Abiturprüfung Mathematik 2006 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1
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- Gotthilf Kopp
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1 Abiturprüfung Mathematik 006 () Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. Die folgende Wertetabelle gehört zu einer Funktion g: X g(x) -5/4 0 /4 4 7/4 0-5/4 g (x) g (x) (7 Punkte) Welche Aussagen kann man mit Hilfe der Tabelle über Achsenschnittpunkte, sowie über Hoch-, Tief- und Wendepunkte des Schaubildes von g machen?.. (4 Punkte) Die Wertetabelle gehört zu einer Polynomfunktion 4.Grades. Bestimmen den Funktionsterm... (6 Punkte) Gegeben ist die allgemeine Polynomfunktion h dritten Grades mit h(x) ax bx cx d mit x R Welchen Einfluss haben die Koeffizienten c und d auf die Wendestelle von h? Welche Beziehung muss zwischen den Koeffizienten a und b bestehen, damit x = - eine Wendestelle ist?. Gegeben ist die Funktion f durch Das Schaubild von f ist K. f(x) e x x, x.. (5 Punkte) Skizziere und beschreibe den Verlauf von K... (5 Punkte) Berechne die exakten Koordinaten des Schnittpunktes von K mit der x-achse. Ermittle die durchschnittliche Steigung von K auf dem Intervall [;]... (6 Punkte) Zeige, dass K genau eine Tangente hat, die orthogonal zur Geraden mit der Gleichung 6y+x = 0 verläuft. Gib den zugehörigen Berührpunkt an...4 ( Punkte) Die Gerade mit der Gleichung x = -, das Schaubild von K und die x-achse begrenzen eine Fläche. Durch Drehung dieser Fläche um die x-achse entsteht ein Rotationskörper. Berechne dessen Volumen. e R
2 ..5 (9 Punkte) Die Punkte A(0/-0,5) und B(0/0) sowie die Punkte C(u/0) und D(u/f(u)) bilden für u<0 ein Viereck. Das Viereck hat den Flächeninhalt A. Das Schaubild K, die Koordinatenachsen und die Gerade mit der Gleichung x = u mit u < 0 begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A. Für welches u ist A A?
3 Abiturprüfung Mathematik 006 () Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t R* ist eine Funktion f t gegeben durch ft (x) x x tx, x R t Das Schaubild von f t ist K t.. (0 Punkte) Die Normale im Wendepunkt von K 6 schließt mit K 6 zwei Flächenstücke ein. Berechnen Sie den Inhalt eines dieser Flächenstücke.. (8 Punkte) Betrachten Sie Schaubilder für positive und negative Werte von t. Wie unterscheiden sich die Schaubilder für negative Werte von t von denen für positive Werte von t? Geben Sie gemeinsame Eigenschaften der Schaubilder an. Skizzieren Sie zwei Schaubilder.. (4 Punkte) Zeigen Sie, dass alle Schaubilder K t einen Tiefpunkt auf der x-achse haben..4 (7 Punkte) Für u [0;6] ist g u die Gerade mit der Gleichung x = u. K 6, die x-achse und g u begrenzen eine Fläche. Berechne ihren Inhalt. Für welchen Wert von u halbiert g u die Fläche, die von K 6 und der x-achse eingeschlossen wird?.5 (8 Punkte) Untersuchen Sie für jede der folgenden Abbildungen, ob es ein t R* gibt, so dass das Schaubild einer Stammfunktion von f t dargestellt ist. Bestimme gegebenenfalls den Funktionsterm der zugehörigen Stammfunktion. Bild Bild
4 .6 (8 Punkte) Gegeben ist die Funktion h mit h(x) a sin(kx) ; x R. Welche Bedeutung haben die Parameter a und k für das Schaubild von h? Bestimmen Sie a und k so, dass die Nullstellen der Funktion h im Intervall 0 x 6 mit den Nullstellen von f 6 übereinstimmen und dass die Schaubilder von h und f 6 im Ursprung eine gemeinsame Tangente haben. 4
5 Abiturprüfung Mathematik 006 () Berufliche Gymnasien ohne TG Anwendungsorientierte Aufgabe Gruppe III, Aufgabe Ein Schaumweinhersteller hat seine täglichen Gesamtkosten in Abhängigkeit von der Anzahl der pro Tag abgefüllten Flaschen erfasst: Anzahl Gesamtkosten in Die Gesamtkosten sollen durch eine Polynomfunktion.Grades beschrieben werden. Bestimme eine solche Polynomfunktion und erläutere deinen Lösungsansatz. ( Punkte). Der Betrieb kann täglich maximal 00 Flaschen produzieren. Die Gesamtkosten werden durch die Funktion K beschrieben mit K(x) x x x 5000 ; x [0;00] Zeichne das Schaubild von K. ( Punkte).. Die Firma macht Gewinn, falls die Einnahmen aus dem Verkauf größer als die Gesamtkosten sind. Man geht davon aus, dass alle produzierten Flaschen auch verkauft werden. Der Schaumwein wird für 50 Euro pro Flasche verkauft. Bei wie viel Flaschen kann mit einem Gewinn gerechnet werden? ( Punkte).. Vom Ursprung wird die Tangente an das Schaubild von K gelegt. Bestimme die Steigung der Tangente und zeichne diese Tangente in das Koordinatensystem von Teilaufgabe.. ein. Welche Aussage kann man mit Hilfe dieser Tangente über den Verkaufspreis machen? (6 Punkte)
6 Abiturprüfung Mathematik 006 () Berufliche Gymnasien ohne TG Anwendungsorientierte Aufgabe Gruppe III, Aufgabe Das Wachstum einer Pflanze wird über einen Zeitraum von mehreren ahren untersucht.. Für die Wachstumsgeschwindigkeit w einer Pflanze in Abhängigkeit von der Zeit t liegen folgende Werte vor: t in ahren 4 5 w in Meter/ ahr 0,80 0,54 0,6 0,4 0,6 Bestimme mit Hilfe der Messwerte eine Exponentialfunktion, die die Wachstumsgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Zeichne das Schaubild der Exponentialfunktion und die Messwerte in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Um wie viel Prozent ändert sich die Wachstumsgeschwindigkeit pro ahr? (7 Punkte). Im Folgenden gilt: 0,4t v(t), e mit t 0 Dabei ist t die Zeit in ahren und v(t) gibt die Wachstumsgeschwindigkeit in Meter/ ahr zum Zeitpunkt t an... Man betrachtet das Wachstum als beendet, wenn die Wachstumsgeschwindigkeit kleiner als 0,0 Meter/ ahr ist. Wann ist dies der Fall? ( Punkte).. Berechne die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze in den ersten 5 ahren. Um wie viel Meter ist die Pflanze in dieser Zeit gewachsen? ( Punkte).. Zur Zeit t = 0 ist die Pflanze m hoch. Bestimme eine Funktion, die die Höhe der Pflanze in Abhängigkeit von der Zeit angibt. ( Punkte)
7 Abiturprüfung Mathematik 006 () Berufliche Gymnasien ohne TG Anwendungsorientierte Aufgabe Gruppe III, Aufgabe. Eine Flüssigkeit wird auf 90 C erhitzt. Dann lässt man sie bei einer Umgebungstemperatur von 0 C abkühlen. Bei diesem Experiment erhält man folgende Messreihe: Zeit t in Minuten Temperatur in C Stelle die Messdaten in einem Koordinatensytem dar. Bestimme eine Gleichung einer uadratischen Regressionskurve und zeichne die Kurve in das Koordinatensystem ein. (5 Punkte).. Berechne die Gleichung einer exponentiellen Regressionskurve so, dass die Umgebungstemperatur nicht unterschritten wird. Zeichne die Regressionskurve ebenfalls in das Koordinatensystem ein. Vergleiche die beiden Regressionen (6 Punkte). In eine Tasse wird 90 C heißer Tee eingeschenkt. Der Tee kühlt auf die Zimmertemperatur von 0 C ab. 0,t Die Funktion h mit h(t) 0 70 e beschreibt diesen Abkühlungsvorgang. Dabei ist t die Zeit in Minuten und h(t) die Temperatur in C... Berechne die Zeit, die vergeht, bis der Tee auf Trinktemperatur (50 C) abgekühlt ist. ( Punkte).. Berechne die momentane Abkühlungsgeschwindigkeit nach Minute und nach 0 Minuten. Interpretiere deine Ergebnisse. ( Punkte)
8 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 006 Teil, Lineare Optimierung, Aufgabe. Ein Unternehmer verleiht Fahrräder. Er möchte 40 neue Fahrräder kaufen. Er hat Angebote für die drei Fabrikate A, B und C. Vom Typ A möchte er mindestens 0 und vom Typ B mindestens 8 Fahrräder bestellen. Erfahrungsgemäß fallen jährlich Wartungskosten an, die vom Fahrradtyp abhängen. Die jährlichen Kosten für die Wartung pro Fahrrad und der Kaufpreis pro Fahrrad sind aus der Tabelle ersichtlich. Wartungskosten pro Fahrrad in Kaufpreis pro Fahrrad in Typ A Typ B Typ C Die gesamten Wartungskosten für die neuen Fahrräder dürfen pro Jahr 400 nicht überschreiten. Die Anschaffungskosten sollen bei den gegeben Bedingungen möglichst klein sein... Wie viele Fahrräder von jedem Typ muss der Unternehmer kaufen, damit die Anschaffungskosten minimal sind? (9 Punkte).. Das Fahrrad vom Typ B wird nicht mehr hergestellt. Das Nachfolgemodell kostet 400. Die Wartungskosten für das Nachfolgemodell betragen weiterhin 45 pro Fahrrad. Alle anderen Bedingungen bleiben unverändert. Der Unternehmer will die Anschaffungskosten weiterhin minimieren. Welche Möglichkeiten ergeben sich nun für das Unternehmen? (6 Punkte)
9 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 006 Teil, Lineare Optimierung, Aufgabe. Weinbauer Müller kann maximal 0 Hektar Rebfläche bewirtschaften. Er möchte Gutedel- und Burgunder-Reben anpflanzen. Die Arbeitskosten betragen pro Hektar Rebfläche mit Gutedel-Reben 600 und pro Hektar Rebfläche mit Burgunder-Reben 000. Bauer Müller will insgesamt nicht mehr als 6000 für Arbeitskosten ausgeben. Ein Hektar bepflanzt mit Gutedel-Reben hat einen Ertrag von 7 Tonnen Trauben, ein Hektar bepflanzt mit Burgunder-Reben hat einen Ertrag von 5 Tonnen Trauben. Die Genossenschaft nimmt ihm insgesamt nicht mehr als 90 Tonnen Trauben ab. Pro Hektar Anbaufläche erhält man eine Weinmenge von 5000 Liter Gutedel beziehungsweise 4000 Liter Burgunder. Bauer Müller bekommt,60 für einen Liter Gutedel und,75 für einen Liter Burgunder... Ermitteln sie grafisch, wie Bauer Müller seine Rebfläche aufteilen soll, um maximalen Umsatz zu erzielen. (6 Punkte).. In einer Fachzeitschrift liest Herr Müller, dass der Erlös von Gutedel einen Einbruch erfährt und voraussichtlich auf,40 pro Liter sinken wird. Welche Wirkung hätte diese Preissenkung auf die Anbaufläche mit Gutedel-Reben bei maximalem Umsatz, wenn der Erlös für Burgunder sich nicht ändert? ( Punkte).. Herr Müller befürchtet, dass der Erlös für einen Liter Gutedel sogar auf,0 sinken wird. Er geht davon aus, dass der Erlös für einen Liter Burgunder bei,75 bleibt. Daher überlegt er sich, Riesling als weitere Rebsorte anzubauen. Arbeitskosten und Ertrag für Gutedel und Burgunder bleiben unverändert. Die maximale Anbaufläche, die Obergrenze für Arbeitskosten und die maximale Abnahmemenge bleiben ebenfalls gleich. Die Arbeitskosten für einen Hektar Rebfläche mit Riesling-Reben betragen 800. Ein Hektar bepflanzt mit Riesling-Reben hat einen Ertrag von 8 Tonnen Trauben, die 5000 Liter Wein ergeben. Der Erlös für einen Liter Riesling beträgt,40. Berechnen Sie die optimale Aufteilung der Anbaufläche bei maximalem Umsatz mit Hilfe des Simplex-Verfahrens. (6 Punkte)
10 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 006 Teil, Stochastik, Aufgabe Ein Glücksrad ist in 6 Sektoren aufgeteilt die mit den Buchstaben A bis F beschriftet sind. Sektor A besitzt einen Mittelpunktswinkel von 0, Sektor B von 45, Sektor C von 60, Sektor D von 90 und Sektor F von 90. Das Rad wird in Drehung versetzt. Bei Stillstand zeigt der Pfeil auf genau einen Sektor. Der zugehörige Buchstabe wird notiert. Damit ist der Durchgang beendet. a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung für einen Durchgang an. ( Punkte) b) Bei vier Durchgängen entsteht eine Folge von vier Buchstaben. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: G: Es ergibt sich das Wort AFFE. G: Die Buchstaben B, C und D kommen nicht vor. G: Es wird mindestens einmal der Buchstabe C notiert. (7 Punkte) c) Bei einem Spiel erhält man dann einen Gewinn, wenn nach einem Durchgang der Pfeil auf A zeigt. Wie viele Durchgänge muss man mindestens spielen, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Gewinn größer als 50 ist? (5 Punkte)
11 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 006 Teil, Stochastik, Aufgabe Eine Supermarktkette bietet PC s mit Vor- rt-service an. Innerhalb der Garantiezeit treten bei diesen PC s unabhängig voneinander vor allem zwei Fehler auf: defekter Arbeitsspeicher, defekte Festplatte. 8 dieser Geräte haben eine defekte Festplatte. haben mindestens einen der beiden Fehler. a) Zeigen Sie: Die Wahrscheinlichkeit, dass der Arbeitsspeicher defekt ist, beträgt ungefähr 4,. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Gerät sowohl der Arbeitsspeicher als auch die Festplatte defekt sind? (6 Punkte) b) Ein Filialleiter überprüft einen Karton mit 4 Geräten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens einen defekten PC entdeckt? ( Punkte) c) Eine Filiale verkauft Geräte. Mit wie vielen Reklamationen muss der Leiter dieser Filiale rechnen? ( Punkte) d) Der Ersatz einer Festplatte kostet einschließlich Funktionstest durchschnittlich 60 Euro. Der Produktionsleiter überlegt, ob es sinnvoll ist, in Zukunft alle PC s bei unverändertem Wiederverkaufspreis mit einer zuverlässigeren Festplatte auszurüsten, die zwar im Einkauf 0 Euro teurer ist, aber nur Ausfall uote hat. Lassen sich durch den Einbau der besseren Festplatte Kosten einsparen? (5 Punkte)
12 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 006 Teil, Vektorgeometrie, Aufgabe. Gegeben ist das lineare Gleichungssystem 4x x x t x 0,5x 0,5t 0,5 x tx 0,5tx mit t R.. Bestimmen Sie für t = 0 und t = -0,5 die Lösungsvektoren dieses linearen Gleichungssystems. (4 Punkte).. Jede Gleichung des Gleichungssystems beschreibt eine Ebene im Anschauungsraum. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der drei Ebenen in Abhängigkeit von t. Beschreiben Sie die besondere Lage der Schnittmengen im Koordinatensystem. (7 Punkte).. Die Punkte A(//0), B(-//0) und C k (0 / k / k), k R sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie k so, dass der Umfang des Dreiecks minimal ist. (4 Punkte)
13 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 006 Teil, Vektorgeometrie, Aufgabe. Im Anschauungsraum sind die Geraden g mit g: 9 x r 4, r R und die Punkte A(6/0/0), B(0/8/0), C(0/0/8) und D(9//0) gegeben... Die Ebene E geht durch die Punkte A, B und C. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Ebene in Koordinatenform. Die Gerade g und der Punkt D legen eine Ebene F fest. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von E und F. (8 Punkte).. Das Dreieck ABC stellt eine Seitenfläche einer Pyramide dar. Ein Pfosten der Länge steht im Punkt D senkrecht auf der x x Ebene. Er wird von einer punktförmigen Lichtquelle beleuchtet, die sich im Punkt P(/6/0) befindet. Berechnen Sie die Länge des Schattens, den der Pfosten auf die Seitenfläche wirft. (7 Punkte) (Skizze ist nicht maßstabsgetreu)
14 Berufliches Gymnasium (TG ohne CAS) Hauptprüfung 006 Teil, Vektorgeometrie, Aufgabe. Zwei Flugzeuge F und F fliegen mit jeweils konstanter Geschwindigkeit auf geradlinigen Flugbahnen. Die Position der Flugzeuge wird bezüglich eines Koordinatensystems mit der Längeneinheit km angegeben. Die x -Koordinate gibt die Flughöhe an. Zum Zeitpunkt t = 0 (in Minuten) ist das Flugzeug F im Punkt P (0 / 0 / 0) und das Flugzeug F im Punkt P ( 5 / 0 / 8). Nach 4 Minuten hat F die Position Q (6 /6 / 4) erreicht. F befindet sich nach 5 Minuten an der Position Q (0 / 0 / 8)... Welches Flugzeug ist schneller? Geben Sie für jedes Flugzeug eine Gleichung an, welche die Position in Abhängigkeit von der Zeit in Minuten beschreibt. Nach welcher Zeit hat F dieselbe Flughöhe wie F erreicht? (8 Punkte).. Untersuchen Sie, ob sich die Flugbahnen schneiden. ( Punkte).. Bestimmen Sie den Abstand der beiden Flugzeuge in Abhängigkeit von der Zeit. Zu welchem Zeitpunkt sind sich die beiden Flugzeuge am nächsten? Wie weit sind sie zu diesem Zeitpunkt voneinander entfernt? (4 Punkte)
15 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 006 Teil, Wirtschaftliche Anwendungen, Aufgabe A.. Die Verflechtung von drei volkswirtschaftlichen Sektoren S, S und S nach dem Leontief-Modell ist durch folgendes Diagramm gegeben. Die Lieferungen untereinander, die Marktabgabe sowie die Gesamtproduktionen sind in Geldeineinheiten (GE) angegeben... Bestimme die zugehörige Inputmatrix. ( Punkte).. Für den kommenden Produktionszeitraum ist die Produktion x geplant. Berechne die zugehörige Marktabgabe. T ( Punkte).. Der Sektor S kann höchstens Waren im Wert von 580 GE produzieren. Der Sektor S produziert Waren im Wert von 600 GE. Untersuche, ob die Produktionen der Sektoren S und S so festgelegt werden können, dass alle drei Sektoren gleich viel an den Markt abgeben. (5 Punkte)..4 Nach Umstellung der Produktionsverfahren gibt es eine neue Inputmatrix. Bestimme t so, dass 0, 0,4 0, A t 0, 0,56t 0, mit t R 0,05 0,4t 0,0 0,65 eine Inputmatrix nach dem Leontief-Modell ist. berprüfe, ob für t = jede beliebige Nachfrage befriedigt werden kann. (5 Punkte)
16 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 006 Teil, Wirtschaftliche Anwendungen, Aufgabe B. Eine Keksfabrik stellt aus den Zutaten Teig (T), Marmelade (M), Schokolade (S) und Nusssplitter (N) drei verschiedene Kekssorten K, K und K her. Diese werden gemischt und in drei verschiedenen Packungen P, P und P verkauft. Die Tabellen geben en Materialfluss in Mengeneinheiten (ME) an. K K K T M 0 S 0 0,5 N 0 0,5 0 P P P K K 4 5 K Im Lager befinden sich folgende Zutaten: 046 ME Teig, 70 ME Marmelade, 87 ME Schokolade und ME Nusssplitter. Die Zutaten können nur kurz gelagert werden. Daher sollen alle Zutaten zu Keksen verarbeitet und diese Kekse verpackt werden. Untersuche, ob dies möglich ist. (5 Punkte).. Es sollen 0 Packungen P, 7 Packungen P und 90 Packungen P hergestellt und verkauft werden. Die variablen Herstellkosten je Packung betragen 8 GE für P, 8,5 GE für P und 9 GE für P. Die Fixkosten belaufen sich auf 08, GE. Der Preis je Packung soll für alle Kekspackungen gleich sein. Für welchen Preis je Packung wird Kostendeckung erzielt? ( Punkte).. Die Verkaufszahlen unterliegen in den vier Quartalen des ahres Schwankungen. Die Produktion muss diesen Schwankungen angepasst werden. Der Vektor T p 40t 60t t 80 mit t ;;;4 t gibt die Produktionszahlen der einzelnen Packungen P, P und P in den einzelnen Quartalen an. Dabei beschreibt z.b. p die Produktion im.quartal.
17 ... Beschreibe die Entwicklung der Produktionszahlen der verschiedenen Packungen im Verlauf eines ahres mit Worten. ( Punkte)... In welchem Quartal sind die Produktionskosten am höchsten, wenn die Herstellkosten je Packung durch 0 0,5 0 k festgelegt sind? (4 Punkte)
Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1
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