Physik 4, Übung 8, Prof. Förster

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1 Physik 4, Übung 8, Prof. Förster Christoph Hansen kontakt Dieser Text ist unter dieser Creative Commons Lizenz veröffentlicht. Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. Falls ihr Fehler findet oder etwas fehlt, dann meldet euch bitte über den kontakt. Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabe a) b) c) d) Aufgabe.1 a) b) Aufgabe a) b) Aufgabe Aufgabe a) b) Aufgabe Wellengleichung Schrödingergleichung Aufgabe a) b) c) Aufgabe a) b) c)

2 C. Hansen 1 Aufgabe a) Der Wärmestrom ist einfach: Q = λ d A T = 1 kj h = 77.8 W 1. b) Der thermische Widerstand ergibt sich aus dem Wärmestrom: R th = Ṫ Q = 1 Kh 1 kj =.36 K W 1.3 c) Die Wärmekapazität ergibt sich aus der spezifischen Wärmekapazität und der Masse der Mauer: C = c m = c V ρ = J K 1.4 d) Wir nutzen: τ = R th C = s. Tage Aufgabe.1 a) Wir können trotz diese Aufgabe Danke dem Formkoeffizienten mit unserem Standartansatz lösen: Q = F λ T = W

3 C. Hansen 3. b) Der Wärmewiderstand ist einfach: R th = Ṫ Q = K W 3 Aufgabe a) Der Wärmestrom ergibt sich so wie schon auf dem Aufgabenblatt 7 Aufgabe 5. Hier müssen wir nur den Formkoeffizienten richtig verwenden: Q = T }{{} F S L L Wir können hier leider nicht nie Näherung verwenden, deshalb erhatlten wir diesen Term: λ π = ( ) T L a ln r + a 1 r = W 3. b) Der thermische Widerstand ist wie schon in Aufgabe 1: R th = Ṫ Q = K W 4 Aufgabe 4 Ich lasse diese Aufgabe aus, weil sie viel zu umfangreich und komplex ist, als das sie in der Klausur drankommen würde. So ein Typ Aufgabe würde man normalerweise mit dem PC lösen und nicht per Hand. Vielleicht werde ich sie später ergänzen. 5 Aufgabe a) Da es sich um ein stationäres System handelt müssen die Wärmeströme gleich sein. Wir stellen deshalb auf: q 1 = (T Wi T 1 ) q = λ B (T 1 T Wa )

4 C. Hansen 4 Nun setzen wir die beinen Ströme gleich: q 1 = q δ T 1 = is T Wi + λ B T Wa + λ B = 3.7 C 5. b) Hier haben wir das selbe System mit dem Unterschied, dass sich die Schicht auf der anderen Seite befindet: q 1 = q λ B (T Wi T 1 ) = (T 1 T Wi ) δ T 1 = is T Wa + λ B T Wi + λ B = 5.7 C 6 Aufgabe Wellengleichung Wir nehmen hier die homogene Wellengleichung in einer Dimension, die lautet: Die allgemeine Lösung ist: 1 ψ c t = ψ x Für unseren Ansatz wählen wir die Lösung: ψ(t, x) = f (x + ct) + g(x ct) ψ(t, x) = A e i(kx ωt) Nun müssen wir die partiellen Ableitungen bilden: Nun können wir einsetzen: ψ = Aiω e i(kx ωt) t ψ t = Aω e i(kx ωt) ψ = Aik ei(kx ωt) x ψ x = Ak e i(kx ωt) 1 c ω = k ω = k c Das ist eine wahre Aussage und damit die Wellengleichung erfüllt

5 C. Hansen 5 6. Schrödingergleichung Die eindimensionale zeitabhängige Schrödingergleichung lautet: Wir setzen unsere Ableitungen ein: m ψ ψ + Vψ = i x t m k + V = ω Auf der rechten Seite haben wir nun die Energie des Teilchens stehen und auf der linken Seite die kinetische Energie und das Potential des Teilchens. Das ist offensichtlich das selbe und damit ist die Schrödigergleichung erfüllt. 7 Aufgabe a) Das ist anschaulich klar. Nehmen wir z.b. einen Kasten mit Länge l = m, dann ist die Wahrscheinlichkeit des Teilchens sich in dem ersten oder zweiten Meter zu befinden 5%. Je feiner ich jetzt meine Längeneinteilung wähle, desto geringer wird die Wahrscheinlichkeit des Teilchens sich dort aufzuhalten. 7. b) Unsre Funktion für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist P(x) = 1 l, damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen entweder an einem Ort x n l aufhält unabhängig vom Ort. Die klassischen Erwartungswerte berechnen sich dann so: < x > = < x > = = l l l = l 3 xp dx = ] l [P x mit P = 1 l [ 1 x P dx = 3 P x 3 ] l 7.3 c) Das eindimensionale Kastenpotential mit unendlich hohen Wänden sieht so aus: Es ergeben sich hier zwei Randbedingungen, da die Wellenfunktion stetig sein und stetig differenzierbar sein muss. 1) ψ 1 () = ψ () ) ψ (L) = ψ 3 (L)

6 C. Hansen 6 Abbildung 1: 1- dim Kastenpotential Zudem müssen wie Funktionen normiert werden, damit man die Wahrscheinlichkeitsamplituden erhält d.h. N ψ dv = 1. Wir müssen nun eine passende Wellenfunktion finden und wählen als Ansatz: ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx) Nun nutzen wir die erste Randbedindgung: = ψ 1 () = A sin() + B cos() = ψ () = B = Die zweite Randbedingung führt auf: = ψ (L) = A sin(kl) = ψ 3 (L) = kl = nπ k = nπ L Es gibt also nur ganz bestimme n-fache von π L Lösungen. Man spricht von einer Quantisierung Wir haben also nun folgende Funktion: ( nπ ) ψ n (x) = A sin L x Diese müssen wir nun noch normieren, damit gilt: ( nπ ) sin dv = 1 L Normiert lautet die Funktion dann: ψ n (x) = L sin ( nπ L x ) Wir haben nun einmal den klassischen Erwartungswert mit P(x) = l und den quantenmechanischen mit ψ n (x) = L sin ( nπ L x) = l. Letzterer ergibt geplottet für verschiedene n die Verteilung auf Abbildung.

7 C. Hansen 7 Abbildung : Wahrscheinlichkeitsamplituden 1-dim Kasten 8 Aufgabe 8 Für die verschiedenen Wahrscheinlichkeitsamplituden muss man die normierte Wellenfunktion über das Intervall integrieren. Das sieht dann so aus: b a ( sin(πx) ) dx Damit ergeben sich die verschiedenen Amplituden zu: 8.1 a) P(.5) =.5 ( sin(πx) ) dx =.9 8. b) Da ich angenommen haben, das gilt n = 1, kann man aus der Symmetrie schließen, das es hier die selbe Amplitude hat wie a). Siehe dazu auch Abbildung. 8.3 c) P(.5.75) =.75.5 ( sin(πx) ) dx = 1 P(.5) =.818

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