Schranken für zulässige Lösungen
|
|
- Gregor Frei
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Schranken für zulässige Lösungen Satz 5.9 Gegeben seien primales und duales LP gemäß der asymmetrischen Form der Dualität. Wenn x eine zulässige Lösung des primalen Programms und u eine zulässige Lösung des dualen Programms ist, dann gilt: Beweis. c T x apple b T u c T x apple (A T u) T x = u T Ax = u T b = b T u Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
2 Folgerung 5.10 Gilt c T x = b T u,dannistx eine optimale Lösung des primalen LP und u eine optimale Lösung des dualen LP. Bemerkungen: Satz 5.9 gilt analog für alle zueinander dualen Probleme: Ist das primale Problem ein Maximierungsproblem, dann gilt stets ansonsten c T x apple b T u c T x b T u Dementsprechend gilt natürlich auch Folgerung 5.10 für alle zueinander dualen Probleme. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
3 Dualitätstheorem der linearen Programmierung Satz 5.11 Gegeben seien ein primales LP (max) und das zugehörige duale LP (min). Dann gilt: Besitzt sowohl das primale LP als auch das duale LP eine zulässige Lösung x bzw. u, so haben beide LPs auch optimale Lösungen x bzw. u und es gilt: z max = c T x = b T u = Z min Ist die Zielfunktion des primalen LP nicht nach oben beschränkt, dann hat das duale LP keine zulässige Lösung. Ist die Zielfunktion des dualen LP nicht nach unten beschränk, dann hat das primale LP keine zulässige Lösung. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
4 Spezialfall: Max-Flow-Min-Cut-Theorem Aus der Vorlesung Graphentheorie kennen wir das Max-Flow-Min-Cut-Theorem: In einem Flussnetzwerk ist der Wert (f ) eines Maximalflusses f gleich der Kapazität c(a S ) eines minimalen Schnittes A S. Dies ist ein Spezialfall des Dualitätstheorems Jeder trennende Schnitt hat eine Kapazität dem Wert eines Maximalflusses. Umgekehrt ist der Wert eines beliebiges Flusses stets apple der Kapazität eines minimalen Schnittes. In den Optima tre en sich die Werte: Das Maximalflussproblem und das Problem der Bestimmung eines minimalen Schnittes sind zueinander dual. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
5 Charakterisierung optimaler Lösungen Satz 5.12 Gegeben seien primales und duales LP in asymmetrischer Form. Eine zulässige Lösung x des primalen LP und eine zulässige Lösung u des dualen LP sind genau dann optimal, wenn gilt: x j > 0 ) (a j ) T u = mx a ij u i = c j i=1 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
6 Beweis. Für die x und u gilt nach Satz 5.9: 0 apple b T u x T c = x T A T u x T c = x T (A T u c) Sind x und u jeweils optimal, dann gilt nach dem Dualitätstheorem = 0. Also muss für x j > 0 gelten, dass die j-te Komponente des Vektors A T u c gleich 0 ist. Umgekehrt folgt aus x j > 0 ) (a j ) T u = mx a ij u i = c j i=1 dass gilt x T (A T u c) =0 und damit b T u = c T x.alsosindx und u nach dem Dualitätstheorem optimal. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
7 Satz vom Komplementären Schlupf Satz 5.13 Gegeben seien primales und duales LP in symmetrischer Form. Durch Einführen von m Schlupfvariablen x n+1, x n+2,...,x n+m für das primale LP und n Schlupfvariablen u m+1, u m+2,...,u m+n für das duale LP gegen die LPs über in die Normalform. Eine zulässige Lösung x des primalen LP und eine zulässige Lösung u des dualen LP sind genau dann optimal, wenn gilt: x i u m+i =0für i =1,...,n und u j x n+j =0für j =1,...,m Bemerkung: Die Strukturvariablen des primalen LP korrespondieren mit den Schlupfvariablen des dualen LP und umgekehrt. Ist für die optimale Lösung des primalen LP x i > 0, so ist u m+i = 0. Analog gilt: u j > 0impliziertx n+j = 0. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
8 Beweis. Wir betrachten die LPs Dualität max u.d.n. z = c T x Ax apple b x 0 und min Z = b T u u.d.n. A T u c u 0 Wir führen Vektoren x 0 =(x n+1,...,x n+m )undu 0 =(u m+1,...,u n+m )an Schlupfvariablen ein. max u.d.n. z = c T x Ax + Ex 0 = b x, x 0 0 und min Z = b T u u.d.n. A T u Eu 0 = c u, u 0 0 Hieraus folgt (Ax + Ex 0 ) T u = b T u (A T u Eu 0 ) T x = c T x Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
9 Fortsetzung Beweis. Mit Satz 5.9 ergibt sich (x T A T + x 0 T )u (u T A u 0 T )x T 0 Nach dem Dualitätstheorem sind nun x, x 0, u, u 0 optimale Lösungen der beiden zueinander dualen LPs genau dann, wenn gilt: (x T A T + x 0 T )u (u T A u 0 T )x T =0 bzw. x 0 T u + u 0T x =0 Wegen den Vorzeichenbedingungen entspricht dies genau dem Satz vom komplementären Schlupf. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
10 Beispiel zum komplementären Schlupf Beispiel 5.14 Das Problem aus Beispiel 4.6 haben wir bereits mit dem primalen Simplexalgorithmus gelöst. + siehe Endtableau Das zugehörige duale Problem haben wir in Beispiel 5.6 formuliert. + siehe LP Wir lösen dieses LP mit dem dualen Simplexalgorithmus. 1. Tableau: BV u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 Z c u u Z Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
11 Fortsetzung Beispiel. 2. Tableau: BV u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 Z c u u 3 2/5 4/ /60 0 2/3 Z Tableau: BV u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 Z c u 2 5/ / /12 u 3 14/ /30 1/60 0 1/3 Z Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
12 Fortsetzung Beispiel. Wir vergleichen die beiden Endtableaus: primales Programm Strukturvariablen Schlupfvariablen BV x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z b x /3 14/ x /24 1/ x / z /12 1/ Wert der Wert der Schlupfvariablen Strukturvariablen duales Programm Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
13 Fortsetzung Beispiel. duales Programm Strukturvariablen Schlupfvariablen BV u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 Z c u 2 5/ / /12 u 3 14/ /30 1/60 0 1/3 Z Wert der Wert der Schlupfvariablen Strukturvariablen primales Programm Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
14 Interpretation: komplementärer Schlupf Die Variablen des dualen LP entsprechen Bewertungsfaktoren bzw. Preisen für die Maschinenzeiten, die so festzulegen sind, dass der Gesemtwert aller Maschinenzeiten möglichst klein ist: min b T u, die Kosten für die Erzeugung der einzelnen Produkte mindestens gleich den mit diesen Produkten erzielten Gewinnen sind: A T u Eu 0 = c und die Werte für die Maschinenzeiten nicht negativ sind: u 0. Bei optimaler Planung stimmen Gesamtgewinn der Produktion und Gesamtkosten für die Maschinenzeiten überein, die Zielfunktionswerte von primalem und dualem LP sind gleich. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
3. Grundlagen der Linearen Programmierung
3. Grundlagen der linearen Programmierung Inhalt 3. Grundlagen der Linearen Programmierung Lineares Programm Grafische Lösung linearer Programme Normalform Geometrie linearer Programme Basislösungen Operations
MehrOptimierung. Optimierung. Vorlesung 7 Lineare Programmierung II. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn
Optimierung Vorlesung 7 Lineare Programmierung II 1 Lineare Programme Lineares Programm: Lineare Zielfunktion Lineare Nebenbedingungen (Gleichungen oder Ungleichungen) Spezialfall der konvexen Optimierung
MehrOPERATIONS-RESEARCH (OR)
OPERATIONS-RESEARCH (OR) Man versteht darunter die Anwendung mathematischer Methoden und Modelle zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen bei einem Unternehmen. Andere deutsche und englische Bezeichnungen:
MehrOptimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 3. Vorlesung
Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 3. Vorlesung Rainer Hufnagel / Laura Wahrig 2006 Diese Woche LO - Sensitivitätsanalyse Simulation Beispiel Differenzengleichungen
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1
MehrBasis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.
Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren
MehrEigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen
Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt
MehrEinführung. Kapitel 1. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 2015 14 / 298
Kapitel 1 Einführung Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 2015 14 / 298 Inhalt Inhalt 1 Einführung Was ist Operations Research? Planungsprozess im OR Peter Becker (H-BRS) Operations
MehrBestimmung einer ersten
Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,
MehrMusterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5
Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische
MehrAufgabe 1. Sei A Mat(n n, R) mit Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A + 3E n ).
Aufgabe Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(3A E n ). Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A 3E n ). Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Bild(A
MehrAbsolute Stetigkeit von Maßen
Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches
MehrLösung allgemeiner linearer Programme
Lösung allgemeiner linearer Programme Bisher: Für Anwendung des Simplexalgorithmus muss eine primal oder eine dual zulässige Basislösung vorliegen. Für allgemeine lineare Programme können wir dies direkt
MehrKapitel 5. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
Kapitel 5 Dualität Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 2014 241 / 298 Inhalt 5 Dualität Dualitätssätze Zweiphasen-Simplexalgorithmus Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester
Mehr1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:
Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:
MehrLineare Optimierung Ergänzungskurs
Lineare Optimierung Ergänzungskurs Wintersemester 2015/16 Julia Lange, M.Sc. Literatur Werner, F.; Sotskov, Y.N. (2006): Mathematics of Economics and Business; Routledge; London Bemerkungen Diese Unterlagen
MehrDie Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie
Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie Definition 5.9. Ein kombinatorisches Optimierungsproblem entspricht einem LP, bei dem statt der Vorzeichenbedingungen x i 0 Bedingungen der
Mehr13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.
13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)
MehrPraktische Mathematik: Lineare und Netzwerk-Optimierung (SS 2015) Praktikumsaufgaben
Technische Universität Kaiserslautern Prof Dr Sven O Krumke Dr Sabine Büttner MSc Marco Natale Praktische Mathematik: Lineare und Netzwerk-Optimierung (SS 2015) Praktikumsaufgaben Aufgabe 1 (Konvertieren
MehrWas meinen die Leute eigentlich mit: Grexit?
Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit? Grexit sind eigentlich 2 Wörter. 1. Griechenland 2. Exit Exit ist ein englisches Wort. Es bedeutet: Ausgang. Aber was haben diese 2 Sachen mit-einander zu tun?
MehrRekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)
Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied
MehrLogische Folgerung. Definition 2.11
Logische Folgerung Definition 2.11 Sei 2A eine aussagenlogische Formel und F eine endliche Menge aussagenlogischer Formeln aus A. heißt logische Folgerung von F genau dann, wenn I ( ) =1für jedes Modell
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder
Mehr2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen
2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )
Mehr7 Die Determinante einer Matrix
7 Die Determinante einer Matrix ( ) a11 a Die Determinante einer 2 2 Matrix A = 12 ist erklärt als a 21 a 22 det A := a 11 a 22 a 12 a 21 Es ist S 2 = { id, τ}, τ = (1, 2) und sign (id) = 1, sign (τ) =
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
MehrMathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen
Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen
Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.
Mehr50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte
50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien
MehrDivision Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema
Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x
MehrSimplex-Umformung für Dummies
Simplex-Umformung für Dummies Enthält die Zielfunktion einen negativen Koeffizienten? NEIN Optimale Lösung bereits gefunden JA Finde die Optimale Lösung mit dem Simplex-Verfahren! Wähle die Spalte mit
Mehr0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )
Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,
MehrLineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als
MehrOptimalitätskriterien
Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen
Mehr9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83
9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x
MehrAlgebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Algebraische Kurven Vorlesung 26 Die Schnittmultiplizität Es seien zwei ebene algebraische Kurven C,D A 2 K gegeben, die keine Komponente gemeinsam haben. Dann besteht
MehrErinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen
Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend
MehrEntscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?
Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum
MehrMatrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.
Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen
MehrOptimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 2. Vorlesung
Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 2. Vorlesung Rainer Hufnagel / Laura Wahrig 2006 Diese Woche LO - Rechnerische Lösung - Simplex- Algorithmus LO - Auswertung des
MehrZeichen bei Zahlen entschlüsseln
Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren
MehrMathematik-Klausur vom 16.4.2004
Mathematik-Klausur vom 16..200 Aufgabe 1 Die Wucher-Kredit GmbH verleiht Kapital zu einem nominellen Jahreszinsfuß von 20%, wobei sie die anfallenden Kreditzinsen am Ende eines jeden Vierteljahres der
MehrVorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?
Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V
MehrFachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum
Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume
MehrGrammatiken. Einführung
Einführung Beispiel: Die arithmetischen Ausdrücke über der Variablen a und den Operationen + und können wie folgt definiert werden: a, a + a und a a sind arithmetische Ausdrücke Wenn A und B arithmetische
Mehr4. Dynamische Optimierung
4. Dynamische Optimierung Allgemeine Form dynamischer Optimierungsprobleme 4. Dynamische Optimierung Die dynamische Optimierung (DO) betrachtet Entscheidungsprobleme als eine Folge voneinander abhängiger
MehrCharakteristikenmethode im Beispiel
Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 15: Reguläre Ausdrücke und rechtslineare Grammatiken Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/25 Was kann man mit endlichen
MehrWürfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.
040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 11
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 22. Juni 2012 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung
MehrDoing Economics with the Computer Sommersemester 2002. Excel Solver 1
Universität Bern Kurt Schmidheiny / Manuel Wälti Doing Economics with the Computer Sommersemester 2002 Excel Solver 1 Mit dem Solver unterstützt Excel eine Funktion, mit der u.a. komplex verschachtelte
MehrKombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 1 Programm des
MehrKorrelation (II) Korrelation und Kausalität
Korrelation (II) Korrelation und Kausalität Situation: Seien X, Y zwei metrisch skalierte Merkmale mit Ausprägungen (x 1, x 2,..., x n ) bzw. (y 1, y 2,..., y n ). D.h. für jede i = 1, 2,..., n bezeichnen
MehrEinführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5)
Einführung 3 Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Univ.-Prof. Dr. Christoph Meinel Hasso-Plattner-Institut Universität Potsdam, Deutschland Hatten den Reduktionsbegriff
MehrIm Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b
Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und
MehrRekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt
Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung
MehrWS 2008/09. Diskrete Strukturen
WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
MehrAustausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen
Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 12.01.2012 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 12.01.2012 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der Informatik
MehrKapitel 5: Dynamisches Programmieren Gliederung
Gliederung 1. Grundlagen 2. Zahlentheoretische Algorithmen 3. Sortierverfahren 4. Ausgewählte Datenstrukturen 5. Dynamisches Programmieren 6. Graphalgorithmen 7. String-Matching 8. Kombinatorische Algorithmen
MehrMathematik-Klausur vom 4.2.2004
Mathematik-Klausur vom 4.2.2004 Aufgabe 1 Ein Klein-Sparer verfügt über 2 000, die er möglichst hoch verzinst anlegen möchte. a) Eine Anlage-Alternative besteht im Kauf von Bundesschatzbriefen vom Typ
MehrKapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme
Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren
MehrFormelsammlung zur Kreisgleichung
zur Kreisgleichung Julia Wolters 6. Oktober 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Kreisgleichung 2 1.1 Berechnung des Mittelpunktes und Radius am Beispiel..... 3 2 Kreis und Gerade 4 2.1 Sekanten, Tangenten,
Mehr4.4 AnonymeMärkteunddasGleichgewichtder"vollständigen Konkurrenz"
4.4 AnonymeMärkteunddasGleichgewichtder"vollständigen Konkurrenz" Wir haben bisher nachvollziehen können, wie zwei Personen für sich den Anreiz zum TauschentdeckenundwiemitwachsenderBevölkerungdieMengederAllokationensinkt,
Mehr(λ Ri I A+BR)v Ri = 0. Lässt sich umstellen zu
Herleitung der oppenecker-formel (Wiederholung) Für ein System ẋ Ax + Bu (B habe Höchstrang) wird eine Zustandsregelung u x angesetzt. Der geschlossene egelkreis gehorcht der Zustands-Dgl. ẋ (A B)x. Die
MehrMinimumproblem. Definition 4.7. Ein LP der Form. unter den Nebenbedingungen. d ij x j b i (i =1,...,m)
Minimumproblem Definition 4.7 Ein LP der Form nx Minimiere Z = c j x j j=1 unter den Nebenbedingungen nx d ij x j b i (i =1,...,m) j=1 und den Vorzeichenbedingungen x j 0(j =1,...,n) heißt Minimumproblem.
MehrBewertung von Barriere Optionen im CRR-Modell
Bewertung von Barriere Optionen im CRR-Modell Seminararbeit von Susanna Wankmueller. April 00 Barriere Optionen sind eine Sonderform von Optionen und gehören zu den exotischen Optionen. Sie dienen dazu,
MehrPrimzahlen und RSA-Verschlüsselung
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also
MehrElemente der Analysis II
Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel
Mehra' c' Aufgabe: Spiegelung an den Dreiecksseiten und Anti-Steinersche Punkte Darij Grinberg
ufgabe: Spiegelung an den Dreiecksseiten und nti-steinersche Punkte Darij Grinberg Eine durch den Höhenschnittpunkt H eines Dreiecks B gehende Gerade g werde an den Dreiecksseiten B; und B gespiegelt;
Mehr1. Wie viel Zinsen bekommt man, wenn man 7000,00 1 Jahr lang mit 6 % anlegt?
Zinsrechnung mit der Tabellenform: Berechnen der Jahreszinsen Ein Sparbuch mit 1600 wird mit 4% verzinst. Wie Zinsen erhält man im Jahr? Geg.: K = 1600 p% = 4% ges.: Z Das Kapital (Grundwert) entspricht
MehrLichtbrechung an Linsen
Sammellinsen Lichtbrechung an Linsen Fällt ein paralleles Lichtbündel auf eine Sammellinse, so werden die Lichtstrahlen so gebrochen, dass sie durch einen Brennpunkt der Linse verlaufen. Der Abstand zwischen
Mehr4. Übungsblatt Matrikelnr.: 6423043
Lineare Algebra I 1. Name: Bleeck, Christian 4. Übungsblatt Matrikelnr.: 6423043 Abgabe: 15.11.06 12 Uhr (Kasten D1 320) Übungsgruppe: 03 Patrick Schützdeller 2. Name: Niemann, Philipp Matrikelnr.: 6388613
MehrSimplex-Verfahren. Kapitel 4. Simplex-Verfahren. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
Kapitel 4 Simplex-Verfahren Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 24 86 / 298 Inhalt Inhalt 4 Simplex-Verfahren Dualer Simplexalgorithmus Vermeidung von Zyklen Peter Becker (H-BRS)
MehrRente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen
1 3.2. entenrechnung Definition: ente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren entenperiode = Zeitabstand zwischen zwei entenzahlungen Finanzmathematisch sind
MehrWir gehen aus von euklidischen Anschauungsraum bzw. von der euklidischen Zeichenebene. Parallele Geraden schneiden einander nicht.
2 Ein wenig projektive Geometrie 2.1 Fernpunkte 2.1.1 Projektive Einführung von Fernpunkten Wir gehen aus von euklidischen Anschauungsraum bzw. von der euklidischen Zeichenebene. Parallele Geraden schneiden
Mehra n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert:
Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend
Mehr6.2 Perfekte Sicherheit
04 6.2 Perfekte Sicherheit Beweis. H(B AC) + H(A C) = H(ABC) H(AC) + H(AC) H(C) Wegen gilt Einsetzen in die Definition gibt = H(AB C). H(A BC) = H(AB C) H(B C). I(A; B C) = H(A C) H(AB C) + H(B C). Da
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv
MehrKapitel 3: Etwas Informationstheorie
Stefan Lucks 3: Informationstheorie 28 orlesung Kryptographie (SS06) Kapitel 3: Etwas Informationstheorie Komplexitätstheoretische Sicherheit: Der schnellste Algorithmus, K zu knacken erfordert mindestens
MehrPeriodische Fahrpläne und Kreise in Graphen
Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen Vorlesung Algorithmentechnik WS 2009/10 Dorothea Wagner Karlsruher Institut für Technologie Eisenbahnoptimierungsprozess 1 Anforderungserhebung Netzwerkentwurf
MehrFormale Sprachen. Der Unterschied zwischen Grammatiken und Sprachen. Rudolf Freund, Marian Kogler
Formale Sprachen Der Unterschied zwischen Grammatiken und Sprachen Rudolf Freund, Marian Kogler Es gibt reguläre Sprachen, die nicht von einer nichtregulären kontextfreien Grammatik erzeugt werden können.
MehrOptimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung mit Ungleichungsnebenbedingungen
Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung mit Ungleichungsnebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 8. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 NLP Aufgabe KKT 2 Nachtrag
MehrLernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah
Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah www.schema-f-hagen.de Sie erhalten hier einen Einblick in die Dokumente Aufgaben und Lösungen sowie Erläuterungen Beim Kauf erhalten Sie zudem
MehrMathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011
Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h
Mehreasysolution GmbH easynet Bessere Kommunikation durch die Weiterleitung von easynet-nachrichten per E-Mail nach Hause
easynet Bessere Kommunikation durch die Weiterleitung von easynet-nachrichten per E-Mail nach Hause Allgemeines easynet ist die Informationszentrale im Unternehmen! Immer wichtiger wird es zukünftig sein,
MehrGleichungen und Ungleichungen
Gleichungen Ungleichungen. Lineare Gleichungen Sei die Gleichung ax = b gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b reelle Zahlen sind. Diese Gleichung hat als Lösung die einzige reelle Zahl x = b, falls
MehrBONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN
Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Mathematische Stochastik BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN Klaus D. Schmidt Ringvorlesung TU Dresden Fakultät MN,
MehrLineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3
Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen
MehrApproximation durch Taylorpolynome
TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni 10623 Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni
MehrErste Vorlesung Kryptographie
Erste Vorlesung Kryptographie Andre Chatzistamatiou October 14, 2013 Anwendungen der Kryptographie: geheime Datenübertragung Authentifizierung (für uns = Authentisierung) Daten Authentifizierung/Integritätsprüfung
MehrIV. Spieltheorie. H. Weber, FHW, OR SS07, Teil 7, Seite 1
IV. Spieltheorie 1. Gegenstand der Spieltheorie 2. Einführung in Matrixspiele 3. Strategien bei Matrixspielen 4. Weitere Beispiele 5. Mögliche Erweiterungen H. Weber, FHW, OR SS07, Teil 7, Seite 1 1. Gegenstand
MehrVorlesung Finanzmathematik (TM/SRM/SM/MM) Block : Ausgewählte Aufgaben Investitionsrechnung und festverzinsliche Wertpapiere
Hochschule Ostfalia Fakultät Verkehr Sport Tourismus Medien apl. Professor Dr. H. Löwe Sommersemester 20 Vorlesung Finanzmathematik (TM/SRM/SM/MM) Block : Ausgewählte Aufgaben Investitionsrechnung und
Mehr17.1.2014 Einführung in die Programmierung Laborübung bei Korcan Y. Kirkici. 12.Übung 13.1. bis 17.1.2014
17.1.2014 Einführung in die Programmierung Laborübung bei Korcan Y. Kirkici 12.Übung 13.1. bis 17.1.2014 1 BEFRAGUNG http://1.bp.blogspot.com/- waaowrew9gc/tuhgqro4u_i/aaaaaaaaaey/3xhl 4Va2SOQ/s1600/crying%2Bmeme.png
MehrLinearen Gleichungssysteme Anwendungsaufgaben
Linearen Gleichungssysteme Anwendungsaufgaben Lb S. 166 Nr.9 Im Jugendherbergsverzeichnis ist angegeben, dass in der Jugendherberge in Eulenburg 145 Jugendliche in 35 Zimmern übernachten können. Es gibt
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen
MehrProgrammiersprachen und Übersetzer
Programmiersprachen und Übersetzer Sommersemester 2010 19. April 2010 Theoretische Grundlagen Problem Wie kann man eine unendliche Menge von (syntaktisch) korrekten Programmen definieren? Lösung Wie auch
MehrQuadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen Aufgabe: Versuche eine Lösung zu den folgenden Zahlenrätseln zu finden:.) Verdoppelt man das Quadrat einer Zahl und addiert, so erhält man 00..) Addiert man zum Quadrat einer Zahl
MehrDynamische Optimierung. Kapitel 4. Dynamische Optimierung. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206
Kapitel 4 Dynamische Optimierung Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206 Inhalt Inhalt 4 Dynamische Optimierung Allgemeiner Ansatz und Beispiele Stochastische dynamische
MehrDie Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,
Mehr