Physikalische Chemie II (für Biol./Pharm. Wiss.) FS Lösung 5. Musterlösung zum Übungsblatt 5 vom

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1 Phyikaliche Chemie II (ür Biol./Pharm. Wi.) FS 207 Löung 5 Muterlöung zum Übungblatt 5 vom ph-wert an der Zelloberläche. Die Debye-Länge ergibt ich au der Gouy-Chapman Theorie zu l D F " 0 ". () 2I Anmerkung : In der Formel wird - im Gegenatz zum Skript - mit der o genannten Ionentärke gerechnet. Leen ie dazu die Anmerkung im Skript au S. 45. Die Ihnen bekannte Formel au Seite 43 erhält man, da e ich um eine ymmetrich geladene Subtanz handelt mit z. Die Debye-Länge l D ergibt ich dann zu l D r "0 " (2) F 2c 0 r C 2 J m J K mol 330 K C mol mol l.4 nm. 2. Die Ladungdichte it al eine Elementarladung pro 50 nm 2 gegeben durch C 50 (0 9 m) Cm 2. (3) Diee kann direkt in die Gleichung ür da Grenzlächenpotential ' 0 (Skript Gl. II.32) eingeetzt werden ' 0 l D 5.5 mv. (4) " 0 " 3. Zur Prüung der Annahme ' 0 /F wird /F betimmt F 28.4 mv. (5) Da Grenzlächenpotential ' 0 it omit etwa ech mal kleiner al /F.Die Annahme it alo nicht trikt gültig. 4. Der ph-wert nimmt in unmittelbarer Nähe zur Zelloberläche ab, da da negative Potential an der Oberläche zu einer Erhöhung der Waertoionenkonzentration ührt. Die bewirkt dementprechend eine Abnahme de ph-wert.

2 Phyikaliche Chemie II (ür Biol./Pharm. Wi.) FS Sedimentation in einem Schwereeld. Im tatichen Fall wirken au da Enzym die Gewichtkrat F ~ G ~g und die Autriebkrat F ~ A w V p ~g m w ~g. Wie bereit durch da Minuzeichen angedeutet, wirken beide Kräte in entgegengeetzte Richtungen. Dabei it V p da Proteinvolumen, die Mae de Enzym und m w die Mae de durch da Enzym verdrängten Waer. Zuätzlich wirkt im dynamichen Fall eine der Bewegung entgegengeetze Reibungkrat F ~ R ~v, mit dem Reibungkoeizienten und der Sedimentationgechwindigkeit v. 2. Im Gleichgewichtall hat da Enzym eine maximale Endgechwindigkeit v gg (oder auch v drit und v ed ) erreicht und e wirken netto keinerlei Kräte mehr 0 ~ F g + ~ F A + ~ F r ~g w V p ~g ~v gg ( w V p )~g ~v gg Nun werden die Vektorpeile weggelaen weil ~v und ~g in die gleiche Richtung zeigen v gg g mp w V p Der Sedimentationkoeizient it deiniert al Gechwindigkeit, die ein Teilchen unter Einlu eine Gravitationelde erreicht ( v g ). Dehalb zeigt Gleichung 6 zuätzlich, da w V p it. (7) Der Sedimentationkoeizient hängt alo von der Mae de Enzym, der Mae de verdrängten Waer m w, owie dem Reibungkoeizienten ab. Der Reibungkoeizient teht in Beziehung zum Radiu eine kugelörmige Teilchen über die Stoke-Gleichung, owie zum Diuionkoeizienten und der Temperatur über die Eintein-Gleichung. Kombination beider Gleichungen ergibt die Stoke-Eintein- Gleichung. 3. Wenn man da erte Fick che Geetzt ignoriert, kann man die Zeit berechnen, die ein Molekül bräuchte, um die geragte Strecke zurückzulegen. (6) v g () v g (8) v t l t l g m m a In einem endlichen Volumen jedoch werden die Moleküle vom Boden her einen Gradienten bilden, welcher gemä dem. Fickchen Geetz dem Abwärtlu entgegenwirkt. Da Gleichgewicht, da erreicht wird, it im Skript au den Seiten 50 und 5 bechrieben. In Wirklichkeit wird ein Protein von mäiger Gröe immer at gleichmäig verteilt ein in der Löung, wenn nur die Gravitationkrat abwärt wirkt. Man bräuchte mehrere tauend g, um einen igniikanten Gradienten in der Proteinkonzentration zu erreichen. 2

3 Phyikaliche Chemie II (ür Biol./Pharm. Wi.) FS Wie in Teilaugabe 3 werden wir den Diuioneekt vernachläigen, um zu ehen, wie chnell ich Proteine unter tarker Zentriugalbechleunigung bewegen können. In einer Zentriuge wirkt die Zentriugalbechleunigung a z! 2 r au da Enzym. Diee eretzt den Ortaktor der Gravitation, o da v a z! 2 r.dadie Gechwindigkeit v der Ableitung de Orte r nach der Zeit t entpricht, kann man mittel Trennung der Variablen integrieren. v dr! 2 r (9) dt ˆ r2 ˆ t2 r r dr!2 dt t ln r 2 r! 2 (t 2 t )! 2 t (0) Unter Verwendung der Beziehung! 2 zwichen Kreirequenz! und Frequenz kann man nach der Frequenz aulöen ln(r 2 /r ) 4 2 t ln(0.0/6.00) rpm 5. Wie erklärt in Teilaugabe 3, ührt die Sedimentation zu einem Konzentrationgradient. Aber, nach dem. Fick chen Geetz werden ich die Moleküle entgegen dem Konzentrationgradient bewegen. Ander augedrückt, die Diuion der Enzyme wirkt der Sedimentation in der Zentriuge entgegen. Wenn ich diee Prozee chlielich augleichen, ührt da zu einer Gleichgewichtditribution der Moleküle (iehe Abchnitt II.7.4 im Skript). 6. Den Reibungkoeizienten erhält man über die Stoke-Eintein-Gleichung () k BT D JK K m kg (2) 7. Wie wir in Gleichung 7 gezeigt haben, it der Sedimentationkoeizient direkt proportional zur Mae de Teilchen. Mit der Deinition de peziichen Volumen Ṽ V m, kann die Gleichung 7 wie olgt gechrieben werden: Augelöt nach ergibt w Ṽ p. (3) w Ṽ p (4) kg 998 kg m m 3 kg. 0 2 kg ) M p 670 kda. 3

4 Phyikaliche Chemie II (ür Biol./Pharm. Wi.) FS Sedimentation in einer Zentriuge. Die durchchnittliche Ditanz, die die Proteine zurückgelegt haben, kann au Abbilung abgeleen werden, und beträgt ungeähr 5.2cm bei t 20 min und 5.8cm bei t 75 min. Analog zur Herleitung von Gleichung 0 berechnet ich der Sedimentationkoeizient in einer Zentriuge: ln (r 2/r )! 2 (t 2 t ) ln (r 2/r ) t ln (5.8/5.2) 4 2 (50 000/60 ) S (5) 2. Die Stoke-Eintein-Gleichung bechreibt den Zuammenhang zwichen Diuion D und Radiu r eine kugelörmigen Teilchen. D k BT 6 r r k BT 6 D (6) (7) Worau ich da Volumen einer Kugel berechnen lät V 4 3 r3 (8) 4 3 kb T 3 6 D JK 298 K kg m.4 0 m m nm 3 3. Die Mae de Protein erhält man nun au deartielle peziiche Volumen de Protein Ṽp Vp / zu M p V p Ṽ p N A (9) m m 3 kg mol kg mol 323 kda. 4. Analog zu Gleichung 7 kann man den Sedimentationkoeizienten berechnen.! 3 w V p m w (20) Wobei gilt: m w w V p w V p w V p w Ṽ p,und k B T D (2) 4

5 Phyikaliche Chemie II (ür Biol./Pharm. Wi.) FS 207 wa zuammengeetzt Folgende ergibt und durch die Multiplikation mit N A N A D k B T ( w Ṽ p ) ergibt DM p ( w Ṽ p ) (22) M p D( w Ṽ p ) J K mol 298 K.4 0 m 2 ( 022 kg m m 3 kg ) kg 33 kda. mol Wie man ieht, timmen die Maen ehr gut überein und weichen nur um ca. 3% voneinander ab. 5. Wenn da Protein dimeriiert, ändert ich (i) die molare Mae M und (ii) der Diuionkoeizient D, da partielle peziiche Volumen Ṽp hingegen bleibt laut Augabentellung kontant. Eine weitere Näherung, da da Dimer ebenall kugelörmig it, wird angenommen. Die tiegetellte teht ür da Monomer und die 2 ür da Dimer. Für die molare Mae und da Volumen de Dimer gilt damit M 2 2 M V 2 2 V Worau ich der Radiu r 2 de Protein ergibt, den man zum Berechnen de Diuionkoeizienten D 2 mittel Stoke-Eintein-Gleichung r D verwenden kann (23) V r r3 2 V r r 3 r 2 3p 2 r D 2 3 p 2 D Die o geundenen Zuammenhänge kann man in Gleichung 22 einetzen 2 M 2 D 2 ( w Ṽ p ) 2 3 p 2 M D ( w Ṽ p ) 2 2/ M D ( w Ṽ p ) 3p p 2 Ein gröerer Sedimentationkoeizient bedeutet eine gröere maximale Sedimentationgechwindigkeit, worau olgt, da da Dimer chneller al da Monomer edimentieren wird. 5