Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

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1 Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen Dresden 2002

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3 Bezeichnungen Im folgenden bedeuten: IN = {0,, 2,...} : Menge der natürlichen Zahlen, IR : Menge der reellen Zahlen.. Elementare Rechenoperationen, Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Kenntnisse und Fähigkeiten: Bruchrechnung, Multiplikation und Division von Polynomen, Binomische Formeln, Ausklammern von Faktoren aus Polynomen, Potenz- und Logarithmengesetze, Summenzeichen. Untersuchen Sie im folgenden zuerst, für welche Werte der vorkommenden Variablen die auftretenden Terme definiert sind... Kürzen Sie so weit wie möglich. a) 204a2 b c 255ab 2 c b) 5x2 + 5x 2 + a a 2 c) 2a + a2 + 2a Fassen Sie zu einem Bruch zusammen, und kürzen Sie so weit wie möglich. 2 a) x 2 4 2x a 2 b 2 b) 6x 2a(a + b) abc c) a b b a ( b)c a.. Vereinfachen Sie. a) (2x2 y ) 4 ( x m y n z r+ ) 2 (4x y 4 ) 2 b) x 2 y 2 n z r 2, m, n, r IN c) x 2 y 2 xy x 4 d) (x y 2 ) 4 x 2 e) a n b n a n b n 2 + a n 2 b n a n b n, n IN.4. Vereinfachen Sie. a) a 5 b a b 4 6 (ab ) a 5 b 4 2 n (9a2 ) n b b) c c 2, n IN

4 .5. Vereinfachen Sie die folgenden Terme so weit wie möglich. a) 2x + 5 x + x 4 x x2 + 6x + 0 x 2 + 5x + 6 b) a a b + b a + b a a + b b a b c) a + b + c d) (2ax + 2ay)m (bx by) n (cx 2 cy 2 ) m+n, m IN, n IN, m, n 0 e) a5x y a4x y : 6n 2 f) b b n, a + b a2 + b 2 a4 b 4 x, y IR, n IN g) ( p + q p q) 2 h) x x 2 y 2 x + x 2 y 2 i) b b 2 5 b 8 4 b.6. Geben Sie die folgenden Zahlen exakt und als auf 4 Kommastellen gerundete Dezimalzahl an. Vereinfachen Sie dazu die Terme und rechnen Sie danach mit dem Taschenrechner. a) b) ( 5 ) 2 ( 5+ ) 2 c) d) e) f) (6 ) (8 4 ) g) ( 5) 2 h) 4 ( 2) 6 6 ( ).7. Vereinfachen Sie und berechnen Sie mit dem Taschenrechner. a) 0 2, b) 4, c), 08 0 d) sin(, 5) e) log 25 (25) f) log 20 (00) + log 00 (20) 2

5 .8. Vereinfachen Sie (ohne Benutzung eines Taschenrechners) so weit wie möglich. a) ln(e 2 )+ b) ln(e 2 +) c) lg( 00) d) 2e 2 ln(2) e) ln (ln (ln(e e ))) f) e 2+ln(9) g) (( e) 2 ) ln(8).9. Vereinfachen Sie. a) ln(2a) + 2 ln(b) 2 ln(2c), a, b, c > 0, b) ln(a2 b 2 ) 2 ln(a b) 2 ln(a + b), a + b > 0, a b > 0, c) ln(a 2 2ab + b 2 ) ln(a 2 b 2 ) + ln ( a + b ), a > b > Ermitteln Sie alle x IR mit a) x = 27 b) 0 x = 0, 0 c) log x () = 8 d) log 2 (x) = 5 e) log x ( 5) = f) log8 ( 5 64 ) = x ( g) log x (6) = 5 h) log 27) = x i) log () = x Faktorisieren Sie, d.h. schreiben Sie als Produkt. a) 5a 5 b c 2 5a b 5 c a 4 b 4 c b) (4x + y)(a + 2b) + (y 4x)( 2b a) c) (x + 2y)(x y)( 2x + y) y(6x y)(2y 2x).2. Faktorisieren Sie unter Verwendung binomischer Formeln. a) 6a ab + 9b 2 b) ( a )(a ) (a 2 ) c) - 4 x2 4y 2 2xy.. Schreiben Sie mittels quadratischer Ergänzung als Summe bzw. Differenz von Quadraten. a) x 2 4x + b) x 2 + x 6 c) 4x 2 + 4x + 2 d) x 2 + 4ax + 9b 2 e) x 2 2x + y 2 + 6y f) 4x 2 + 8x y 2 + 2y

6 .4. Klären Sie, unter welchen Bedingungen die folgenden Quotienten definiert sind und führen Sie die Division aus. a) (2a 2 + ab 7ac 20b bc 5c 2 ) : (a + 4b 5c) b) (x 4 y 4 ) : (x y) c) (q n ) : (q ), n IN \ {0} d) (2x 4 x + 25x 2 2x + 20) : (2x 2 7x + 6).5. Lösen Sie die folgenden Formeln auf: a) I = nu nr i + R a nach n, R i, R a, b) K = K 0 q n + R qn q nach R, K 0, n, c) f = f + f 2 d f f 2 nach f, f, f 2, d) X = ωl ωc nach L, C, ω..6. Ermitteln Sie die folgenden Summenwerte. 6 i a) i c) 0 i 2 d) 00 2 e) f) i+ b) 00 i= i= 5 nx n für x = 2 n= i= g) 50 (5i + ) i=.7. Berechnen ( ) Sie die Binomialkoeffizienten. ( ) ( ) 4 8 a) b) c) d) 2 5 ( ) ( ) ( ) 0, f) g) h) i) 5 2 k=0.8. Beweisen Sie die Gültigkeit der Gleichung für n k 0, n IN, k IN. ( ) ( ) ( ) n n n + + = k k + k + ( ) 4, 5 ( ) 2 0, 5 e) j) 5 ( k) k k= ( ) 2, 8 4 ( ) π 0 4

7 2. Gleichungen für eine reelle Veränderliche Kenntnisse und Fähigkeiten: Umformen von Gleichungen, lineare Gleichungen, quadratische Gleichungen, Bruchgleichungen, Wurzelgleichungen, Exponentialgleichungen, Logarithmusgleichungen. 2.. Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen. a) 2x (5 4x) = x (2x + 8) b) (5 x)(x + ) = (x 2)(8 x) c) 2x + x x = 7x + 8 d) a(2x b) + bc = b(2x a) bc 2.2. Lösen Sie die folgenden Gleichungen. a) x 2 5x + 6 = 0 b) 6x 2 + x = 0 c) x 2 + 4x + = 0 d) x 2 = 2x + 2 e) (x 2 4x 5)(x ) = 0 f) 5x 6 20x 4 = 0 g) x 4x 2 + 4x = 0 h) x 4 + x 2 4 = Lösen Sie die folgenden Gleichungen. a) x x + = x x 5 c) x x = x + 2 b) x + x + = 5 2x + 2 d) x + x x + x = Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungen. a) x x 2 4 = b) x x x = x c) x 2 + 2x 2x 2 + 2x 4 = d) x + 6 x 4 x 2 = x 54 2x 8 x + 6 2(x + 6) 5

8 2.5. Lösen Sie die folgenden Wurzelgleichungen. a) x = x 2 b) x + 4 = x + 2 c) x x = 2x x 2 d) = x + x e) 2 + x + 2 x = 2 x 2.6. Geben Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen exakt und als Dezimalzahl auf 4 Kommastellen gerundet an. a) ln(x + ) = 2 b) (x + ) (ln(x) + ) = 0 c) ln(x) 2 ln(x ) = 0 d) log 2 (x 2 + x + 6) = 2.7. Lösen Sie die Gleichungen, und geben Sie die Lösungen exakt und als Dezimalzahl auf 4 Kommastellen gerundet an. a) 2 0 x = b) e 2x+ = 0 c) 2 6x 2 = 4 2x+ d) = 0, 25 + e x 2.8. Lösen Sie die Gleichungen und geben Sie die Lösungen exakt und als Dezimalzahl auf 4 Kommastellen gerundet an. a) 2 2x 2 x+ = 0 b) x ln(x) = 2 c) (ln(x)) x = d) x lg(x) = 0 9 e) 2 x 5 2x = 0 2x+ f) lg(2 x ) + lg( x ) + lg(4 x ) = 5 6

9 . Gleichungssysteme für zwei reelle Veränderliche Kenntnisse und Fähigkeiten: Gleichungen mit 2 Unbekannten, Einsetzungsverfahren und Gleichsetzungsverfahren... Lösen Sie die Gleichungssysteme. a) x 2y = 8 2x + y = 4 b) 2x = 9 4y x = 4 2y x c) 5 + y = x + y 2 = 0 e) x + y = 0 xy = 9 d) x + y = x 2 + y 2 = 4. Funktionen Kenntnisse und Fähigkeiten: Funktionsbegriff, lineare und quadratische Funktionen, Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen, Nullstelle, Maximum, Minimum, Monotonie, Grenzwerte von Funktionen. 4.. Gegeben seien die Terme: a) f(x) = 0, x, b) f(x) = 2x 0,5 + x, c) f(x) = + e 0,x. Bilden Sie die folgenden Terme und vereinfachen Sie sie, falls möglich. f (x) = f(x + ) f 2 (x) = f(x) + f (x) = f(x) f 4 (x) = f( x) f 5 (x) = f(x) f 6 (x) = f(x 2 ) f 7 (x) = [f(x)] Bilden Sie zu den Funktionen f : IR IR mit a) f(x) = + 0, 5x, x IR, b) f(x) = x 2, x IR, c) f(x) = e x, x IR jeweils die Funktionen f i : IR IR, i =,..., 6, mit f (x) = f(x + ), f 2 (x) = f(x) +, f (x) = f(x), f 4 (x) = f( x), f 5 (x) = 2f(x), f 6 (x) = f(2x), und skizzieren Sie die Graphen der Funktionen. 7

10 4.. Für welche x sind die folgenden Terme definiert? Ermitteln Sie jeweils den größtmöglichen Definitionsbereich. a) f(x) = x 2 4 b) f(x) = ln(x + 5) ln(x + 4) c) f(x) = d) f(x) = (x )(x + 2) e 0,x 4.4. Skizzieren Sie die folgenden Geraden in einem geeigneten Koordinatensystem. a) y = x 4 b) 0x + 5y = 0 c) x 0 + y = d) k = 0, t +, 2 5 e) s = 2 (2 8t)/ 4.5. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion für x IR. a) y = (x + ) 2 4 b) y = x 2 4x + c) y = 6 x x Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion. Versuchen Sie, möglichst ohne Wertetabelle auszukommen. a) y = x 2, x [0; ) b) y = x 4, x IR c) y = x, x ( ; 0) d) y = x 2 4x 8, x IR e) y = x + x 2 + 8x 40, x IR f) y = ln(x 2), x (2; ) g) y = x +, x x (; ) h) y = ln x, x IR\{0} i) y = x 4, x [4; ) 0 für < x j) y = (x + ) 2 für < x < 0 2 x + für 0 x < 8

11 4.7. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion für den größtmöglichen Definitionsbereich, und bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion. a) y = + x b) y = x 2 c) y = + 4 x Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion, und geben Sie den Wertebereich an. a) y = e x, x IR b) y = 2 e x, x IR c) y = e x+, x IR d) y = e x + e x, x IR 4.9. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion für x IR, und bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion. a) y = + sin(x) b) y = sin(x ) c) y = sin(2(x )) d) y = + 4 sin(2(x )) 4.0. Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen für jeweils eine Teilaufgabe in einem gemeinsamen Koordinatensystem. a) y = e ax für a = 0, ± 2, ±, ±2, x IR b) y = e x + a für a = 0, ±, ±2, x IR c) y = e x+a für a = 0, ±, ±2, x IR 4.. In welchen Intervallen sind folgende Funktionen monoton wachsend? a) y = x + 6, x IR b) y = x 2 2x +, x IR 4.2. Ermitteln Sie (ohne Differentialrechnung) die Maxima/Minima (soweit vorhanden) der Funktionen nach Lage, Art und Größe. a) y = x 2 5, x IR b) y = x 2 4x + 5, x IR c) y = e x2, x IR d) y = x 2 +, x IR e) y = sin 2 (x), x IR f) y = + cos 2 (x), x IR 9

12 4.. Bestimmen Sie die Grenzwerte. Lösungen x a) lim x x 7 c) lim t ( e t ) x 5 x 2 b) lim x 2x 4 + x 2 d) lim e t t.. a) 4ab 5c 2, a, b, c 0 b), a 2 c) a +, a, a 2(a ) 5x + 4x a) 6x 4, x 0 b) a + b, a 0, a b 2a c), a, b, c 0, a b.. a) x 2 y 4, x, y 0 b) x 2m 4 y 4n 4 z 6, x, y, z 0 c) xy, x, y 0 d) y8 (b a), x 0 e) x4 a n b n, a, b 0 ( ) n ab.4. a) a 4 b, a, b 0 b), a, b 0, c > 0 c.5. a) 0x + 2, x IR\{ 2; } (x + )(x + 2) b) a2 + 2ab b 2 a 2 2ab b 2, a2 b 2, a b( ± 2) abc c) ab + ac + bc, abc 0, a + b + c 0 ( ) m ( ) n 2a b d) c c (x + y) n (x y) m, c(x2 y 2 ) 0 e) a x b 5n, a > 0, b > 0 f), a + b > 0, a b > 0 a b g) 2p 2 p 2 q 2, p + q 0, p q 0 h) y, x 0, x 2 y 2 i) b /8, b 0 0

13 .6. a) 2 7/8, 840 b) 4 c) = 0, 25 8 d) 4 7 0, 580 e) , f) 8, 960 g) 5 h) 2 2 2, a), 08 b), c) 2, 589 d) 0, 9975 e), 5 f) 2, a) b) - c) ( ) ab 2.9. a) ln 2c 2 2 d) 8 e) 0 f) e g) 4 b) 6 ln(a2 b 2 ) c) ln ( (a 2 b 2 ) a + b ).0. a) b) 2 c) 8 d) 2 e) 5 2 f) 5 g) / 5 6 h) i).. a) 5a b c 2 ( a 2 9b 2 c 2 + 5abc) b) 8x(a + 2b) c) (x y)(y 2x)(x 4y).2. a) (4a + b) 2 b) 2(a 2 ) c) ( 2 x + 2y)2.. a) (x 2) b) (x + 2 ) c) 2 2 (x + 2 )2 + d) (x + 2a) 2 4a 2 + 9b 2 e) (x ) 2 + (y + ) 2 0 f) 4(x + ) 2 (y 2) a) 4a 5b + c, a + 4b 5c 0 b) x + x 2 y + xy 2 + y, x y c) q n + q n q +, q und n IN \ {0} d) x 2 2x + 2, 5 + 2,5x+5 2x 2 7x+6, x 2, x, 5.5. a) n = RaI U R ii, R i = nu RaI ni, R a = n(u RiI) I b) R = (K K 0 q n q ) q n, K 0 = K q R n q qn ( ) n n = ln q ln K(q )+R K 0(q )+R c) f = ff2 f +f 2 d, f = f(d f2) f f 2, f 2 = f(d f) f f d) L = X ω + ω 2 C, C = ω 2 L ωx, ω = 2L q, ( X ± ) X 2 + 4L C

14 .6. a) b) 5050 c) 85 d) 202 e) 289 f) 29 g) a) 6 b) 56 c) 0 d) 05 6 = 6, 5625 e) -0,06 f) 0,75 6 = 0, 0625 g) -6 h) - i) - j) 2.. a) L = { 5 } b) L = { 8 } c) L = {0} d) L = { bc a b }, falls a b, L = IR, falls (a = b) und (b c = 0), L =, falls a = b und bc a) L = {2; } b) L = { 2 ; } c) L = d) L = {2 + 8; 2 8} e) L = { ; ; 5} f) L = {0; 2; 2} g) L = {0; 2} h) L = { ; } 2.. a) L = {2} b) L = {2} c) L = { 4 } d) L = 2.4. a) L = { ; 2 2 7} c) L = {2} b) L = { ; 2 2 5} d) L = {4} 2.5. a) L = {} b) L = {0} c) L = {} d) L = e) L = {2} 2.6. a) e 2 4, 89 b) e 0, 679 c) , 680 d) L = {; 2} 2.7. a) 0 log 2 () 8, 450 b) 2 =, 5 c) 4 d) ln(7), a) log 2 (), 5850 b) L = {e ln(2) ; e ln(2) } c) e 2, 78 d) L = {0 ; 0 } 5 e) log 2 (5), 29 f) lg(24), a) (4; 2) b) - c) ( 45; 0) d) (; 2), ( 2; ) e) (9; ), (; 9) 4.. a) b) c) f (x) 0, 9 0, x 2(x + ) 0,5 + x+ f 4 (x) + 0, x 2( x) 0,5 x +e 0,(x+) +e 0,x f 6 (x) 0, x 2 2x + x 2 +e 0,x2 2

15 4.. a) x 2, b) ( 5; ), c) ( 4; )\{ 2; }, d) IR\{0} 4.. a), b) [; ) 4.2. a) Min(0; 5), b) Min(2; ), c) Max(0; ), d) Max(0; ), e) Max( π 2 + kπ; ), Min(kπ; 0), k ZZ, ZZ = Menge der ganzen Zahlen, f) Max( π 2 + kπ; ), Min(kπ; 2 ), k ZZ. 4..,,,