MP3 AAC ADPCM. Kompressionsverfahren für Audio

Transkript

1 Entropie= durchschnittlicher Informationsgehalt pro Zeichen in einer Zeichenkette =untere Grenze der zur Kodierung eines Zeichens im Durchschnitt notwendigen Bits MP3 AAC ADPCM Kompressionsverfahren für Audio 2 prinzipielle Verfahren: Entropie-Kodierung Daten werden als Folge digitaler Werte verlustfrei komprimiert. Run-Length-Encoding, Pattern matching, Statistische Verfahren Quellen-Komprimierung Je nach Quelle oder Art der Daten werden Kompressionsverfahren eingesetzt, die besondere Eigenschaften der Quelldaten ausnutzen, meist auch mit (hinnehmbaren) Verlusten. Transformationskodierung, Prädikative Verfahren

2 Gegeben sein eine endliche Information (Wort über einem Alphabet von m Zeichen) Entropie MP3 AAC ADPCM m H = pilog2 p m p i i= Anzahl Zeichen Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Zeichens i Alternativ (normierte Entropie) i

3 Entropie Beispiel: wir beobachten 2 Studenten im Hörsaal und notieren die Beobachtungen: Nr. Binärcode Beobachtung Wahrscheinlichkeit VLC Beide schlafen,5 A schläft,25 2 B schläft,25 3 Beide lauschen,25 6 Ereignisse, 32 Bit, 2 Bit pro Ereignis Gesucht: Kürzeste Kodierung für diese Ereignisfolge

4 VLC Variable Length Code Entropie Beispiel: wir beobachten 2 Studenten im Hörsaal und Notieren die Beobachtungen: Nr. Binärcode Beobachtung Wahrscheinlichkeit Optimal? Beide schlafen,5 VLC A schläft,25 2 B schläft,25 3 Beide lauschen,25 6 Ereignisse, 28 Bit,,75 Bitt pro Ereignis L 4 = p Bit i i ()

5 A Mathematical Theory of Communication 948 Claude Elwood Shannon 96-2 H Entropie Mathematische Definition: Informationsgehalt: Bit pro Zeichen, die notwendig sind, um die Information darzustellen. m H = pi log2 p i= m Anzahl mögl. Ereignisse pi Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Ereignis i = log2 + log + 2 log + log = ( log2 log2 2) + log + log 2 log = ( ) + log + log 2 log = =, 75 i

6 A Mathematical Theory of Communication 948 Entropie Definition: Wir beschränken uns auf m=2 n, Zweierpotenzen m H = pi log2 p m p i i= Anzahl Zeichen im Alphabet Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Zeichens i i Falls alle Zeichen gleich häufig, so H=n H<n, nicht rein zufällig, gewisse Abstufung Merke: Die Entropie einer Nachrichtenquelle W ist die untere Grenze der zur Kodierung einer Nachricht durchschnittlich benötigten Bit. Claude Elwood Shannon Entropie ursprünglich Begriff der Thermodynamik und Statistischen Mechanik

7 Komprimierung PCM-Daten Medien- Speicherplatz für 3 min Sound CD-Qualität, stereo: 3*6*764 = 3,5 MB 76.4 Byte/s Radio-Qualität, mono 3*6*225*2= 7,9 MB 44. Byte/s Sprachqualität, mono 3*6*25 = 2 MB.25 Byte/s ISDN-Telefonie, mono 3*6*896=,44 MB 8.96 Byte/s Entropieverfahren wie Hufmann, LZW wenig brauchbar Predictive Coding: DPCM Delta / Differential Pulse Code Modulation ADPCM Adaptive DPCM

8 Komprimierung DPCM Medien- Idee: die Differenzen zwischen den Pulswerten speichern. In der Regel kleine Zahlen, z.b. mit 4 Bit zu kodieren Delta 6-Bit-Delta Differenzen brauchen 7 Bit Konstante Differenzen führen zu mäßigen Ergebnissen Entweder wenig Komprimierung oder wenig Approximation

9 Komprimierung Predicitve Coding Medien repeat x p ( n ) predict ( x ( n ), xˆ ( n ),...) VorhersageFehler ep ( n ) x ( n ) xp ( n ) e pq ( n ) quantize ( e p ) output ( e pq ) Abtastwerte Vorhergesagte Werte Quantisierter VorhersageFehler xˆ ( n ) x p ( n ) + e pq ( n ) n- n n + until eof MP3 IMA ADCM 4bit 873 kb Vorhersagewert +quantisierter Fehler ADPCM variables Delta vorhersagen

10 Komprimierung IMA ADPCM Interactive Multimedia Assocation Medien- 4: Komprimierung: 6Bit-Wert durch 4 Bit darstellen Vorzeichen 4-Bit Delta- Nibble bit3 bit2 bit Altes Delta=Tabelle[index] Nibble berechnen aus x(n)-xp(n-) und altem Delta Status des Quantisierers xp(n-) index Stepsize-Tabelle Nibble ausgeben Neuen Index berechnen aus altem Index und Nibble Neue Vorhersage xp(n) berechnen

11 Komprimierung IMA ADPCM vpdiff : = stepsize / 8 Vorzeichen 4-Bit Delta- Nibble bit2 bit bit vpdiff + = stepsize Hilfsvariable: Sample := x(n)-xp(n-) Stepsize := StepsizeTabelle[index] Neue Vorhersage x vpdiff + = stepsize vpdiff + = stepsize ( n) = x ( n ) vpdiff p p +

12 "Fourier, Jean- Baptiste Joseph Baron de", Microsoft Encarta 99 Enzyklopädie Microsoft Corporation. Alle Rechte vorbehalten. Fourier, Jean-Baptiste Joseph Baron de (768-83), französischer Mathematiker und Physiker, geboren in Auxerre, ausgebildet im Mönchskloster von Saint-Benoît-sur-Loire. nahm an der Französischen Revolution aktiv teil lehrte École a () Polytechnique in Paris ( ) f t = + a ( ) ( ) und an der École Normale cos 2π ft + b (795) sin 2π ft + 2 Teilnehmer an der Expedition Napoléon Bonapartes in Ägypten teil veröffentlichte + a er wichtiges ( Material über ) das ägyptische ( Altertum) 2cos 2*2π ft + b2sin 2*2π ft Präfekt des Département Isère 88 zum Baron ernannt + a ( ) ( ) 86 Mitglied 3cos 3*2π ft + b der Académie des sciences 3sin 3*2π ft 827 Mitglied Académie française Arbeiten zur +... Mathematik und mathematischen Physik. In Jede der Théorie anstandige analytique periodische de la chaleur Funktion (822, Analytische hat eine Theorie der Wärme) wandte er eine trigonometrische Reihe an, die man trigonometrische Reihendarstellung heute meist Fourier-Reihe nennt und mit deren Hilfe in der Physik und mit eindeutig viele bestimmten mathematische Koeffizienten Probleme gelöst a i und werden b i. können.

13 Fourier-Reihe Summendarstellung f a () t = + ( a cos( 2πfkt) + b sin( 2πfkt) ) 2 k = k k Alternativ: λ = Periodenlänge f a () 2πkt 2πkt f t = + ak cos bk sin 2 + k = λ λ Beispiel: Orgelton ( ( π ft) + ( π ft ) + ( π ft ) + ( π ft )) * sin 2 sin 2 *2 sin 2 *4 sin 2 *6 4 a = k, k b = b2 = b4 = b6 = b = sonst. k 4 k

14 Fourier-Reihe Summendarstellung f a () t = + ( a cos( 2πfkt) + b sin( 2πfkt) ) 2 k = k k Die Koeffizienten a, b k k bestimmen, mit welcher Amplitude die zugehörige Frequenz am Klang beteiligt ist. Periodische Funktionen haben ein diskretes Spektrum f ist die niedrigste beteiligte Frequenz. Amplitude Frequenz f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f

15 Harmonische Analyse f ( x) = j= 4 ( 2 j ) sin π Rechteckfunktion ist periodisch, erfüllt Dirichlet sche Bedingungen (siehe Lehrbuch Analysis), also gibt es Fourier-Darstellung (( 2 j ) x)

16 Harmonische Analyse f ( x) = j= 4 ( 2 j ) sin π (( 2 j ) x)

17 Harmonische Analyse f ( x) = j= 4 ( 2 j ) sin π (( 2 j ) x) Sägezahn ungerade Funktion (f(x)=-f(-x)), also keine Kosinus-Anteile erfüllt Dirichlet sche Bedingungen (siehe Lehrbuch Analysis), also gibt es Fourier-Darstellung

18 Beispielspektrum Hz Rechteck-Kurve Medien- Berechnet mit Spectrogram. R. S. Horne

19 Fourier-Koeffizienten berechenen Medien- a g t = + ak fkt + bk fkt 2 () cos( 2π ) sin ( 2π ) k = ( ) Mathematik: / / / () a = 2 f g t dt f f () ( π ) a = 2f g t cos 2 fkt dt k f () ( π ) b = 2f g t sin 2 fkt dt k Informatik: (Diskrete) Fast Fourier Transform FFT (Cooley & Tukey 965) It s been a hard day s night

20 Eigenschaften Fouriertransformation Medien- Transformation in den Frequenzraum Fourier-Transformation berechnet das Spektrum Die Fouriertransformation läßt sich umkehren! Die inverse Fourier-Transformation macht aus dem Spektrum den Sound. Anwendung der Fouriertransformation Analyse des Spektrums, Frequenzmessung Transpositionen Frequenzfilter (Hoch-, Tiefpass) Beweis des Sampling-Theorems

21 Mathematische Definition + iux F( u) = f ( x) e dx 2π ix e = cos x+ isin x ix e = cos x isin x F(u) ist Fourier-Transformierte von f(x) Inverse Fouriertransformation + f ( x) = F( u) e iux du

22 Impulsfunktion Dirac sche Delta-Funtion δ ( x) Definition: ( x) = x, ( x) dx = Eigenschaften: ( x) δ ( x) dx f ( ) f = f ( x) δ ( x x ) dx = f ( x x ) δ ( x) dx = f ( x ) δ = = ( x) o f ( x) δ ( t) f ( x t) dt = f ( x t) t = f ( x)

23 x III Shah-Funktion mit Frequenz τ τ = τ δ ( x nτ ) x FT III = τiii τ Abtast-Theorem: Beweisidee n Z ( τx) = n Z n δ x τ f(x) zu sampelnde Funktion mit beschränktem Spektrum g x τ ( x) = III f ( x) Spektrum Ausgangs- Signal Spektrum agbetastetes Signal

24 Abtast-Theorem f x = FT F x = ( ) ( ( )) ( ( ) ( )) = FT g x G x Π x o sinc τ τ ( ) x ( x) FT ( f ( x) ) F = Spektrum G( x) = τiii τx o F x ( ) ( ) Faltung FT(Shah) mit Spektrum ( ) Kastenfunktion Π τ x F x = Π x G x ( ) ( ) ( ) τ

25 Sampling Aliasing bei falscher Abtastfrequenz Fehler! -f max f s f max Frequenzspektrum des Ausgangssignals mit f max f s Frequenzspektrum des abgetasteten Signals mit f s f max -f f max s -f f max max -ff s f max max -ff s f max max f s

26 Definition: Konvolution - Faltung h = ( x) f ( t) g( x t) dt = f o g( x) ixu itu iyu Faltungssatz: f o g( x) e dx = f ( t) e dt g( y) e dy kurz: H u = F u G u ( ) ( ) ( ) H: Fouriertransformierte von h G: Fouriertransformierte von g F: Fouriertransformierte von f

27 δ Abtast-Theorem Shah-Funktion ( x) x, δ ( x) = dx = Es gilt: δ a ( ax) = δ ( x) Dirac sche Delta-Funktion III n= n= ( x) = δ ( x n) Shah-Funktion FT III x = III Es gilt: ( ( )) ( ) III ( ax) = δ ( ax n) = δ a x = n Z n Z x n a a n Z δ x n a castleman

28 Vorlesung Medientechnik SS 25 Dr. Manfred Jackel Studiengang Computervisualistik Universität Kobenz-Landau Campus Koblenz Postfach Koblenz Manfred Jackel WWW: mtech.uni-koblenz.de Literatur zu diesem Kapitel Hyperlinks zu diesem Kapitel page.mi.fu-berlin.de/~lind/lingausarb/ Grafik-Quellen