Prüfung eines Datenbestandes
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- Leopold Wilhelm Lorentz
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1 Prüfung eines Datenbestandes auf Abweichungen einzelner Zahlen vom erwarteten mathematisch-statistischen Verhalten, die nicht mit einem Zufall erklärbar sind (Prüfung auf Manipulationen des Datenbestandes) Inhaltsverzeichnis 1. Grundlagen der Auswertung Auswertung der ersten führenden Ziffer Auswertung der ersten beiden führenden Ziffern Auswertung der Vor- und Nachkomma-Ziffer ausgewertete Daten mit Kennzeichnung besonders auffälliger Zahlen Schlussfolgerungen aus der Auswertung Anhang Ziffern-Wahrscheinlichkeiten lt. Benford-Verteilung Chi-Quadrat-Verteilung der verwendeten Freiheitsgrade Z-Werte zur Normalverteilung für einige Wahrscheinlichkeiten...16 Bernd Köppen: Prüfung eines Datenbestandes Seite 1 / 16
2 1. Grundlagen der Auswertung Für die Prüfung der Daten werden die statistischen Gesetzmäßigkeiten: der Benford-Verteilung der ersten beiden Ziffern, die Normalverteilung der ersten beiden Vor- und Nachkommstellen, der Chi-Quadrat-Test sowie der Gaußsche Z-Test angewendet. Für die Auswertung wurde lediglich eine Aufzählung der zur Verfügung gestellten Zahlen verwendet. Somit konnten Beziehungen zu anderen Bezugsdaten (z.b. Rechnungs-, Lieferanten-, Bestell-Nummern usw.) nicht geprüft werden. Es wurden 100% der Daten ausgewertet, d.h., eine mögliche Filterung der Daten wurde nicht vorgenommen. Signifikante Abweichungen der Häufigkeit einzelner Zahlen von der erwarteten Häufigkeit entsprechend der statistischen Gesetzmäßigkeiten werden farblich gekennzeichnet. In der Auswertung wird von einer 95%igen Sicherheit der Aussage, d.h., einer Irrtums- Wahrscheinlichkeit von 5%, ausgegangen. In den Grafiken sind diejenigen Ziffern / Zahlen mit Rot markiert, deren Häufigkeit in den ausgewerteten Daten mit einer Sicherheit von 95% nicht zufällig entstanden sein kann. Bernd Köppen: Prüfung eines Datenbestandes Seite 2 / 16
3 2. Auswertung der ersten führenden Ziffer Vorgehensweise Aus dem Datenbestand wird ermittelt, wie oft die Ziffern 0-9 als erste Ziffer vorkommen. Aus der erwarteten Häufigkeit pro Ziffer und der vorgefundenen Häufigkeit wird ein Chi- Quadrat Wert ermittelt. Die Summe der einzelnen Chi-Quadrat-Werte ist größer als der zur Irrtums- Wahrscheinlichkeit gehörende Wert. Für die Gesamtheit aller Daten kann festgestellt werden, dass die in den Daten vorgefundene Häufigkeit der ersten Ziffern mit einer Sicherheit von 95% nicht mit zufälligen Abweichungen erklärbar ist. Für jede einzelne Ziffer wurde mit dem Z-Test ermittelt, ob die Differenz aus erwarteter und vorgefundener Häufigkeit noch zufällig entstanden sein kann. Für die Ziffern 3, 8 und 9 kann festgestellt werden, dass die Häufigkeit dieser Ziffern zufällig ist. Die Ziffern 1, 2 und 7 wurden zu selten verwendet, als dass die Häufigkeit dieser Ziffern noch mit einem Zufall zu erklären wäre. Die Ziffern 4, 5 und 6 wurden dagegen häufiger als erwartet verwendet. Tabelle: Auswertung der 1. führenden Ziffer Bernd Köppen: Prüfung eines Datenbestandes Seite 3 / 16
4 Grafik: Auswertung der 1. führenden Ziffer Bernd Köppen: Prüfung eines Datenbestandes Seite 4 / 16
5 3. Auswertung der ersten beiden führenden Ziffern Aus dem Datenbestand wird ermittelt, wie oft die Ziffern als führende Ziffern verwendet wurden. Wie zu den führenden Ziffern 0-9 wurde per Chi-Quadrat- und Z-Test auf eine Signifikanz der Abweichungen getestet. Zu den rot und grün markierten Zahlen kann festgestellt werden, dass die in den Daten vorgefundene Häufigkeit der ersten Ziffern mit einer Sicherheit von 95% nicht mit zufälligen Abweichungen erklärbar ist. die rot markierten Zahlen wurden zu selten verwendet, die grün markierten Zahlen hingegen bevorzugt. In nachfolgenden Prüfungen ist zu ermitteln, warum die Ziffern 1 und 2 seltener und die Zahlen im Bereich von zu häufig verwendet wurden. Tabelle: Auswertung der ersten beiden führenden Ziffern Bernd Köppen: Prüfung eines Datenbestandes Seite 5 / 16
6 Bernd Köppen: Prüfung eines Datenbestandes Seite 6 / 16
7 Grafik: Auswertung der ersten beiden führenden Ziffern Bernd Köppen: Prüfung eines Datenbestandes Seite 7 / 16
8 4. Auswertung der Vor- und Nachkomma-Ziffer Aus dem Datenbestand wird ermittelt, wie oft die Ziffern 0-9 als Vor- und Nachkommaziffer verwendet wurden. Wie zu den führenden Ziffern 0-9 wurde per Chi-Quadrat- und Z-Test auf eine Signifikanz der Abweichungen getestet. Die Summen aus den einzelnen Chi-Quadrat-Werten liegen deutlich über den zum Signifikanzniveau zulässigen Wert. Die Häufigkeit einzelner Ziffern an diesen Ziffern-Positionen weicht ebenfalls zu deutlich von den üblichen Häufigkeiten ab. Bernd Köppen: Prüfung eines Datenbestandes Seite 8 / 16
9 Bernd Köppen: Prüfung eines Datenbestandes Seite 9 / 16
10 Bernd Köppen: Prüfung eines Datenbestandes Seite 10 / 16
11 Bernd Köppen: Prüfung eines Datenbestandes Seite 11 / 16
12 5. ausgewertete Daten mit Kennzeichnung besonders auffälliger Zahlen In der nachfolgenden Übersicht sind Auszüge des ausgewerteten Datenbestandes dargestellt. In der rechten Spalte sind Zeilen mit rot markiert, in denen Werte vorhanden sind, zu denen es mehrere Auffälligkeiten gibt. Bernd Köppen: Prüfung eines Datenbestandes Seite 12 / 16
13 6. Schlussfolgerungen aus der Auswertung Im Datenbestand gibt es beim Vergleich der erwarteten und tatsächlich vorgefundenen Häufigkeiten Abweichungen, die nicht mehr einem Zufall erklärbar sind. Da diese Abweichungen an allen geprüften Ziffern-Stellen auftreten, besteht die begründete Vermutung, dass die Daten bewusst geändert wurden. In nachfolgenden Prüfungen wäre zu ermitteln, warum einzelne Zahlenbereiche zu oft vorkommen. Bernd Köppen: Prüfung eines Datenbestandes Seite 13 / 16
14 7. Anhang 7.1. Ziffern-Wahrscheinlichkeiten lt. Benford-Verteilung führende 1.Ziffer (x) Wahrscheinlichkeit P für das Auftreten der Ziffer: P = LOG 10 (1+1/x) 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Bernd Köppen: Prüfung eines Datenbestandes Seite 14 / 16
15 48 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Bernd Köppen: Prüfung eines Datenbestandes Seite 15 / 16
16 7.2. Chi-Quadrat-Verteilung der verwendeten Freiheitsgrade Freiheitsgrad P = (1 a), a = 0,05 P = (1 a), a = 0,01 P = (1 a), a = 0,01 1 3,841 6,635 10, ,991 9,210 13, ,815 11,345 16, ,488 13,277 18, ,070 15,086 20, ,592 16,812 22, ,067 18,475 24, ,507 20,090 26, ,919 21,666 27, ,307 23,209 29, Z-Werte zur Normalverteilung für einige Wahrscheinlichkeiten Beispiel-Fragestellung: Gesucht ist der z-wert, unterhalb dem 95% aller möglichen z-werte liegen. (Hinw.: 1-seitiger Test) Lösung: Es wird eine Wahrscheinlichkeit (1-a) gesucht, die möglichst nah an den Wert 0,95 herankommt. In der Tabelle der Standard-Normalverteilung sind das die Werte 0,9495 und 0,9505 mit den z-werten 1,64 und 1,65, durch Interpolation erhält man den gesuchten Wert z=1,645. Fläche (1-α) 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 z-wert 0,385 0,52 0,67 0,842 1,04 1,282 1,645 1,96 2,326 2,576 Bernd Köppen: Prüfung eines Datenbestandes Seite 16 / 16
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