TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS. Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Abbildungen 2 11 Homomorphismus 2 12 Kern 2 13 Bild 2 14 Isomomorphismus 2 2 Basiswechsel 3 21 Allgemeines 3 22 Berechnung der Transformationsmatrix T 3 3 Determinanten 3 31 Eigenschaften 4 32 Berechnung der Determinante Regel von Sarrus Laplace scher Entwicklungssatz 5 33 Invserse Matrizen berechnen 5 34 Die Spur 6 4 Eigenwerte und Eigenvektoren 6 41 Bestimmung der Eigenwerten mit charakteristischen Polynom 6 42 Bestimmung der Eigenvektoren mit LGS 6 1

3 1 Lineare Abbildungen 1 Lineare Abbildungen 11 Homomorphismus Definition 111 Eine Abbildung f : V W heißt Homomorphismus wenn gilt: f (v 1 + v 2 ) = f (v 1 ) + f (v2) v 1, v 2 V f (kv) = k f (v) v V 12 Kern Der Kern k einer Abbildung gibt Auskunft à 1 4ber die injektivität jeder Abbildung Eine injektive Funktion besitzt den Kern {0}, mit der Eigenschaft Definition 121 Kern(f) := f 1 ({0}) f k = 0 Definition 122 Kern(f) fã 1 4 r det(a) = 0 Satz 121 K sei ein Körper, V,W zwei Vektorräume und f ein Homomorphismus Dann gilt für den Kern: Kern(f) ist ein Untervektorraum von V f ist injektiv Kern(f) = {0} 13 Bild Definition 131 Das Bild einer linearen Abbildung ist ein Untervektorraum von W: Bild(f) := f (V ) W (1) Der Rang der linearen Abbildung f ist die Dimension ihres Bildraumes: Rang(f) := dim(bild(f)) (2) 14 Isomomorphismus Definition 141 Wenn ein Homomorphismus zusätzlich bijektiv ist, so heißt er Isomorphismus Definition 142 f Hom(V, W )unddim(v ) < inf dann gilt Satz 141 B ist Basis von V und f Hom(V,W) surjektiv <f(b)> = B Rang(f) = dim(w) dim(kern(f)) + dim(bild(f)) = dim(v ) (3) injektiv Kern(f) = {0} dim(kern(f)) = 0 f B ist injektiv und f(b) linear unabhängig Rang(f) = dim(v) bijektiv f B ist injektiv und f(b) W ist eine Basis von W Rang(f) = dim(v) = dim(w) 2

4 3 Determinanten 2 Basiswechsel 21 Allgemeines Seien a 1, a 2 das Set and Basisvektoren(Bsp: 2 ) und b 1, b 2 die neue Basis, so existieren jeweils die zugehã rigen Basismatrizen A = ( a 1 a2 ) und B = ( b 1 b2 ) Wird nun der Vektor x von rechts an die Basismatrizen multipliziert so entstehen v und w Das Ziel des Basiswechselst ist eine Transformationsmatrix T zu erstellen um mit dem Vektor x in der Basis B den Vektor w so zu transformieren, dass v = w gilt 22 Berechnung der Transformationsmatrix T Gesucht ist die Transformationsmatrix T, so dass A x = v, B x = w (4) T v = w (5) A v = B w (6) einsetzten von w ergibt Es folgt direkt, dass: A v = B T v (7) T = B 1 A (8) 3 Determinanten Definition 301 Sei K stets ein (kommutativer) Körper Eine Abbildung det: K n n K, die jeder n n-matrix M über K ein Element aus K zuordnet, das wir det(m) nennen, heißt eine Determinantenfunktion, falls sie die folgenden drei Eigenschaften hat: z 1 z 1 z 1 1 det ist linear in jeder Zeile, das bedeutet: det z i + z i = det z i + det z i und: z 1 z 1 det k z i = k det z i 2 Ist Rang(M) < n, so ist det(m) = 0, in anderen Worten: det ist alternierend, dh sind zwei Zeilen von A gleich, so gilt det(a) = 0 3 det ist normiert und zwar det(e n ) = 1 3

5 3 Determinanten 31 Eigenschaften 1 det(m T ) = det(m) 2 det(λm) = λ n det(m) 3 Ist eine Zeile oder Spalte von M = 0, dann gilt det(m) = 0 4 Hat M zwei identische Spalten (oder Zeilen), so ist det(m) = 0, da gilt Rang(M) < n 5 Tauscht man bei M die Zeilen und erhält dadurch M, dann gilt det(m) = det(m ) 6 Addiert man zu M das λ-fache der i-ten Zeile zu der j-ten Zeile (i j), dann gilt det(m) = det(m ) 7 Seien M, M quadratische Matrizen, dann gilt: det(m M ) = det(m) det(m ) (Produktsatz) 8 det(a 1 ) = det(a) 1 9 Skalare können aus Zeilen oder Spalten gezogen werden, es gilt: det(a, λb, c, d) = det(a, b, c, d) 32 Berechnung der Determinante 321 Regel von Sarrus Die Merkregel von Sarrus für 2 2-Matrizen lautet: a11 a det 12 = a 11 a 12 a 21 a 22 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Abbildung 1: Merkregel Sarrus 2 2 Für 3 3-Matrizen gilt: a 11 a 12 a 13 det a 21 a 22 a 23 = +a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 31 a 32 a 33 Abbildung 2: Merkregel Sarrus 3 3 Satz 321 Es seien K ein Körper, n und A K n n Dann gilt: det(a) = 0 A ist nicht invertierbar (= singulär) 4

6 3 Determinanten 322 Laplace scher Entwicklungssatz Definition 321 Es seien R ein kommutativer Ring mit 1,n N und A R n n Für i, j mit1 i, j n sei A (i,j) R (n 1) (n 1) diejenige Matrix, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte aus A entsteht A (i,j) heißt Streichungsmatrix zum Eintrag a i,j = (A) i, j von A Der Faktor ( 1) i+j det(a (i,j) ) heißt der Kofaktor oder das algebraische Komplement von a i,j Satz 322 Es sei A K n n und 1 i n Dann gilt: det(a) = n ( 1) i+j a i,j det(a (i,j) ) j=1 Beispiel 321 Durch Entwicklung nach einer Zeile wird aus einer n n-determinante eine Summe von n (n 1) (n 1)-Determinanten (Spalte analog) Entwickelt man diese nochmal, so werden das n (n 1) (n 2) (n 2)-Determinanten usw, dh der Aufwand wird erheblich! Deshalb sollte man nicht einfach drauflos entwickeln, sondern erst die entsprechende Zeile mit geeigneten elementaren Umformungen vereinfachen: Beispiel = = = = 3 33 Invserse Matrizen berechnen Weiterhin kann mit der Determinante auf einfache Weise das Inverse einer (invertierbaren) Matrix berechnet werden: A 1 = 1 det(a) Adj(A) = 1 det(a) Cof(A)T Hier sieht man sofort, dass Matrizen deren Determinante = 0 ist nicht invertierbar sind Die Adjunkte einer Matrix entspricht der transponierten Kofaktormatrix, die sich folgendermaßen berechnen lässt: A i j = ( 1) i+j D i j Dabei ist A i j der Kofaktor, der sich aus der Multiplikation eines Vorzeichenfaktos ( 1) i j mit einer Unterdeterminante D i j zusammensetzt D i j ist die Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die i-te Zeile und j-te Spalte einer Matrix streicht 5

7 4 Eigenwerte und Eigenvektoren 34 Die Spur Definition 341 Es seien R ein kommutativer Ring mit 1, n und A = (a i,j ) 1 i,j n R n n Die Spur der Matrix A (englisch: trace) ist n Spur(A) := a ii 4 Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenvektoren x und Eigenwerte λ einer Matrix M haben die spezielle Eigenschaft, dass sich x auf ein vielfaches von sich selbst abbildet: M x = λ x (9) Umgestellen auf 0 gibt die mã glichkeit das Charakteristische Polynom aufzustellen ( det = 0 ) i=1 (M λ) = 0 (10) 41 Bestimmung der Eigenwerten mit charakteristischen Polynom Es ist fã 1 4r gewã hnlich leichter zuerst die Eigenwerte zu bestimme Am Beispiel einer 2x2 Matrix: m11 λ m (M λ) = 12 = 0 (11) m 22 λ m 21 Das charakteristische Polynom ist nun die Determinante Die Eigenwerte erhält man durch Umstellen nach λ: (m 11 λ)(m 22 λ) m 21 m 12 = 0 (12) 42 Bestimmung der Eigenvektoren mit LGS Mit dem bekannten Eigenwert λ kann nun Gleichung 9 als neues Lineares Gleichungssystem aufgestellt und mit ein wenig Rechenarbeit gelã st werden m11 m 12 x1 λ x1 = (13) m 21 m 22 x 2 λ x 2 m 11 x 1 + m 12 x 2 = λ x 1 (14) m 21 x 1 + m 22 x 2 = λ x 2 (15) Durch Lösen des Gleichungssystems erhält man den Eigenvektor x zugehörig zum Eigenwert λ Für einen weitern Eigenwert muss ein neuer Eigenvektor bestimmt werden 6