Vermessung, Modellierung und Bewertung des Erdreichwärmeübertragers beim Passiv-Solarhaus Cölbe. Diplomarbeit

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1 Vermessung, Modellierung und Bewertung des Erdreichwärmeübertragers beim Passiv-Solarhaus Cölbe Diplomarbeit von Stefan Beisel Fachbereich Physik Forschungsgruppe Solarenergie Philipps-Universität Marburg Marburg 1999

2 Es ist nicht genug zu wissen, man muß auch anwenden, es ist nicht genug zu wollen, man muß auch tun. Goethe

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4 Inhaltsverzeichnis 1 EINLEITUNG VERSUCHSAUFBAU Aufbau und Funktion des Erdreichwärmeübertragers Meßtechnik MODELLIERUNG VON ERDREICHWÄRMEÜBERTRAGERN Grundlagen Beschreibung des Erdreichs Wärmetransport im Erdreich Stoffwerte des Erdreiches Ungestörtes Erdreich Gestörtes Erdreich Beschreibung des Erdreiches unter der Bodenplatte Meteorologische Daten Formfaktorenmodell Numerisches Modell mit kartesischen Koordinaten Numerisches Modell mit problemangepaßten Koordinaten Das Rechengitter Das Rechengitter in kartesischen Koordinaten Das Rechengitter in Zylinderkoordinaten Übergang von zylindrischen zu kartesischen Koordinaten Rohrmodellierung Enthalpiestrom im Rohr Wärmestrom Rohr - Fluid...35 i

5 Berechnung der Fluidtemperatur Diskretisierung Anfangsbedingung Randbedingung Zusammenfassung ERDREICHWÄRMEÜBERTRAGER IM PASSIV-SOLARHAUS CÖLBE Ausgewählte Meßergebnisse Heizbetrieb Kühlbetrieb Mischbetrieb Feuchtebilanz Unterschiedliche Auslauftemperaturen der Rohre Temperaturen nach dem Erdreichwärmeübertrager Lufttemperaturverlauf im Erdreichwärmeübertrager Ungestörte Erdtemperaturen Erträge mit Testreferenzjahr Zusammenfassung SIMULATION DES ERDREICHWÄRMEÜBERTRAGERS IM PSH CÖLBE Komponenten in Smile Überblick Die Komponenten im einzelnen Grundkomponenten Zusammengesetzte Komponenten Feldgrößen/Konstanten Schnittstellen ii

6 5.2 Vergleich Messung und Simulation Erdreich- und Lufttemperaturen Einfluß der Diskretisierung in Rohrrichtung Einfluß des Bodentyps Kondensation Zusammenfassung PARAMETERSTUDIE Begriffe Einfluß der verschiedenen Parameter Bodentyp Luftvolumenstrom Rohrdurchmesser Rohrabstand Rohrlänge Rohrtiefe Rohranzahl Zusammenfassung ZUSAMMENFASSUNG...78 ANHANG...93 NOMENKLATUR...1 LITERATURVERZEICHNIS...14 iii

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8 1 Einleitung Erdreichwärmeübertrager sind einfache Systeme, durch deren Einsatz ein enormes Einsparpotential an Kühl- und Heizenergie bei Neubauten mit mechanischer Wohnungslüftung erreicht werden kann. Die Idee der thermischen Nutzung des Untergrundes für Kühl- und Heizzwekke ist nicht neu. Schon 1877 skizzierten Fischer und Stiehl 1 den Aufbau eines Erdreichwärmeübertragers als sie das Verfahren zur Kühlung und Vorwärmung der Luft mit Hülfe der Erdwärme als Patent angemeldeten [Alb91]. Immer wieder wurden Untersuchungen zur Nutzung der Erdwärme für Wärmepumpenkreisläufe durchgeführt. Eine systematische Erforschung der direkten Erwärmung der Frischluft für Gebäude durch das Erdreich begann erst Anfang der neunziger Jahre mit den Arbeiten von Albers und Sedlbauer [Alb91, Sed91]. Weitere folgten mit Mihalakakou et al. und Wakili [Mih94, Mih95, Wak 96]. Neuere Untersuchungen, die als Grundlage für diese Diplomarbeit verwendet werden, sind durch Pfafferott und Neugebauer [Pfa97, Neu98] durchgeführt worden. Zur Zeit laufen weitere Projekte, die sich mit diesem Thema beschäftigen, an verschiedenen Universitäten und Instituten in Europa. Um das Verhalten des Erdreichwärmeübertragers vorhersagen zu können, müssen zeitaufgelöste Informationen über das Erdreich vorhanden sein. Insbesondere Temperaturfelder unter Gebäuden sind noch nicht hinreichend untersucht worden. Deshalb wurde das Erdtemperaturfeld, sowohl im freien Gelände, als auch unter der Bodenplatte des Verwaltungsgebäudes der Firma Wagner & Co Solartechnik in Cölbe in der Nähe des Erdreichwärmeübertragers umfangreich vermessen und mit der Simulationsumgebung Smile abgebildet. 1 Fischer und Stiehl: Verfahren zur Kühlung und Vorwärmung der Luft mit Hülfe der Erdwärme. Patentschrift Nr. 121, Kaiserliches Patentamt, Berlin,

9 Kapitel 1: Einleitung Der Aufbau des Erdreichwärmeübertragers und die Meßtechnik werden im 2. Kapitel beschrieben. Im 3. Abschnitt werden zunächst die grundlegenden Wärmetransportvorgänge für das Erdreich und im Anschluß verschiedene Modelle zur Beschreibung von Erdreichwärmeübertragern vorgestellt. Kapitel 4 zeigt ausgewählte Meßergebnisse. Ein Modell mit problemangepaßten Koordinaten aus Kapitel 3 wurde erweitert und auf andere Systeme und Geometrien übertragen. Die Umsetzung und ein Vergleich von Messung und Simulation ist in Kapitel 5 beschrieben. Das letzte Kapitel zeigt die Ergebnisse der Parametervariationen mit diesem Modell. Das Ziel der Arbeit ist es, die Grundlagen für die Beschreibung eines Erdreichwärmeübertragers zu formulieren, einen Teil der bestehenden Modelle zu beschreiben und das Modell mit problemangepaßten Koordinaten auf andere Geometrien zu erweitern, um dann die Simulationsergebnisse mit Meßdaten zu vergleichen. Außerdem sollen Parametervariationen den Einfluß der verschiedenen Größen, wie z.b. Bodentyp oder Rohrlänge, transparent werden lassen. 2

10 2 Versuchsaufbau In diesem Kapitel werden der Erdreichwärmeübertrager des Verwaltungsgebäudes mit Passivhausstandard 2 der Firma Wagner & Co Solartechnik in Cölbe, die eingesetzte Meßtechnik und die Meßdatenverarbeitung beschrieben. Das Forschungsvorhaben für das Verwaltungsgebäude läuft seit 1998 bis voraussichtlich 21 und wird vom BMBF 3 im Rahmen des Programms Solar optimiertes Bauen gefördert. Insgesamt sollen ca. 2 bis 25 Projekte gefördert werden, deren Eckdaten und Veröffentlichungen vom Solarbau Monitor-Team gesammelt und im Internet bereitgestellt werden [Vos99]. Einen ersten Einblick in dieses Projekt geben Wagner et al. [Wag98a, Wag99] und Schweitzer [Sch99]. 2.1 Aufbau und Funktion des Erdreichwärmeübertragers Der in einem Verwaltungsgebäude hygienisch notwendige Luftwechsel [DIN 1946 T6, DIN 471] wird im Passiv-Solarhaus in Cölbe über eine kontrollierte Be- und Entlüftungsanlage mit Wärmerückgewinnung erreicht. Die Luft wird mit je einem Ventilator (Nennleistung 3 kw el ) ins Gebäude ein- und wieder herausgebracht. Die Frischluft wird nicht direkt, sondern über einen Erdreichwärmeübertrager angesaugt. Somit kann die Frischluft im Winter vorgewärmt und im Sommer gekühlt werden. Danach gelangt sie in die Wärmerückgewinnung, die aus vier in Reihe geschalteten Kreuzstromwärmeübertragern und einem stufenlos einstellbaren Bypass besteht, und kann als Zuluft in die einzelnen Zonen 2 Passivhausstandard: Ein Passivhaus ist ein Gebäude, dessen Gesamtenergiekennwert bei normaler Nutzung 3 kwh/(m²a) nicht übersteigt. [Fei96] 3 BMBF FöNr.: 3356L 3

11 Kapitel 2: Versuchsaufbau strömen. Im Winter kann die Zuluft nach der Wärmerückgewinnung über ein zentrales und/oder dezentrale Nachheizregister erwärmt werden. Das untersuchte Verwaltungsgebäude besteht aus neun verschiedenen Nachheizzonen, die unterschiedlich genutzt werden. Es gibt eine Werkstatt, einen Empfang und Postversand, Ausstellungsräume, ein Großraumbüro, mehrere kleinere Büros, Besprechungsräume, eine Küche mit Kantine. Die wichtigsten Daten des Erdreichwärmeübertragers: Geometrie Lage zum Gebäude: etwa jeweils zur Hälfte im freien Gelände und unter der Bodenplatte Rohrmaterial: Beton Anzahl der Rohre: 4 Nennweite: DN5 Verlegetiefe: 15 mm Abstand der Rohre (licht): 15 mm Gefälle: 1:2 Grundwassertiefe: ca. 3 mm Boden Bodenart: feucht lehmig Bodengutachten: Fa. ETN [ETN97] Betrieb Nennvolumenstrom: 25 6 m³/h Luftgeschwindigkeit im Rohr: m/s Druckverlust gesamt: 2 Pa (Rohre, Filter bei 6 m³/h) Betriebsweise Winter: kontinuierlich Betriebsweise Sommer: kontinuierlich Regelungskriterien: Volumenstrom nach Bedarf Technische Gebäudeaustattung Ventilatorposition: saugend Ventilatornennleistung: 2 x 3 kw el Luftnachheizung: ja Luftnachkühlung: nein Wärmerückgewinnung: ja Hygiene Luftfilter am Eintritt: 2 x EU 4 4 parallel Luftfilter am Austritt: 1 x EU Filterklasse EU4 Grobstaubfilter (neue Bezeichnung: G4) [Rec97] 5 Filterklasse EU5 Feinstaubfilter (neue Bezeichnung: F5) [Rec97] 4

12 2.2 Meßtechnik Abluft Zuluft Fortluft NHR NHR NHR Frischluft WRG VHR Erdreichwärmeübertrager Abb. 1: Schematischer Aufbau des Lüftungssystems im Passiv-Solarhaus in Cölbe mit Erdreichwärmeübertrager, Wärmerückgewinnung, zentralem Vorheizregister (VHR) und dezentralen Nachheizregistern (NHR). Die schwarzen Rauten symbolisieren Filtertaschen. 2.2 Meßtechnik Im Passiv-Solarhaus in Cölbe sind derzeit (Oktober 1999) ca. 25 physikalische Meßstellen installiert. Abb. 2 zeigt die Positionen zur Vermessung des Erdreichwärmeübertragers installierten Temperatur- und Feuchtesensoren sowie das Luftvolumenstrommeßgerät. Zusätzlich werden Meßwerte über das Wetter, wie Globalstrahlung, Windstärke und Niederschlagsmenge, protokolliert. Erd- und Lufttemperatur Zur Messung der Erd- und Lufttemperaturen wurden 6 Platin-Widerstandstemperaturfühler (PT 1) der Firma Entec [Ent98] verwendet. Vor dem Einbau wurden diese in einem Wärmebad für den Bereich C bis 4 C kalibriert. Dadurch wurde eine Meßgenauigkeit von ±,1 K erreicht. Der Spannungsabfall am Widerstand wurde in 4-Leiter-Technik gemessen. 5

13 Kapitel 2: Versuchsaufbau 17,64m. 34,1m. 13,6m. O S W N freies Gelände Bodenplatte Biotop Verteiler Sammler 8,4m. 9,9m. Abb. 2: Verteilung der Meßstellen des Erdreichwärmeübertragers (Draufsicht). a) ausgefüllte Punkte: Temperaturfühlern in 1,5 m Tiefe, gemessen ab Oberkante Bodenplatte, b) ausgefüllte Punkte mit Zahl: Position einer Meßlanze, die Zahl entspricht der Anzahl der Fühler in verschiedenen Tiefen, c) Quadrate: Lufttemperaturen im Rohr, d) Hohlkreise: Temperaturfühler direkt am Rohr, e) Kreise mit Kreuz: Feuchtesensoren, f) Dreieck: Luftvolumenstrommeßgerät, g) unten links: Temperaturfühler für ungestörte Erdreichtemperaturen. Die Erdtemperaturfühler sind an Holzlatten fixiert in die Erde eingebracht worden. Dazu wurden Löcher mit einem Durchmesser von 5 mm gebohrt, und abschließend mit Sand aufgefüllt. Für die Fühler unter der Bodenplatte wurde ähnlich verfahren, mit dem Unterschied, daß hier 5 cm dicker Stahlbeton und das Schotterbett durchbohrt werden mußten. Zur Messung der Lufttemperaturen in der Rohrmitte des Erdreichwärmeübertragers wurden Temperaturfühler an einem Stahlseil befestigt, das vom Verteiler durch das 2. Rohr hindurch (in Abb. 2 das zweite Rohr von oben) zum Sammler führte. Die Innen- und Außenrohrwandtemperatur wird durch an Schellen gehaltene Fühler ermittelt. Hier, wie bei allen anderen Meßstellen, wurde darauf geachtet, die Störung durch Eingreifen in das jeweilige System möglichst klein zu halten. Alle 6 Temperaturfühler sind an einen Multiplexer angeschlossen, der alle drei Sekunden einen Kanal weiterschaltet. 6

14 2.2 Meßtechnik Luftfeuchte Ein Haarhygrometer hat die relative Luftfeuchte gemessen. Dabei werden Längenänderungen der Haare aufgrund von Feuchteschwankungen ausgenutzt. Die Änderung wird auf die Drehachse eines Potentiometers übertragen und der Widerstand zu einen normierten Ausgangssignal von bis 2 ma umgewandelt. Das Haarhygrometer ist für einen Bereich von 1 bis 1 % relative Feuchte und 35 bis +7 C Lufttemperatur geeignet. Die Fehler liegen laut Herstellerangaben [Thi99] bei ±2 % relativer Feuchte. Volumenstrom Der Volumenstrom wird über die Druckdifferenz, die durch eine im Lüftergehäuse integrierte Meßblende erzeugt wird, gemessen. Diese relativ einfache Meßmethode hat laut Herstellerangaben einen Fehler von ±2 %, was eine zusätzliche Meßreihe mit einem Staudruckgitter erforderlich macht. Solarstrahlung Die Globalstrahlung wurde mit einem Pyranometer der Fa. Kipp&Zonen [Kip98] CM11 in der Horizontalen gemessen. Der geschätzte Fehler liegt nach [Hil96] bei ±1,5 % vom Meßwert, aber beträgt mindestens ±5 W/m². Regen-Detektion Die Niederschlagsmenge wurde mit einem Niederschlagsgeber der Firma Thies gemessen. Durch die 2 cm²große Auffangfläche gelangt der Niederschlag in die Wippe. Nach der Aufnahme von jeweils,1 mm Niederschlag kippt die Wippe um. Dabei wird mit einem Magneten und Reed- Schalter ein elektrisches Signal (Impuls) ausgelöst. Für den störungsfreien Betrieb im Winter ist eine elektronisch geregelte Heizung vorgesehen. Der Niederschlagsgeber ist für einen Niederschlag von 7 mm/min und einem Temperaturbereich von 25 bis +6 C ausgelegt. Die Standardabweichung 7

15 Kapitel 2: Versuchsaufbau des Meßwertes beträgt laut Herstellerangaben [Thi99] je nach Intensität des Niederschlages 2 % (< 2 mm/min) bis 1 % (> 5 mm/min). Windgeschwindigkeit Die horizontale Windgeschwindigkeit wird über einen Windgeber der Firma Thies [Thi99] auf dem Dach gemessen. Die Meßwerte werden als elektrische Signale (Impulse) abgegeben. Der Windgeber ist für einen Bereich von.5 bis 5 m/s Windgeschwindigkeit und Temperaturen von 3 bis +7 C geeignet. Der maximale Fehler in diesen Meßbereichen liegt bei ±3 % vom Meßwert. Meßwerterfassung Im Passiv-Solarhaus in Cölbe ist ein Gebäudeleitsystem, ausgeführt als DDC 6, der Firma Ageko [Age98] installiert. Diese DDC übernimmt die komplette Meßwerterfassung, Regelung und Steuerung der Haustechnik des Verwaltungsgebäudes. Sie besteht aus autark arbeitenden, mikroprozessorgesteuerten Stationen (PCU 7 ), an denen die installierten Pumpen, Ventile, Motoren, Stellklappen sowie die Meßfühler und Multiplexer, Jalousien- und Beleuchtungssteuerung angeschlossen sind und auf denen Programme zur Steuerung und Regelung und zur Aufnahme der Meßdaten ablaufen. Diese Unterstationen können über ein LAN-Bussystem kommunizieren. Über eine RS 232- Schnittstelle ist ein Leitrechner mit einer PCU verbunden. Mit einer speziellen Software können die einzelnen Datenpunkte frei programmiert werden. Die Meßwerte werden einmal in der Nacht als Datei abgelegt und durch einen Automatismus, programmiert in Standardapplikationen (MS Access und Outlook), aufbereitet und per zur Universität transferiert. Dort werden die eingehenden Mails automatisch abgearbeitet und die Daten zu weiteren Verarbeitung bereitgestellt [Wag98b]. 6 DDC: aus dem Englischen direct digital control, also direkte digitale Steuerung 7 PCU: aus dem Englischen processor controlled unit : Prozessor gesteuerte Einheit 8

16 3 Modellierung von Erdreichwärmeübertragern In diesem Kapitel werden zunächst die grundlegenden Wärmetransportvorgänge, die für das Erdreich von Relevanz sein können, beschrieben. Im Anschluß werden drei verschiedene Modelle zur Beschreibung von Erdreichwärmeübertragern vorgestellt. Als Referenzsystem wird das numerische Modell mit problemangepaßten Koordinaten (Kap. 3.4) verwendet, das eine Weiterentwicklung des Modells von Neugebauer [Neu98] ist. Das Modell in Kapitel 3.2 hat eine analytische Lösung, die in Kapitel 3.3 und 3.4 werden numerisch gelöst. 3.1 Grundlagen Zur Beschreibung des Temperaturfeldes und der Wärmetransportvorgänge im Erdreich mit inneren Wärmequellen bzw. -senken (Erdreichwärmeübertrager) gibt es verschiedene Ansätze. In diesem Kapitel werden Grundlagen für die späteren Modelle vorgestellt. Ausgangspunkt ist hierbei die Fouriersche Differentialgleichung für instationäre mehrdimensionale Wärmeleitung, siehe u.a. in [Gri9]. In kartesischen Koordinaten lautet sie: ρ cp T t T = λ x x + T λ y y + T λ z z ( 1 ) mit: ρ Dichte λ Wärmeleitfähigkeit c p Spezifische Wärmekapazität T Temperatur x,y,z Koordinaten Bei räumlich konstanter Wärmeleitfähigkeit kann diese Beziehung auch folgendermaßen geschrieben werden: 9

17 Kapitel 3: Modellierung von Erdreichwärmeübertragern T t = a T ( 2 ) mit: a = λ/(ρ c p ) Temperaturleitfähigkeit Laplace-Operator Wenn für den Wärmestrom 8 der Temperaturgradient allein verantwortlich ist, so erhält man den Fourierschen Erfahrungssatz: ( x t) q = λgrad T, ( 3 ) mit: q spezifischer Wärmestrom Beschreibung des Erdreichs Das Erdreich ist meist kein homogenes Medium, sondern besteht aus verschiedenen festen Materialien, die eine bestimmte Korngröße aufweisen. Zwischen diesen Körnern entstehen kleine Hohlräume, die mit Luft oder Wasser gefüllt sein können. Der Wassergehalt beeinflußt in großem Maße die thermischen Eigenschaften des Erdreiches Wärmetransport im Erdreich Im oberflächennahen Erdreich bis 1 m Tiefe, wie es Sanner in [San92] beschreibt, können folgende Phänomene das Temperaturfeld maßgeblich beeinflussen: 8 Genauer müßte man hier von Wärmestromdichte sprechen. 1

18 3.1 Grundlagen Kurzwellige Strahlung Langwellige Strahlung Niederschlag Konvektion Verdunstung Wärmeleitung Grundwasserfluß Geothermischer Wärmefluß Solarstrahlung Niederschlag Wärmestrahlung Verdunstung Wärmeleitung Sickerwasser Grundwasser geothermische Wärme Wind Abb. 3: Einflußgrößen auf den Wärmetansport im Erdreich. Der wichtigste Transportmechanismus im Erdreich ist die Wärmeleitung. Die Grundgleichungen wurden zu Beginn des Kapitels bereits beschrieben. Einen weiteren großen Einfluß kann der Wärmetransport durch Sickerwasser und fließendes Grundwasser haben. Nach einer Untersuchung von [She88] hat Sickerwasser allerdings nur eine kurzfristige Wirkung auf das Erdtemperaturfeld. Nach [VDI 464 B2] liegen die spezifischen Entzugsarbeiten 9 für öberflächennah verlegte Erdreichwärmeübertrager zwischen 5 kwh/(m²a) und 7 kwh/(m² a) bei reinem Heizbetrieb (mit Sommerbetrieb höher). Für das Testreferenzjahr 4 fällt 971 mm Niederschlag [Blü86], wovon ca. 7 mm nach Knoblich [Kno93] verdunsten. Geht man davon aus, daß vom Rest 5 % bis in die Verlegetiefe des Erdreichwärmeübertragers gelangen und dort eine Temperaturveränderung von 5 K verursachen, resultierte eine veränderte Entzugsarbeit von.78 kwh/(m²a). Dies entspricht einer Änderung der spezifischen Entzugsarbeit von ca. 1 bis 1.6 % als großzügige obere Abschätzung (Rechnung vgl. Anhang). Fließendes Grundwasser kann aufgrund seiner großen Masse (abhängig von der Schichtdicke) einen stärkeren Effekt verursachen. Wird reine Zwangskon- 9 Die Einheit der spezifischen Entzugsenergie ist kwh pro m²erdreichoberfläche und Jahr. 11

19 Kapitel 3: Modellierung von Erdreichwärmeübertragern vektion berücksichtigt so ergibt sich folgende Differentialgleichung für das Gemisch von Erde und Wasser [Neu98]: ρ W c W v W grad T = T ( ρ c n + ρ c ( 1 n ) t W W s s ( 4 ) mit: Index W für Wasser, s für festen Anteil in Erde T v W Temperatur des Erde-Wasser-Gemisches Strömungsgeschwindigkeit des Wassers n Porosität...1 Hierbei wird der Wärmetransport in einem Medium mit der Porosität n beschrieben. Anteilsmäßig werden die Stoffwerte für die verschiedenen Medien (Wasser und Erde) berücksichtigt. Wird zusätzlich noch -Leitung betrachtet, so verändert sich die Gleichung zu: λ T E ρ W c W v W grad T = T ( ρ c n + ρ c ( 1 n ) t W W s s ( 5 ) mit: Index E für Erde gesamt Schnell fließendes Grundwasser, das einen größeren Abstand zum Erdreichwärmeübertrager hat, kann als isotherme Randbedingung aufgefaßt werden. Dadurch vereinfacht sich Gl. ( 5 ) zu einer Differentialgleichung mit reiner Wärmeleitung wie bereits zu Beginn in Kapitel 3 beschrieben. Die Erdoberflächentemperatur liegt weltweit im Mittel nach [VDI 464 B1] bei ca. 13 C. Diese wird insbesondere durch ein Gleichgewicht zwischen solarer Einstrahlung (Wärmestrom durch Absorption kurzwelliger Strahlung), Wärmeabstrahlung ins Weltall (Wärmestrom durch Emission langwelliger Strahlung) und geothermischen Wärmeströmen aus dem Erdinnern erreicht. Die Geothermie hat eine untergeordnete Bedeutung bei geringen Erdreichtiefen bis 2 m. Nach Sanner [San92] liegt der Wärmestrom aus dem 12

20 3.1 Grundlagen Erdinnern bei.5.12 W/m² gegenüber bis zu 5 W/m² durch Solarstrahlung (Absorption.5 und ca. 1 W/m²maximale Solarstrahlung). Die absorbierte kurzwellige Strahlung berechnet sich aus einem Absorptionskoeffizienten der Erde (unterschiedlich je nach Bodenoberflächenbeschaffenheit und Bewuchs) und der Solarstrahlung zu: q abs = α obf G ( 6 ) mit: q abs Wärmestrom durch absorbierte kurzwellige Strahlung G Globalstrahlung α obf Absorptionskoeffizient Die emittierte langwellige Strahlung berechnet sich aus einem Emissionskoeffizienten, der Stefan-Boltzmann Konstante, der Erdoberflächentemperatur und der fiktiven Himmelstemperatur: q sky = ε σ 4 4 ( T T ) EO sky ( 7 ) mit: q sky T EO T sky ε σ Wärmestrom durch emittierte langwellige Strahlung Temperatur an der Erdoberfläche äquivalente Schwarzkörpertemperatur der Himmelsstrahlung effektiver Emissionskoeffizient Stefan-Boltzmann Konstante Der Wärmestrom, der durch Verdunstung entsteht, ist relativ schwierig zu bestimmen, da die dafür entscheidenden Größen meist nicht bekannt sind. Penman hat in [Pen63] eine empirische Formel für den Verdunstungswärmestrom entwickelt, der aus den Sättigungsdrücken von Umgebungs- und Oberflächentemperatur, einem empirischen Faktor f Obf und dem Wärmeübergangskoeffizienten an der Erdreichoberfläche berechnet wird: ( p p ) q V = 168, α Obf fobf Satt, TObf Satt, Tamb ( 8 ) mit: 13

21 Kapitel 3: Modellierung von Erdreichwärmeübertragern q V α Obf f Obf p Satt,TObf p Satt,Tamb Wärmestrom durch Verdunstung Wärmeübergangskoeffizient an der Oberfläche empirisch ermittelter Faktor Sattdampfdruck bei Oberflächentemperatur Sattdampfdruck bei Umgebungstemperatur Der Faktor f Obf ist proportional zum Feuchtegehalt des Bodens und liegt zwischen.4 und.8 K/Pa für unbewachsenen Boden. Für bewachsenen Boden ist f Obf.1 K/Pa geringer Stoffwerte des Erdreiches Einen entscheidenden Einfluß für den Wärmetransport im Erdreich hat die Temperaturleitfähigkeit, die sich aus der Wärmeleitfähigkeit, der Dichte und Wärmekapazität ergibt (vgl. Gl. ( 2 ) ). Da in vielen Fällen keine ausreichenden Kenntnisse über die Beschaffenheit des Erdreiches bekannt sind, liegt es nahe, eine Auswahl häufig vorhandener Erdreichtypen zu definieren. Dies wurde durch Jäger et al. in [Jäg81] auf Basis einer umfangreichen Literaturrecherche durchgeführt. Die Autoren haben sogenannte Referenzböden definiert. Referenzböden Bodenart (Bodentyp) Wärmeleitfähigkeit λ [W/(m²K)] Dichte ρ [kg/m³] Wärmekapazität cp [J/(kg K)] Temperaturleitfähigkeit a [m²/s] Sand trocken (1) * 1-7 Sand feucht (2) * 1-7 Lehm feucht (3) * 1-7 Lehm gesättigt (4) * 1-7 Tab. 1: Referenzböden nach Jäger et al. [Jäg81]. Es sind vier verschiedene, häufig vokommende Bodenarten gewählt worden. Die Autoren bezeichnen Lehm feucht als Normalboden. Dessen Stoffwerte liegen im mittleren Stoffwertebereich. Für detailliertere Informationen sei auf [VDI 464, B1] verwiesen. Dort erkennt man, daß die Stoffwerte deutlich schwanken können. Zudem sind sie stark vom Feuchtegehalt abhängig. Sanner hat in [San92] verschiedene Modelle für die Berechnung der Wärmeleitfähigkeit und Wärmekapazität in Abhän- 14

22 3.1 Grundlagen gigkeit des Feuchtegehaltes zusammengetragen und miteinander verglichen. Dieser Effekt kann allerdings nur dann berücksichtigt werden, wenn der Feuchtegehalt des Erdreiches, der sich im Laufe des Jahres verändert, zu jeder Zeit bekannt ist Ungestörtes Erdreich Erdreich, das keine zusätzlichen zu den in Kapitel beschriebenen inneren Quellen oder Randbedingungen aufweist, in dem insbesondere auch kein Erdreichwärmeübertrager installiert ist, wird als ungestört bezeichnet. Grigull und Sandner stellen in [Gri9] ein Modell zur Berechnung der ungestörten Erdreichtemperatur in Abhängigkeit von der Tiefe vor. Es werden zunächst die Monatsmittelwerte der Umgebungstemperatur durch eine Kosinusfunktion angenähert. T a t = Ta, mittel + π t ( T ) a,max Ta, mittel cos 2 ϕ ( 9 ) mit: T a T a, mittel T a, max t t ϕ Umgebungstemperatur Jahresmittelwert der Umgebungstemperatur maximaler Monatsmittelwert der Umgebungstemperatur Zeit ab Jahresanfang Periodendauer ein Jahr Phasenverschiebung des maximalen Monatsmittelwertes gegenüber Jahresanfang 15

23 Kapitel 3: Modellierung von Erdreichwärmeübertragern Abb. 4: Vergleich der Monatsmittelwerte der Umgebungstemperatur für das Testreferenzjahr 4 [Blü86] als Balken und dem mit Gl. ( 9 ) berechneten Kosinus-Fit als Linie. Diese Temperatur (Gl. ( 9 )) wird als periodische Randbedingung dritter Art für die eindimensionale instationäre Differentialgleichung (Gl. ( 35 )) für den Halbraum Erdreich benutzt. Grigull et al. [Gri9] liefern eine Lösung für den eingeschwungenen Zustand mit Hilfe der Laplace-Transformation: T E (, t) ( T T ) exp( ξ) a,max a, mittel 2π t = T + ϕ ε ξ a, mittel cos β + 2β t ξ ( 1 ) ξ = z π a t λ = π β β ε = arctan α a t obf 1 + β mit: T E (ξ,t) Erdtemperatur in der Tiefe z zum Zeitpunkt t a Temperaturleitfähigkeit λ Wärmeleitfähigkeit Wärmeübergangskoeffizient zwischen Erde und Luft α obf 16

24 3.1 Grundlagen Der Wärmeübergangskoeffizient α obf wird durch Feist [Fei93] nach Neugebauer [Neu98] in Abhängigkeit der Windgeschwindikeit v Wind für erzwungene Konvektion folgendermaßen angegeben: α obf v Wind /( m / s), = v Wind /( m / s), für v für v Wind Wind 5m / s > 5m / s ( 11 ) Wärmeübergangskoeffizient a in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit v a in W/(m²K) Windgeschwindigkeit v in m/s Abb. 5: Wärmeübergangskoeffizient α in Abhängigkeit der Windgeschwindigkeit v Wind nach [Fei93]. Für typische Windgeschwindigkeiten am Standort Cölbe (-5 m/s) erhält man Wärmeübergangskoeffizienten bis 23 W/(m²K). In [Kno93] wird ebenfalls ein Diagramm für den Wärmeübergangskoeffizienten α an der Erdreichoberfläche in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit gezeigt. Der Kurvenverlauf entspricht nahezu dem in Abb. 5. Betrachtet man den Spezialfall für α so vereinfacht sich Gl. ( 1 ) zu: T E 2π t, ( 12 ) ( ξ, t) = T + ( ) ( ξ) ϕ ξ a mittel Ta,max Ta, mittel exp cos t 17

25 Kapitel 3: Modellierung von Erdreichwärmeübertragern Dies würde bedeuten, daß ein unendlich guter Wärmeübergang an der Oberfläche vorliegen würde Tiefe z in m λ E = 1.45 W/(mK) a E = 6.2 m²/s Januar Februar März April Mai Juni Juli August September Oktober November Dezember Monatsmittelwerte der ErdreichtemperaturT in C Abb. 6: zeigt die ungestörten Erdreichtemperaturen für einen Wärmeübergangskoeffizient α=1 W/(m²K) in Abhängigkeit von der Tiefe. Für das Erdreich wurde der Normalboden aus Tab. 1 verwendet. Als Datenbasis wurden das Testreferenzjahr 4 [TRY86] und Gl.( 1 ) verwendet. Den Einfluß des Wärmeübergangskoeffizienten auf die ungestörte Erdreichtemperatur in Abhängigkeit von der Tiefe ist in Abb. 7 zu erkennen. Dort ist die Differenz der beiden Temperaturen für α unendlich und α=1 W/(m²K) aufgetragen. In geringen Tiefen beeinflußt der Wärmeübergangskoeffizient noch deutlich die ungestörte Erdreichtemperatur. In größeren Tiefen ist der Einfluß vernachlässigbar. 18

26 3.1 Grundlagen Nov Jan Okt Feb Sep Mär Aug Apr Jul Mai 1 2 Dez Jun 3 Tiefe z in m λ E = 1.45 W/(m²K) a E = 6.2 m²/s T Erde_ungestört (a unendlich,z)-t Erde_ungestört (a 1,z) Abb. 7: zeigt die Differenz der ungestörten Erdreichtemperaturen für die Wärmeübergangskoeffizienten α= und α=1 W/(m²K) in Abhängigkeit von der Tiefe. Für das Erdreich wurde der Normalboden aus Tab. 1 verwendet. Als Datenbasis wurde das Testreferenzjahr 4 [TRY86] und Gl.( 1 ), ( 12 ) verwendet. Bei geringen Tiefen kann man einen deutlichen Unterschied erkennen. Bei größeren Tiefen kann dieser vernachlässigt werden Gestörtes Erdreich Um den Einfluß eines Erdreichwärmeübertragers auf das Erdreich abschätzen zu können, bietet sich die Eindringtiefe als charakteristische Größe für den jeweiligen Bodentyp an. Die Eindringtiefe x ist nach Grigull und Sandner [Gri9] für periodische Temperaturveränderungen definiert durch: x ϕ = ln ϕ * π a t ( 13 ) mit ϕ =ϕ(x=) und ϕ* dem Bruchteil, auf den das Amplitudenverhältnis abgeklungen sein soll (hier 1/e). ϕ = exp 2 ( ξ) 1+ 2β + 2β wobei β und ξ Gl. ( 1 ) zu entnehmen sind. ( 14 ) 19

27 Kapitel 3: Modellierung von Erdreichwärmeübertragern Für die verschieden Bodentypen ergeben sich mit der Annahme, daß der jahreszeitliche Verlauf der Umgebungstemperatur durch eine Kosinusfunktion beschrieben werden kann, folgende Eindringtiefen: Bodenart Eindringtiefe in m Sand trocken 2.15 Sand feucht 2.96 Lehm feucht 2.24 Lehm gesättigt 2.76 Tab. 2: Eindringtiefe als charakteristische Größe des Erdreiches für die Bodentypen aus Tab. 1 berechnet nach Gl. ( 13 ) für eine Periodendauer von einem Jahr. Als effektiver Wärmedurchgangskoeffizient vom Erdreich auf die durchströmende Luft wurde 6.6 W/(m²K) gewählt, wie er typischerweise beim Erdreichwärmeübertrager im Passiv- Solarhaus in Cölbe auftritt. Analog kann eine Eindringtiefe für die tägliche Temperaturschwankung angegeben werden. Sie beträgt bei sonst gleichen Bedingungen wie in Tab. 2 maximal.15 m Beschreibung des Erdreiches unter der Bodenplatte In diesem Kapitel wird speziell auf das ungestörte Erdreich unter einer gut isolierten Bodenplatte, die genähert als adiabate Systemgrenze aufgefaßt werden kann, eingegangen. Ausgangspunkt für die Modellierung des Erdreiches dort ist die in Kapitel eingeführte Gl. ( 12 ). Die Idee ist, diese eindimensionale Gleichung um eine zusätzliche Phasenverschiebung, Dämpfung und eine additive Größe zu ergänzen. Hierbei wird vorausgesetzt, daß die Erdtemperatur direkt unter der Bodenplatte und Isolierung mit der Grundwassertemperatur übereinstimmt. mit: ξ ~ ϕ ~ T E ~ ( z t) = T + ( T T ) exp( ( ξ + ξ ), a, mittel a,max a, mittel 2π t cos ϕ t zusätzliche Dämpfung zusätzliche Phasenverschiebung ~ additive Größe aus Messung T ~ z ϕ~ ε ξ + T cos GW / m z / m 2 ( 15 ) 2

28 3.1 Grundlagen Die drei neuen Konstanten wurden durch Parameteranpassung an die gemessene ungestörte Erdtemperatur unter der Bodenplatte im Passiv- Solarhaus Cölbe ermittelt. Dadurch können ungestörte Temperaturen in Tiefen von ein bis zwei Meter simuliert werden Meteorologische Daten Für die Simulation eines Erdreichwärmeübertragers, müssen Informationen über den Standort und zeitaufgelöste Wetterdaten vorliegen. Diese liegen für einen gegebenen Standort nur in Ausnahmefällen und dann oft nicht in ausreichendem Umfang vor. Um grundsätzliche Aussagen beispielsweise zur Dimensionierung von Erdreichwärmeübertragern durch Simulation zu gewinnen, sollten die Eingangsdaten möglichst repräsentativ für eine größere Region sein. Blümel [Blü86] hat in einem Forschungsauftrag des BMFT sogenannte Testreferenzjahre für verschiedene Klimaregionen in Deutschland (alte Bundesländer) entwickelt. Die Daten wurden als Stundenmittelwerte erzeugt und können als Eingangsdaten (z.b. Umgebungslufttemperatur, Feuchte) für die Simulation von Erdreichwärmeübertragern verwendet werden. Im einfachsten Fall kann mit Hilfe der in Kapitel beschriebenen Modelle und den Monats- bzw. Jahresmitteln der Lufttemperaturen für den entsprechenden Standort gerechnet werden. Für die verschiedenen Regionen sind die Monats- und Jahresmittelwerte aus den Testreferenzjahren im Anhang aufgeführt. Auch Recknagel et al. [Rec97] beschreibt Mittelwerte für Temperaturen und Luftfeuchten für Städte in Deutschland, Europa und der ganzen Welt. 21

29 Kapitel 3: Modellierung von Erdreichwärmeübertragern 3.2 Formfaktorenmodell In der Literatur findet sich ein häufig diskutiertes Modell von Albers [Alb91], dessen Ziel es ist, Kriterien für den Einsatz und die Auslegung von Erdreichwärmeübertragern in der Wohnungslüftung, vor allem im Einfamilienhausbereich, zu finden. Er stellt ein Modell vor, das als Ausgangspunkt eine analytische Funktion für das Erdtemperaturfeld verwendet, das die mittleren jährlichen Energien durch den Erdreichwärmeübertrager für Heizen und Kühlen berechnet. Zunächst wird das ungestörte Erdtemperaturfeld, d.h. das Erdreich ohne Erdreichwärmeübertrager, betrachtet. Eine Lösung für die eindimensionale Differentialgleichung mit periodischer Randbedingung liefert Gl. ( 1 ). Diese Gleichung vereinfacht sich zu Gl. ( 12 ) indem eine Grenzwertbetrachtung für α gegen unendlich durchgeführt wird. Das Temperaturfeld der Erde mit Erdreichwärmeübertrager wird zunächst für den stationären Fall betrachtet. Das bedeutet, daß Gl. ( 2 ) sich vereinfacht zur Laplace-Gleichung (u.a. [Gri9]): T = ( 16 ) Grigull und Sandner schreiben, daß die Lösungen dieser Gleichung Systeme isothermer Flächen sind und der Wärmestrom oft in einem Gebiet zwischen zwei oder mehreren Isothermen gesucht wird. Diese Flächen können geschlossen oder offen sein. Sind sie offen, so werden die anderen Grenzen des Gebietes durch adiabate Flächen gebildet (vgl. Abb. 8). 22

30 3.2 Formfaktorenmodell f 1 f 1 f 2 f 2 Abb. 8: Offene und geschlossene Systeme. Links ist ein offenes System zu erkennen. Die durchgezogenen dicken Linien entsprechen vorgegebenen Isothermen, die gestrischelten Adiabaten. Rechts ist ein geschlossenes Gebiet aus zwei konzentrischen Kreisen dargestellt, das keine Adiabaten enthält. Der Wärmestrom von einer isothermen Fläche f 1 mit der Temperatur T 1 zu einer anderen f 2 mit T 2 läßt sich durch Integration der lokalen Temperaturgradienten über die entsprechenden Flächen berechnen. Q = λ f 1 T df n 1 = λ 1 2 f T df n 2 2 ( 17 ) n Normalenvektor Diesen Wärmestrom kann man auch in folgender Form schreiben: ( ) Q = λ S T 1 T 2 ( 18 ) mit: S Formfaktor Mit Gl. ( 17 ) und ( 18 ) ist der sogenannte Formkoeffizient oder Formfaktor definiert, mit dessen Hilfe auch komplizierte Geometrien abgebildet werden können. Die Schwierigkeit liegt nun darin, diesen Formfaktor zu bestimmen. Dafür stehen verschiedene Methoden zur Verfügung, wie z.b. die konforme Abbildung bei zweidimensionaler Wärmeleitung oder die Spiegelladungsmethode (u.a. [Gri9, Jac93]). Für Standardgeometrien sind Formfaktoren in der Literatur [Hah75, VDI94] zu finden. Für spezielle Anordnungen und Rohrregister ist die Berechnung von Formfaktoren sehr aufwendig [Glü85, Glü89]. 23

31 Kapitel 3: Modellierung von Erdreichwärmeübertragern Als einer der einfachsten Fälle sei ein in der Erde verlegtes Rohr genannt. Das Rohr wird in x Richtung diskretisiert, also in Scheiben geschnitten. Nach [Alb91] ergibt sich das stationäre Temperaturfeld unter den gegebenen Randbedingungen der Oberflächentemperatur T E,O,stat =T(y=,z=) und der Rohrtemperatur T E,R,stat = T(,z R -r R )= T(,z R +r R ) und z = z r zu: 2 R 2 R z z R r R T E,R y T E,O Abb. 9: Rohr mit isotherm berandetem Erdreich: Erdoberflächentemperatur T E,O und Erdtemperatur in Rohrtiefe T E,R. T E, stat ( y, z) = T E, O, stat + ( ) 2 2 T ( ) ( ) E, R, stat TE, O, stat z + z + y ln z z + y z ln r R R + z r R R 1 ( 19 ) mit: T E,stat (y,z)stationäre Erdtemperatur T E,O,stat stationäre Erdoberflächentemperatur, entspricht dem Jahresmittel T E,R,stat stationäre Erdtemperatur in Rohrtiefe (Rohrwand außen) z R Tiefe des Rohres Radius des Rohres r R z = z 2 R r 2 R Der Formfaktor S für ein Rohrstück der Länge l, der Tiefe z R und dem Radius r R in einem unendlichen Halbraum lautet: S = z ln r R R + 2π l z r R R 2 1 ( 2 ) Das instationäre Erdtemperaturfeld mit Erdreichwärmeübertrager erhält [Alb91], indem er das instationäre Temperaturfeld ohne Erdreichwärme- 24

32 3.2 Formfaktorenmodell übertrager (Gl. ( 12 )) mit dem stationären mit Erdreichwärmeübertrager (Gl. ( 19 )) überlagert. T ( y z, t) = T ( z, t) T ( y z) E, E, ung + E, stat, mit: T E (y,z,t) instationäre Erdtemperatur mit Erdreichwärmeübertrager T E,ung (z,t) instationäre Erdtemperatur ohne Erdreichwärmeübertrager (ungestört) T E,stat (y,z) stationäre Erdtemperatur mit Erdreichwärmeübertrager ( 21 ) In dem stationären Anteil von Gl. ( 21 ) steht die noch unbekannte stationäre Rohrwandtemperatur T E,R,stat (vgl.gl. ( 19 )). Da die Änderung durch Betrieb des Erdreichwärmeübertragers nur stationär berücksichtigt wird, kann auch nur T E,R,stat variieren. Diese Rohrwandtemperatur läßt sich durch Gleichsetzen des Wärmestromes durch die Rohrwand Q RW, mit dem von der Oberfläche an die Rohrwand (Gl. ( 18 ), mit T 1 =T E,O,stat und T 2 =T E,R,stat ), bestimmen. Der Wärmestrom Q RW berechnet sich aus dem Gesamtwärmedurchgangskoeffizient k ges, der Rohroberfläche A R für ein Rohrstück der Länge l und der Temperaturdifferenz von der Rohraußenwand- und der mittleren Fluidtemperatur. Q RW = k ges A R ( T T ) R F ( 22 ) mit: T R T F Q RW k ges A R T R,instat Rohraußenwandtemperatur T R =T E,R,stat +T R,instat mittlere Fluidtemperatur T F =.5 (T(x)+T(x+ l)) Wärmestrom durch die Rohrwand ins Fluid Gesamtwärmedurchgangskoeffizient Mantelfläche für ein Rohrstück der Länge l instationäre Wandtemperatur (entspricht T E,ung in Rohrtiefe) 25

33 Kapitel 3: Modellierung von Erdreichwärmeübertragern k ges 1 = α R + r R, i λ R r ln r R, a R, i 1 ( 23 ) mit: k ges α R λ R r R,i r R,a Gesamtwärmedurchgangskoeffizient Wärmeübergangskoeffizient von der Rohrinnenwand ins Fluid Wärmeleitfähigkeit des Rohrmaterials Rohrinnenradius Rohraußenradius Für die stationäre Rohraußenwandtemperatur erhält man wie beschrieben: T R, stat k T E, O, stat = k + T F + 1 T R, instat ( 24 ) mit: k * =Sλ/(k ges A R ) Gewichtungsfaktor Die stationäre Oberflächentemperatur entspricht der stationären ungestörten Erdtemperatur in Rohrtiefe. Dadurch ist sie auch gleich der stationären Temperatur des ungestörten Rohres (Erdreichwärmeübertrager nicht in Betrieb), also gilt T E;O,stat =T E,R,ung. Wird nun auf beiden Seiten der Gl. ( 24 ) die instationäre Rohrwandtemperatur T R,instat addiert, so erhält man: T R k T E, R = k T F ( 25 ) Durch Gleichsetzen des Wärmestromes (Gl. ( 22 )) mit dem Enthalpiestrom ( Q( x x + l) = m cp( T( x + l) T( x ) Q RW, für ein Rohrstück der Scheibenlänge l und Auflösen nach der Auslauftemperatur erhält man: T ( x l) k A ges R + = ( T 1 T( x ) + m cpt ( x) R m cp k ges A R ( 26 ) Durch iteratives Anwenden dieser Gleichung kann die Auslauftemperatur für einen Erdreichwärmeübertrager berechnet werden. 26

34 3.3 Numerisches Modell mit kartesischen Koordinaten 3.3 Numerisches Modell mit kartesischen Koordinaten In der Diplomarbeit von Pfafferott [Pfa97] wird ein numerisches Modell mit kartesischen Koordinaten vorgestellt. Dabei wird das Erdreich durch eine entsprechende Diskretisierungsvorschrift in Quader eingeteilt. Die Differentialgleichung für die Wärmeleitung entspricht Gl. ( 1 ). Dabei werden nun die Ableitungen nach dem Ort durch finite Differenzen angenähert. Dieses Verfahren wird u.a. in [Cla85] ausführlich beschrieben. Die Gleichung in x- Richtung lautet dann: ρ c p T t = x ( x, t) T( x, t) T( x, t) T( x t) 2 λ T i 1 i i i+ 1, 1 x i 1 x i x i 1 x i+ 1 x i+ i ( 27 ) Diese Gleichung kann analog für die y- und z-richtung formuliert werden. Dadurch entsteht ein Differentialgleichungssystem mit 3 Gleichungen für jeden Temperaturknoten. Der Wärmeübergang vom Erdreich an das im Rohr strömende Fluid wird über eine Energiebilanz beschrieben: mc p TF t = Q RW + Q konv ( 28 ) mit: Q RW = k A ( T T ) Q RW Q konv k ges T F Q konv = ges m c p R E F ( T T ) ein aus Wärmestrom durch die Rohrwand Enthalpiestrom im Rohr Gesamtübergangskoeffizient mittlere Fluidtemperatur im Rohrsegment Dieses Modell findet in der vorliegenden Arbeit keine weitere Verwendung und sei nur der Vollständigkeit halber erwähnt. 27

35 Kapitel 3: Modellierung von Erdreichwärmeübertragern 3.4 Numerisches Modell mit problemangepaßten Koordinaten Erfahrungen beim ISE und an der TU Berlin mit Simulationen von Erdreichwärmeübertragern mit dem numerischen Modell in kartesischen Koordinaten (Kapitel 3.3) zeigten, daß diese sehr lange Rechenzeiten in Anspruch nahmen. Deshalb soll im weiteren ein anderer Ansatz verfolgt werden. In [Neu 98] wird ein Modell vorgestellt, das unter Ausnutzung vorhandener Symmetrien problemangepaßte Koordinaten verwendet. In Rohrnähe, wo ein radialer Temperaturverlauf anzunehmen ist, bieten sich Zylinderkoordinaten an. Je größer der Abstand vom Rohr oder Rohrregister (mehrere Rohre neben- oder übereinander) wird, desto größer ist der Einfluß der Randbedingungen, so daß der radiale Temperaturverlauf nicht mehr gerechtfertigt ist. Deshalb wählt man dort kartesische Koordinaten und kann die verschiedenen Randbedingungen, wie Oberflächen-, Grundwasser- und ungestörte Erdreichtemperatur, berücksichtigen. Da die Erdreichtemperaturgradienten in Rohrrichtung sehr klein sind (1-2 K auf 32 m), kann das Rohr der Länge nach in Scheiben eingeteilt werden, die thermisch nur durch das im Rohr strömende Fluid verbunden sind. Diese Modellannahmen haben den Vorteil, daß nun nur noch eindimensionale Wärmeleitung betrachtet werden muß und das zugehörige Differentialgleichungssystem schneller gelöst werden kann. Bei gleicher Knotenanzahl verkürzen sich die Rechenzeiten für die Simulationen erheblich. Andererseits kann die Diskretisierung großer Temperaturgradienten, wie z.b. um das Rohr herum, verfeinert werden Das Rechengitter Für die numerische Berechnung von Temperaturfeldern muß eine Diskretisierung durchgeführt werden [Pat8]. Dabei wird das betrachtete Feld mit einem Gitter eingeteilt, wobei jeder Kreuzungspunkt genau einem Temperaturknoten entspricht. Um jeden Temperaturknoten wird nun ein Kontrollvo- 28

36 3.4 Numerisches Modell mit problemangepaßten Koordinaten lumen gelegt, so daß diese sich nicht überschneiden, aber das gesamte Temperaturfeld abbilden. T i-1 C R 1 R 2 T i C T i+1 C Abb. 1: Schematische Darstellung des Erstzschaltbildes für ein RC-Glied. Der Punkt entspricht einer mit Kapazität behafteten Temperatur. Die zugehörige Differentialgleichung ist in Gl. ( 29 ) aufgeführt. 1 1 ( T( i 1) T( i)) + ( T( i + 1) R R 1 2 T( i)) = c p T ( i) t ( 29 ) Der Wärmestrom für die i-te Zelle setzt sich bei eindimensionaler Wärmeleitung folgendermaßen zusammen: ρ dt dt i c i V i = Qi+ 1 i + Q i 1 i ( 3 ) mit: V i Q i+ i Q Volumen der i-ten Zelle 1 Wärmestrom von Zelle i+1 nach Zelle i i 1 i Wärmestrom von Zelle i-1 nach Zelle i In Analogie zum Ohmschen Gesetz wird oft der thermische Widerstand R eingeführt (vgl. Abb. 1, [Cer96]): R = T Q ( 31 ) mit: Q Wärmestrom T Temperaturdifferenz Liegen verschiedene Materialien vor, durch die der Wärmestrom fließt, erhält man durch Summieren der Teilwiderstände (R 1, R 2,...) einen Gesamtwiderstand R ges. 29

37 Kapitel 3: Modellierung von Erdreichwärmeübertragern R ges = R i i ( 32 ) mit: R ges R i Gesamtwiderstand i-ter Teilwiderstand Der Wärmeleitwert L ist definiert durch den Kehrwert des thermischen Widerstandes R: L = 1 R = Q T ( 33 ) Für den Wärmestrom nach Gl. ( 3 ) bedeutet das: i+ 1 i + Q i 1 i = L i i + 1 i i 1 i 1 Q ( T T ) + L ( T T ) i ( 34 ) mit: L i Wärmeleitwert der i-ten Zelle Das Rechengitter in kartesischen Koordinaten Im folgenden werden Gleichungen, die für das kartesische Rechengitter benötigt werden, vorgestellt. Für die leichtere Zuordnung der einzelnen Größen und Indizes sei auf Abb. 33 verwiesen. Die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung in kartesischen Koordinaten lautet: ρ cp T t T = λ x x ( 35 ) 3

38 3.4 Numerisches Modell mit problemangepaßten Koordinaten Für die gesamte Oberfläche berechnet sich der Wärmeleitwert mit Gl. ( 33 ) in kartesischen Koordinaten: mit: z zi zti L i 1 z i z = 4 2 l ( z ) λ i Ti + zti+ 1 λ i+ 1 1 z i kleinster Abstand der Zelle vom Rohrmittelpunkt Ortskoordinate der Zelle Ortskoordinate des Temperaturknotens i zti+ 1 Ortskoordinate des Temperaturknotens i+1 l Scheibendicke z z z z ( 36 ) l 2 Der Abstand des Temperaturknotens berechnet sich aus dem inneren und äußeren Abstand der Zelle: 3 z Ti = z i + zi ( 37 ) Die Wärmekapazität berechnet sich aus der spezifischen Wärmekapazität, dem Volumen und der Dichte des Quaders. C i = ci ρi V i = ci ρ i 2 z i+1 ( z z ) l i ( 38 ) Das Rechengitter in Zylinderkoordinaten Die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung in Zylinderkoordinaten lautet: ρ cp T t 1 T = r λ r r r ( 39 ) 31

39 Kapitel 3: Modellierung von Erdreichwärmeübertragern Für den Wärmeleitwert ergibt sich mit Gl. ( 32 ) und ( 33 ) in Zylinderkoordinaten: L i 1 = 2π l λ r ln + i+ 1 i+ 1 rti 2 1 r ln π l λ r i Ti i 1 ( 4 ) mit: ri ri+ 1 rti innerer Radius der Zelle äußerer Radius der Zelle Radius des Temperaturknotens Der Radius des Temperaturknotens berechnet sich aus dem inneren und äußeren Radius der Zelle und befindet sich im Trägheitsradius: r Ti = r 2 i + ri ( 41 ) Die Wärmekapazität berechnet sich aus der spezifischen Wärmekapazität, dem Volumen und der Dichte des Hohlzylinders. mit: V i l C i = ci ρi V i = ci ρ i π i+ Volumen der i-ten Zelle Scheibendicke 2 2 ( r r ) l 1 i ( 42 ) Übergang von zylindrischen zu kartesischen Koordinaten Um die beiden zuvor beschriebenen Gitter miteinander verbinden zu können, muß ein Übergang geschaffen werden. Dieser wird bei eindimensionaler Wärmeleitung nicht allen physikalischen Vorgängen gerecht werden können. Deshalb wird gefordert, daß der Wämeleitwert, die Kapazität und 32

40 3.4 Numerisches Modell mit problemangepaßten Koordinaten der Betrag des Wärmestroms sich nicht ändern, so daß keine Verletzung des Energiesatzes erfolgt, d.h. keine Energie verloren geht und auch keine hinzu kommt. Die Richtung des Wärmestroms wird allerdings verändert. Es kommt zu einer Verbiegung der Wärmestromlinien. Die Hauptrichtung bleibt allerdings erhalten. Abb. 11: Verbiegung der Wärmestromlinien beim Übergang von zylindrischen nach kartesischen Koordinaten. Abb. 12: Berechnung zweidimensionaler stationärer Wärmeleitung für den Übergang von zylindrischen zu kartesischen Koordinaten mit [The99]. Dargestellt sind die Wärmestromlinien als Vektoren, deren Länge den Betrag symbolisiert. Für einen Radius r und einen Abstand z, mit z > r, wird der Radius für den Temperaturknoten wie folgt berechnet: 2 r + r T = 2 z 2 ( 43 ) z T = z 2 ( 2z) 2z 2 T π r ( 44 ) r z r T z T Radius in Zylinderkoordinaten vom Rohrmittelpunkt Abstand vom Rohrmittelpunkt in kartesischen Koordinaten Radius des Temperaturknotens vom Rohrmittelpunkt virtueller Abstand des Temperaturknotens vom Rohrmittelpunkt siehe auch Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden. 33

41 Kapitel 3: Modellierung von Erdreichwärmeübertragern 34 z T wird als virtueller Abstand des Temperaturknotens bezeichnet, da dieser Abstand nur für die Berechnung der effektiven thermischen Leitfähigkeiten und Kapazitäten eingeht. Die effektiven thermischen Leitfähigkeiten für z und r berechnen sich aus Gl. ( 36 ) und ( 4 ) zu: = r r l r r l L T i T i r ln ln λ π λ π = i T i T z z z z z z l L λ λ ( 45 ) ( 46 ) Ein Vergleich der oben berechneten thermischen Leitfähigkeiten dieses Übergangs und Simulationen mit [The99], ergibt eine sehr gute Übereinstimmung. Für die bei einem Rohr mit Innendurchmesser 5 mm möglichen Kombinationen ergibt sich eine maximale Abweichung von 6.5 %. Für die Kapazität gilt: ( ) ( ) l r z c V c C π ρ ρ = = ( 47 ) Rohrmodellierung Im letzten Abschnitt wurde die Erzeugung des Rechengitters für das Erdreich in verschiedenen Koordinatensystemen vorgestellt. Im folgenden wird die Modellierung, der in der Erde liegenden Rohre, beschrieben. Hierbei treten zwei verschiedene Wärmeströme auf, die für die Bilanz im Rohr entscheidend sind: Der Enthalpiestrom des Fluids im Rohr und der Wärmestrom vom Erdreich durch die Rohrwand in das Fluid.

42 3.4 Numerisches Modell mit problemangepaßten Koordinaten T_i_1 r tube r L R L Rohr r T T_i T T 1 L r T1 r 1 Abb. 13: Modellierung eines Rohres im Erdreich. Es treten zwei entscheidende thermische Energieströme auf: Wärmestrom vom Erdreich durch die Rohrwand an das Fluid und Enthalpiestrom im Fluid von Rohrein- zu Rohrausgang. Dazu kann wieder, wie in Kapitel beschrieben, das Ersatzschaltbild verwendet werden. Die Berechnung der Austrittstemperatur erfolgt durch Gleichsetzten dieser beiden Wärmeströme Enthalpiestrom im Rohr Der Enthalpiestrom des im Rohr strömenden Fluids kann mit dem Ersatzschaltbild und Abb. 13 folgendermaßen beschrieben werden: Q konv = L R ( T T ) aus ein ( 48 ) Der Wärmeleitwert L Rohr setzt sich zusammen aus dem Produkt von Massenstrom und Wärmekapazität. L R = m c = π r 2 R, i v ρ c ( 49 ) mit: m Massenstrom des Fluids r R,i Rohrinnendurchmesser v Fluidgeschwindigkeit im Rohr Wärmestrom Rohr - Fluid Der Wärmestrom von der Rohrwand in das Fluid setzt sich aus der Wärmeleitung (Rohrmaterial) und dem Wärmeübergang (Rohrinnenfläche zu Fluid) 35

43 Kapitel 3: Modellierung von Erdreichwärmeübertragern zusammen. Der dazugehörige Wärmeleitwert L Rohr nach Abb. 13 berechnet sich zu: Q R F = L Rohr ( T T ) F ( 5 ) L Rohr 1 1 r T = ln π λ R l rr, i π α R rr, i l 1 Bezeichnungen vgl. Abb. 13. λ R Wärmeleitfähigkeit des Rohrmaterials r T Radius des Temperaturknotens in der Rohrwand. Wärmeübergangskoeffizient Rohr Fluid α R Die entscheidende Größe für den Wärmeübergang ist der Wärmeübergangskoeffizient α Rohr, der von sehr vielen Faktoren abhängt. Zum Beispiel spielen die Rohrgeometrien wie Durchmesser und Länge, Strömungsgeschwindigkeit, Art der Strömung, die Fluideigenschaften kinematische Viskosität, Wärmeleitfähigkeit und Kapazität sowie die Richtung des Wärmestroms eine große Rolle. Die Berechnung des Wärmeübergangskoeffizienten ist bisher nur für einfache Fälle rechnerisch lösbar (vgl. [Cer96]). Mit Hilfe von experimenteller Ermittlung und der von Nußelt begründeten Ähnlichkeitstheorie des Wärmeübergangs kann dieser für viele Fälle bestimmt werden. Gelingt es, die dimensionslose Form des Wärmeübergangskoeffizienten Nu zu ermitteln, so kann hieraus der Wärmeübergangskoeffizient α R berechnet werden. α R d Nu = λ F ( 51 ) mit: Nu λ F d R,i α R Nußelt-Zahl Wärmeleitfähigkeit des Fluids Rohrinnendurchmesser Wärmeübergangskoeffizient 36