Ergänzende Materialien zur Vorlesung Theoretische Mechanik, WS 2005/06

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1 Ergänzende Materialien zur Vorlesung Theoretische Mechanik, WS 2005/06 Dörte Hansen Seminar 8 1 d Alembertsches Prinzip und Lagrangegleichungen 1. Art Teil II 2 Das d Alembertsche Prinzip für N-Teilchensysteme Allgemeine Bemerkungen Bei der Untersuchung physikalischer Problemstellungen ergibt sich häufig die Situation, das die Bewegung der betrachteten Teilchen bestimmten Einschränkungen unterliegt. In solchen Fällen lassen sich die bekannten Bewegungsgleichungen der Newtonschen Mechanik nur schwer anwenden. Vielmehr müssen Wege gefunden, diese Einschränkungen an die Bewegungsfreiheit der Teilchen in die Betrachtung des Problems zu integrieren. Das vielleicht mächtigste (weil allgemeinste), aber leider auch häufig unpraktischste Werkzeug hierzu ist das d Alembertsche Prinzip. Zwangskräfte verrichten bei virtuellen Verrückungen keine Arbeit. Anstelle der Newtonschen Bewegungsgleichungen m i r i = F i, i = 1,..., N tritt ganz allgemeine die Summe N (m i r i F i ) δr i = 0. (1) Man beachte: nur die Summe als Ganzes verschwindet, nicht aber jeder einzelne Klammerausdruck. Die virtuellen Verrückungen δr i sind wie der Name schon sagt virtuell, d.h. keine realen Verrückungen. Sie sind instantan (δt = 0), und mit den Nebenbedingungen verträglich. Im allgemeinen sind die δr i nicht linear unabhängig. Für die vollständige Formulierung des d Alembertschen Prinzips ist die Angabe der Nebenbedingungen, die die Bewegungen der Teilchen einschränken, erforderlich. Ein lediglich 1

2 auf einer Kugeloberfläche beweglicher Massenpunkt zum Beispiel gehorcht der Nebenbedingung r 2 R 2 = 0. Man bezeichnet Nebenbedingungen, die in der Form impliziter Gleichungen g α (r 1,..., r N ; t) = 0, α = 1,... r < 3N (2) angegeben werden können, als holonome Nebenbedingungen. Es ist leicht einsehbar, dass es Nebenbedingungen gibt, die nicht in der Form von Gl. (2) angegeben werden können, sogenannte anholonome Nebenbedingungen. 2.1 Klassifizierung der Nebenbedingungen In vielen Situationen kann man zunächst lediglich eine lokale Aussage über die gültigen Nebenbedingungen machen. Die allgemeinste Form der Nebenbedingungen ist daher in differentieller Schreibweise gegeben: A α = 3N a iα dx i + a 0α dt = 0, α = 1,..., r. (3) Hierbei bezeichnet der Index α die Nebenbedingung, während i = 1,..., 3N die Koordinaten bezeichnet. Die Koeffizienten a iα können dabei von den Koordinaten r j und der Zeit abhängen. Der allgemeinen Form (3) sieht man a priori nicht an, ob damit eine holonome oder eine anholonome Nebenbedingung beschrieben wird. Die Frage, ob es sich um eine holonome und damit global gültige Nebenbedingung handelt ist gleichzusetzen mit der Frage nach der Integrierbarkeit von Gl. (3). Zur Vereinfachung der Schreibweise soll im folgenden a 0α = 0 angenommen werden, d.h. die Nebenbedingung A α sei nicht explizit zeitabhängig. Gleichung (3) ist offenbar genau dann integrierbar, wenn sich A α als totales Differential ausdrücken läßt, d.h. wenn bzw. A α! = df α = 3N f α x i dxi = 0 (4) a iα! = f α x i. (5) Die Funktion f α ist dann eine Konstante, d.h. sie entspricht gerade der schon bekannten Form holonomer Nebenbedingungen (2). Ist die Bedingung (4) bzw. (5) nicht erfüllt, so handelt es sich bei der in differentieller Form angegebenen Nebenbedingung A α um eine anholonome Nebenbedingung, die in der Regel erst dann integriert werden kann, wenn das zugrundeliegende physikalische Problem bereits gelöst ist. Bedingung (5) gibt uns mithin ein einfach zu überprüfendes Kriterium zur Unterscheidung holonomer und anholonomer Nebenbedingungen in die Hand. Da die zweiten Ableitungen der hypothetischen Funktion f α vertauschen sollen, finden wir a iα x j = 2 f α x j x i = 2 f α x i x j = a jα x i, 2

3 d.h. a iα x j = a jα x i i, j = 1,..., 3N A α = 3N a iα dx i holonome NB. (6) 2.2 Der Schlittschuhläufer Ein klassisches Beispiel für das Auftreten anholonomer Nebenbedingungen ist die Bewegung einer Schlittschuhkufe. Ein intuitiver Zugang ergibt sich durch die Beschreibung der Schittschuhkufe als Hantelmodell mit zwei gleichen Massen. Die Bewegung des Schlittschuhs kann dann in die Bewegung des Hantelschwerpunkts und eine Drehung der Hantel um den Schwerpunkt charakterisiert durch den Winkel ϕ beschrieben werden. Die ursprünglich vorhandenen sechs Freiheitsgrade dieses Zwei-Körperproblems werden durch Nebenbedingungen stark eingeschränkt: Eine offensichtlich holonome Nebenbedingung ist die Forderung, dass der Abstand der Hantelmassen konstant sein soll, g 1 = (r 1 r 2 ) 2 l 2 = 0. (7) Aus der Skizze wird aber noch eine zweite Nebenbedingung offensichtlich: bezeichnen wir mit r 0 den Schwerpunktsvektor, Mr 0 = 2mr 0 = m(r 1 + r 2 ), (8) so gibt die momentane Ausrichtung der Kufe die Nebenbedingung g 2 = dx 0 = x 1 x 2 = d(x 1 + x 2 ) dy 0 y 1 y 2 d(y 1 + y 2 ) (9) vor. Ausmultiplizieren führt auf die differentielle Form g 2 = (x 1 x 2 )(dy 1 + dy 2 ) (y 1 y 2 )(dx 1 + dx 2 ) = 0. (10) Wir wollen als erstes zeigen, dass es sich bei Gl. (10) um eine anholonome Nebenbedingung handelt. Um g 2 in die allgemeine Formulierung (3) zu überführen, setzen wir Dann ist z i = (x 1, x 2, y 1, y 2 ). g 2 = 4 a i dz i = (z 1 z 2 )(dz 3 + dz 4 ) (z 3 z 4 )(dz 1 + dz 2 ), d.h. a 1 = a 2 = (z 3 z 4 ), a 3 = a 4 = z 1 z 2. 3

4 Wenden wir das Kriterium (6) an, so ist z.b. a 1 z 3 = 1 a 3 z 1 = 1. Mit anderen Worten, g 2 läßt sich nicht als totales Differential darstellen, es handelt sich mithin um eine anholonome Nebenbedingung. Kommen wir nun zur Lösung des Schlittschuhproblems. Die Bewegungsgleichungen sind durch mẍ 1 = 2λ 1 (x 1 x 2 ) λ 2 (y 1 y 2 ), mẍ 2 = 2λ 1 (x 1 x 2 ) λ 2 (y 1 y 2 ), mÿ 1 = 2λ 1 (y 1 y 2 ) + λ 2 (x 1 x 2 ), mÿ 2 = 2λ 1 (y 1 y 2 ) + λ 2 (x 1 x 2 ) gegeben. Man kann dieses System leicht in ein System entkoppelter Differentialgleichungen umschreiben. Addition der entsprechenden Gleichungen führt auf während Subtraktion auf m(ẍ 1 + ẍ 2 ) = 2λ 2 (y 1 y 2 ), (11) m(ÿ 1 + ÿ 2 ) = 2λ 2 (x 1 x 2 ), (12) m(ẍ 1 ẍ 2 ) = 4λ 1 (x 1 x 2 ), (13) m(ÿ 1 ÿ 2 ) = 4λ 1 (y 1 y 2 ) (14) führt. Es ist bemerkenswert, dass (11) nur von der anholonomen Nebenbedingung g 2 abhängt, (13) hingegen nur von der holonomen Nebenbedingung g 1. Betrachten wir zunächst (13). Mit dem aus der Nebenbedingung g 1 folgenden Ansatz x 1 x 2 = l cos ϕ, y 1 y 2 = l sin ϕ wird aus dem Gleichungssystem (13) m ϕl cos ϕ = 4λ 1 cos ϕ bzw. m ϕl sin ϕ = 4λ 1 sin ϕ. Andererseits erhält man aus der zweiten zeitlichen Ableitung der Nebenbedingung g 1 sofort ϕ = 0, da 0 = g 1 = 2 [2(r 1 r 2 ) ( r 1 r 2 )] Daraus folgt sofort = 2 [ l 2 ϕ(cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) + l 2 ϕ( sin ϕ cos ϕ + sin ϕ cos ϕ) ] = 2l 2 ϕ. ϕ(t) = ωt + ϕ 0, (15) 4

5 mit anderen Worten, die Hantel rotiert gleichförmig um den Schwerpunkt. Kommen wir nun zum Gleichungssystem (11). Aus der Skizze lesen wir zunächst ab dy 0 tan ϕdx 0 = 0 bzw. ẏ 0 tan ϕẋ 0 = 0. Andererseits ergibt sich aus der Nebenbedingung g 2 bzw. ẍ 0 = ẏ0 ÿ 0 x 0 ẍ 0 ẋ 0 + ÿ 0 ẏ 0 = 1 2 d.h. das Geschwindigkeitsquadrat v 2 0 der Schwerpunktsbewegung ist eine Konstante. Damit muss aber gelten dv 2 0 dt = 0, ẋ 2 0 = v2 0 cos2 ϕ(t), ẏ 2 0 = v2 0 sin2 ϕ(t) bzw. ẋ 0 (t) = v 0 cos(ωt + ϕ 0 ), ẏ 0 (t) = v 0 sin(ωt + ϕ 0 ). Die Integration dieser Differentialgleichungen führt auf x 0 (t) = v 0 ω sin(ωt + ϕ 0) + c 1, y 0 (t) = v 0 ω cos(ωt + ϕ 0) + c 2, wobei die Konstanten c 1, c 2 und ϕ 0 noch aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden müssen. Speziell für erhalten wir die Lösung Die Bahnkurve ẏ 0 (0) = 0, ẋ 0 (0) = v 0, x 0 (0) = y 0 (0) = 0 x 0 (t) = v 0 sin ωt, ω y 0 (t) = v 0 (1 cos ωt), ω x 1 x 2 = l cos ωt, y 1 y 2 = l sin ωt. ( x ist eine Kreisbahn mit dem Radius v 0 /ω. y 0 v 0 ω ) 2 = v 2 0 ω 2 5

6 y PSfrag replacements y 2 m 2 y 0 ϕ y 1 m 1 x 1 x 0 x 2 x Abbildung 1: Hantelmodell eines Schlittschuhs (m 1 = m 2 = m). Fazit Je nach Wahl des Verhältnisses v 0 /ω kann man von einem willkürlichen, durch die Anfangsbedingungen festgelegten Punkt jeden Punkt der Ebene erreichen. Die anholonome Nebenbedingung g 2 schränkt die Zahl der freiheitsgrade nur lokal ein (keine Bewegung senkrecht zur momentanen Kufenrichtung möglich), nicht aber global. Generell gilt: Bei anholonomen Nebenbedingungen ist die Zahl der Freiheitsgrade im Kleinen (also lokal) als die Anzahl der Freiheitsgrade im Großen. 6