Pflichtteil. Baden-Württemberg Aufgabe 1. Aufgabe 2. Musterlösung. Abitur Mathematik Baden-Württemberg Abitur Mathematik: Musterlösung

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1 Abitur Mathematik: Baden-Württemberg 14 Aufgabe 1 1. SCHRITT: STRUKTUR DER FUNKTION BESCHREIBEN Der Funktionsterm von f ist das Produkt einer einfachen Funktion u(x) = x und einer Verkettung v(x) = e x = g(h(x)) mit g(x) = e x und h(x) = x.. SCHRITT: RECHENREGELN ANWENDEN Da die Teilfunktionen u und v miteinander multipliziert werden, wird die Produktregel benötigt. Produktregel: f(x) = u(x) v(x) f (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) Dabei kann u (x) mit der Potenzregel bestimmt werden, denn x = x 1. Potenzregel: u(x) = x n u (x) = n x n 1 mit n = 1 u (x) = 1 x1 1 = 1 x 1 = 1 x. Die Funktion v ist eine Verkettung, so dass die Kettenregel gebraucht wird. Kettenregel: v(x) = g(h(x)) v (x) = g (h(x)) h (x) mit g(x) = e x und h(x) = x v (x) = e x = e x. Einsetzen von u (x) und v (x) in die grüne Formel liefert f (x) = 1 x ex + x 1 e x = e x ( 1 x + x). Aufgabe 1. SCHRITT: VERSCHACHTELUNGSTYP ERKENNEN 4 Der Integrand = 4 (x + (x+1) 3 1) 3 ist bis auf den konstanten Faktor 4 eine Verkettung aus der Potenzfunktion x x 3 und der linearen Funktion x x + 1. by Duden learnattack 1

2 . SCHRITT: INTEGRATIONSREGELN ANWENDEN Für Potenzfunktionen mit Exponenten ungleich 1 gilt die Integrationsregel f(x) = x n f(x)dx = xn+1 + C. Für n = 3 ergibt sich somit F(x) = x = 1 x als Stammfunktion von f(x) = x 3. Die Regel der linearen Substitution besagt: Ist H eine Stammfunktion von h, so ist eine Stammfunktion von x h(ax + b) gegeben durch x 1 H(ax + b). a Nach dieser Regel ist dann durch x 1 F(x + 1) = 1 (x + 4 1) eine Stammfunktion von x f(x + 1) = (x + 1) 3 gegebenen. Um schließlich eine Stammfunktion des Integranden 4 (x + 1) 3 zu erhalten, muss die Faktorregel herangezogen werden: Sie lautet af(x)dx = a f(x)dx. In unserem Fall ist a = 4 und wir erhalten G(x) = 4 1 (x + 4 1) = 1 als Stammfunktion des Integranden 4. (x+1) (x+1) 3 n+1 3. SCHRITT: INTEGRATIONSGRENZEN EINSETZEN UND RECHNEN Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt 1 4 (x + 1) 3 dx = 1 [ (x + 1) ] = = Aufgabe 3 1. SCHRITT: GLEICHUNGSTYP ERKENNEN Es tauchen nur zweite und vierte Potenzen der Variablen auf, d. h. es handelt sich um eine biquadratische Gleichung.. SCHRITT: DURCH SUBSTITUTION QUADRATISCHE GLEICHUNG BILDEN Durch die Substitution u = x wird die biquadratische Gleichung x 4 = 4 + 3x zur quadratischen Gleichung u = 4 + 3u. 3. SCHRITT: QUADRATISCHE GLEICHUNG LÖSEN u = 4 + 3u 3u 4 u 3u 4 = u = 3 ± ( 3) 4 ( 4) = 3 ± 5 Quadratische Lösungsformel Somit ergeben sich die zwei Lösungen u = 3 5 = 1 und u = = 4. by Duden learnattack

3 4. SCHRITT: RÜCKSUBSTITUTION Um die ursprüngliche biquadratische Gleichung zu lösen, wird die Substitution u = x wieder rückgängig gemacht. Durch Einsetzen der beiden Lösungen für u (also u = 1 und u = 4) in diese Substitutionsgleichung ergeben sich die Lösungen für x: 1 = x hat keine reelle Lösung. 4 = x hat die reellen Lösungen x = und x =. Dies sind also alle reellen Lösungen der vorgegebenen biquadratischen Gleichung. Aufgabe 4 a) 1. SCHRITT: TRANSFORMATION VON f NACH g ERKLÄREN PERIODENSTRECKUNGSPARAMETER ERKLÄREN Zunächst wird f(x) = cos (x) durch Stauchung in x-richtung um den Faktor π in die Funktion f (x) = cos ( π x) überführt. STRECKUNGSPARAMETER ERKLÄREN Aus f (x) = cos ( π x) wird durch Streckung in y-richtung um den Faktor die Funktion f (x) = cos ( π x). VERSCHIEBUNG ERKLÄREN Der Graph von f wird nun um LE nach unten verschoben, um G f zu erhalten. b) 1. SCHRITT: GLEICHUNG VEREINFACHEN Gesucht sind alle Lösungen der Gleichung cos ( π x) = für x 4. cos ( π x) = + cos ( π x) = : cos ( π x) = 1 by Duden learnattack 3

4 . SCHRITT: GLEICHUNG LÖSEN Die Substitution u = π x liefert die einfachere Gleichung cos(u) = 1. Die Maxima der Kosinusfunktion befinden sich an den Stellen x k = kπ für k Z. Die Rücksubstitution liefert u = π kπ x = kπ x = π = 4k (k Z). Die einzigen ganzzahligen Vielfache von 4, die im vorgegebenen Intervall [; 4] liegen, sind die Ränder. Die gesuchten Lösungen der Gleichung (und damit die Nullstellen von g) sind somit x = und x = 4. Aufgabe 5 a) 1. SCHRITT: FUNKTIONSWERT DER VERKETTUNG AN DER STELLE x=3 BESTIMMEN Der Funktionswert von g an der Stelle x = 3 ist die Höhe des Schnittpunkts von K g mit der senkrechten Geraden x = 3, also laut Abbildung etwa 1. Dieser Wert wird in f eingesetzt. Der Funktionswert von f an der Stelle x = 1 ist die Höhe des Schnittpunkts von K f mit der senkrechten Geraden x = 1, also laut Abbildung etwa 5. Es gilt also (innerhalb der Genauigkeit der Abbildung) f(g(3)) = f( 1) = 5.. SCHRITT: EINE NULLSTELLE DER VERKETTUNG BESTIMMEN Eine Nullstelle von f ist der x-wert eines Schnittpunkts von G f mit der x- Achse. Ein solcher ist laut Abbildung etwa ( ), also bei x =. Die Verkettung f g nimmt also den Wert null an, wenn g den Wert null annimmt. Die Nullstelle von g liegt laut Abbildung etwa bei x =. Somit ist f(g()) = f() =, d. h. x = hat die gewünschte Eigenschaft. Bemerkung: Eine weitere Nullstelle von f ist etwa bei x = 4 und g nimmt etwa bei x = den Wert 4 an. Also ist x = eine weitere Lösung der Gleichung f(g(x)) =. b) 1. SCHRITT: PRODUKTREGEL ANWENDEN Laut Produktregel ist h (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x), also speziell h () = f () g() + f() g (). by Duden learnattack 4

5 . SCHRITT: WERTE ABLESEN UND EINSETZEN f () ist die Steigung von K f an der Stelle x =, also etwa, denn K f hat eine Tiefpunkt etwa bei ( 4). g() ist der Funktionswert von g an der Stelle x =, also etwa. f() ist etwa 4 und g () ist die Steigung der Geraden K g. Die Gerade geht in etwa durch die Punkte ( ) und ( ) und hat somit ungefähr die Steigung = 1. Einsetzen dieser Schätzwerte in die Formel h () = f () g() + f() g () liefert h () = + ( 4) ( 1) = 4. Aufgabe 6 a) 1. SCHRITT: SPURPUNKTE MIT ACHSENABSCHNITTSFORM BESTIMMEN Ebenengleichungen in die Achsenabschnittsform: E: x x 4 = 1 S E 1 (4 ), S E ( 4 ), kein Punkt auf x 3 -Achse F: x x 4 + x 3 = 1 S F 1 (4 ), S F ( 4 ), S F3 ( ). SCHRITT: EBENEN IN EINEM KOORDINATENSYSTEM ZEICHNEN Da E keinen Schnittpunkt mit der x 3 -Achse hat, verläuft diese Ebene parallel zur x 3 -Achse durch die beiden Spurpunkte S E1 und S E. F ist die ebene Fortsetzung des Spurdreiecks mit Eckpunkten S F1, S F und S F3 : by Duden learnattack 5

6 3. SCHRITT: SCHNITTGERADE ABLESEN UND ANGEBEN Die gemeinsamen Spurpunkte S E1 (4 ) und S E ( 4 ) legen bereits die Schnittgerade von E und F fest: Eine Parametergleichung lautet 4 4 g: x = OS E1 + r (OS E OS ) E1 = ( ) + r ( 4 ), r R. b) 1. SCHRITT: GLEICHUNG IN ACHSENABSCHNITTSFORM ANSETZEN Die Ebene G enthält die Spurgerade g und ist damit nicht parallel zur x - oder x 3 -Achse. Sie ist aber parallel zur x 1 -Achse. Deswegen taucht die Koordinate x 1 in der Gleichung von G nicht auf, sehr wohl aber die Koordinaten x und x 3. Die Achsenabschnittsform muss also G: x a + x 3 b = 1 für geeignete Konstanten a und b lauten.. SCHRITT: SPURPUNKTE EINSETZEN Mit g enthält G auch die beiden Spurpunkte S G ( 4 ) und S G3 ( ). Einsetzen von S G in die Achsenabschnittsform für G liefert die zur Koordinate x gehörige Konstante a = 4. Einsetzen von S G3 liefert die zur Koordinate x 3 gehörige Konstante b =. Die vollständige Achsenabschnittsform von G lautet somit G: x 4 + x 3 = 1. Bemerkung: Eine Parametergleichung für G lautet 1 4 G: x = ( ) + s ( ) + t ( 4 ), s R, t R. Aufgabe 7 1. SCHRITT: LOTFUßPUNKT BESTIMMEN GERADENGLEICHUNG AUFSTELLEN Die Punkte A und B legen die Gerade g eindeutig fest, der Ortsvektor von A kann als Stützvektor dienen, der Vektor AB ist ein möglicher Richtungsvektor von g. Somit ergibt sich 1 4 g: x = ( 1) + r ( 3 ) mit r reell. 1 by Duden learnattack 6

7 ORTHOGONALITÄTSBEDINGUNG AUFSTELLEN (SKALARPRODUKT ANWENDEN) Der allgemeine Geradenpunkt P r auf g hat den Ortsvektor r OP r = ( 1) + r ( 3 ) = ( 1 + 3r). Der Abstand von g zu C ist der 1 1 kürzeste Abstand eines solchen Punktes zu C. Der Abstand ist genau dann minimal, wenn der Verbindungsvektor P r C auf der Geraden g senkrecht steht. Die Bedingung dafür ist, dass das Skalarprodukt aus dem 4 Verbindungsvektor P r C und dem Richtungsvektor ( 3 ) der Geraden g verschwindet, d. h. 4 P r C ( 3 ) =. Dabei ist 1 4r 1 + 4r P r C = OC OP r = ( 3) ( 1 + 3r) = ( 7 3r), also r 4 P r C ( 3 ) = ( 7 3r) ( 3 ) = (1 + 4r) ( 4) + ( 7 3r) 3 + = 4 16r 1 9r = 5 5r. GLEICHUNG LÖSEN Die Gleichung 5 5r = hat als Lösung r = 1. Einsetzen dieser Lösung in die Koordinaten von P r liefert den Lotfußpunkt L(1 4 ( 1) 1 + r ( 1) 1) = L(5 9 1).. SCHRITT: ABSTAND AUSRECHNEN Für den Abstand von C zu g ergibt sich somit d(c, g) = d(l, C) = LC. Durch Einsetzen des Parameters r = 1 in die obige Gleichung 1 + 4r 3 P r C = ( 7 3r) ergibt sich LC = ( 4). Also kann die Berechnung von d(c, g) wie folgt fortgesetzt werden: by Duden learnattack 7

8 d(c, g) = LC 3 = ( 4) = ( 3) + ( 4) + = = 5. Der Abstand des Punktes C von der Geraden g beträgt somit 5 LE. Aufgabe 8 a) 1. SCHRITT: TYP DES ZUFALLSEXPERIMENTS ERKENNEN Der erste Summand hat die Form ( n k ) pk (1 p) n k mit k = 8, n = 1 und p = 3. Die anderen Summanden lassen sich auch auf diese Form bringen, denn 1 ( 9 3 ) = (1 9 ) ( 3 ) ( ) und ( 3 ) 1 = ( 1 1 ) ( 3 ) 1 ( 1 3 ). ( n k ) pk (1 p) n k ist die Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei einer Bernoullikette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p. Die Trefferwahrscheinlichkeit p = entspricht in der vorliegenden Situation 3 der Wahrscheinlichkeit, ein Spiel zu verlieren. Die Länge n gibt an, wie oft gespielt wird und k gibt an, wie viele Spiele verloren gehen.. SCHRITT: EREIGNIS FORMULIEREN Der vorgegebene Term ist nach obigen Umformungen ( 1 8 ) ( 3 ) 8 ( 1 3 ) + ( 1 9 ) ( 3 ) 9 ( 1 3 ) 1 + ( 1 1 ) ( 3 ) 1 ( 1 3 ). Nach der Pfadadditionsregel entspricht die Addition einer oder - Verknüpfung von Elementarereignissen, d. h. der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass entweder 8 oder 9 oder 1 Treffer bei einer Bernoullikette erreicht werden. Gemäß obiger Übertragung auf unsere Situation heißt das, dass von insgesamt 1 Spielen entweder 8, 9 oder 1 verloren gehen. Das vereinfacht sich zum Ereignis A: Von 1 Spielen gehen mindestens 8 Spiele verloren. by Duden learnattack 8

9 b) 1. SCHRITT: WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNG ANGEBEN Die Zufallsvariable X, welche die Anzahl der verloren gegangenen Spiele bei insgesamt 4 Spielen zählt, ist binomialverteilt mit Parametern n = 4 und p = 3. P(X=) = B(4, 3, ). SCHRITT: WAHRSCHEINLICHKEIT MIT DER BERNOULLIFORMEL BERECHNEN Die Wahrscheinlichkeit, genau zweimal zu verlieren, ist P(X = ) = B (4; 3 ; ) = ( 4 ) ( 3 ) ( 1 3 ) = = 4 81 = 8 7. Aufgabe 9 1. SCHRITT: SKIZZE ANFERTIGEN In der folgenden D-Skizze ist E die vorgegebene Ebene, n ein Normalenvektor von E, M der Mittelpunkt der Kugel, B der Berührpunkt der Kugel mit der Ebene und g die Gerade durch M und B: by Duden learnattack 9

10 . SCHRITT: VORGEHENSWEISE BESCHREIBEN Der Berührpunkt B der Kugel mit der Ebene ist der Schnittpunkt der Geraden g mit E. Eine Parametergleichung der Geraden g sich wie folgt: Als Stützvektor dient der Ortsvektor des vorgegebenen Kugelmittelpunkts M. Als Richtungsvektor dient der Normalenvektor n der Ebene E (den man ggf. aus der Ebenengleichung von E bestimmen muss), denn g schneidet E im rechten Winkel. Dann bestimmt man den Schnittpunkt von g und E, das ist der Berührpunkt B. Der Radius der Kugel ist der Abstand von B zum Kugelmittelpunkt M, also r = d(m, B) = MB = OB OM. by Duden learnattack 1

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