Stabilitätsfragen bei autonomen Systemen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Stabilitätsfragen bei autonomen Systemen"

Transkript

1 1 Stabilitätsfragen bei autonomen Systemen M. Schuster Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines über autonome Systeme Oft übliche Bezeichnungen mit Übersetzung Stabilität von kritischen Punkten 2 3 Die Ljapunov-Methode und linearisierte Systeme 6 1 Allgemeines über autonome Systeme Autonome Systeme sind Differentialgleichungen vom Typ: ẏ = f (y) mit f : G R n Lipschitz-stetig (damit insbesondere stetig) für gesuchte Abbildungen t I R y(t) R n. Definitionsbereich: D = R G ("Schlauch im R n+1 "). 1.1 Oft übliche Bezeichnungen mit Übersetzung Dynamisches System ẋ = X(x): Differentialgleichungssystem ẏ = f (y), (Geschwindigkeits-)Vektorfeld x G X(x) R n : Rechte Seite: y G f (y) R n, Flußlinien t I x(t) G: Lösung t I y(t) G, (Maximaler) Fluß des Systems (t, ξ ) ϕ(t, ξ ): Charakteristische Funktion (t, η) B ϕ(t, η) G, Bahn/Orbit einer Flußlinie im Phasenraum G = Trajektorie des Systems: Orientierte Spur einer Lösung im Gebiet G = {y(t) G t I max }, Phasenportrait des Systems = Gesamtheit aller Trajektorien: Alle Spuren von Lösungen in G, Maximale Lebensdauer einer Flußlinie: Maximaler Definitionsbereich einer Lösung, Kritischer Punkt/singulärer Punkt/Gleichgewichtslage/Ruhelage des Systems (=Nullstelle des Vektorfeldes): Konstante/stationäre Lösung y = η (=Nullstelle von f ). Satz 1. Sei t I max y(t) R n eine maximal fortgesetzte Lösung des Systems ẏ = f (y) mit f : G R n R n L-stetig. Dann liegt genau einer der drei folgenden Fälle vor: 1. Die Lösung y ist konstant mit I max = R, ihre Spur ist ein Einzelpunkt, 2. die Lösung y ist (nichtkonstant) periodisch mit I max = R. Ihre Spur ist eine geschlossene Kurve, 3. die Lösung y ist injektiv, ihre Spur ist eine doppelpunktfreie Kurve.

2 2 2 Stabilität von kritischen Punkten Definition 1. Sei ẏ = f (y) ein autonomes System mit einer auf einem Gebiet G R n L-stetigen Funktion f. 1. Ein kritischer Punkt η G heißt stabil, falls es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit der Eigenschaft: Jede Lösung t y(t) der Differentialgleichung mit y(0) η < δ ist für alle t 0 definiert und es gilt: t 0 y(t) η < ε. 2. Ein kritischer Punkt η G heißt attraktiv, falls es ein δ > 0 gibt mit der Eigenschaft: Jede Lösung t y(t) der Differentialgleichung mit y(0) η < δ ist für alle t 0 definiert und es gilt: lim t y(t) = η. 3. Ein kritischer Punkt heißt asymptotisch stabil, wenn er stabil und attraktiv ist. 4. Ein Punkt heißt instabil, wenn er nicht stabil ist. Bemerkung. Die Begriffe "stabil" und "attraktiv" sind unabhängig voneinander. 1. Beispiel, ( dass ) aus "stabil" nicht "attraktiv" folgt: Die ( autonome ) Differentialgleichung ẏ = a y besitzt die allgemeine Lösung t y(t) = 0 1 be t. Der kritische Nullpunkt ist stabil, denn ist y(0) = < δ := ε, so gilt ersichtlich y(t) < ε für alle t 0. Aber er ist nicht a ( b ) a 0 attraktiv, denn lim t = für a Beispiel, dass aus "attraktiv" nicht "stabil" folgt: Die in Polarkoordinatendarstellung gegebene Differentialgleichung ṙ = r(1 r), θ = sin 2 θ 2 lässt sich explizit lösen. Es gilt ( ( r 0 (r(t,t 0,r 0 ),θ(t,t 0,θ 0 )) =,2arctan r 0 + (1 r 0 )e t 2sinθ 0 2cosθ 0 t sinθ Das Phasenportrait (siehe Abbildung 1) zeigt folgendes Bild: Der Einheitskreis besteht aus der Ruhelage (1,0) und einer Trajektorie, die in beiden Zeitrichtungen gegen diesen Punkt strebt (auf dem Einheitskreis ist r(t) 1). Damit ist µ = (1,0) bereits instabil, denn in der Nähe von (1,0) "starten" auf dem Einheitskreis Lösungen, die eine ε-umgebung von (1,0) verlassen (denn die Lösungen durchlaufen den Einheitskreis). Andererseits gilt (r(t;t 0,r 0 ),θ(t;t 0,θ 0 )) (1,0) für t für alle Lösungen, und daher ist (1,0) eine attraktive Ruhelage. Satz 2. Für den kritischen Nullpunkt einer autonomen linearen Differentialgleichung ẏ = Ay gilt: Er ist genau dann asymptotisch stabil, wenn alle Eigenwerte von A (echt) negative Realteile besitzen. Er ist genau dann stabil, wenn alle Eigenwerte Realteile 0 besitzen und für jeden Eigenwert mit Realteil 0 gilt: Die geometrische Vielfachheit ist gleich der algebraischen. In allen anderen Fällen ist er instabil. (ẋ ) x Beispiel. Klassifikation ebener (zweidimensionaler) linearer Systeme = A bezüglich des kritischen ẏ y Nullpunkts anhand der möglichen Jordanschen Normalformen J von A. (Die allgemeine Form des Phasenportraits erhält man durch Anwendung linearer Transformationen). )).

3 3 Abbildung 1: Phasenportrait einer Differentialgleichung mit attraktiver, aber nicht stabiler Lösung 0. Degenerationsfall (λ = 0 ist Eigenwert von A) (a) A = J =. x(t) a. y(t) b Der Nullpunkt ist stabil, aber nicht asymptotisch stabil. (Das Phasenportrait besteht aus lauter stationären Lösungen). 0 1 (b) A = J =. x(t) y(t) Der Nullpunkt ist instabil. a + bt. b λ 0 (c) A = J = (wobei natürlich λ 0). x(t) ae λt. y(t) b

4 4 λ < 0: Der Nullpunkt ist stabil, aber nicht asymptotisch stabil. λ > 0: Der Nullpunkt ist instabil. 1. Hauptfall (alle Eigenwerte von A sind reell, 0 und haben verschiedene Vorzeichen) λ 0 A = J = (mit λ,µ > 0). Sattelpunkt 0 µ x(t) ae λt y(t) be µt. Der Nullpunkt ist instabil. 2. Hauptfall (alle Eigenwerte von A sind reell, 0 und haben gleiche Vorzeichen) λ 0 (a) A = J = (sgn(λ) = sgn(µ)). Knotenpunkt 0 µ x(t) ae λt. y(t) be µt λ,µ < 0: Der Nullpunkt ist asymptotisch stabil. λ,µ > 0: Der Nullpunkt ist instabil. (Für µ < λ < 0 kippt das Koordinatensystem, für λ,µ > 0 kehren sich die Orientierungen um.) Spezialfall λ = µ 0:

5 λ 1 (b) A = J =. entarteter Knotenpunkt 0 λ [ ] x(t) 1 t a + b e y(t) 0 1 λt. λ < 0: Der Nullpunkt ist asymptotisch stabil. (Alle Lösungen laufen mit waagrechter Tangente in den Nullpunkt.) 5 λ > 0: Der Nullpunkt ist instabil. 3. Hauptfall (echt komplex konjugierte EW von A) iβ 0 (a) J = (β 0 R). Wirbelpunkt 0 iβ 0 1 Zum Beispiel bei A = β 2 0 x(t) acos(βt) + bsin(βt) cos(β(t +t0 )) = r, r 0. y(t) aβ sin(βt) + bβ cos(βt) sin(β(t +t 0 )) Der Nullpunkt ist stabil, aber nicht asymptotisch stabil. α + iβ 0 (b) J = (α,β 0). Strudelpunkt 0 α iβ α β Zum Beispiel bei A = β α x(t) acos(βt) + bsin(βt) cos(β(t e y(t) asin(βt) + bcos(βt) αt +t0 )) = r e sin(β(t +t 0 )) αt. α < 0: Der Nullpunkt ist stabil. α > 0: Der Nullpunkt ist instabil. (β > 0 spiegelt das Koordinatensystem, α > 0 kehrt die Laufrichtung um.) Zu den Zeichnungen Gezeichnet sind nur die Phasenportraits von z = Jz. Das richtige Phasenportrait ẏ = Ay erhält man, in dem man darauf die lineare Transformation y(t) = T z(t) mit T = (z 1,z 2 ) anwendet, wobei z 1,z 2 Eigen- bzw. Hauptvektoren der Matrix A sind. Dies entspricht einer Ersetzung der Einheitsvektoren e 1,e 2 durch die tatsächlichen Eigen-/Hauptvektoren z 1,z 2.

6 6 3 Die Ljapunov-Methode und linearisierte Systeme Definition 2. Sei η ein kritischer Punkt des autonomen Systems ẏ = f (y) mit f L-stetig auf dem Gebiet G. Eine C 1 -Funktion E : U G R auf einer Umgebung U von η heißt eine Ljapunov-Funktion für η, wenn gilt: (1) E(η) = 0, y η E(y) > 0, (2) y U [Ė(y) =]d f E(y) = grade(y), f (y) 0. Sie heißt eine strenge Ljapunov-Funktion für η, wenn statt (2) verschärfend gilt (2 ) y η d f E(y) = grade(y), f (y) < 0. Satz 3 (Stabilitätskriterium von Ljapunov). Sei η ein kritischer Punkt von ẏ = f (y) mit f L-stetig auf G R n. Dann gilt: 1. Wenn in einer Umgebung U von η eine Ljapunov-Funktion für η existiert, so ist η stabil. 2. Wenn sogar eine strenge Ljapunov-Funktion für η in einer Umgebung U von η existiert, so ist η asymptotisch stabil. Anwendung. Sei ohne Einschränkung 0 ein kritischer Punkt des Systems ẏ = f (y) mit f C 1 (G). Statt der rechten Seite y f (y) = f (0) + D f (0) (y 0) + r(y) = D f (0) y + r(y) kann man ihre Linearisierung }{{} =0 y ˆf (y) = D f (0) y betrachten. Beim zugehörigen linearisierten System ẏ = ˆf (y) kann man die Stabilität des Nullpunktes leicht an den Eigenwerten von A = D f (0) erkennen. Lemma 1. Sei A eine (reelle) (n n)-matrix, für deren Eigenwerte λ stets R(λ) < 0 gilt. Dann besitzt das autonome System ẏ = Ay eine strenge Ljapunov-Funktion E : R n R für den kritischen Nullpunkt mit den Eigenschaften 1. y grade(y) γ y mit γ > 0, 2. y Ė(y) = E(y), f (y) µ y 2 mit µ > 0. (Es gilt E(y) = y T By mit einer symmetrischen, positiv definiten Matrix B) Die so gewonnene Ljapunov-Funktion ist auch brauchbar für nichtlineare autonome Systeme ẏ = f (y) mit Linearisierung ẏ = Ay. Satz 4. Sei η ein kritischer Punkt des autonomen Systems ẏ = f (y) mit f C 1 (G). Besitzt die Funktionalmatrix D f (η) nur Eigenwerte mit R(λ) < 0, so ist η asymptotisch stabil. Besitzt D f (η) mindestens einen Eigenwert λ mit R(λ) > 0, so ist η instabil. Version: 0.1. Die jeweils aktuellste Version liegt auf meiner Festplatte, alternativ hilft vielleicht ein Blick unter: Anregungen und Kommentare bitte an phuck@web.de

Floquet Theorie (III) 1 Verhalten von Lösungen und Der Ljapunov-Exponent

Floquet Theorie (III) 1 Verhalten von Lösungen und Der Ljapunov-Exponent Floquet heorie (III Vortrag zum Seminar zu gewöhnlichen Differentialgleichungen, 25..2 Andreas Schmitz Nachdem Gabriela Ansteeg uns in die heorie eingeführt hat und Sebastian Monschang weitere Vorarbeit

Mehr

Floquet-Theorie IV. 1 Hills Gleichung

Floquet-Theorie IV. 1 Hills Gleichung Vortrag zum Seminar Gewöhnliche Differentialgleichungen, 08.11.2011 Tobias Roidl Dieser Vortrag befasst sich mit der Hills Gleichung und gibt eine Einführung in die Periodischen Orbits von linearen Systemen.

Mehr

1.3 Zweidimensionale Systeme

1.3 Zweidimensionale Systeme 132 KAPITEL IV. QUALITATIVE THEORIE UND DYNAMISCHE SYSTEME Im Fall a 3 > 0 ist das Gleichgewicht asymptotisch stabil. Für a 2 3 > 4a 1a 2 haben wir < < 0 und es liegt ein stabiler Knoten vor (siehe den

Mehr

Abbildung 5.1: stabile und instabile Ruhelagen

Abbildung 5.1: stabile und instabile Ruhelagen Kapitel 5 Stabilität Eine intuitive Vorstellung vom Konzept der Stabilität vermitteln die in Abb. 5.1 dargestellten Situationen. Eine Kugel rollt unter dem Einfluss von Gravitation und Reibung auf einer

Mehr

H.J. Oberle Differentialgleichungen I WiSe 2012/ Stabilität. Wir betrachten ein allgemeines DGL-System erster Ordnung:

H.J. Oberle Differentialgleichungen I WiSe 2012/ Stabilität. Wir betrachten ein allgemeines DGL-System erster Ordnung: H.J. Oberle Differentialgleichungen I WiSe 2012/13 A. Allgemeines. 8. Stabilität Wir betrachten ein allgemeines DGL-System erster Ordnung: y (t) = f(t, y(t)) (8.1) mit y(t) R n, hinreichend glatter rechter

Mehr

Zu einigen Grundlagen der Stabilitätstheorie dynamischer Systeme

Zu einigen Grundlagen der Stabilitätstheorie dynamischer Systeme Seminar Zu einigen Grundlagen der Stabilitätstheorie dynamischer Systeme 15.4.201 2 Inhaltsverzeichnis 1 Existenz und Eindeutigkeit 7 1.1 Lineare Systeme.................................... 7 1.2 Der Begriff

Mehr

tun, sondern nur mit der Reaktion auf verschiedene Anfangswerte.

tun, sondern nur mit der Reaktion auf verschiedene Anfangswerte. 2.3 Stabilität Eine wichtige Rolle spielt das Stabilitätsverhalten dynamischer Systeme. Wie üblich sei Φ die Fundamentalmatrix des linearen Systems ẋ = A(t)x + u. Im weiteren sei t fixiert, später wird

Mehr

Hörsaalübung 6 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Hörsaalübung 6 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 28/29 Dr. Hanna Peywand Kiani Hörsaalübung 6 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Autonome Systeme, Stabilität Die ins

Mehr

Formelsammlung zum Skriptum

Formelsammlung zum Skriptum Systemtheorie und Regelungstechnik I - WS08/09 Formelsammlung zum Skriptum Kapitel 2 Satz 23 (Lokale Existenz und Eindeutigkeit) Es sei f (x, t) stückweise stetig in t und genüge der Abschätzung (Lipschitz-Bedingung)

Mehr

Kapitel 5 (Ebene autonome Systeme) Abschnitt 5.1 (Reduktion auf skalare Di.gleichungen)

Kapitel 5 (Ebene autonome Systeme) Abschnitt 5.1 (Reduktion auf skalare Di.gleichungen) Abschnitt 5.1 Reduktion auf skalare Differenzialgleichungen 33 Kapitel 5 Ebene autonome Systeme Abschnitt 5.1 Reduktion auf skalare Di.gleichungen Aufgabe 1, Seite 190 Das gegebene System besitzt oensichtlich

Mehr

Floquet Theorie II. 1 Einführung

Floquet Theorie II. 1 Einführung Vortrag zum Seminar Gewöhnliche Differentialgleichungen, 18.10.2011 Sebastian Monschang 1 Einführung Auf den Ergebnissen des ersten Vortrags basierend werden wir in diesem Vortrag gewöhnliche lineare Differentialgleichungssysteme

Mehr

1 Nicht-lineare dynamische Systeme

1 Nicht-lineare dynamische Systeme 1 Nicht-lineare dynamische Systeme 1.1 Charakteristika linerarer Systeme Superpositionsprinzip: Sind x 1 und x Lösungen eines linearen Systems, dann ist auch α 1 x 1 + α x eine Lösung. Berühmte Beispiele:

Mehr

Klassifikation planarer Systeme

Klassifikation planarer Systeme Klassifikation planarer Systeme Dieser Vortrag thematisiert die Klassifikation planarer Systeme. Man klassifiziert planare Systeme um einen besseren Überblick über die verschiedenen Verhaltensweisen von

Mehr

x= f(x) p= U (x). (b) Zeigen Sie, dass auf jeder auf einem Intervall existierenden Lösung t x(t) die Energie E(t) := 1 2 p(t)2 + U(x(t)) x 1

x= f(x) p= U (x). (b) Zeigen Sie, dass auf jeder auf einem Intervall existierenden Lösung t x(t) die Energie E(t) := 1 2 p(t)2 + U(x(t)) x 1 Blatt 1 03042006 H-Ch Grunau Aufgabe 1 Betrachten Sie die Differentialgleichung x= f(x) mit f = U und U C 2 ((α, β), R) und schreiben Sie diese in der Form x= p, p= U (x) (a) Skizzieren Sie die Phasenportraits

Mehr

Das dynamische System bzw. der Fluss eines Vektorfeldes hat eine Reihe bemerkenswerter

Das dynamische System bzw. der Fluss eines Vektorfeldes hat eine Reihe bemerkenswerter 22 Kapitel 1. Gewöhnliche Differentialgleichungen Das dynamische System bzw. der Fluss eines Vektorfeldes hat eine Reihe bemerkenswerter Eigenschaften. 1.22 Satz Der Fluss ϕ:g R D D R n ist stetig. Ist

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen Woche 7. Nicht-lineare und linearisierte Systeme

Gewöhnliche Differentialgleichungen Woche 7. Nicht-lineare und linearisierte Systeme Gewöhnliche Differentialgleichungen Woche 7 Nicht-lineare und linearisierte Systeme d 71 Gleichgewichtspunkte Wir werden uns mit Anfangswertproblemen der folgenden Form beschäftigen: { y (t f (t, y(t,

Mehr

Blatt 1. Kinematik- Lösungsvorschlag

Blatt 1. Kinematik- Lösungsvorschlag Fakultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov Übungen zu Klassischer Mechanik (T1) im SoSe 011 Blatt 1. Kinematik- Lösungsvorschlag Aufgabe 1.1. Schraubenlinie Die

Mehr

Differentialgleichungen I

Differentialgleichungen I Differentialgleichungen I Michael Hinze (zusammen mit Peywand Kiani) Department Mathematik Schwerpunkt Optimierung und Approximation, Universität Hamburg 5. Januar 2009 Beachtenswertes Die Veranstaltung

Mehr

3 Zweidimensionale dynamische Systeme Oszillationen

3 Zweidimensionale dynamische Systeme Oszillationen 3 Zweidimensionale dynamische Systeme Oszillationen Lineare Systeme Ein Beispiel für ein zweidimensionales dynamisches System ist die Gleichung ẍ + ω 2 sin x = 0 für ebene Schwingungen eines reibungsfreien

Mehr

Phasenporträts linearer Systeme

Phasenporträts linearer Systeme Phasenporträts linearer Systeme Franziska Stocker Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Mathematische Modellierung (Wintersemester 8/9, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: Um eine reales Problem

Mehr

Theorie und Numerik von Differentialgleichungen mit MATLAB und SIMULINK. K. Taubert Universität Hamburg SS08

Theorie und Numerik von Differentialgleichungen mit MATLAB und SIMULINK. K. Taubert Universität Hamburg SS08 Theorie und Numerik von Differentialgleichungen mit MATLAB und SIMULINK K. Taubert Universität Hamburg SS8 Linearisierung 2 LINEARISIERUNG und das VERHALTEN VON LÖSUNGEN NICHTLINEARER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

Mehr

Rückblick auf die letzte Vorlesung

Rückblick auf die letzte Vorlesung Rückblick auf die letzte Vorlesung Lineare Differentialgleichungen Ausblick auf die heutige Vorlesung Lineare autonome Differentialgleichungen 2 Bestimmung des Fundamentalsystems 3 Jordansche Normalform

Mehr

4 Autonome Systeme und Erste Integrale

4 Autonome Systeme und Erste Integrale 4 Autonome Systeme und Erste Integrale 17 4 Autonome Systeme und Erste Integrale 4.1 Autonome Systeme haben die Form ẋ = v(x) (1) mit lokal Lipschitz-stetigen Vektorfeldern v C(D, K n ). a) Man kann v

Mehr

Rückblick auf die letzte Vorlesung

Rückblick auf die letzte Vorlesung Rückblick auf die letzte Vorlesung 1 Lineare autonome Differentialgleichungen 2 Bestimmung des Fundamentalsystems 3 Jordansche Normalform 4 Reelle Fundamentalsysteme Ausblick auf die heutige Vorlesung

Mehr

4.7 Lineare Systeme 1. Ordnung

4.7 Lineare Systeme 1. Ordnung 3. Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung lautet damit yx = y hom x + y inh x = c x + c 2 x + 8 x + 4 xlnx2 4 xlnx = C x + C 2 x + 4 xlnx2 4 xlnx. Wir haben c 2 + 8 zu C 2 zusammengefasst.

Mehr

Kurze Einführung zu Stabilität bei Differentialgleichungen und Einschrittverfahren

Kurze Einführung zu Stabilität bei Differentialgleichungen und Einschrittverfahren Kurze Einführung zu Stabilität bei Differentialgleichungen und Einschrittverfahren Was sind typische qualitative Aussagen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen der Form x (t) = f(t, x)? (1) 1. Andere

Mehr

Stabilität linearer Differentialgleichungssysteme 1-1

Stabilität linearer Differentialgleichungssysteme 1-1 Stabilität linearer Differentialgleichungssysteme Ein lineares homogenes Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten u = Au, u = (u 1,..., u n ) t, ist Stabilität linearer Differentialgleichungssysteme

Mehr

1.6 Stabilität von Gleichgewichtslagen

1.6 Stabilität von Gleichgewichtslagen 40 Kapitel 1. Gewöhnliche Differentialgleichungen Schauen wir uns Gradientenvektorfelder noch einmal genauer an. Ist f:d R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion in zwei Variablen, definiert auf

Mehr

Dynamische Systeme eine Einführung

Dynamische Systeme eine Einführung Dynamische Systeme eine Einführung Seminar für Lehramtstudierende: Mathematische Modelle Wintersemester 2010/11 Dynamische Systeme eine Einführung 1. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen 2. Flüsse,

Mehr

Flüsse, Fixpunkte, Stabilität

Flüsse, Fixpunkte, Stabilität 1 Flüsse, Fixpunkte, Stabilität Proseminar: Theoretische Physik Yannic Borchard 7. Mai 2014 2 Motivation Die hier entwickelten Formalismen erlauben es, Aussagen über das Verhalten von Lösungen gewöhnlicher

Mehr

Seminar Gewöhnliche Differentialgleichungen

Seminar Gewöhnliche Differentialgleichungen Seminar Gewöhnliche Differentialgleichungen Planare Systeme II Einleitung Dieser Vortrag beschäftigt sich mit unterschiedlichen, allgemeinen Lösungen von Differentialgleichungssystemen und ihrer graphischen

Mehr

6. Lineare DGL-Systeme erster Ordnung

6. Lineare DGL-Systeme erster Ordnung HJ Oberle Differentialgleichungen I WiSe 22/3 6 Lineare DGL-Systeme erster Ordnung A Allgemeines Wir betrachten ein lineares DGL System erster Ordnung y (t = A(t y(t + b(t (6 und setzen voraus, dass die

Mehr

B. Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben

B. Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben B. Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben B.. Lösungen zum Kapitel B... Tutoraufgaben Lösungsskizze Wir gehen zuerst nach dem Lösungsverfahren vor. Schritt : Bestimmung der Lösung des homogenen DGL-Systems

Mehr

Kapitel 7. Topologische Äquivalenz. 7.1 Strukturelle Stabilität

Kapitel 7. Topologische Äquivalenz. 7.1 Strukturelle Stabilität Kapitel 7 Topologische Äquivalenz 7.1 Strukturelle Stabilität Wir betrachten in diesem Abschnitt C 1 -Vektorfelder auf kompakten Mannigfaltigkeiten, oder aber Lipschitz stetige Vektorfelder auf einem Gebiet

Mehr

14 Ljapunov-Funktionen

14 Ljapunov-Funktionen 14 Ljapunov-Funktionen 67 14 Ljapunov-Funktionen 14.1 Gradientenfelder. a Ein Vektorfeld v C 1 D, R n besitze ein Potential U C 2 D, R, d.h. es sei v = gradu. Dann ist Dvx = HUx symmetrisch, und man hat

Mehr

Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik. SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierung am

Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik. SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierung am Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierung am 31.03.017 Arbeitszeit: 150 min Name: Vorname(n): Matrikelnummer: Note: Aufgabe

Mehr

Lösung - Schnellübung 13

Lösung - Schnellübung 13 D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 7 Dr. Andreas Steiger Lösung - Schnellübung 3. Gegeben sei die Differentialgleichung y + λ 4 y + λ y = 0. Für welche Werte des reellen Parameters λ gibt es eine von Null verschiedene

Mehr

Parameterdef. an nichtl. Zweipolkennl.

Parameterdef. an nichtl. Zweipolkennl. Parameterdef. an nichtl. Zweipolkennl. nichtlin. Zweipole Typen von Approximationsfunktionen KENNLINIENAPPROXIMATION Rektifikationsmethode y 5α 4α FUNKTION β < β > y = αx β β = 3α 2α α β < β =.5.5 2 2.5

Mehr

Differentialgleichungen für Ingenieure WS 06/07

Differentialgleichungen für Ingenieure WS 06/07 Differentialgleichungen für Ingenieure WS 6/7 7. Vorlesung Michael Karow Themen heute:. Die rechte Seite einer DGL als Vektorfeld.. Stabilität Die Ableitung einer Kurve Sei J R ein Intervall und y : J

Mehr

Analysis 3. Vorlesungsausarbeitung zum WS 2001/02. von Prof. Dr. Klaus Fritzsche. Inhaltsverzeichnis

Analysis 3. Vorlesungsausarbeitung zum WS 2001/02. von Prof. Dr. Klaus Fritzsche. Inhaltsverzeichnis Bergische Universität Gesamthochschule Wuppertal Fachbereich Mathematik Analysis 3 Kapitel 6 Dynamische Systeme Vorlesungsausarbeitung zum WS 2001/02 von Prof. Dr. Klaus Fritzsche Inhaltsverzeichnis 1

Mehr

Die inhomogene Differentialgleichung höherer Ordnung.

Die inhomogene Differentialgleichung höherer Ordnung. Die inhomogene Differentialgleichung höherer Ordnung. Ist das Funktionensystem (y 1,..., y n ) ein Fundamentalsystem, so ist die Matrix Y(t) = y (0) 1... y n (0). y (n 1) 1... y n (n 1) eine Fundamentalmatrix

Mehr

Zusatzmaterial zu Kapitel 6

Zusatzmaterial zu Kapitel 6 ZU KAPITEL 62: METHODEN ZUR STABILITÄTSPRÜFUNG Zusatzmaterial zu Kapitel 6 Zu Kapitel 62: Methoden zur Stabilitätsprüfung Einleitung Bei der Feststellung der asymptotischen Stabilität (siehe Kapitel 63)

Mehr

Lösungsvorschlag zur Nachklausur zur Analysis

Lösungsvorschlag zur Nachklausur zur Analysis Prof Dr H Garcke, D Depner SS 09 NWF I - Mathematik 080009 Universität Regensburg Lösungsvorschlag zur Nachklausur zur Analysis Aufgabe Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und berechnen Sie

Mehr

2. Übung: Lineare dynamische Systeme

2. Übung: Lineare dynamische Systeme 2. Übung: Lineare dynamische Systeme Aufgabe 2.. Gegeben sind die beiden autonomen Systeme und x (2.) {{ A 2 2 x. (2.2) {{ A 2 Berechnen Sie die regulären Zustandstransformationen x = V z und x = V 2 z,

Mehr

4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen

4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen 7 4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen Die Laplace-Transformation wird gerne benutzt, um lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten y n + a n y n +... + a y + a 0 y ft zu lösen,

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen Aufgaben für das Seminar und zum selbständigen Üben 22. Januar 2018 Vorbereitende Übungen Aufgabe 1: Bestimmen Sie die Isoklinen zu den folgenden Differentialgleichungen

Mehr

Dynamik von Populationsmodellen

Dynamik von Populationsmodellen Michael von Wenckstern Analysis bei Prof. Dr. Wegert Gleichgewichte Stabilität Phasendiagramme 11. Januar 2010 Gliederung Einleitung Eindimensionale Dynamikanalyse von Iterationsmodellen Ziel Fixpunkte

Mehr

Lineare Systeme 1. Ordnung

Lineare Systeme 1. Ordnung KAPITEL 7 Lineare Systeme. Ordnung 7. Allgemeine Aussagen über lineare Systeme. Ordnung...... 235 7.2 Homogene lineare Systeme. Ordnung mit konstanten Koeffizienten237 7.3 Inhomogenes System. Ordnung mit

Mehr

Stabilität von Lösungen gewöhnlicher Dierentialgleichungen (Linearisierung-Methode)

Stabilität von Lösungen gewöhnlicher Dierentialgleichungen (Linearisierung-Methode) Stabilität von Lösungen gewöhnlicher Dierentialgleichungen (Linearisierung-Methode) Seminar Analysis III (SoSe 2013) Dozent: JP Dr. Tomas Dohnal Tim Lanfermann 01. Juli 2013 1 1 Überblick In dieser Ausarbeitung

Mehr

1 Einleitung. 1.1 Ablauf

1 Einleitung. 1.1 Ablauf 1 Einleitung 1.1 Ablauf Einleitung Zentrale Unterräume in regulären Netzwerken Lösungszweige Bifurkationen von stabilen, synchronen Lösungen Ziel: Zeigen, dass eine Kodimension 1 Bifurkation von einem

Mehr

Der Duffing-Oszillator

Der Duffing-Oszillator 11.04.2006 Inhalt Inhalt Erwartung im stationären Fall: eine instabile Ruhelage, zwei asymptotisch stabile Ruhelagen. Inhalt Erwartung im stationären Fall: eine instabile Ruhelage, zwei asymptotisch stabile

Mehr

Lösungen zur Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT

Lösungen zur Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT Prof. N. Hungerbühler ETH Zürich, Winter 6 Lösungen zur Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT. Hinweise zur Bewertung: Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch; machen Sie ein Kreuzchen in das entsprechende

Mehr

Klausur: Differentialgleichungen Version mit Lösungen

Klausur: Differentialgleichungen Version mit Lösungen Universität Kassel Fachbereich 10/16 Dr. Sebastian Petersen 16.03.2016 Klausur: Differentialgleichungen Version mit Lösungen Name: Vorname: Matrikelnummer: Versuch: Unterschrift: Bitte fangen Sie für jede

Mehr

Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe / Dr Hanna Peywand Kiani 722 Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lineare Differentialgleichungssysteme,

Mehr

Lineare Differenzialgleichungssysteme

Lineare Differenzialgleichungssysteme 16 Lineare Differenzialgleichungssysteme Eine lineare Differenzialgleichung auf dem R n ist von der Form ẋ = Ax mit einer reellen n n-matrix A. Ausgeschrieben handelt es sich um ein System von n gekoppelten

Mehr

Lineare Systeme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Lineare Systeme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Lineare Systeme. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Wir betrachten ẋ = Ax + b(t) () mit A R n n und b( ) C (I, R n ) und die dazugehörige homogene Gleichung Ansatz: ẋ = Ax. () x(t) = ce λt mit c C n,

Mehr

3. Lineare dynamische Systeme

3. Lineare dynamische Systeme 3 Lineare dynamische Systeme Im Kapitel 11 wurde bereits erwähnt, dass die Wahl der Zustandsgrößen keinesfalls eindeutig ist (siehe auch Aufgabe 16) Mit Hilfe einer regulären Zustandstransformation der

Mehr

Ana-2 1. Ss n + 1 < t 1 n, 1. eine Treppenfunktion, eine Regelfunktion, oder keins von beidem?

Ana-2 1. Ss n + 1 < t 1 n, 1. eine Treppenfunktion, eine Regelfunktion, oder keins von beidem? Ana-2 1 Ss 218 11.4.18 Votieraufgaben 1 Ist f : [a,b] R eine Regelfunktion und φ : R R stetig, so ist auch φ f eine Regelfunktion. 2 Sei f : [a,b] R stetig. Dann existiert zu jedem ε > ein δ >, so dass

Mehr

Basisprüfung, Gruppe A Analysis I/II

Basisprüfung, Gruppe A Analysis I/II Offene Aufgaben. Jeder der folgenden sieben offenen Aufgaben ist eine einzelne thematisch verwandte Single Choice-Aufgabe vorangestellt. Beantworten Sie die Single Choice Aufgabe auf dem Antwortzettel.

Mehr

Outline. 1 Anwendungen. 2 Trennung der Variablen. 3 Variation der Konstanten. 4 Differentialgleichungssysteme

Outline. 1 Anwendungen. 2 Trennung der Variablen. 3 Variation der Konstanten. 4 Differentialgleichungssysteme Outline 1 Anwendungen 2 Trennung der Variablen 3 Variation der Konstanten 4 Differentialgleichungssysteme 5 Lösungsansatz vom Typ der rechten Seite Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für

Mehr

Gruppe II Lineare Algebra

Gruppe II Lineare Algebra Pflichtbereichs Klausur in der Lehrerweiterbildung am 7.Juni 22 Bearbeiten Sie 3 der folgenden 6 Aufgaben, dabei aus jeder der beiden Gruppen (Lineare Algebra und Analysis) mindestens eine Aufgabe! Zur

Mehr

Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 14/15 Dr. Hanna Peywand Kiani 27.01.2015 Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Die ins Netz gestellten

Mehr

(a), für i = 1,..., n.

(a), für i = 1,..., n. .4 Extremwerte Definition Sei M R n eine Teilmenge, f : M R stetig, a M ein Punkt. f hat in a auf M ein relatives (oder lokales) Maximum bzw. ein relatives (oder lokales) Minimum, wenn es eine offene Umgebung

Mehr

Ordnen Sie die Bilder den zugehörigen Funktionen z = f(x, y) zu:

Ordnen Sie die Bilder den zugehörigen Funktionen z = f(x, y) zu: 6. Februar 2012 Lösungshinweise Theorieteil Aufgabe 1: Die folgenden Bilder zeigen drei Niveaumengen N 0 {(x, y) R 2 : f(x, y) 0}: Ordnen Sie die Bilder den zugehörigen Funktionen z f(x, y) zu: (a) z (x

Mehr

1. Aufgabe 11 Punkte. Musterlösung DGL f. Ing., 10. April Aus

1. Aufgabe 11 Punkte. Musterlösung DGL f. Ing., 10. April Aus Musterlösung DGL f. Ing., 0. April 204. Aufgabe Punkte Aus 2 λ 0 λ 0 = 0 2 λ = 0 = (2 λ)( λ) 2 ( λ)( ) = (2 λ)λ 2 λ = λ((2 λ)λ ) = λ(2λ λ 2 ) = λ( 2λ+λ 2 +) = λ(λ ) 2 ergeben sich der der einfache Eigenwert

Mehr

D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 26. ẋ 1 = x 1 + 2x ẋ 2 = 2x 1 + x 2

D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 26. ẋ 1 = x 1 + 2x ẋ 2 = 2x 1 + x 2 D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 07 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 6. Es ist das folgende autonome System ẋ = x + x + 3 ẋ = x + x von linearen Differenzialgleichungen. Ordung gegeben. Welche der folgenden

Mehr

Klausur Modellbildung und Simulation (Prof. Bungartz) SS 2007 Seite 1/7

Klausur Modellbildung und Simulation (Prof. Bungartz) SS 2007 Seite 1/7 Klausur Modellbildung und Simulation (Prof. Bungartz) SS 2007 Seite /7 Matrikelnummer: Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen (3 + 3 = 6 Pkt.) Die Abbildung zeigt die Richtungsfelder von drei Differentialgleichungssystemen

Mehr

Inhaltsverzeichnis INHALTSVERZEICHNIS 1

Inhaltsverzeichnis INHALTSVERZEICHNIS 1 INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis 1 Die Parabel 2 1.1 Definition................................ 2 1.2 Bemerkung............................... 3 1.3 Tangenten................................ 3 1.4

Mehr

Übungen zu Differentialgleichungen (WiSe 12/13)

Übungen zu Differentialgleichungen (WiSe 12/13) Übungen zu Differentialgleichungen WiSe 2/) Blatt 6 22 November 202 Gruppenübung Aufgabe G Sei f t, p) := p 5, t, p) R 2 Gegeben sei das Anfangswertproblem ẋ = f t,x), x0) = ) Bestimmen sie das maximale

Mehr

Dynamische Systeme in der Ebene

Dynamische Systeme in der Ebene Dynamische Systeme in der Ebene 1 Anfangswertprobleme Differentialgleichungen sind Gleichungen zwischen einer (gesuchten) Funktion und deren Ableitung(en). Sie spielen bei der Modellierung von zeitabhängigen

Mehr

PROBEPRÜFUNG MATHEMATIK I UND II

PROBEPRÜFUNG MATHEMATIK I UND II PROBEPRÜFUNG MATHEMATIK I UND II für die Studiengänge Agrar-, Erd-, Lebensmittelund Umweltnaturwissenschaften Für diese Probeprüfung sind ca 4 Stunden vorgesehen. Die eigentliche Prüfung wird signifikant

Mehr

y hom (x) = C e p(x) dx

y hom (x) = C e p(x) dx Gewöhnliche Differentialgleichungen F (x, y, y,..., y n ) = 0 Gleichung, die die Veränderliche x sowie die Funktion y = y(x) und ihre Ableitungen y,..., y n beinhaltet. Klassifiaktion: implizit F (...)

Mehr

Topologie und Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher, SS 2009 Modulprüfung/Abschlussklausur. Aufgabe Punkte

Topologie und Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher, SS 2009 Modulprüfung/Abschlussklausur. Aufgabe Punkte Universität München 22. Juli 29 Topologie und Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher, SS 29 Modulprüfung/Abschlussklausur Name: Aufgabe 2 3 4 Punkte Gesamtpunktzahl: Gesamturteil: Schreiben Sie unbedingt

Mehr

Systeme gewöhnlicher Di erentialgleichungen. Ordnung

Systeme gewöhnlicher Di erentialgleichungen. Ordnung Systeme gewöhnlicher Di erentialgleichungen. Ordnung Systeme. Ordnung De nition Für eine gegebene n n-matrix A(x) =(a ij (x)) n i,j=, deren Elemente Funktionen von x sind und einer gegebenen rechten Seite

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen Woche 10. Spezielles für zweite Ordnung

Gewöhnliche Differentialgleichungen Woche 10. Spezielles für zweite Ordnung d Gewöhnliche Differentialgleichungen Woche 0 Spezielles für zweite Ordnung 0. Phasenebene Wenn wir die autonome Differentialgleichung zweiter Ordnung u (t = f (u(t, u (t (0. studieren wollen, ist ein

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen Mitschrift der Vorlesung Gewöhnliche Differentialgleichungen von Prof. Dr. George Marinescu an der Universität zu Köln im WS 14/15. Kann Fehler enthalten. Veröffentlicht

Mehr

5.4 Affine Abbildungen in C 2 und R 2

5.4 Affine Abbildungen in C 2 und R 2 5.4 Affine Abbildungen in C 2 und R 2 Notation. Wir erinnern an die affine Ähnlichkeit von Matrizen (5.3.8): L 1, L 1 AM n (K). Dann: L 1 a L 2 falls C AGL n (K) mit C 1 L 2 C = L 1. Die aus 3.2.9 bekannte

Mehr

2.9 Gedämpfter Harmonischer Oszillator

2.9 Gedämpfter Harmonischer Oszillator 72 KAPITEL 2. DYNAMIK EINES MASSENPUNKTES 2.9 Gedämpfter Harmonischer Oszillator In diesem Abschnitt wollen wir die Bewegung eines Massenpunktes betrachten, der sich in einer Raumrichtung x in einer Harmonischen

Mehr

Tutorium Mathematik II M WM

Tutorium Mathematik II M WM Tutorium Mathematik II M WM 9.6.7 Lösungen Lösen Sie folgende Systeme von Differentialgleichungen der Form x = A x + b mit. A = 6 und b = et. e t Hinweis: Die Eigenwerte und -vektoren der Matrix A lauten:

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen Skript zur Vorlesung Gewöhnliche Differentialgleichungen WS 216/17 Peter Junghanns Hinweis: Das vorliegende Skript stellt nur ein Gerüst zu den Inhalten der Vorlesung dar. Die Vorlesung selbst bietet weiterführende

Mehr

Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 14/15 Dr. Hanna Peywand Kiani 06.07.2015 Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Die ins Netz gestellten

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastian Schwarz SS 5 4.5.5 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt

Mehr

Bachelorarbeit im Lehrgebiet Analysis

Bachelorarbeit im Lehrgebiet Analysis Fakultät für Mathematik und Informatik der FernUniversität Hagen Bachelorarbeit im Lehrgebiet Analysis Der Satz von Poincaré-Bendixson und Anwendungen von Juliane Lebert Matrikelnummer: 8917132 am 17.

Mehr

y = A(x) y + b(x). (1) y = A(x) y (2)

y = A(x) y + b(x). (1) y = A(x) y (2) 73 5.2 Lineare Systeme Sei weiterhin IK = C oder IK = IR. Seien = I IR ein offenes Intervall, x 0 I, y 0 IK n, A: I IK n n und b: I IK n stetige matrix- bzw vektorwertige Funktionen. Wir betrachten komplexe

Mehr

Lineare Differentialgleichungen

Lineare Differentialgleichungen Technische Universität München Thomas Reifenberger Vorlesung, Kapitel 4 Repetitorium Analysis I für Physiker Analysis I Lineare Differentialgleichungen 1 Das Matrixexponential Definition 1.1 Sei A C n

Mehr

Institut für Elektrotechnik und Informationstechnik. Aufgabensammlung zur. Systemtheorie

Institut für Elektrotechnik und Informationstechnik. Aufgabensammlung zur. Systemtheorie Institut für Elektrotechnik und Informationstechnik Aufgabensammlung zur Systemtheorie Prof. Dr. techn. F. Gausch Dipl.-Ing. C. Balewski Dipl.-Ing. R. Besrat 05.04.2013 Übungsaufgaben zur Systemtheorie

Mehr

Ökologische Gleichungen für zwei Spezies

Ökologische Gleichungen für zwei Spezies Ökologische Gleichungen für zwei Spezies Florian Kern 06.Dezember 2011 Josef Hofbauer and Karl Sigmund: Evolutionary Games and Population Dynamics, Cambridge, Kapitel 4 Inhaltsverzeichnis 1 Satz von der

Mehr

2.2. Lineare Systeme. a) A ist diagonalisierbar, oder b) A ist nicht diagonalisierbar.

2.2. Lineare Systeme. a) A ist diagonalisierbar, oder b) A ist nicht diagonalisierbar. .. Lineare Systeme deta < 0 = 0 > 0 SpA Abbildung.9.: Gebiete mit unterschiedlicher Dynamik eines zweidimensionalen linearen dynamischen Systems entsprechend dem Vorzeichen der Diskriminante. a) A ist

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15): Differential und Integralrechnung 6

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15): Differential und Integralrechnung 6 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 204/5): Differential und Integralrechnung 6 6. (Frühjahr 2009, Thema, Aufgabe 3) Sei r > 0. Berechnen Sie die Punkte auf der Parabel y = x 2 mit dem

Mehr

Seminar Gewöhnliche Differentialgleichungen

Seminar Gewöhnliche Differentialgleichungen Seminar Gewöhnliche Differentialgleichungen Dynamische Systeme I 1 Einleitung 1.1 Nichtlineare Systeme In den vorigen Vorträgen haben wir uns mit linearen Differentialgleichungen beschäftigt. Nun werden

Mehr

KLAUSUR ZUR MATHEMATIK FÜR PHYSIKER MODUL MATHB

KLAUSUR ZUR MATHEMATIK FÜR PHYSIKER MODUL MATHB KLAUSUR ZUR ATHEATIK FÜR PHYSIKER ODUL ATHB In jeder Aufgabe können Punkte erreicht werden Es zählen die 9 bestbewerteten Aufgaben Die Klausur ist mit 45 Punkten bestanden Die Bearbeitungszeit beträgt

Mehr

Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik. SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierung am

Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik. SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierung am Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierung am 8.7.211 Arbeitszeit: 12 min Name: Vorname(n): Matrikelnummer: Note: Aufgabe

Mehr

1.3 Flüsse. Y (t) = f(y(t))

1.3 Flüsse. Y (t) = f(y(t)) 18 Kapitel 1. Gewöhnliche Differentialgleichungen 1.3 Flüsse Sei jetzt F:D R n R n ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann erfüllt F die Voraussetzungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes. Das

Mehr

Gleichgewicht in nichtlinearen Systemen

Gleichgewicht in nichtlinearen Systemen Gleichgewicht in nichtlinearen Systemen 15.Juni.2015 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Einleitende Beispiele 1 3 Nichtlineare Quellen und Senken 4 4 Nichtlineare Sättel 6 5 Stabilität und Gradientensysteme

Mehr

5.4 Affine Abbildungen in C 2 und R 2

5.4 Affine Abbildungen in C 2 und R 2 5.4 Affine Abbildungen in C 2 und R 2 Notation. Wir erinnern an die affine Ähnlichkeit von Matrizen (5.3.(ii)): L, L n (K). Dann: L a L 2 falls C AGL n (K) mit C L 2 C = L. Die aus 3.2.9 bekannte übliche

Mehr

Klausur Mathematik I

Klausur Mathematik I Technische Universität Dresden 15. August 2008 Institut für Numerische Mathematik Dr. K. Eppler Klausur Mathematik I für Studierende der Fakultät Maschinenwesen (mit Lösungshinweisen) Name: Matrikelnummer.:

Mehr

Differentialgleichungen für Ingenieure Lösung Klausur Juli

Differentialgleichungen für Ingenieure Lösung Klausur Juli Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 0 Dozentin Dr Penn-Karras Assistentin Dr C Papenfuß Differentialgleichungen für Ingenieure Lösung Klausur Juli Rechenteil Aufgabe 8

Mehr

Dierentialgleichungen 2. Ordnung

Dierentialgleichungen 2. Ordnung Dierentialgleichungen 2. Ordnung haben die allgemeine Form x = F (x, x, t. Wir beschränken uns hier auf zwei Spezialfälle, in denen sich eine Lösung analytisch bestimmen lässt: 1. reduzible Dierentialgleichungen:

Mehr

Bifurkationstheorie. 1. Verzweigungen stationärer Zustände

Bifurkationstheorie. 1. Verzweigungen stationärer Zustände Bifurkationstheorie 1. Verzweigungen stationärer Zustände Die Lage, Anzahl und Stabilität der stationären Zustände von nichtlinearen Systemen hängt in der Regel noch von bestimmten Systemparametern ab.

Mehr