Programmieren. Kapitel 3: Wie funktioniert ein moderner Computer? Wintersemester 2008/2009. Prof. Dr. Christian Werner
|
|
- Benedikt Schumacher
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Institut für Telematik Universität zu Lübeck Programmieren Kapitel 3: Wie funktioniert ein moderner Computer? Wintersemester 8/9 Prof. Dr. Christian Werner
2 3- Überblick Typische Merkmale moderner Computer Beispiel einer modernen Rechnerarchitektur Exkurs: Rechnen mit binären Zahlen Die Central Processing Unit (CPU) ein Überblick
3 3-3 Typische Merkmale moderner Computer Binäre Arithmetik Wortbreite: 3 oder 64 Bit Von Neumann-Architektur Weitreichende Standardisierung der Systemkomponenten (insbesondere der Schnittstellen) Hochintegrierte Schaltungen (z.b. AMD Athlon): 54,3 Millionen Transistoren Bei 3 nm Strukturbreite,7 GHz Taktfrequenz
4 3-4 Beispiel einer modernen Rechnerarchitektur Ein-/ Ausgabewerk CPU mit Rechenwerk und Steuerwerk Speicherwerk Busse
5 3-5 Beispiel einer Modernen Rechnerarchitektur () Was sollte sich ein (Anwendungs-)Programmierer unter den einzelnen Komponenten vorstellen? A B C D Adresse Wert? (Kabelverbindungen) x x x xf xf8 x x3 x4e xffff x4
6 3-6 Exkurs: Rechnen mit binären Zahlen Um die technische Realisierung möglichst einfach zu halten, arbeitet ein moderner Rechner binär, d.h. mit nur zwei Zuständen: und Eine Binärziffer heißt Bit (binary digit) Eine Folge von 8 Bit heißt Byte Genügen diese, um alle denkbaren Rechenaufgaben durchzuführen? Wie wir sehen werden, lassen sich alle Grundrechenarten auch mit dem binären Zahlensystem durchführen.
7 3-7 Beziehung zwischen Dezimal- und Binärsystem Beispiel: 4 Zahlenbasis : Tausender Hunderter Zahlenbasis : Zehner Einer 4
8 3-8 Umrechnung von Binär- nach Dezimalsystem Beispiel: 4 3 = = Beispiel:
9 3-9 Umrechnung von Dezimal- nach Binärsystem Horner-Schema: R = Least significant bit (LSB) = 3R = R = R Most significant bit (MSB) MSB LSB
10 3- Binäre Addition Wiederholung: Addition im Dezimalsystem Selbes Vorgehen im Binärsystem +
11 3- Binäre Subtraktion Wiederholung: Subtraktion im Dezimalsystem 4 Selbes Vorgehen im Binärsystem
12 3- Binäre Multiplikation Wiederholung: Multiplikation im Dezimalsystem Selbes Vorgehen im Binärsystem x 4 x
13 3-3 Binäre Division Wiederholung: Division im Dezimalsystem Selbes Vorgehen im Binärsystem R 7 7 = 3 / 3 = R /
14 3-4 Zwischenergebnis Die bekannten Grundrechenarten funktionieren auch im Binärsystem (und auch in allen anderen Zahlensystemen, insbesondere auch im Hexadezimalsystem) Bisher: Nur positive ganze Zahlen Frage: Wie gehen wir mit vorzeichenbehafteten Zahlen um?
15 3-5 Negative Binärzahlen mit Vorzeichenbit Beispiel: 3-Bit-Zahlen VZ Bit Bit Dezimal wert Bewertung: Prinzipiell ok Nachteile: Zwei Nullen VZ-Bit muss stets ausgewertet werden Arithmetik für Maschine nicht optimal
16 3-6 Negative Binärzahlen im Einerkomplement negative Zahlen positive Zahlen Vorteile: Vorzeichenumwandlung: invertiere bitweise Einerkomplementzahlen können prinzipiell direkt (d.h. bitweise) addiert werden! Nachteile Round Carry Zwei Nullen
17 3-7 Addition im Einerkomplement: 4+(-) + Übertrag! () +
18 3-8 Negative Binärzahlen im Zweierkomplement Vorzeichen-Umwandlung: invertiere bitweise und addiere Vorteile: Nur noch eine Null Direkte, bitweise Addition möglich
19 3-9 Addition im Zweierkomplement: 4+(-) + Übertrag kann ignoriert werden Schlussfolgerung: Die Zweierkomplementdarstellung ist sehr praktisch! Daher: Moderne Rechner arbeiten typischerweise mit dieser Darstellung
20 3- Darstellung reeller Zahlen Bisher: Nur ganze Zahlen betrachtet. Für viele Aufgaben wünscht man sich jedoch reelle Zahlen. Wie stellt man diese im Computer dar? Antwort: gar nicht Denn: Computer haben nur einen endlichen Speicher und können daher keine potentiell unendlich langen Zifferfolgen darstellen Aber: Man kann auf einige Nachkommastellen genau rechnen!
21 3- Festkommadarstellung Dezimalsystem (Beispiel) Bei drei Dezimalstellen und drei Nachkommastellen sind Zahlen darstellbar, die in jeweils Teilschritte unterteilt sind. Beispiel: 75,38 Hunderter Zehner Einer Zehntel Hundertstel Tausendstel Binärsystem Bei sechzehn Binärstellen und sechzehn binären Nachkommastellen sind Zahlen darstellbar, die in jeweils Teilschritte unterteilt sind. Beispiel:,
22 3- Festkommadarstellung (Umrechnungen) Binärsystem Dezimalsystem (siehe Folie 8) Dezimalsystem Binärsystem Ebenfalls mit Horner-Schema, aber beim Nachkommaanteil wird aus der Division eine Multiplikation! (wegen negativer Exponenten) Beispiel 4, = 3R = R = 7R = R LSB MSB Ergebnis (mit 6+6 Bit):,, =. +, =,4 +,4 =,8 +,8 =,6 +,6 =. +, =,4 +,4 =,8 +,8 =,6 + Erstaunlich: Nachkommateil ist periodisch, d.h. Darstellung mit endlicher Bitanzahl ist nicht exakt!... MSB LSB
23 3-3 Fließkommazahlen Weiteres Problem: Für viele technische und wissenschaftliche Berechnungen sind Wertebereich und Genauigkeit von Festkommazahlen zu gering. Speziell gilt: Große Zahlen: Man wünscht sich einen größeren Wertebereich Kleine Zahlen: Man wünscht sich mehr Nachkommastellen. Idee: Schreibe Binärzahl B als Produkt aus Festkommazahl und Zweierpotenz: B=X* Y (, X und Y sind ebenfalls Binärzahlen!) Kennen Sie aus dem Physikunterricht:,5637 * -6 m/s² Auch im Binärsystem: Der Exponent bewirkt eine Verschiebung des Kommas (daher der Name Fließkommazahl): Beispiel:, * =, Mantisse Exponent Es ist möglich und sinnvoll, die Mantisse mit, beginnen zu lassen. Die Kommaverschiebung vermerkt man im Exponenten. Eine solche Zahl heißt normalisiert.
24 3-4 3-Bit-Fließkommazahlen nach Standard IEEE 754 Alle gängigen Rechner, die mit Fließkommazahlen arbeiten, verwenden die Darstellung nach IEEE Standard Bit-Fließkommazahl: BIT 8 BIT 3 BIT Vorzeichen Exponent Mantisse (gebrochener Teil) Trick: Da im Binärsystem die Mantisse immer mit einer beginnt, wird diese Ziffer weggelassen. Dadurch spart man ein Bit. Der Wert des Exponenten e effektiv ist definiert als (e-) Dadurch gilt: e= Komma wird 6 Stellen nach recht verschoben. e= Komma wird nicht verschoben. e= Komma wird 7 Stellen nach links verschoben.
25 3-5 3-Bit-Fließkommazahlen nach Standard IEEE 754 () Binärer Wert einer Gleitpunktzahl Für e und M g = ( ) v (, M ) e Problem: Darstellung der (, x immer ungleich ) Daher Sonderfälle: e= und M denomalisiert (,M) e= und M= e= und M NaN (Not a Number) e= und M= Unendlich (Infinity, je nach Vorzeichen +/-) BIT 8 BIT 3 BIT Vorzeichen Exponent Mantisse (gebrochener Teil)
26 3-6 Umrechnung IEEE 754 nach Dezimalzahl Rechne Mantisse und Exponent in Dezimalzahlen um und benutze die folgende Formel: v g dezimal = ( ) (, + M Beispiel: v= e= 7 8 e 7 m= 975 / 3 ) g dezimal = ( ) (, + / 3 ) 8 7 = ( + ) =,5 * =,5
27 3-7 Umrechnung Dezimalzahl nach IEEE 754. Rechne Absolutwert der Dezimalzahl in Festkommabinärzahl um und zwar mit 3 Binärstellen hinter der ersten (siehe Folie ). Verschiebe das Komma um n Stellen nach links bzw. um -n Stellen nach rechts, so dass die Zahl die Form, bekommt. 3. Schreibe das Vorzeichenbit ( falls negativ, sonst) 4. Rechne e=n+7 und schreibe binäre Darstellung von e. 5. Schreibe m (Bitfolge hinter dem Komma aus Schritt ) Beispiel: 4,., (vgl. Folie )., n=3 3. v= =3 e= 5. m= Ergebnis: (Gerundet: )
28 3-8 Rechnen mit Fließkommazahlen Im Prinzip sehr einfach:. Exponenten angleichen (Zahl mit kleinerem Exponenten wird denormalisiert). Mantissen addieren/subtrahieren/multipilieren/dividieren 3. Ergebnis normalisieren 4. Fertig!
29 3-9 Rechnen mit Fließkommazahlen (Beispiel), ,5,75, e = = 3 m = 53,5, e = = 3 m = e < e e anpassen!, +,,, e 3 = 33! 66,5 =
30 3-3 Vor- und Nachteile beim Rechnen mit Fließkommazahlen Vorteile: Fließkommazahlen fühlen sich für den Programmierer prinzipiell wie reelle Zahlen an. Großer Wertebereich, inkl. Werten für +inf. und inf. Nachteile: Sie sind nur endlich genau! Zahlen, die im Dezimalsystem exakt dargestellt werden können, müssen im Binärsystem u.u. gerundet werden. Durch diese Ungenauigkeit kommt es schon bei einfachen Rechnungen zu Rundungsfehlern! Beispiel: = = = aber: = = (Distributivgesetz verletzt!) Konsequenz: Für Rechenaufgaben, die wirklich exakt erledigt werden müssen (z.b. im Bankwesen), ist Fließkommaarithmetik in der Regel ungeeignet. Verwenden Sie möglichst Double-Precision-Fließkommazahlen (64 Bit: Vorzeichenbit, Bit Exponent, 5 Bit Mantisse)
31 3-3 Ergänzung: Das Hexadzimalsystem Neben dem Binärsystem gibt es für den Programmierer noch ein weiteres wichtiges Zahlensystem: das Hexadezimalsystem, kurz: Hex 6 Ziffern:,,,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f a bis f stehen für die Zahlen bis 5 Umrechnung zwischen Dezimal und Hex funktioniert völlig analog zum Binärsystem
32 3-3 Beziehung zwischen Dezimal-, Binär- und Hexadezimalsystem Beispiel: 53 Zahlenbasis : Hunderter Zehner 5 Einer 3 Zahlenbasis : Zahlenbasis 6 : 6 f 6 d
33 3-33 Verwendung des Hexdezimalsystems Obwohl moderne Computer ausschließlich binär rechnen, verwenden Programmierer oft die Hex- Schreibweise, um Binärzahlen kompakter schreiben zu können. Eine Hex-Ziffer entspricht immer vier Bit: f 6 d Bytes werden daher typischerweise als Folge von zwei Hex-Ziffern angegeben.
34 3-34 Die Central Processing Unit (CPU) Grundlagen Durch das Binärsystem ist es Rechnern möglich, mit nur zwei unterscheidbaren Zuständen alle möglichen Berechnungen durchzuführen. Wie funktioniert das konkret? Auf einer CPU sind etliche Transistoren so verschaltet, dass damit gerechnet werden kann. Beispiel: NAND-Gatter:
35 3-35 Die Central Processing Unit (CPU) Grundlagen ()
36 3-36 Befehlszyklus einer CPU Auf ähnliche Weise kann man Schaltungen für andere Rechenoperationen konstruieren. Insbesondere auch zur Verarbeitung von Fließkommazahlen. Woher weiß die CPU aber, welche Rechenoperationen sie ausführen muss und welche Schaltung gerade verwendet werden soll? Die Central Processing Unit (CPU) heutiger Rechner arbeitet in vier Schritten:. Fetch: Befehl und Daten aus dem Speicher holen. Decode: Befehl decodieren und Steuersignal an das Rechenwerk (ALU) anlegen 3. Execute: Berechnung ausführen 4. Store: Ergebnis in den Speicher zurück schreiben
37 3-37 Die Central Processing Unit (CPU) Speicherwerk Adresse x x x3 x4 xffff Wert xf xf8 x x4e x4 Machinenprogramm mit Befehlen und Daten Busse Adresse Wert Programmzähler CPU Steuerwerk (Befehls-)Registerspeicher Befehlsdekoder Rechenwerk (Rechen-)Registerspeicher Rechenschaltungen steuert Ein-/Ausgabewerk ist nicht dargestellt. Dieses wird jedoch ebenfalls über Busse an die CPU angebunden
38 3-38 Die Central Processing Unit (CPU) Maschinencode-Beispiel x86 : EA 5 C 7 B4 CD 6 C 3 C : C B4 E BB 7 B D CD B CD CD : B D CD 88 C8 3C 3 7 DB 3C 3A 7 C 3C 45 3: 73 D3 B 3 CD 88 C8 C A CD EB C7 Sprungbefehl: Lade Programmzähler mit Adresse 7C:5 Datenregister mit Konstante Laden: Schreibe in das Register ah Ein-/Ausgabewerk benutzen: Signal 6 bedeutet bei ah=: Lese einen Tastendruck ein. Ergebnis (ASCII-Wert) wird in das Register al geschrieben Addiere: Rechne Wert in al + Wert in al und schreibe Ergebnis nach al. Und so weiter Subtrahiere Konstante: Subtrahiere 3 vom Wert in al und schreibe Ergebnis nach al
39 3-39 Zusammenfassung Computer sind weniger magisch als Sie vielleicht dachten. Wenn Sie sich für die genaue Bedeutung der Maschinenbefehle interessieren, schauen Sie doch einfach nach. Z.B. hier: Als (Anwendungs-)Programmierer müssen sie aber nicht die Machinensprache beherrschen das erledigen Entwicklerwerkzeuge (sog. Compiler) für sie. Was Sie aber mindestens wissen sollten: Wie stellt der Computer Zahlen dar? - Ganze Zahlen - Ganze Zahlen mit Vorzeichen (Einer- und Zweierkomplement) - Fließkommadarstellung Wo liegen die Grenzen dieser Darstellungen (Wertebereich, Genauigkeit)? Wie rechnet man mit diesen Darstellungen? Wie kann man Bitfolgen kompakt im Hexadezimalsystem darstellen?
21.10.2013. Vorlesung Programmieren. Agenda. Dezimalsystem. Zahlendarstellung. Zahlendarstellung. Oder: wie rechnen Computer?
Vorlesung Programmieren Zahlendarstellung Prof. Dr. Stefan Fischer Institut für Telematik, Universität zu Lübeck http://www.itm.uni-luebeck.de/people/pfisterer Agenda Zahlendarstellung Oder: wie rechnen
MehrVorlesung Programmieren
Vorlesung Programmieren Zahlendarstellung Prof. Dr. Stefan Fischer Institut für Telematik, Universität zu Lübeck http://www.itm.uni-luebeck.de/people/pfisterer Agenda Zahlendarstellung Oder: wie rechnen
MehrBinärdarstellung von Fliesskommazahlen
Binärdarstellung von Fliesskommazahlen 1. IEEE 754 Gleitkommazahl im Single-Format So sind in Gleitkommazahlen im IEEE 754-Standard aufgebaut: 31 30 24 23 0 S E E E E E E E E M M M M M M M M M M M M M
Mehr1. Das dekadische Ziffernsystem (Dezimalsystem) Eine ganze Zahl z kann man als Summe von Potenzen zur Basis 10 darstellen:
Zahlensysteme. Das dekadische Ziffernsystem (Dezimalsystem) Eine ganze Zahl z kann man als Summe von Potenzen zur Basis darstellen: n n n n z a a... a a a Dabei sind die Koeffizienten a, a, a,... aus der
MehrGrundlagen der Informatik
Mag. Christian Gürtler Programmierung Grundlagen der Informatik 2011 Inhaltsverzeichnis I. Allgemeines 3 1. Zahlensysteme 4 1.1. ganze Zahlen...................................... 4 1.1.1. Umrechnungen.................................
MehrBinäre Gleitkommazahlen
Binäre Gleitkommazahlen Was ist die wissenschaftliche, normalisierte Darstellung der binären Gleitkommazahl zur dezimalen Gleitkommazahl 0,625? Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 72
MehrMusterlösung 2. Mikroprozessor & Eingebettete Systeme 1
Musterlösung 2 Mikroprozessor & Eingebettete Systeme 1 WS2014/2015 Hinweis: Die folgenden Aufgaben erheben nicht den Anspruch, eine tiefergehende Kenntnis zu vermitteln; sie sollen lediglich den Einstieg
Mehr2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
2.1 Analoge und digitale Darstellung von Werten 79 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Computer- bzw. Prozessorsysteme führen Transformationen durch, die Eingaben X auf Ausgaben Y abbilden, d.h. Y = f
MehrZahlensysteme Seite -1- Zahlensysteme
Zahlensysteme Seite -- Zahlensysteme Inhaltsverzeichnis Dezimalsystem... Binärsystem... Umrechnen Bin Dez...2 Umrechnung Dez Bin...2 Rechnen im Binärsystem Addition...3 Die negativen ganzen Zahlen im Binärsystem...4
Mehr2. Negative Dualzahlen darstellen
2.1 Subtraktion von Dualzahlen 2.1.1 Direkte Subtraktion (Tafelrechnung) siehe ARCOR T0IF Nachteil dieser Methode: Diese Form der Subtraktion kann nur sehr schwer von einer Elektronik (CPU) durchgeführt
MehrEinführung in die Informatik I
Einführung in die Informatik I Das Rechnen in Zahlensystemen zur Basis b=2, 8, 10 und 16 Prof. Dr. Nikolaus Wulff Zahlensysteme Neben dem üblichen dezimalen Zahlensystem zur Basis 10 sind in der Informatik
MehrBITte ein BIT. Vom Bit zum Binärsystem. A Bit Of Magic. 1. Welche Werte kann ein Bit annehmen? 2. Wie viele Zustände können Sie mit 2 Bit darstellen?
BITte ein BIT Vom Bit zum Binärsystem A Bit Of Magic 1. Welche Werte kann ein Bit annehmen? 2. Wie viele Zustände können Sie mit 2 Bit darstellen? 3. Gegeben ist der Bitstrom: 10010110 Was repräsentiert
MehrInformationssysteme Gleitkommazahlen nach dem IEEE-Standard 754. Berechnung von Gleitkommazahlen aus Dezimalzahlen. HSLU T&A Informatik HS10
Informationssysteme Gleitkommazahlen nach dem IEEE-Standard 754 Berechnung von Gleitkommazahlen aus Dezimalzahlen Die wissenschaftliche Darstellung einer Zahl ist wie folgt definiert: n = f * 10 e. f ist
MehrLösungen: zu 1. a.) 0 0 1 1 b.) 1 1 1 1 c.) 0 1 1 0 + 1 1 0 0 + 0 0 1 1 + 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1
Lösungen: zu 1. a.) 0 0 1 1 b.) 1 1 1 1 c.) 0 1 1 0 + 1 1 0 0 + 0 0 1 1 + 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 vorzeichenlose Zahl: 15 vorzeichenlose Zahl: 18 vorzeichenlose Zahl: 13 Zweierkomplement: - 1
MehrTechnische Informatik - Eine Einführung
Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Fachbereich Mathematik und Informatik Lehrstuhl für Technische Informatik Prof. P. Molitor Ausgabe: 2005-02-21 Abgabe: 2005-02-21 Technische Informatik - Eine
MehrEin polyadisches Zahlensystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl x nach Potenzen von B zerlegt wird.
Zahlensysteme Definition: Ein polyadisches Zahlensystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl x nach Potenzen von B zerlegt wird. In der Informatik spricht man auch von Stellenwertsystem,
MehrKapitel 2 Grundlegende Konzepte. Xiaoyi Jiang Informatik I Grundlagen der Programmierung
Kapitel 2 Grundlegende Konzepte 1 2.1 Zahlensysteme Römisches System Grundziffern I 1 erhobener Zeigefinger V 5 Hand mit 5 Fingern X 10 steht für zwei Hände L 50 C 100 Centum heißt Hundert D 500 M 1000
MehrEinführung in die Programmierung
Technische Universität Carolo Wilhelmina zu Brauschweig Institut für rechnergestützte Modellierung im Bauingenierwesen Prof. Dr.-Ing. habil. Manfred Krafczyk Pockelsstraße 3, 38106 Braunschweig http://www.irmb.tu-bs.de
MehrZahlensysteme. Digitale Rechner speichern Daten im Dualsystem 435 dez = 1100110011 binär
Zahlensysteme Menschen nutzen zur Angabe von Werten und zum Rechnen vorzugsweise das Dezimalsystem Beispiel 435 Fische aus dem Teich gefischt, d.h. 4 10 2 + 3 10 1 +5 10 0 Digitale Rechner speichern Daten
MehrVertiefungsstoff zum Thema Darstellung von Zahlen
Vertiefungsstoff zum Thema Darstellung von Zahlen Addition von Zahlen in BCD-Kodierung Einerkomplementdarstellung von ganzen Zahlen Gleitpunktdarstellung nach dem IEEE-754-Standard 1 Rechnen mit BCD-codierten
MehrGrundlagen der Informatik 2 Grundlagen der Digitaltechnik. 1. Zahlensysteme
Grundlagen der Informatik 2 Grundlagen der Digitaltechnik 1. Zahlensysteme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Teich Dr.-Ing. Christian Haubelt Lehrstuhl für Hardware-Software Software-Co-Design Grundlagen der Digitaltechnik
MehrZahlensysteme. von Christian Bartl
von Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis... 2 1. Einleitung... 3 2. Umrechnungen... 3 2.1. Dezimalsystem Binärsystem... 3 2.2. Binärsystem Dezimalsystem... 3 2.3. Binärsystem Hexadezimalsystem... 3 2.4.
Mehra) Da die Zahlen im IEEE-32Bit-Format dargestellt werden sollen, ist der Bias = 127.
Übung 2, Aufgabe 4) a) Da die Zahlen im IEEE-32Bit-Format dargestellt werden sollen, ist der Bias = 127. 1,125 in IEEE 754 (32Bit) 0,125 2 = 0,25 0,25 2 = 0,5 0,5 2 = 1 1,125 10 = 1,001 2 Da die Zahl bereits
MehrKapitel 1. Zahlendarstellung. Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann. Hochschule Karlsruhe w University of Applied Sciences w Fakultät für Informatik
Kapitel 1 Zahlendarstellung Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann Hochschule Karlsruhe w University of Applied Sciences w Fakultät für Informatik Zahlensystemkonvertierung Motivation Jede nichtnegative Zahl z lässt
MehrIm Original veränderbare Word-Dateien
Binärsystem Im Original veränderbare Word-Dateien Prinzipien der Datenverarbeitung Wie du weißt, führen wir normalerweise Berechnungen mit dem Dezimalsystem durch. Das Dezimalsystem verwendet die Grundzahl
MehrDas Rechnermodell - Funktion
Darstellung von Zahlen und Zeichen im Rechner Darstellung von Zeichen ASCII-Kodierung Zahlensysteme Dezimalsystem, Dualsystem, Hexadezimalsystem Darstellung von Zahlen im Rechner Natürliche Zahlen Ganze
MehrDas Maschinenmodell Datenrepräsentation
Das Maschinenmodell Datenrepräsentation Darstellung von Zahlen/Zeichen in der Maschine Bit (0/1) ist die kleinste Informationseinheit Größere Einheiten durch Zusammenfassen mehrerer Bits, z.b. 8 Bit =
MehrMusterlösung 2. Mikroprozessor & Eingebettete Systeme 1
Musterlösung 2 Mikroprozessor & Eingebettete Systeme 1 WS2013/2014 Hinweis: Die folgenden Aufgaben erheben nicht den Anspruch, eine tiefergehende Kenntnis zu vermitteln; sie sollen lediglich den Einstieg
MehrKapitel 2. Zahlensysteme, Darstellung von Informationen
Kapitel 2 Zahlensysteme, Darstellung von Informationen 1 , Darstellung von Informationen Ein Computer speichert und verarbeitet mehr oder weniger große Informationsmengen, je nach Anwendung und Leistungsfähigkeit.
MehrInhalt: Binärsystem 7.Klasse - 1 -
Binärsystem 7.Klasse - 1 - Inhalt: Binärarithmetik... 2 Negative Zahlen... 2 Exzess-Darstellung 2 2er-Komplement-Darstellung ( two s complement number ) 2 Der Wertebereich vorzeichenbehafteter Zahlen:
MehrBSZ für Elektrotechnik Dresden. Zahlenformate. Dr.-Ing. Uwe Heiner Leichsenring www.leichsenring-homepage.de
BSZ für Elektrotechnik Dresden Zahlenformate Dr.-Ing. Uwe Heiner Leichsenring www.leichsenring-homepage.de Gliederung 1 Überblick 2 Grundaufbau der Zahlensysteme 2.1 Dezimalzahlen 2.2 Binärzahlen = Dualzahlen
MehrComputerarithmetik ( )
Anhang A Computerarithmetik ( ) A.1 Zahlendarstellung im Rechner und Computerarithmetik Prinzipiell ist die Menge der im Computer darstellbaren Zahlen endlich. Wie groß diese Menge ist, hängt von der Rechnerarchitektur
MehrZahlensysteme. Zahl 0 0 0 0 0 5 5. Stellenwert Zahl 0 0 0 0 0 50 5. Zahl = 55 +50 +5
Personal Computer in Betrieb nehmen 1/6 Weltweit setzen die Menschen alltäglich das Zehnersystem für Zählen und Rechnen ein. Die ursprüngliche Orientierung stammt vom Zählen mit unseren 10 Fingern. Für
MehrJede Zahl muss dabei einzeln umgerechnet werden. Beginnen wir also ganz am Anfang mit der Zahl,192.
Binäres und dezimales Zahlensystem Ziel In diesem ersten Schritt geht es darum, die grundlegende Umrechnung aus dem Dezimalsystem in das Binärsystem zu verstehen. Zusätzlich wird auch die andere Richtung,
Mehr1. 4-Bit Binärzahlen ohne Vorzeichen 2. 4-Bit Binärzahlen mit Vorzeichen 3. 4-Bit Binärzahlen im 2er Komplement 4. Rechnen im 2er Komplement
Kx Binäre Zahlen Kx Binäre Zahlen Inhalt. Dezimalzahlen. Hexadezimalzahlen. Binärzahlen. -Bit Binärzahlen ohne Vorzeichen. -Bit Binärzahlen mit Vorzeichen. -Bit Binärzahlen im er Komplement. Rechnen im
MehrWintersemester Maschinenbau und Kunststofftechnik. Informatik. Tobias Wolf http://informatik.swoke.de. Seite 1 von 18
Kapitel 3 Datentypen und Variablen Seite 1 von 18 Datentypen - Einführung - Für jede Variable muss ein Datentyp festgelegt werden. - Hierdurch werden die Wertemenge und die verwendbaren Operatoren festgelegt.
MehrZahlendarstellungen und Rechnerarithmetik*
Zahlendarstellungen und Rechnerarithmetik* 1. Darstellung positiver ganzer Zahlen 2. Darstellung negativer ganzer Zahlen 3. Brüche und Festkommazahlen 4. binäre Addition 5. binäre Subtraktion *Die Folien
MehrÜbung Programmieren - Zahlendarstellung, SSH, SCP, Shellskripte -
Übung Programmieren - Zahlendarstellung, SSH, SCP, Shellskripte - Sebastian Ebers Institut für Telematik, Universität zu Lübeck http://www.itm.uni-luebeck.de/users/ebers Zahlendarstellung 201010? 16 2010
MehrBinäre Division. Binäre Division (Forts.)
Binäre Division Umkehrung der Multiplikation: Berechnung von q = a/b durch wiederholte bedingte Subtraktionen und Schiebeoperationen in jedem Schritt wird Divisor b testweise vom Dividenden a subtrahiert:
MehrTechnische Grundlagen der Informatik Kapitel 8. Prof. Dr. Sorin A. Huss Fachbereich Informatik TU Darmstadt
Technische Grundlagen der Informatik Kapitel 8 Prof. Dr. Sorin A. Huss Fachbereich Informatik TU Darmstadt Kapitel 8: Themen Zahlensysteme - Dezimal - Binär Vorzeichen und Betrag Zweierkomplement Zahlen
Mehrin vielen technischen und wissenschaftlichen Anwendungen erforderlich: hohe Präzision große Dynamik möglich durch Verwendung von Gleitkommazahlen
Gleitkommazahlen in vielen technischen und wissenschaftlichen Anwendungen erforderlich: hohe Präzision große Dynamik möglich durch Verwendung von Gleitkommazahlen allgemeine Gleitkommazahl zur Basis r
MehrZahlensysteme: Oktal- und Hexadezimalsystem
20 Brückenkurs Die gebräuchlichste Bitfolge umfasst 8 Bits, sie deckt also 2 8 =256 Möglichkeiten ab, und wird ein Byte genannt. Zwei Bytes, also 16 Bits, bilden ein Wort, und 4 Bytes, also 32 Bits, formen
Mehr3 Rechnen und Schaltnetze
3 Rechnen und Schaltnetze Arithmetik, Logik, Register Taschenrechner rste Prozessoren (z.b. Intel 4004) waren für reine Rechenaufgaben ausgelegt 4 4-Bit Register 4-Bit Datenbus 4 Kbyte Speicher 60000 Befehle/s
MehrInformationsdarstellung im Rechner
Informationsdarstellung im Rechner Dr. Christian Herta 15. Oktober 2005 Einführung in die Informatik - Darstellung von Information im Computer Dr. Christian Herta Darstellung von Information im Computer
MehrZahlensysteme Das 10er-System
Zahlensysteme Übungsblatt für die entfallende Stunde am 22.10.2010. Das 10er-System... 1 Umrechnung in das 10er-System... 2 2er-System... 2 8er-System... 2 16er-System... 3 Umrechnung in andere Zahlensysteme...
MehrGrundlagen der Technischen Informatik. 4. Übung
Grundlagen der Technischen Informatik 4. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit 4. Übungsblatt Themen Aufgabe 1: Aufgabe 2: Polyadische Zahlensysteme Gleitkomma-Arithmetik 4.
MehrRepräsentation von Daten: Binär-, Oktal- u. Hexadezimalcodierung von ganzen und rationalen Zahlen
Großübung 1: Zahlensysteme Repräsentation von Daten: Binär-, Oktal- u. Hexadezimalcodierung von ganzen und rationalen Zahlen Lehrender: Dr. Klaus Richter, Institut für Informatik; E-Mail: richter@informatik.tu-freiberg.de
MehrEine Logikschaltung zur Addition zweier Zahlen
Eine Logikschaltung zur Addition zweier Zahlen Grundlegender Ansatz für die Umsetzung arithmetischer Operationen als elektronische Schaltung ist die Darstellung von Zahlen im Binärsystem. Eine Logikschaltung
MehrMicrocontroller Kurs. 08.07.11 Microcontroller Kurs/Johannes Fuchs 1
Microcontroller Kurs 08.07.11 Microcontroller Kurs/Johannes Fuchs 1 Was ist ein Microcontroller Wikipedia: A microcontroller (sometimes abbreviated µc, uc or MCU) is a small computer on a single integrated
MehrGrundlagen der Technischen Informatik Wintersemester 12/13 J. Kaiser, IVS-EOS
Gleit komma zahlen Gleitkommazahlen in vielen technischen und wissenschaftlichen Anwendungen wird eine große Dynamik benötigt: sowohl sehr kleine als auch sehr große Zahlen sollen einheitlich dargestellt
Mehr183.580, WS2012 Übungsgruppen: Mo., 22.10.
VU Grundlagen digitaler Systeme Übung 2: Numerik, Boolesche Algebra 183.580, WS2012 Übungsgruppen: Mo., 22.10. Aufgabe 1: Binäre Gleitpunkt-Arithmetik Addition & Subtraktion Gegeben sind die Zahlen: A
MehrDaten verarbeiten. Binärzahlen
Daten verarbeiten Binärzahlen In Digitalrechnern werden (fast) ausschließlich nur Binärzahlen eingesetzt. Das Binärzahlensystem ist das Stellenwertsystem mit der geringsten Anzahl von Ziffern. Es kennt
MehrProgrammierung mit NQC: Kommunikation zwischen zwei RCX
Programmierung mit NQC: Kommunikation zwischen zwei RCX Teil : Grundlagen Martin Schmidt 7. Februar 24 Teil : Grundlagen Zahlensysteme : Binärsystem Ziffern: und Bit = binary digit (Binärziffer) Einfach
MehrÜbung RA, Kapitel 1.2
Übung RA, Kapitel 1.2 Teil 1: Zahlen und Logik A) Aufgaben zu den ganzen Zahlen 1. Konvertieren Sie die folgenden Zahlen in die Binärform: 1984 Immer durch 2 teilen, der Rest ergibt das Bit. Jeweils mit
MehrGrundstrukturen: Speicherorganisation und Zahlenmengen
Zahlendarstellung Zahlen und ihre Darstellung in Digitalrechnern Grundstrukturen: Speicherorganisation und Zahlenmengen Linear organisierter Speicher zu einer Adresse gehört ein Speicher mit 3 Bit-Zellen
MehrLeseprobe. Taschenbuch Mikroprozessortechnik. Herausgegeben von Thomas Beierlein, Olaf Hagenbruch ISBN: 978-3-446-42331-2
Leseprobe Taschenbuch Mikroprozessortechnik Herausgegeben von Thomas Beierlein, Olaf Hagenbruch ISBN: 978-3-446-4331- Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-4331-
Mehr5. Übung: Binäres Rechnen und Fließkommazahlen Abteilung Verteilte Systeme, Universität Ulm
5. Übung: Binäres Rechnen und Fließkommazahlen Aufgabe 1: Binäres Rechnen a) Berechnen Sie: x = 01100101b*(0101101b-10110100b)+10101b. Alle Zahlen sind 8 Bit breit und in Zweierkomplement-Notation angegeben.
MehrMikro-Controller-Pass 1
MikroControllerPass Lernsysteme MC 805 Seite: (Selbststudium) Inhaltsverzeichnis Vorwort Seite 2 Addition Seite 3 Subtraktion Seite 4 Subtraktion durch Addition der Komplemente Dezimales Zahlensystem:Neunerkomplement
MehrModul 114. Zahlensysteme
Modul 114 Modulbezeichnung: Modul 114 Kompetenzfeld: Codierungs-, Kompressions- und Verschlüsselungsverfahren einsetzen 1. Codierungen von Daten situationsbezogen auswählen und einsetzen. Aufzeigen, welche
MehrGrundlagen der Informatik (BSc) Übung Nr. 5
Übung Nr. 5: Zahlensysteme und ihre Anwendung Bitte kreuzen Sie in der folgenden Auflistung alle Zahlensysteme an, zu welchen jeder Ausdruck als Zahl gehören kann! (Verwenden Sie 'x für Wahl, ' ' für Ausschluß
MehrMathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 1. Semester ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN
ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN Wir wollen nun die Rechengesetze der natürlichen Zahlen auf die Zahlenmenge der ganzen Zahlen erweitern und zwar so, dass sie zu keinem Widerspruch mit bisher geltenden
MehrComputergrundlagen Boolesche Logik, Zahlensysteme und Arithmetik
Computergrundlagen Boolesche Logik, Zahlensysteme und Arithmetik Institut für Computerphysik Universität Stuttgart Wintersemester 2012/13 Wie rechnet ein Computer? Ein Mikroprozessor ist ein Netz von Transistoren,
MehrLösung 1. Übungsblatt
Fakultät Informatik, Technische Informatik, Professur für Mikrorechner Lösung 1. Übungsblatt Konvertierung von Zahlendarstellungen verschiedener Alphabete und Darstellung negativer Zahlen Stoffverteilung
MehrDezimalkomma (decimal point) rechts von Stelle mit Wertigkeit 100 nachfolgende Stellen haben Wertigkeit 10-1, 10-2, etc.
Fixpunktdarstellung Fixed-point numbers Bsp. Dezimaldarstellung Dezimalkomma (decimal point) rechts von Stelle mit Wertigkeit 100 nachfolgende Stellen haben Wertigkeit 10-1, 10-2, etc. Binärdarstellung
MehrProf. Dr. Oliver Haase Karl Martin Kern Achim Bitzer. Programmiertechnik Zahlensysteme und Datendarstellung
Prof. Dr. Oliver Haase Karl Martin Kern Achim Bitzer Programmiertechnik Zahlensysteme und Datendarstellung Zahlensysteme Problem: Wie stellt man (große) Zahlen einfach, platzsparend und rechnergeeignet
MehrTheoretische Informatik SS 04 Übung 1
Theoretische Informatik SS 04 Übung 1 Aufgabe 1 Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine natürliche Zahl n zu codieren. In der unären Codierung hat man nur ein Alphabet mit einem Zeichen - sagen wir die
MehrLineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als
MehrDaten, Informationen, Kodierung. Binärkodierung
Binärkodierung Besondere Bedeutung der Binärkodierung in der Informatik Abbildung auf Alphabet mit zwei Zeichen, in der Regel B = {0, 1} Entspricht den zwei möglichen Schaltzuständen in der Elektronik:
MehrNumerisches Programmieren, Übungen
Technische Universität München SoSe 0 Institut für Informatik Prof Dr Thomas Huckle Dipl-Math Jürgen Bräckle Nikola Tchipev, MSc Numerisches Programmieren, Übungen Musterlösung Übungsblatt: Zahlendarstellung,
MehrÜbungen zu Informatik 1
Communication Systems Group (CSG) Prof. Dr. Burkhard Stiller, Universität Zürich, Binzmühlestrasse 14, CH-8050 Zürich Telefon: +41 44 635 6710, Fax: +41 44 635 6809, stiller@ifi.uzh.ch Fabio Hecht, Telefon:
MehrBinär- und Hexadezimal-Zahl Arithmetik.
Binär- und Hexadezimal-Zahl Arithmetik. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, MuPAD 4, http://haftendorn.uni-lueneburg.de Aug.06 Automatische Übersetzung aus MuPAD 3.11, 24.04.02 Version vom 12.10.05 Web: http://haftendorn.uni-lueneburg.de
MehrInformation in einem Computer ist ein
4 Arithmetik Die in den vorhergehenden Kapiteln vorgestellten Schaltungen haben ausschließlich einfache, Boole sche Signale verarbeitet. In diesem Kapitel wird nun erklärt, wie Prozessoren mit Zahlen umgehen.
MehrRepräsentation von Daten Binärcodierung von rationalen Zahlen und Zeichen
Kapitel 4: Repräsentation von Daten Binärcodierung von rationalen Zahlen und Zeichen Einführung in die Informatik Wintersemester 2007/08 Prof. Bernhard Jung Übersicht Codierung von rationalen Zahlen Konvertierung
MehrMikro-Controller-Pass 1
Seite: 1 Zahlensysteme im Selbststudium Inhaltsverzeichnis Vorwort Seite 3 Aufbau des dezimalen Zahlensystems Seite 4 Aufbau des dualen Zahlensystems Seite 4 Aufbau des oktalen Zahlensystems Seite 5 Aufbau
MehrZeichen bei Zahlen entschlüsseln
Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren
MehrFacharbeit Informatik. Thema:
Facharbeit Informatik Thema: Rechneraufbau Mit Locad 2002 1 Inhaltsangabe Inhalt: Seite: 1. Einleitung 3 2. Inbetriebnahme der Schaltung 3 3. Eingabe 4 4. CPU 5 5. RAM/HDD 8 6. Ausgabe 10 7. Auf einer
MehrBlack Box erklärt Zahlensysteme.
Black Box erklärt Zahlensysteme. Jeder von uns benutzt aktiv mindestens zwei Zahlenssysteme, oftmals aber so selbstverständlich, dass viele aus dem Stegreif keines mit Namen nennen können. Im europäischen
MehrRechnerarithmetik Ganzzahlen und Gleitkommazahlen Ac 2013
Rechnerarithmetik Ganzzahlen und Gleitkommazahlen Ac 2013 Im folgenden soll ein Überblick über die in Computersystemen bzw. Programmiersprachen verwendeten Zahlen inklusive ausgewählter Algorithmen (in
MehrN Bit binäre Zahlen (signed)
N Bit binäre Zahlen (signed) n Bit Darstellung ist ein Fenster auf die ersten n Stellen der Binär Zahl 0000000000000000000000000000000000000000000000000110 = 6 1111111111111111111111111111111111111111111111111101
Mehr1. Stellenwerte im Dualsystem
1. a) Definitionen Stellenwertsystem Ein Zahlensystem bei dem der Wert einer Ziffer innerhalb einer Ziffernfolge von ihrer Stelle abhängt, wird Stellenwertsystem genannt. Die Stellenwerte sind also ganzzahlige
MehrGrundlagen der Informatik Übungen 1.Termin
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Grundlagen der Informatik Übungen 1.Termin Dipl.-Phys. Christoph Niethammer Grundlagen der Informatik 2012 1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Kontakt
Mehr1. Übung - Einführung/Rechnerarchitektur
1. Übung - Einführung/Rechnerarchitektur Informatik I für Verkehrsingenieure Aufgaben inkl. Beispiellösungen 1. Aufgabe: Was ist Hard- bzw. Software? a Computermaus b Betriebssystem c Drucker d Internetbrowser
Mehr3 Zahlensysteme in der Digitaltechnik
3 Zahlensysteme in der Digitaltechnik System Dezimal Hexadezimal Binär Oktal Basis, Radix 10 16 2 8 Zahlenwerte 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 0 1 10 11 100
MehrDie Subnetzmaske/Netzwerkmaske
Die Subnetzmaske/Netzwerkmaske Die Subnetzmaske (auch Netzwerkmaske genannt) ist eine mehrstellige Binärzahl (Bitmaske), die in einem Netzwerk eine IP-Adresse in eine Netzadresse und eine Geräteadresse
Mehr1Computergrundlagen = 1*16 + 0*8 + 1*4 + 1*2 + 0*1
Kapitel 1 1Computergrundlagen Zusammenfassung des Stoffes In diesem Kapitel haben Sie die Komponenten eines Computers und die Rolle von Computern in Netzwerken kennen gelernt. Wir stellten insbesondere
MehrNumerische Datentypen. Simon Weidmann
Numerische Datentypen Simon Weidmann 08.05.2014 1 Ganzzahlige Typen 1.1 Generelles Bei Datentypen muss man immer zwei elementare Eigenschaften unterscheiden: Zuerst gibt es den Wertebereich, zweitens die
MehrWeiterbildung und Zusatzausbildung der PHZ Luzern Interessantes und Spannendes aus der Welt der Mathematik September 2006, Dieter Ortner
Weiterbildung und Zusatzausbildung der PHZ Luzern Interessantes und Spannendes aus der Welt der Mathematik September 2006, Dieter Ortner Rechengesetze 1. Rechengesetze für natürliche Zahlen Es geht um
Mehr2 Einfache Rechnungen
2 Einfache Rechnungen 2.1 Zahlen Computer, auch bekannt als Rechner, sind sinnvoller eingesetzt, wenn sie nicht nur feste Texte ausgeben, sondern eben auch rechnen. Um das Rechnen mit Zahlen zu verstehen,
MehrPrimzahlen und RSA-Verschlüsselung
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also
MehrTechnische Informatik Basispraktikum Sommersemester 2001
Technische Informatik Basispraktikum Sommersemester 2001 Protokoll zum Versuchstag 4 Datum: 21.6.2001 Gruppe: David Eißler/ Autor: Verwendete Messgeräte: - digitales Experimentierboard (EB6) - Netzgerät
MehrKapitel 4A: Einschub - Binärcodierung elementarer Datentypen. Einschub: Teile aus Kapitel 2 in Küchlin/Weber: Einführung in die Informatik
Einschub: Binärcodierung elementarer Datentypen Teile aus Kapitel 2 in Küchlin/Weber: Einführung in die Informatik Unterscheide Zahl-Wert Zahl-Bezeichner Zu ein- und demselben Zahl-Wert kann es verschiedene
MehrWissenswertes über binäre Felder
Wissenswertes über binäre Felder Inhaltsverzeichnis Genauigkeit des PC-Taschenrechners 2 Genauigkeit des PC-Taschenrechners ab Windows 7 2 Ausgangspunkt 3 Binäres Feld ohne Vorzeichen-Definition 3 Binäres
MehrFH Jena Prüfungsaufgaben Prof. Giesecke FB ET/IT Binäre Rechenoperationen WS 09/10
FB ET/IT Binäre Rechenoperationen WS 9/ Name, Vorname: Matr.-Nr.: Zugelassene Hilfsmittel: beliebiger Taschenrechner eine selbst erstellte Formelsammlung Wichtige Hinweise: Ausführungen, Notizen und Lösungen
Mehr2 Rechnen auf einem Computer
2 Rechnen auf einem Computer 2.1 Binär, Dezimal und Hexadezimaldarstellung reeller Zahlen Jede positive reelle Zahl r besitzt eine Darstellung der Gestalt r = r n r n 1... r 1 r 0. r 1 r 2... (1) := (
MehrWürfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.
040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl
MehrFH Jena Prüfungsaufgaben Prof. Giesecke FB ET/IT Binäre Rechenoperationen WS 11/12
FB ET/IT Binäre Rechenoperationen WS /2 Name, Vorname: Matr.-Nr.: Zugelassene Hilfsmittel: beliebiger Taschenrechner eine selbsterstellte Formelsammlung Wichtige Hinweise: Ausführungen, Notizen und Lösungen
MehrGeld wechseln kann als Visualisierung des Zehnerübergangs dienen. Die Zwischengrössen (CHF 2.-, 5.-, 20.-, 50.-) weglassen.
E2 Rechnungen verstehen plus minus Verständnisaufbau Geld wechseln Geld wechseln kann als Visualisierung des Zehnerübergangs dienen. Die Zwischengrössen (CHF 2.-, 5.-, 20.-, 50.-) weglassen. Ich bezahle
MehrSowohl die Malstreifen als auch die Neperschen Streifen können auch in anderen Stellenwertsystemen verwendet werden.
Multiplikation Die schriftliche Multiplikation ist etwas schwieriger als die Addition. Zum einen setzt sie das kleine Einmaleins voraus, zum anderen sind die Überträge, die zu merken sind und häufig in
MehrTOTAL DIGITAL - Wie Computer Daten darstellen
TOTAL DIGITAL - Wie Computer Daten darstellen Computer verarbeiten Daten unter der Steuerung eines Programmes, das aus einzelnen Befehlen besteht. Diese Daten stellen Informationen dar und können sein:
Mehr