Teil 1. 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten mit Textaufgaben. und 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Datei Nr Friedrich Buckel. Stand 11.

Transkript

1 Teil Gleicungen mit Unbekannten mit Textaufgaben und 3 Gleicungen mit Unbekannten Datei Nr. 80 Stand. April 0 Lineare Gleicungssysteme INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 80 Gleicungssysteme Vorwort Das ist ein völlig neuer Text doppelt so umfangreic wie der alte, didaktisc überarbeitet und ergänzt durc ser viele Textaufgaben und andere Aufgaben. Ein Teil der Textaufgaben sind sogenannte Bewegungsaufgaben. Um die Grundkenntnisse dazu nict auc noc in diesen Text ineinstecken zu müssen, gibt es ab sofort einen eigenen Text mit der Nummer 85, den ic Bewegungs-Algebra genannt abe. In diesem Text findet man am Anfang auf 0 Seiten eine große Sammlung an Aufgaben. Deren Lösungen sind dann entweder die Beispiele des folgenden Textes, oder sie steen am Textende oder im Text 85. Die Fundstelle stet jeweils an der Aufgabe. Inalt Aufgabensammlung 3 Textaufgaben 6 Aufgaben mit 3 Gleicungen Grundwissen zu Gleicungen mit Unbekannten 3. Was muss man über eine Gleicung mit einer Unbekannten wissen 3. Was muss man über eine Gleicung mit zwei Unbekannten wissen 4.3 Deutung zur Lösung eines Systems aus Gleicungen mit Unbekannten 5 3 Lösungsmetoden zu Gleicungen mit Unbekannten 6 3. Das Gleicsetzungsverfaren 6 3. Das Additionsverfaren Das Subtraktionsverfaren Das Einsetzungsverfaren Das Determinantenverfaren 0 4 Sonderfälle bei Gleicungssystemen. Sonderfall: Ein Gleicungssystem one Lösungen. Sonderfall: Ein Gleicungssystem mit unendlic vielen Lösungen 5 Drei Gleicungen mit zwei Unbekannten 6 Textaufgaben 5 6. Zalenrätsel 5 6. Wer ist wie alt? Geometrisce Berecnungen Miscungsaufgaben Aufgaben aus der Wirtscaft Aufgaben, die auf drei Gleicungen füren Bewegungsaufgaben (Verweis auf Text 85) 44 Lösungen der restlicen Aufgaben 45

3 80 Gleicungssysteme 3 Aufgabensammlung Zusammenstellung aller Aufgaben, die in diesem Text teilweise ser ausfürlic beandelt werden. Aufgabe Zeicne die Geraden g und in ein gemeinsames Acsenkreuz. Lies die Koordinaten des Scnittpunktes ab und berecne diese auc durc Lösen eines Gleicungssystems. a) g: y = x + 4 und : y = x+ Lösung Seite 5 / Beispiel b) g: y = 3x 4 und : y = x+ Lösung: Seite 6 / Beispiel c) g: y = x+ und : y = x + 4,5 Lösung: Seite 6 / Beispiel 3 3 d) g: y = x+ und : y = x+ 5 Lösung: Seite 6 / Beispiel 4 5 Trainingsaufgabe a) g: y = x + 4 und : y =, 5 x, 6 Lösung Seite 46 5 b) g: y = x+ und : y = x Lösung: Seite 46 5 Aufgabe 3 Bestimme die Lösungsmenge durc das Additionsverfaren: { } a) 3x + 4y = 4 5x 4y = 4 b) c) d) e) 3x + 4y = 4 6x y = 7 3x + 4y = 8 5x 3y = 3x 4y 3 9x 8y 7 x 6y 3 3x 4y Lösung Seite 7 / B5 Lösung Seite 7 / B6 Lösung Seite 7 / B7 Lösung Seite 47 Lösung Seite 47

4 80 Gleicungssysteme 4 Aufgabe 4 Bestimme die Lösungsmenge durc das Subtraktionsverfaren: { } a) 3x + 4y = 4 5x + 4y = 3x + y = b) { 5x + 4y = } 4x 7y 5 c) 3x 5y 8 Lösung Seite 8 / B8 Lösung Seite 8 / B9 Lösung Seite 8 / B0 Aufgabe 5 Bestimme die Lösungsmenge durc das Einsetzungsverfaren: a) 4x y 3 y x3 3x y b) x 6y 9 5x + y = 8 c) { y = 4 3x} x + 5y + 3 = 0 d) { x 7y = 5 } Lösung Seite 9 / B Lösung Seite 9 / B Lösung Seite 47 Lösung Seite 47 Aufgabe 6 Bestimme die Lösungsmenge durc das Determinantenverfaren: 3xx 7 a) 5x 4x 3x y 5 b) x 5y 3 Lösung Seite 0 / B3 Lösung Seite 0 / B4 Determinanten werden ausfürlic im Text 60 besprocen. Aufgabe 7 3x y 4 a) 6x 4y x 8y 8 b) 5x 0y 35 Lösung Seite / B5 Lösung Seite / B6 Aufgabe 8 Lösung Seite 47 ax + by = c Gegeben sei ein Gleicungssystem ax by c + =. Erkläre, welce Möglickeiten es für die zugeörige Lösungsmenge geben kann. Begründe dies damit, dass jede dieser beiden Gleicungen eine Gerade darstellt.

5 80 Gleicungssysteme 5 Trainingsaufgabe 9 Bestimme die Lösungsmengen: Lösungen Seite 48 bis 5 3x + y = 6x + y = 4 a) { 5x + 4y = } b) { x + 7y = 8} 6x + 5y = d) { 3x + 4y = } 3x x 7 g) 5x 4x 4x 30y j) 8x 0y 3 3x y 5 e) x 5y 3 4x 7y 5 ) 3x 5y 8 3x 5y k) 7x 3y 3 5x + y = c) { 7x + 3y = } 4x 6y 8 f) x 9y x4x 3 i) x 3x 8x y l) 6x 5y 3 Aufgabe 0 Zeige, dass es unendlic viele Lösungen gibt. Berecne zwei Lösungspaare: Lösungen Seite 5 x 8y 8 a) 5x 0y 35 35x 4x 84 b) 30x x 7 8x 5y c) 30x 5y 0

6 80 Gleicungssysteme 6 Textaufgaben Aufgabe Zalenrätsel Lösungen Seite 5 ff / B bis B0 a) Addiert man zum Dreifacen einer Zal eine zweite Zal, erält man. Subtraiert man aber vom -facen der ersten Zal das 5-face der zweiten, dann erält man 5. Wie eißen die beiden Zalen? b) Die Einerziffer einer zweistelligen Zal ist dreimal so groß wie ire Zenerziffer. Die Quersumme der Zal ist. Wie lautet diese Zal? c) Von zwei ganzen Zalen ist die doppelte Summe und die 9-face Differenz gleic groß und zwar 36. Um welce Zalen andelt es sic? d) Vermert man die erste von zwei Zalen um 7, so erält man das Doppelte der zweiten Zal. Vermindert man die zweite Zal um 5, so erält man den dritten Teil der ersten Zal. e) Wie eißen zwei Zalen, deren Summe 5 und deren Quotient 4 ist? f) Ein Zalenpaar at die Eigenscaft, dass ein Drittel der ersten Zal, vermert um ein Fünftel der zweiten Zal 5 ergibt, wärend ein Secstel der ersten plus ein Drittel der zweiten Zal 6 ergibt. g) Die Summe aus Zäler und Nenner eines Bruces ist 9. Verkleinert man Zäler und Nenner dieses Bruces um 3, dann entstet der Bruc. Wie eißt der Bruc? ) Vertausct man die Ziffern einer zweistelligen Zal, dann bekommt man eine Zal, die um 7 größer ist. Die Summe der beiden Zalen ist. Wie eißt die Zal? i) Die Quersumme einer Zal ist. Vertausct man die Ziffern dieser Zal und addiert dann beide Zalen, das Elfface der ursprünglicen Quersumme. j) Verdreifact man die Zenerziffer und nimmt den vierten Teil der Einerziffer, dann erält man dieselbe Zal 6, als wenn man von der Einerziffer subtraiert und dann die Ziffern vertausct. Aufgabe Wert ist wie alt? Lösungen ab Seite 30 / B bis B4 a) Großvater und Enkel sind zusammen 78 Jare alt. Vor 4 Jaren war der Opa secsmal so alt wie sein Enkel. Wie alt sind sie eute? b) Ein Vater war vor 5 Jaren viermal so alt wie seine Tocter. In 7 Jaren wird er nur noc doppelt so alt sein wie sie. Wie alt sind sie eute? c) Von zwei Brüdern ist der in zwei Jaren eineinalbmal so alt wie der andere. Vor vier Jaren war er doppelt so alt wie er. Wie alt sind sie eute? d) Franz ist eute 8 Jare alt. Dies ist doppelt so alt wie Gerard war, also Franz so alt war, wie Gerard eute ist. Wie alt ist Gerard?

7 80 Gleicungssysteme 7 Aufgabe 3 Geometrisce Berecnungen Lösungen ab Seite 3 / B5 bis B0 a) In einem Recteck ist eine Seite um 5 cm länger als die andere. Der Umfang des Rectecks ist um cm größer als das Fünfface der kürzeren Seite. Berecne die Seitenlängen über ein Gleicungssystem. b) Ein Recteck at den Umfang 0 cm. Vergrößert man die eine Seite um cm und die andere um 3 cm, dann wird der Fläceninalt um 30 cm größer. c) In einem rectwinkligen Dreieck ist der eine Winkel um O größer als der andere. Wie groß sind diese Winkel? d) Ein Drat der Länge 76 cm soll zu einem Recteck zusammen gebogen werden, bei dem die eine Seite um 0 cm größer ist als die andere. Wie lange werden dann die Recteckseiten? e) Die Mittelparallele eines Trapezes ist cm lang. Die eine der parallelen Seiten ist um 5 cm größer als die andere. Wie lang sind die Parallelen? f) Die eine Katete eines rectwinkligen Dreiecks ist um cm größer als die andere. Verkürzt man beide Kateten um cm, dann nimmt der Dreiecksinalt um 9 cm ab. Aufgabe 4 Miscungsaufgaben Lösungen ab Seite 36 / B bis B3 a) Ein Goldscmied will aus zwei Silberlegierungen vom Feingealt 600 und vom Feingealt 800 einen Ring vom Feingealt 750 erstellen. Er benötigt davon g. Wie viel Silber muss er von seinen vorandenen Sorten verwenden? b) Zu 00 kg Messing 7, das zu 7% aus Kupfer und zu 8% aus Zink bestet, soll durc Beigabe von Zink die Messingsorte Ms60 entsteen, deren Kupferanteil nur noc 60 % beträgt. Wie viel Zink wird benötigt? c) Wie viel Kupfer und Silber brauct man zu 5 kg einer Legierung, welce die Dicte 0 at. 3 Tabellen kann man entnemen, dass Kupfer die Dicte 8,9 at und Silber 0, Aufgabe 5 Aufgaben aus der Wirtscaft Lösungen ab Seite 38 / B4 bis B6 a) Klaus at bei der Bank A eine Geldanlage von 480 und bei Bank B 300. Am Jaresende erält er zusammen 43,0 an Zinsen. Am Jaresende stockt er sein Gutaben bei A auf 5000 auf, und bei B auf Das bringt im am folgenden Jaresende 75 Zinsen. Wie oc waren die Zinssätze bei diesen Banken? b) Herr Plan at für seinen Neubau einen Bausparvertrag abgesclossen und einen Kredit bei der KVB aufgenommen. Der Jareszins beträgt bei der Bausparkasse 4,5 % und bei der Bank 6,5%. Seine Jaresbelastung beträgt alleine durc den Zins Weil er jedoc befürctet, dass der Bankzins auf 7,5% steigen könnte, überlegt er bei der Bausparkasse einen Tarif zu nemen, bei dem er durc öere Tilgungsraten einen Zinssatz von nur 4% bekommen würde. Die Jares-Zinsbelastung würde dann um 00 ansteigen. Welce Geldbeträge at er als Darleen abzuzalen? g cm g cm g cm

8 80 Gleicungssysteme 8 c) Herr Plan at für seinen Neubau einen Bausparvertrag in Höe von abgesclossen und einen Kredit bei der KVB in Höe von aufgenommen. Seine Jaresbelastung beträgt alleine durc den Zins Nun gewinnt Herr Plan im Lotto Damit reduziert er das das Darleen der Bauspar- kasse um und das der KVB um (Wir nemen der Einfaceit an, dass Herr Plan inzwiscen Jar lang nicts an den Darleen zurückgezalt at.) Im folgenden Jar stellt er fest, dass er nur noc 500 Zinsen bezalt at. Welce Zinssätze aben beide Kreditinstitute in diesen zwei Jaren zugrunde gelegt?

9 80 Gleicungssysteme 9 Bewegungsaufgaben aus dem Text 85 Aufgabe 6 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 85 / S. 9 B Zwei Autos starten zur selben Zeit an zwei versciedenen Stellen einer Autoban. Ir Abstand beträgt im Moment des Startens genau 0. Wir nemen für unsere Aufgabe an, dass das Auto A mit der konstanten Gescwindigkeit Auto B mit v = 90 startet. Beide faren in die gleice Rictung. B v = 30 färt, und dass vor im das a) Stelle die Bewegungsgleicungen für beide Farzeuge auf. b) Berecne, wo sic die Farzeuge nac t = 0 min und t = 0 min befinden. c) Wann at B das Auto A eingeolt? Aufgabe 7 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 85 / S. 0 B3 Zwei Autos starten zur selben Zeit an zwei versciedenen Stellen einer Autoban. Ir Abstand beträgt im Moment des Startens genau 70. Wir nemen für unsere Aufgabe an, dass das Auto A mit der konstanten Gescwindigkeit Auto B mit v = 90 startet. Beide faren aufeinander zu. B A A v = 30 färt, und dass vor im das a) Stelle die Bewegungsgleicungen für beide Farzeuge auf. b) Berecne, wo sic die Farzeuge nac t = 0 min und t = 30 min befinden. c) Wann begegnen sic die beiden Autos? Aufgabe 8 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 85 / S. B4 Zwei Autos starten im Abstand von 0 Minuten an derselben Stelle. A fare mit der konstanten Gescwindigkeit v A = 90 los und das Auto B mit v B = 0 startet. Beide faren in die gleice Rictung. a) Stelle die Bewegungsgleicungen für beide Farzeuge auf. b) Berecne, wo sic die Farzeuge nac t = 0 min befinden. c) Wann at B das Auto A eingeolt? Aufgabe 9 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 85 / S. 3 B5 Das Auto A fare mit der konstanten Gescwindigkeit Das Auto B färt mit B A v = 90 in U-Stadt los, Rictung V-Stadt. v = 0 von V-Stadt nac U-Stadt, färt aber 5 Minuten später ab als A. Die Entfernung von U-Stadt und V-Stadt beträgt 70. a) Stelle die Bewegungsgleicungen für beide Farzeuge auf. b) Berecne, wo sic die Farzeuge nac t = 30 min befinden. c) Wann und wo begegnen sic die Autos?

10 80 Gleicungssysteme 0 Aufgabe 0 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 85 / S. 7 A a) Der Zug F startet in Adorf um Ur und färt mit der Durcscnittsgescwindigkeit v = 80. Er färt bis Bdorf, das 60 entfernt ist. Der Zug F startet in Adorf um.30 Ur und färt mit v = 0 auc in Rictung Bdorf. a) Holt F den Zug F bis Bdorf ein? b) Wo sind die beiden Züge nac Stunden? c) Wann at F den F eingeolt? Aufgabe Bewegungsaufgabe Lösung im Text 85 / S. 8 A Klaus und Simone wollen gemeinsam ins Kino geen. Sie wonen 4 voneinander entfernt. das Kino ist 0 von Simones Wonaus entfernt. Klaus färt mit einer Durcscnittsgescwindig- keit von 8, Simone mit 5. Sie faren beide um 4.0 Ur ab. a) Wann treffen sie am Kino ein? b) Wann und wo würden sie sic begegnen, wenn sie nict am Kino analten, sondern sic zuerst treffen wollen? Aufgabe Bewegungsaufgabe Lösung im Text 85 / S. 9 A3 Fritz besitzt eine Autorennban mit folgenden Maßen: Die beiden Halbkreise aben einen Radius von 89 cm und die beiden geraden Teile aben die Länge von je m. m a) Wie lange brauct ein Spielauto, das mit v = 0,8 die Ban durcfaren kann, für einen Umlauf (von A nac A)? b) Klaus lässt gleiczeitig in A und B zwei Farzeuge starten, von denen das Auto in A mit m v = 0,8 färt, das andere mit v =, 0. A m s Nac welcer Zeit olt B A ein. Wie viele Umläufe at dann A gemact? c) Berecne denselben Vorgang wie in b), nur dass B mit s Verzögerung startet. A s b s

11 80 Gleicungssysteme Aufgabe 3 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 85 / S. 0 A4 Der Zug Silberstreif färt die Strecke um 8.0 Ur in A-Stadt ab nac B-dorf mit der (als konstant angenommenen) Gescwindigkeit v 0. Der Zug Himmelsblitz färt 30 Minuten später in B-Dorf in Rictung A-Stadt mit der ebenfalls konstanten Gescwindigkeit v 90 ab. Die Entfernung beträgt AB = 50. a) Stelle die Bewegungsgleicungen für beide auf (Ort s in Abängigkeit von der Zeit t). Wäle ein günstiges Koordinatensystem. Stelle beide Kurven grapisc dar. b) Wo begegnen sic die beiden Züge? c) Wann kommen die beiden Züge an irem Zielort an? Aufgabe 4 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 85 / S. A5 Im Wüstenstaat Olmat wird eine Hocgescwindigkeitsstrecke geplant, welce die beiden 400 entfernten Städte Magbad und Kundad verbinden soll. In der ersten Baupase soll nur eine eingleisige Strecke verwendet werden, allerdings mit Ausweicstationen um entgegenkommende Züge passieren lassen zu können. Die Züge sollen mit einer Durcscnittgescwindigkeit von 40 faren. Wo müssen Ausweicstationen eingeplant werden, wenn zu jeder vollen Stunde in beiden Städten ein Zug abfaren soll. Wie lange at ein durcgefarener Zug Aufentalt bis zur Rückfart und wie viele Züge werden mindestens benötigt?

12 80 Gleicungssysteme Aufgaben mit 3 Gleicungen Aufgabe 5 Lösungen auf den Seiten bis 4 a) c) 3x y 4x 5y 30 7x 6y 3 x y 7 x 3y 6 4x y 3 b) d) x y 7 x 3y 6 x y 3 x y x 3y 6 4x y 3 Aufgabe 6 Löse diese Systeme: Lösung auf Seite 5. a) x + 5y = 9 3x y = 3 5x y = 9 b) 3x + 5y = 5 x + y = 5x 7y = 3 Aufgabe 7 Lösung auf Seite 4 B 5 Von zwei Zalen weiß man, dass () das Dreiface der ersten plus das Vierface der zweiten Zal 7 ergibt, () ire Summe siebenmal so groß ist wie ire Differenz, (3) die Differenz aus dem Zenfacen der ersten und dem Zwölffacen der zweiten Zal so groß wie die erste Zal ist. Gibt es Zalen, die dies alles erfüllen? Aufgabe 8 Bewegungsaufgabe Lösung auf Seite 4 / B7 In A und B starten gleiczeitig zwei Züge auf einer zweigleisigen Strecke. Zug färt von A nac B, Zug von B nac A. A und B liegen 50 auseinander. An Zwiscenstationen wird nict gealten. Über diese Farten weiß man folgendes: () Sie begegnen sic nac 50 Minuten. () Nac einer alben Stunde Farzeit sind sie noc 60 voneinander entfernt. (3) Zug befindet sic nac 45 Minuten,5 mal so weit von A weg ist wie Zug. Berecne die Durcscnittsgescwindigkeiten der Züge. Aufgabe 9 Lösung auf Seite 43 / B8 Franz beauptet, er abe ein Recteck gezeicnet, bei dem die Differenz der Seiten 5 cm beträgt, ire Summe 35 cm und sein Fläceninalt 75 cm. Was sagst du dazu?

13 80 Gleicungssysteme 3 Grundwissen zu Gleicungen mit Unbekannten. Was man über eine Gleicung mit einer Unbekannten wissen muss Auf der linken Seite stet der Term 4x 5. Mit Termen kann man Werte berecnen: Untersucung am Beispiel 4x 5 = 3 Setzt man für x die Zal 3 ein, liefert der Term den Wert: = 5 = 7 Setzt man für x die Zal - ein, liefert der Term den Wert: 4 5 = 8 5 = 3 Die gegebene Gleicung kann man als eine Frage interpretieren: Für welce Zal x liefert der Term den Wert 3? Man kann diese Zal mit Glück durc Probieren finden. Man nennt dies die Probe macen und get dabei so vor, indem man die Gleicung abscreibt und für x die angenommene Lösungszal einsetzt. So entstet im Falle x = 8 eine falsce Aussage: Probe für x = 8: = 3 Und im Falle x = 7 entstet eine ware Aussage: Probe für x = 7: = 3 3 Es ist eine falsce Aussage entstanden. Ware Aussage. Weil es keine weitere Lösungszal gibt, bestet die Lösungsmenge nur aus der Zal 7: = { 7} L. Dass es keine weitere Lösungszal gibt, kann man scön nacweisen, wird aber jetzt nict untersuct.

14 80 Gleicungssysteme 4. Was man über eine Gleicung mit zwei Unbekannten wissen muss Untersucung am Beispiel x y = 3 Jetzt muss man für die Unbekannten x und y je eine Zal einsetzen. Eine Lösung dieser Gleicung bestet also aus einem Zalenpaar, das durc Einsetzen eine ware Aussage liefert. () Ob ein Zalenpaar eine Lösung ist, kann man durc eine Probe feststellen: Beispielsweise das Paar : Für x die wird Zal und für y die Zal eingesetzt. Man erält dann aus x y 3 die ware Aussage 3. Also ist eine Lösung, ein Lösungspaar der Gleicung. Dagegen fürt das Einsetzen des Paares 4 zu einer falscen Aussage: Daer ist 4 keine Lösung der Gleicung und geört nict zur Lösungsmenge. {( ),... } L = Es gibt unendlic viele Lösungspaare. () Man kann aber auc Lösungspaare berecnen: 4 3. Dazu stellt die Gleicung z. B. nac y um und erält y x 3. Man wält dann für x eine beliebige Zal, setzt diese ein und berecnet dazu die Partnerzal y. Dann bilden beide zusammen eine Lösung, ein Lösungspaar: Beispiel: Wält man x = 4 folgt y 4 3 : Also ist 4 eine Lösung der Gleicung, was man auc so screiben kann: 4 L Bei dieser Gleicung kann man auf diese Weise beliebig (unendlic) viele Lösungspaare finden. Die Lösungsmenge einer linearen Gleicung mit Unbekannten at also unendlic viele Paare (Elemente). WISSEN: (Siee Datei 70) Die Lösungspaare der Gleicung y x 3 kann man als Punkte im x-y-acsenkreuz darstellen kann. Sie liegen auf einer Geraden. Man erkennt, dass der Punkt A 4 nict zur Geraden geört was dasselbe bedeutet wie 4 geört nict zur Lösungsmenge der Gleicung. Aber B liegt auf der Geraden, und das Paar ( ) Lösungsmenge der Gleicung. geört zur A B

15 80 Gleicungssysteme 5.3 Deutung zur Lösung eines Systems aus Gleicungen mit Unbekannten Beispiel Die Gleicung y = x + 4 stellt eine Gerade g dar. Die Gleicung y = x+ stellt eine Gerade dar. Der Punkt S( ) Das Zalenpaar ( ) ist der Scnittpunkt von g und. geört also zur Lösungsmenge beider Gleicungen. Das eißt, wenn man es in die Gleicung von g einsetzt, erält man eine ware Aussage, und ebenso, wenn man es in die von einsetzt. Umkerung Wir vergessen nun, was wir über den Scnittpunkt von g und wissen und lösen diese Aufgabe Berecne den Scnittpunkt der Geraden g: y = x + 4 und : y = x+. Anders formuliert: y = x + 4 Bestimme die Lösungsmenge des Gleicungssystems { y = x+ } Überlegung zur Lösung: Weil der Scnittpunkt auf beiden Geraden liegt, liefern für in der Term x + 4 und der Term x+ dasselbe Ergebnis. Dies screibt man dann so auf: x + 4 = x + +x und -4 3x = 3 :3 x = S Dies ist die x-koordinate des Scnittpunkts. Seine y-koordinate erält man dann durc Einsetzen dieser Zal in einen der beiden Terme: x y = + 4 = = in g ergibt ( ) x = in ergibt ( ) S y = + = + = S Ergebnis:. Die Geraden scneiden sic im Punkt S( ) { }. Das Gleicungssystem at die Lösungsmenge = ( ) L. Beide Aussagen sind gleicwertig. Die erste ist eine geometrisce Aussage, die zweite eine algebraisce Aussage. Da sollte jeder verstanden aben und auc erklären können. Das eben gezeigte Verfaren eißt Gleicsetzungsverfaren. Im näcsten Abscnitt lernen wir einige Lösungsverfaren kennen und werden sie üben. g S

16 80 Gleicungssysteme 6 3 Lösungsmetoden zu Gleicungen mit Unbekannten 3. Das Gleicsetzungsverfaren y = 3x 4 Beispiel : Gegeben ist das Gleicungssystem: { y = x+ } Lösung: a) Bestimme die Lösungsmenge. () () b) Zeicne die zugeörigen Geraden und identifiziere den Scnittpunkt. a) Da beide Gleicungen in der Form y =... gegeben sind, empfielt sic die Anwendung des Beispiel 3: Gleicsetzungsverfarens: 3x 4 = x + -x und +4 x = 5 : x = 5 S 5 7 Einsetzen in () (oder ()): y = + = 5 7 Lösungsmenge: L ( ) S { } {(,5 3.5 )} = = Zeicnung der Geraden g: y = 3x 4 (-4 ist der y-acsenabscnitt und 3 ist die Steigung: Vom Punkt ( 0 4) rects und um 3 nac oben.) get man um nac Zeicnung der Geraden : y = x+ (+ ist der y-acsenabscnitt und (Koeffizient von x) ist die Steigung. Vom Punkt ( ) also um nac rects und um nac oben. Abgelesener Scnittpunkt: S(,5 3.5 ) Gegeben ist das Gleicungssystem: Lösung: Gleicsetzen: x + = x + 4,5 Beispiel 4: Einsetzen in : Scnittpunkt: S (,5 ) 0 aus get man y = x+ y = x + 4,5 x + 4 = 4x x -4 5x = 5 x = y = + 4,5 =,5 S Gegeben ist das Gleicungssystem: 3 Lösung: Gleicsetzen: x+ = x x + 0 = 0x x + 5 = 0x x 4x = 35 :4 S 3 y = x+ 5 y = x+ 5 Einsetzen in : x = = =, S 4 y S =,5 + 5 =,5. Scnittpunkt: S (,5,5 )

17 80 Gleicungssysteme 7 3. Das Additionsverfaren 3x + 4y = 4 Beispiel 5: { 5x 4y = 4} Beispiel 6: Hier wird man nict mer gleicsetzen. Vielmer aben wir einen anderen Vorteil. Beide Gleicungen entalten 4y. Und weil sie mit untersciedlicen Vorzeicen da steen, wird man die Gleicungen addieren. Weil dabei dann y erausfällt, screibt man auc gerne als Überscrift dazu: ( ) () Elimination durc () + (): 8x = 8 :8 x = Einsetzen in () oder in (): 3 + 4y = 4-3 4y = :4 y = Lösungsmenge: L = ( ) 4 { 4 } 3x + 4y = 4 6x y = 7 Jetzt aben den Vorteil aus Beispiel 4 nict mer. Aber wenn man die Gleicung () mit multipliziert, dann kann man durc Addition der Gleicungen y wieder eliminieren: ( ) : Beispiel 7: 3x + 4y = 4 x 4y = 4 Elimination von y durc () + (3) 5x = 8 : ( ) () ( ) (3) x = = (gekürzt durc 3) Eingesetzt in (): 6 y = 7 5 y = = : (-) y = Lösungsmenge: L = ( 6 ) { 5 0 } 3x + 4y = 8 5x 3y = ( ) ( ) Jetzt muss man beide Gleicungen verändern, damit man y eliminieren kann: () 3 und () 4 : 9x + y = 54 0x y = 4 (4) + (3): 9x = 58 x = Eingesetzt in (): 0 3y = 3y = 9 y = 3 { } Lösungsmenge: L = ( 3) (3) (4) 5

18 80 Gleicungssysteme Das Subtraktionsverfaren 3x + 4y = 4 Beispiel 8: { 5x + 4y = } 3 Elimination von y durc () (): x = 3 x = ( ) () 3 Einsetzen in (): 3 + 4y = y = 4 + = :4 y = { 8 } Lösungsmenge: L = ( 3 7 ) 3x + y = Beispiel 9: { 5x + 4y = } Anpassen der Gleicung (): ( ) 6x + 4y = 4 5x + 4y = ( ) () (3) () Elimination von y durc (3) (): x = : x = Einsetzen in (): 6 + y = - 6 y = 6 y = 3 { } Lösungsmenge: L = ( 3) 4x 7y 5 Beispiel 0: 3x 5y 8 Wenn man ier x eliminieren will, muss man beide Gleicungen so verändern, dass in beiden gleicviel x stet: ( ) und 4 ( ) 3 ( ) ( ) x y 45 (3) x 0y 3 (4) Elimination von x durc (3) (4): y = 3 (5) Einsetzen in (): 3x + 65 = 8 3x = 57 x = 9 Lösungsmenge: L 9 3 Actung: Es get scneller, wenn man gleic am Anfang so recnet: 3 ( ) 4 ( ). Man erält dann sofort Gleicung (5) und spart dann (3) und (4). Hinweis: Jede Subtraktion ist im Grunde auc eine Addition: 5 3 ist dasselbe wie 5 ( 3) Daer sagt man zum Subtraktionsverfaren auc gerne Additionsverfaren. +.

19 80 Gleicungssysteme Das Einsetzungsverfaren Es gibt ganz spezielle Gleicungssysteme, bei denen sic auc noc ein anderes Verfaren anbietet. 4x y 3 Beispiel : y x3 ( ) ( ) Hier liegt die Besondereit vor, dass die eine Gleicung nac y aufgelöst ist. Damit at man die Gelegeneit, y in Gleicung () durc ( x 3) Das fürt zu folgender Lösung: () in (): 4x + x + 3 = 3 + zu ersetzen. 4x x + 6 = 3-6 x = 3 x = Einsetzen in (): y = + 3 = + = Lösungsmenge: L Beispiel : 3x y x 6y 9 Wenn man ier die Gleicung () nac x = 9 + 6y (3) umstellt, kann man ebenfalls in () einsetzen. Jetzt wird x ersetzt: 3 x 6y + y = 3x 08y + y = ( ) ( ) 0y 05 :0 y = Eingesetzt in (3): x = = 9 8 = Lösungsmenge: L

20 80 Gleicungssysteme Das Determinantenverfaren Fortsetzung auf der CD