4. Beschreibung von LTI-Systemen mit der Fourier-Transformation

Transkript

1 Die Fourier-Transformation 1. Anwendungsbeispiele der Fourier-Transformation 2. Die kontinuierliche Fourier-Transformation 3. Die Fourier-Reihe 4. Beschreibung von LTI-Systemen mit der Fourier-Transformation 1

2 Die Fourier-Transformation Beispiel: Audio-Software CoolEdit 2000 FT Signal im Zeitbereich Signal im Frequenzbereich 2

3 1. Motivation: Anwendungen der Fourier-Transformation Analyse des Frequenzspektrums akustischer Signale (Fourier-Analyse) z.b. zur Spracherkennung, Audio Retrieval -Systeme,... 3

4 1. Motivation: Anwendungen der Fourier-Transformation Erzeugen beliebiger akustischer Signale aus Sinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz (Fourier-Synthese) 4

5 1. Motivation: Anwendungen der Fourier-Transformation Kombinierte Fourier-Analyse und Fourier-Synthese, z.b. zur Rekonstruktion verrauschter Signale, Signalkompression,... 5

6 1. Motivation: Anwendungen der Fourier-Transformation Elimination, Filterung oder Gewichtung einzelner Frequenzbänder (z.b. Hoch-/Tiefpass, Bass-/Höhenfilter, Equalizer ) 6

7 2. Die allgemeine Fourier-Transformation Approximation von beliebigen Signalen s(t) durch Linearkombination von komplexen Sinusschwingungen e j2πft verschiedener Frequenzen: wobei: s(t) = S(f) e j2πft df imaginär e j2πft = cos(2πft) + j sin(2πft) e j2πft real Spektralfunktion S(f) beschreibt Frequenzspektrum von s(t) (Amplitude S(f) und Phasenverschiebung Φ(f) der Frequenzanteile). 7

8 2. Die allgemeine Fourier-Transformation Beispiel: Amplitudenspektrum eines akustischen Signals 8

9 2. Die allgemeine Fourier-Transformation Spektralfunktion S(f) ist Fourier-Transformierte von s(t) Transformation von Zeitbereich in Frequenzbereich Analysegleichung: Synthesegleichung: S(f) = s(t) e -j2πft dt s(t) = S(f) e j2πft df Notation: s(t) S(f) 9

10 2. Aufgaben zur allgemeinen Fourier-Transformation 9 (a) Welches Spektrum besitzt die komplexe Sinuswelle s(t) = e j2πt? 9 (b) Welches Spektrum besitzt die konstante Funktion s(t) = 2? 9 (c) Welches Spektrum besitzt die reelle Kosinusfunktion s(t) = cos(2πt)? 9 (d) Welches Signal s(t) besitzt das Spektrum S(f) = Ш(f) (Dirac-Kamm)? 10 (a)berechne die Fourier-Transformierte von s(t) = rect(t). 10 (b) Wie ändert sich das Spektrum S(f) bei zeitlicher Verschiebung s(t a) eines Signals? 10 (c) Wie ändert es sich bei Stauchung/Dehnung s(t/b) eines Signals? 10

11 2. Aufgaben zur allgemeinen Fourier-Transformation 9 (a) Welches Spektrum besitzt die komplexe Sinuswelle s(t) = e j2πt? s(t) = 1 e j2πt 1 S(f) = δ(f 1) 1 für f = 1 0 sonst 9 (b) Welches Spektrum besitzt die konstante Funktion s(t) = 2? s(t) = 2 e j2πt 0 S(f) = 2 δ(f) 2 für f = 0 0 sonst 9 (c) Welches Spektrum besitzt die reelle Kosinusfunktion s(t) = cos(2πt)? s(t) = cos(2πt) = ½ (e j2πt + e -j2πt ) = ½ e j2πt 1 + ½ e j2πt -1 S(f) = ½ δ(f 1) + ½ δ(f+1) ½ für f = 1 ½ für f = -1 0 sonst 11

12 2. Aufgaben zur allgemeinen Fourier-Transformation 9 (d) Welches Signal besitzt das Spektrum Ш(f) = δ(f k) (Dirac-Kamm)? k= Synthesegleichung: s(t) = S(f) e j2πft df = e j2πkt k= = cos(2πkt) + j sin(2πkt) k= = cos(2πkt) k=1 k= ungerade D.h. s(t) ist Summe aller Kosinusschwingungen mit Periode 1, ½, ⅓,... 12

13 2. Aufgaben zur allgemeinen Fourier-Transformation 10 (a) Berechne die Fourier-Transformierte von s(t) = rect(t). Analysegleichung: S(f) = s(t) e -j2πft dt = rect(t) e -j2πft dt +½ = e -j2πft dt ½ +½ = cos(2πft) dt j sin(2πft) dt ½ = [sin(2πft) / 2πf ] + j[cos(2πft) / 2πf ] = 2sin(πf) / 2πf +½ ½ +½ ½ = sin(πf) / πf = Spaltfunktion si(πf) +½ ½ 13

14 2. Aufgaben zur allgemeinen Fourier-Transformation 10 (b) Wie ändert sich S(f) bei zeitlicher Verschiebung des Signals s(t)? Analysegleichung: s(t a) e -j2πft dt = s(z) e -j2πf(z+a) dz = s(z) e -j2πfa e -j2πfz dz = e -j2πfa s(z) e -j2πfz dz = e -j2πfa S(f) 10 (c) Wie ändert sich S(f) bei Dehnung/Stauchung des Signals s(t)? Analysegleichung: s(t/b) e -j2πft dt = b s(z) e -j2πfbz dz = b S(bf) 14

15 2. Rechenregeln zur allgemeinen Fourier-Transformation Einige wichtige Sätze zur Bestimmung der Fourier-Transformation: Superpositionssatz: a s(t) + b h(t) a S(f) + b H(f) Ähnlichkeitssatz: s(t / a) a S(a f) Verschiebungssatz: s(t a) e -j2πfa S(f) Vertauschungssatz: S(t) s( f) Modulationstheorem: s(t) * h(t) S(f) H(f) 15

16 3. Beschreibung von LTI-Systemen durch die FT Erinnerung: LTI-System (lineares zeitinvariantes System) Eingangsignal s(t) LTI Systemantwort g(t) Beschreibung von LTI-Systemen durch: Stoßantwort h(t) auf Diracimpuls δ(t) ( Faltung, g(t) = s(t)*h(t)) Übertragungsfunktion H(f) ( Fouriertransformation) 16

17 3. Beschreibung von LTI-Systemen durch die FT Hintergrund: Komplexe Sinusschwingungen e j2πft sind Eigenfunktionen von LTI-Systemen, d.h.: Eingangsignal e j2πft LTI Systemantwort H(f) e j2πft Also: Skalierung mit frequenzabhängigem Faktor H(f) Dabei gilt: H(f) ist Fourier-Transformierte der Stoßantwort h(t) 17

18 3. Beschreibung von LTI-Systemen durch die FT Bei Darstellung von s(t) als Linearkombination von Funktionen e j2πft : s(t) = S(f) e j2πft df wobei: H(f) h(t) LTI g(t) = S(f) H(f) e j2πft df H(f) beschreibt das LTI-System vollständig (Übertragungsfunktion). Es folgt außerdem das Modulationstheorem: g(t) = s(t)*h(t) G(f) = S(f) H(f) 18

19 4. Fourier-Transformation periodischer Funktionen Für periodische Funktionen s(t) mit Periode T = 1/F gilt: Fourier-Reihe: wobei: s(t) = c k e j2πkft k= T c k = F s(t) e-j2πkft dt 0 zum Vergleich: Synthesegleichung: Analysegleichung: s(t) = S(f) e j2πft df S(f) = s(t) e -j2πft dt 19

20 4. Fourier-Transformation periodischer Funktionen Periodische Signale besitzen also ein Linienspektrum! Linienspektrum S(f): Frequenzdiskret mit Intervallbreite F = 1/T 20

21 4. Fourier-Transformation periodischer Funktionen Beweis: s(t) sei T-periodische Fortsetzung der kompakten Funktion p(t). s(t) = p(t) * δ(t kt) k= S(f) = P(f) F δ(f kf) = F p(t) e-j2πft δ(f kf) dt T = F p(t) e-j2πkft dt für f = kf, sonst 0 0 k= k= Spektrum S(f) ist diskrete Abtastung des Spektrums P(f) mit Abtastintervall F = 1/T, sowie skaliert mit Faktor F = 1/T 21

22 4. Fourier-Transformation periodischer Funktionen Beispiel: s(t) sei 1-periodische Fortsetzung von rect(t ½). Fourier-Reihe: mit Koeffizienten: s(t) = c k e j2πkft = c k e j2πkt k= T c k = F s(t) e-j2πkft dt = rect(t ½) e -j2πkt dt 0 k= 1 0 * = e -jπk sin(πk) / πk = 1 für k = 0 0 sonst Einziger Frequenzanteil ist also der Gleichstrom. (* wegen Verschiebungssatz und rect(t) sin(πk) / πk) 22

23 4. Fourier-Transformation periodischer Funktionen 23