!

18 Lösungsverfahren Beispiel Wir wollen die nachfolgende Matrix in Zeilenstufenform überführen: Wir wenden folgende Umformungen an: II 4I II III 7I III III 2II III

19 Lösungsverfahren Rang einer Matrix Definition Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen einer Matrix A nennt man den Rang der Matrix A. Man schreibt: rang(a) = rg(a) Theorem Der Rang einer Matrix ist invariant bezüglich elementarer Zeilenumformungen, d.h. der Rang einer durch elementare Zeilenumformungen aus der Matrix A umgeformten Matrix A ist gleich dem Rang der ursprünglichen Matrix A: rg(a) = rg(a ) (4)

20 Lösungsverfahren Bemerkung Der Rang einer Matrix in Zeilenstufenform ist gleich der von Null verschiedener Zeilen. Beispiel Wir wollen den Rang der Matrix A = Mit elementaren Zeilenumformungen finden wir: A A II 2I II III 3I III IV 7II IV bestimmen!

21 Lösungsverfahren Fortsetzung A A III III 2II IV 7II IV A A IV III IV Nun gilt gemäss letztem Satz: rg(a) = rg(a ) = rg(a ) = rg(a ) Da die Matrix A (in Zeilenstufenform) drei nicht verschwindende Zeilen besitzt, ist ihr Rang gleich 3. Also: rg(a) = rg(a ) = 3

22 Lösungsfälle Rang und lineare Gleichungssysteme Theorem Sei Ax = b ein lineares Gleichungssystem mit n Unbekannten, so gilt: reguläres System rg(a) = n singuläres System rg(a) < n eindeutiger Lösungspunkt (dim(l) = 0) rg(a) = rg(a b) rg(a) < rg(a b) unendlich viele Lösungspunkte dim(l) = n rg(a) leere Lösungsmenge L = {}

23 Lösungsfälle Beispiel Wir suchen die Lösung des nachfolgenden Gleichungssystems: x y = z 1 Wir formen dazu die erweiterte Koeffizientenmatrix um: II II 2I III 2I III I I II III III 2II I 7I 2III II 7II + 2III

24 Lösungsfälle Fortsetzung I 1 7 I II 1 7 II III 1 7 III Wir erhalten also das äquivalente System: x y = z x y z = Der Rang der Koeffizientenmatrix ist 3, also ist das System regulär und es existiert ein eindeutiger Lösungspunkt. Diesen Lösungspunkt kann aus dem umgeformten System einfach berechnet werden:

25 Lösungsfälle Fortsetzung L = {( 4 7, 10 7, 5 )} 7 In der Grafik sind die drei Ebenen eingezeichnet, welche durch die drei linearen Gleichungen beschrieben werden. Diese drei Ebenen schneiden sich im Lösungspunkt des linearen Gleichungssystems!

26 Lösungsfälle Beispiel Wir suchen die Lösung des nachfolgenden Gleichungssystems: x y = z 2 Wir formen dazu die erweiterte Koeffizientenmatrix um: II 3II 2I III 4I 3III I 5I + II III III II I 1 15 I II 1 5 II

27 Lösungsfälle Fortsetzung Wir erhalten also das äquivalente System: x y = z Der Rang der Koeffizientenmatrix ist 2, also ist das System singulär. Da der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ebenfalls 2 ist, gibt es unendlich viele Lösungspunkte. Diese Lösungspunkte können aus dem umgeformten System einfach berechnet werden:

28 Lösungsfälle Fortsetzung L = {( 15, 25 )} + 2t, t Die drei Ebenen schneiden sich in einer gemeinsamen Schnittgeraden! Es gibt also unendlich viele Lösungspunkte!

29 Lösungsfälle Beispiel Wir suchen die Lösung des nachfolgenden Gleichungssystems: x y = z 0 Wir formen dazu die erweiterte Koeffizientenmatrix um: II 2II I III III 2I I 9I II III III II

30 Lösungsfälle Fortsetzung Wir erhalten also das äquivalente System: x y = z Der Rang der Koeffizientenmatrix ist 2, also ist das System singulär. Da der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix grösser ist, gibt es eine widersprüchliche Gleichung (0 = 5) und somit hat das System eine leere Lösungsmenge: L = {}

31 Lösungsfälle Fortsetzung Die drei Ebenen haben keine gemeinsamen Schnittpunkte!

32 Gauss scher Algorithmus Gauss scher Algorithmus Das in den letzten Beispielen angewandte Verfahren nennt man den Gauss-Jordan Algorithmus. Dabei wird verucht mittels elementarer Zeilenumformungen eine Matrix in Diagonalform zu erzeugen. Bevor wir dieses Verfahren ausführlicher diskutieren, soll hier zuerst der Gauss sche Algorithmus kurz skizziert werden. Das Verfahren nach Gauss formt eine Matrix (z.b. erweiterte Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems) in Zeilenstufenform um. Das Verfahren kann sprachlich folgendermassen als Rezept beschrieben werden:

33 Gauss scher Algorithmus Gauss scher Algorithmus Beginne in der ersten Spalte Finde eine Zeile ohne führende Null. Ist dies nicht die erste Zeile vertausche die erste mit der gefundenen Zeile. Sollte in der ganzen Spalte alles Nullen stehen, so vertausche diese Spalte mit einer anderen (Variablen müssen entsprechend vertauscht werden) oder fahre einfach in der nächsten Spalte weiter (ein Element oberhalb der Diagonalen!). Führe mit allen Zeilen unterhalb der Ersten eine Ersetzung der Zeile mittels einer Linearkombination der entsprechenden Zeile und der ersten Zeile durch, so dass in der ersten Spalte eine Null zu stehen kommt. Verfahre analog weiter für die weiteren Spalten, indem spaltenweise unterhalb des Diagonalelements Nullen erzeugt werden. Zum Schluss liegt die Matrix in Zeilenstufenform vor!

34 Gauss scher Algorithmus Beispiel Wir betrachten den Algorithmus an einem Beispiel ausführlich: A = II II 9I Wir starten in der ersten Spalte. Da das Diagonalelement (erste Zeile erste Spalte) ungleich Null ist, können wir in allen Zeilen unter dem Diagonalelement Nullen erzeugen.

35 Gauss scher Algorithmus Fortsetzung Für die zweite Zeile verwenden wir die folgende Ersetzung (Linearkombination) II II 9I : A = III III I, IV IV 15I, V V I, VI VI 8I

36 Gauss scher Algorithmus Fortsetzung Für die restlichen Zeilen analog III III I, IV IV 15I, V V I und VI VI 8I : A = III II 2III, IV 5II 2IV, V 3II 2V, VI VI II

37 Gauss scher Algorithmus Fortsetzung Nun folgt die zweite Spalte. Auch hier ist das Diagonalelement ungleich Null und mittels geeigneter Ersetzungen können die Elemente unterhalb der Diagonalen auf Null gesetzt werden: (III II 2III, IV 5II 2IV, V 3II 2V und VI VI II ): A = IV 11III 5IV, V 21III 5V

38 Gauss scher Algorithmus Fortsetzung Weiter mit der dritten Spalte. Auch hier ist das Diagonalelement ungleich Null und mittels geeigneter Ersetzungen können die Elemente unterhalb der Diagonalen auf Null gesetzt werden (IV 11III 5IV, V 21III 5V ): A = V 4VI + V

39 Gauss scher Algorithmus Fortsetzung In der vierten Spalte ist nun das Diagonalelement gleich Null und zudem auch alle Elemente unterhalb dem Diagonalelement. Nun fahren wir in der fünften Spalte weiter (aber mit der vierten Zeile). (V 4VI + V ): A = II 1 2 II, III 1 5 III, IV 1 4 IV

40 Gauss scher Algorithmus Fortsetzung Nun können unterhalb der Diagonalen keine weiteren Nullen erzeugt werden. Zum Abschluss werden die führenden Werte jeder Zeile meistens noch normiert: A =

41 Gauss scher Algorithmus Nachdem die erweiterte Koeffizientenmatrix mit dem Gauss schen Algorithmus in Zeilenstufenform umgeformt wurde, kann die Lösungsmenge von unten her berechnet werden! Bei einem regulären System kann die hinterste Variable aus der untersten Zeile bestimmt werden. Diesen Wert kann dann in der zweituntersten Zeile eingesetzt werden um die nächste Variable zu berechnen, usw. Bei einem singulären System mit einer unendlichen Lösungsmenge verfährt man analog, doch werden für die Nullzeilen Parameter für die entsprechenden Unbekannten eingesetzt. Es folgen zwei Beispiele:

42 Gauss scher Algorithmus Beispiel Bestimme die Lösungsmenge des Systems: x y = z Nun kann aus der dritten Gleichung (6z = 1) die Lösung für z berechnet werden: z = 1 6. Diesen Wert setzen wir nun in der zweiten Gleichung ein (2y = 1) und berechnen y: y = 1 3. Und nun noch den Wert für x: x = = 1 6.

43 Gauss scher Algorithmus Beispiel Bestimme die Lösungsmenge des Systems: x y = z

44 Gauss scher Algorithmus Fortsetzung Da wir eine Nullzeile haben, gibt es unendlich viele Lösungspunkte. Für die Variablen ohne führenden Wert ungleich Null (hier z), setzt man einen Parameter (frei wählbare Variable) ein. Also z = t. Dies setzen wir nun in der zweiten Gleichung ein (5y 10t = 2) und berechnen y: y = 2+10t 5. Und nun noch die Variable x: 2+10t 1 2t+ 5 x = 3 = 1 5. {( L = 1 5, t )}, t 5

45 Gauss scher Algorithmus Gauss-Jordan-Verfahren Da die Berechnung der Lösungsmenge aus der Zeilenstufenform recht umständlich ist, wird oft mit den elementaren Zeilenumformungen gerade eine Matrix in Diagonalform erzeugt. Dieses Verfahren nennt man Gauss-Jordan-Algorithmus. Betrachten wir dazu noch einmal die vorigen beiden Beispiele: Beispiel Bestimme die Lösungsmenge des Systems: x y = z 1 1 1

46 Gauss scher Algorithmus Fortsetzung {( 1 6, 1 3, 1 )} 6

47 Gauss scher Algorithmus Beispiel Bestimme die Lösungsmenge des Systems: x y = z

48 Gauss scher Algorithmus Fortsetzung x y z = t 0 {( L = , t, t 5 = )} t t

49 Gauss scher Algorithmus 1 Einführung Lineare Gleichungen Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor Definition Lineare Gleichungsysteme Lösungsverfahren Elementare Zeilenumformungen Zeilenstufenform Rang einer Matrix Lösungsfälle Rang und lineare Gleichungssysteme Gauss scher Algorithmus Gauss scher Algorithmus Gauss-Jordan-Verfahren