Modelle der Parallelverarbeitung

Modelle der Parallelverarbeitung Modelle der Parallelverarbeitung 1. Turingmaschinen Thomas Worsch Fakultät für Informatik Karlsruher Institut für Technologie Sommersemester 2017 1 / 52

Überblick Überblick Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Der rote Faden durch die Vorlesung Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Turingmaschinen mit speziellen Bändern 2 / 52

Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Überblick Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Der rote Faden durch die Vorlesung Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Turingmaschinen mit speziellen Bändern 3 / 52

Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Turingmaschinen, einfachster Fall Eine Turingmaschine besteht im einfachsten Fall aus einem Arbeitsband ein Schreib-Lese-Kopf auf dem Band, verbunden mit einer Steuereinheit Alan Turing On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem. Proceedings of the London Mathematical Society 42, S. 230 265, 1936. 4 / 52

Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Definition von W 1 -TM Bestandteile T = (S,..., B,..., δ,... ) Zustandsmenge S Bandalphabet B Überführungsfunktion δ : S B S B D mit D = { 1, 0, 1} 5 / 52

Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Definition von W 1 -TM Bestandteile T = (S,..., B,..., δ,... ) Zustandsmenge S Bandalphabet B Überführungsfunktion δ : S B S B D mit D = { 1, 0, 1} bzw. δ = (δ s, δ b, δ d ) mit Notation W 1 : δ s : S B S δ b : S B B δ d : S B D ein W: ein Arbeitsband (working tape) Index 1: ein Kopf auf dem Band 5 / 52

Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Arbeitsweise von W 1 -TM Konfiguration ( globaler Gesamtzustand ): c = (s,b,p) mit Zustand s S Bandbeschriftung b : Z B, i. e. b B Z Kopfposition p Z schreibe C T oder C für die Menge aller Konfigurationen ein globaler Schritt : C C, wobei (s,b,p) = (s,b,p ) mit s = δ s (s,b(p)) { b δ b (s,b(p)) falls i = p (i) = b(i) falls i p p = p + δ d (s,b(p)) 6 / 52

Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Beispiel S = {A, B,C, D, E, F, Z } B = {1, } L statt 1, R statt +1 δ gegeben durch die folgende Tabelle: A B C D E F Z B1R C R D1L E L A R A1L 1 F L D R E1R D L C1R Z 1R 7 / 52

Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Beispiel A B 1 C 1 D 1 1 E 1 1 C 1 1 D 1 1 1 D 1 1 8 / 52

Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Beispiel A B 1 C 1 D 1 1 E 1 1 C 1 1 D 1 1 1 D 1 1 fleißiger Bieber (http://www.drb.insel.de/~heiner/bb/): mehr als 1.2 10 865 Einsen, mehr als 3.0 10 1730 Schritte 8 / 52

Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Ein noch fleißigerer Biber Pavel Kropitz (2010) A B C D E F Z B1R C1R D1L E1R A1L Z 1L 1 E1L F 1R B0R C L D R C1R mehr als 3.514 10 18276 Einsen nach mehr als 7.412 10 36534 Schritten http://www.drb.insel.de/~heiner/bb/bb-xlist.txt 9 / 52

Der rote Faden durch die Vorlesung Überblick Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Der rote Faden durch die Vorlesung Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Turingmaschinen mit speziellen Bändern 10 / 52

Der rote Faden durch die Vorlesung In dieser Vorlesung betrachten wir Modelle der Parallelverarbeitung und zwar vom Standard -Standpunkt endliche Eingabe endliche Berechung endliche Ausgabe These von Church/Turing: Alle vernünftigen Modelle können die gleichen Funktionen berechnen. Das kann man für die parallelen Modelle auch beweisen. Wozu also Betrachtung paralleler Modelle? (und wozu Turingmaschinen?) 11 / 52

Der rote Faden durch die Vorlesung Effizienz Unterschiede zwischen verschiedenen Modellen erhofft/erwartet Zusammenhänge zwischen verschiedenen Modellen erhofft/erwartet wie messen? Komplexitätsmaße, genauer gesagt Maße für Berechnungskomplexität: Zeitkomplexität: Anzahl benötigter Schritte Platzkomplexität/Raumkomplexität:... andere...?... 12 / 52

Der rote Faden durch die Vorlesung Varianten gegeben: ein paralleles Modell! Es gibt schöne Algorithmen.? Wie realistisch ist das Modell?! Das Modell ist realistisch.? Wie schöne Algorithmen gibt es? tendenziell zu Beginn der Vorlesung: eher Standpunkt 1 gegen Ende der Vorlesung: eher Standpunkt 2 13 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Überblick Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Der rote Faden durch die Vorlesung Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Turingmaschinen mit speziellen Bändern 14 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband In dieser Vorlesung überwiegend Entscheidungsprobleme, also Erkennung formaler Sprachen: endliche Eingabe: ein Wort w A + endliche Berechung endliche Ausgabe: ein Bit (akzeptiert/abgelehnt) 15 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Eingabe formaler Sprachen bei TM Anfangszustand s 0 S Eingabealphabet A B { } Blanksymbol Anfangskonfiguration zu w: init : A + C : w 1 w n (s 0,b w, 1) mit { w i falls 1 i n b w (i) = sonst 16 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Halten bei TM und Erkennung formaler Sprachen Menge von Endzuständen F S isfinal : C B : (s,b,p) [s F] Forderung s F a B : δ(s, a) = (s, a, 0) stellt sicher, dass Endkonfigurationen erhalten bleiben. Menge akzeptierender Endzustände F + F isaccepting : C B : (s,b,p) [s F + ] isaccepting(c) = isfinal(c) 17 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Definition: Zeitkomplexität von TM In dieser Vorlesung: O. B. d. A. hält jede Maschine für jede Eingabe. akzeptable Annahme für z. B. harmlose Zeitschranken Dann sind die folgenden Funktionen total: time : A + N + w min{t N + isfinal( t (init(w)))} Time : N + N + n max{time(w) w A n } Diese Definition passt auch für andere Modelle, zum Beispiel W -TM siehe dort 18 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Von TM erkannte Sprache L(T ) = {w A + isaccepting( time(w) (init(w)))} Diese Definition passt auch für andere Modelle. 19 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Raumkomplexität für TM: 1. Versuch die Funktion (Diskussion: welche?) mem : C N + beschreibe den Speicherplatzbedarf einer Konfiguration definiere: space : A + N + w max{mem( t (init(w))) t time(w)} Space : N + N + n max{space(w) w A n } Was ist hier (unter Umständen) noch unzureichend? 20 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Raumkomplexität für TM: 2. Versuch Definiere: left-end : A + Z + w min {p Z t time(w) : in t (init(w)) wird p benutzt} right-end : A + Z + w max {p Z t time(w) : in t (init(w)) wird p benutzt} space : A + N + w 1 + right-end(w) left-end(w) Space : N + N + n max{space(w) w A n } Diskussion: andere Ideen? 21 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Definition: Raumkomplexität für TM Definiere: used-mem : C 2 Z c {p Z in c wird Feld p benutzt} space : A + N + w t time(w) used-mem( t (init(w))) Space : N + N + n max{space(w) w A n } leicht anpassbar an andere Modelle, z. B. W -TM dieses Thema kommt wieder... siehe dort 22 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Eine Beispielsprache Theorem Jede W 1 -TM, die die formale Sprache L vv = {v2 v v v {0, 1} + } erkennt, hat Zeitkomplexität Time T (n) Ω(n 2 ). F. C. Hennie One-tape, Off-line Turing Machine Computations. Information and Control 8, S. 553 578, 1965. 23 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Beweis des Satzes von Hennie zunächst technisches Hilfsmittel für den Beweis: sogenannte Überquerungsfolgen 24 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Überquerungsfolgen: Definition sei w A + und i Z Überquerungsfolge cs(w, i) die Liste der Zustände der TM bei Übergängen von Feld i nach i + 1 oder umgekehrt, wenn sie mit init(w) startet Überquerungsfolgen können leer sein. 25 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Zwei Beispielüberquerungsfolgen q 1 q 2 q 3 q 4 q 1 q 2 26 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Überquerungsfolgen Definition Für w = w 1 w n A n und 1 i < j w bezeichne w[i : j] das Teilwort w i w j. Lemma Es seien w 1 und w 2 Wörter, die von TM gleich behandelt werden, d. h. beide akzeptiert oder beide abgelehnt werden. Es seien i 1 und i 2 zwei Feldnummern mit 1 i 1 < w 1 und 1 i 2 < w 2, so dass cs(w 1, i 1 ) = cs(w 2, i 2 ) ist. 27 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Überquerungsfolgen Definition Für w = w 1 w n A n und 1 i < j w bezeichne w[i : j] das Teilwort w i w j. Lemma Es seien w 1 und w 2 Wörter, die von TM gleich behandelt werden, d. h. beide akzeptiert oder beide abgelehnt werden. Es seien i 1 und i 2 zwei Feldnummern mit 1 i 1 < w 1 und 1 i 2 < w 2, so dass cs(w 1, i 1 ) = cs(w 2, i 2 ) ist. Dann gilt:... was?... 27 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Beweisskizze zum Lemma q 1 q 2 q 1 q 2 q 1 q 2 28 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Überquerungsfolgen Definition Für w = w 1 w n A n und 1 i < j w bezeichne w[i : j] das Teilwort w i w j. Lemma Es seien w 1 und w 2 Wörter, die von TM gleich behandelt werden, d. h. beide akzeptiert oder beide abgelehnt werden. Es seien i 1 und i 2 zwei Feldnummern mit 1 i 1 < w 1 und 1 i 2 < w 2, so dass cs(w 1, i 1 ) = cs(w 2, i 2 ) ist. Dann gilt: Das Eingabewort w 1 [1 : i 1 ] w 2 [i 2 + 1 : w 2 ] wird genauso behandelt wie w 1 und w 2. 29 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Beweisskizze zum Lemma q 1 q 2 q 1 q 2 q 1 q 2 30 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Satz von Hennie Theorem Jede W 1 -TM, die die formale Sprache L vv = {v2 v v v {0, 1} + } erkennt, hat Zeitkomplexität Time T (n) Ω(n 2 ). 31 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Beweis Betrachte verschiedene Wörter w 1 L vv und w 2 L vv gleicher Länge n = 3m. w i = v i 2 m v i mit v i {0, 1} m (i = 1, 2) wegen w 1 w 2 auch v 1 v 2 Wegen des eben bewiesenen Lemmas gilt: Es darf keine Zustandsfolge s = (s 1,..., s k ) geben, so dass cs(w 1, i 1 ) = s = cs(w 2, i 2 ) für m/3 < i 1 < 2m/3 und m/3 < i 2 < 2m/3 denn für v 1 v 2 ist kein Wort v 1 2 l v 2 L vv. In L vv sind 2 m Wörter der Länge 3m. 32 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Beweis des Satzes von Hennie (2) Zählt man alle Überquerungsfolgen mit einer Länge i < m/log S, so kommt man nur auf (m/log S ) 1 i=0 S i < S m/log S = (2 log S ) m/log S = 2 m Also müssen für mindestens ein Wort in L vv A 3m alle mittleren m 1 Überquerungsfolgen eine Länge von mindestens m/log S haben. Jeder Zustand in jeder Überquerungsfolge bedeutet einen Schritt der TM. Also ist die Anzahl TM-Schritte für diese Eingabe mindestens (m 1)m/loд S Ω(n 2 ). 33 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband andererseits... Beobachtung Es gibt eine W 1 -TM T mit Time T (n) Θ(n 2 ), die L vv erkennt. Übung... 34 / 52

Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Schreibweise: Komplexitätsklassen W 1 -TM-Spc(s(n))-Time(t(n)) Menge der formalen Sprachen, die von W 1 -TM T erkannt werden können mit Space T (n) s(n) und Time T (n) t(n) analog für W 1 -TM-Time(t(n)), etc. analog für W 1 -TM-Time(O(t(n))), etc. Beispiele: L vv W 1 -TM-Time(Θ(n 2 )) L vv W 1 -TM-Time(o(n 2 )) W 1 -TM-Time(Pol(n)) = P mit Pol(t(n)) = k N + O(t(n) k ) 35 / 52

Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Überblick Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Der rote Faden durch die Vorlesung Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Turingmaschinen mit speziellen Bändern 36 / 52

Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Turingmaschinen mit mehreren Bändern/Köpfen unter Umständen mehrere Köpfe auf einem Band: W 1 oder W 2 oder W 3 oder... falls egal: W unter Umständen mehrere Bänder: W h1 W h2 W hk falls mehrere gleiche Bänder: z. B. 3W 5, W 1, W alle Köpfe mit der gleichen Steuereinheit verbunden 37 / 52

Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Turingmaschinen mit mehreren Bändern/Köpfen unter Umständen mehrere Köpfe auf einem Band: W 1 oder W 2 oder W 3 oder... falls egal: W unter Umständen mehrere Bänder: W h1 W h2 W hk falls mehrere gleiche Bänder: z. B. 3W 5, W 1, W alle Köpfe mit der gleichen Steuereinheit verbunden Ist das dann schon Parallelverarbeitung? 37 / 52

Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Definition von W h1 W h2 W hk -TM analog zu W 1 -TM, aber: δ : S B h 1 B h k S (B D) h 1 (B D) h k 38 / 52

Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Definition von W h1 W h2 W hk -TM analog zu W 1 -TM, aber: δ : S B h 1 B h k S (B D) h 1 (B D) h k Problem: 38 / 52

Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Definition von W h1 W h2 W hk -TM analog zu W 1 -TM, aber: δ : S B h 1 B h k S (B D) h 1 (B D) h k Problem: Die TM merkt nicht, wenn mehrere Köpfe auf dem gleichen Feld stehen. 38 / 52

Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Definition von W h1 W h2 W hk -TM analog zu W 1 -TM, aber: δ : S B h 1 B h k S (B D) h 1 (B D) h k Problem: Die TM merkt nicht, wenn mehrere Köpfe auf dem gleichen Feld stehen. Schreibkonflikte?! 38 / 52

Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Definition von W h1 W h2 W hk -TM analog zu W 1 -TM, aber: δ : S B h 1 B h k S (B D) h 1 (B D) h k Problem: Die TM merkt nicht, wenn mehrere Köpfe auf dem gleichen Feld stehen. Schreibkonflikte?! Lösungsmöglichkeiten: Verbot Kopf mit kleinster Nummer gewinnt auch nichts schreiben ermöglichen 38 / 52

Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Definition von W h1 W h2 W hk -TM analog zu W 1 -TM, aber: δ : S B h 1 B h k S (B D) h 1 (B D) h k Problem: Die TM merkt nicht, wenn mehrere Köpfe auf dem gleichen Feld stehen. Schreibkonflikte?! Lösungsmöglichkeiten: Verbot Kopf mit kleinster Nummer gewinnt auch nichts schreiben ermöglichen und Konflikte verbieten Das nehmen wir. 38 / 52

Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Definition von W h1 W h2 W hk -TM Also: δ : S B h 1 B h k S (B D) h 1 (B D) h k mit B = B { }, wobei das nichts schreiben bedeutet. Diese Definition ermöglicht einer TM, herauszufinden, ob sich zwei Köpfe auf dem gleichen Feld befinden. Wie? also Schreibkonflikte problemlos vermeidbar 39 / 52

Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Konfigurationen von W -TM c = (s,b 1,...,b k, (p 1,1,...,p 1,h1 ),... (p k,1,...,p k,hk )) mit s S b i B Z p i, j Z 40 / 52

Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Erkennung formaler Sprachen mit W -TM analog wie bei W 1 -TM: Anfangszustand s 0 Anfangsbandbeschriftungen auf erstem Band das Eingabewort ggf. weitere Bänder leer Köpfe zu Beginn alle auf Feld 1 ihres Bandes finale und akzeptierende Zustände 41 / 52

Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Zeit- und Raumkomplexität für W -TM Zeitkomplexität wie bei W 1 -TM siehe dort Raumkomplexität analog zu W 1 -TM siehe dort, aber used-mem : C 2 N + Z. 42 / 52

Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Beispiel L vv mit W 3 -TM an der Tafel 43 / 52

Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Beispiel L vv mit W 3 -TM an der Tafel Ergebnis: L vv W 3 -TM-Spc(Θ(n))-Time(Θ(n)) 43 / 52

Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Beispiel L vv mit W 3 -TM an der Tafel Ergebnis: L vv W 3 -TM-Spc(Θ(n))-Time(Θ(n)) Kurzes Nachdenken zeigt, dass auch gilt: L vv W 2 -TM-Spc(Θ(n))-Time(Θ(n)) 43 / 52

Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Zusammenhang zwischen W 1 - und W -TM Satz Für alle s(n) und t(n) größer gleich n gilt: W -TM-Spc(s(n))-Time(t(n)) W 1 -TM-Spc(Θ(s(n)))-Time(Θ(s(n) t(n))) W 1 -TM-Spc(Θ(s(n)))-Time(Θ(t(n) 2 )) Beweisidee: an der Tafel Das Beispiel L vv zeigt, dass der Exponent 2 optimal ist. Für die umgekehrte Richtung W 1 W kennt man keine wesentlichen Beschleunigungssätze. 44 / 52

Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Zusammenhang zwischen W 1 - und W -TM etwas kompakter (ohne (n) ) notiert: Satz Für alle Raumschranken s id und Zeitschranken t id gilt: W -TM-Spc(s)-Time(t) W 1 -TM-Spc(Θ(s))-Time(Θ(s t)) W 1 -TM-Spc(Θ(s))-Time(Θ(t 2 )) 45 / 52

Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Zusammenhang bei TM mit gleicher Gesamtkopfzahl 46 / 52

Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Zusammenhang bei TM mit gleicher Gesamtkopfzahl Satz Für alle t(n) n gilt: W k -TM-Time(t(n)) kw 1 -TM-Time(Θ(t(n))) H. J. Stoß. k-band-simulation von k-kopf-turing-maschinen. Computing, 6:309 317, 1970. Richtung kw 1 W k ist viel leichter... Satz ist nichttrivial man versuche sich an einem Beweis... 46 / 52

Turingmaschinen mit speziellen Bändern Überblick Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Der rote Faden durch die Vorlesung Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Turingmaschinen mit speziellen Bändern 47 / 52

Turingmaschinen mit speziellen Bändern Motivation Erkennung einer regulären Sprache mit einer W 1 -TM: 48 / 52

Turingmaschinen mit speziellen Bändern Motivation Erkennung einer regulären Sprache mit einer W 1 -TM: TM fährt nur lesend nur einmal über das Wort 48 / 52

Turingmaschinen mit speziellen Bändern Motivation Erkennung einer regulären Sprache mit einer W 1 -TM: TM fährt nur lesend nur einmal über das Wort Das Arbeits -Band wird gar nicht als Arbeitsspeicher (zum Merken berechneter Informationen) benötigt. Aber die Definition von Raumkomplexität nimmt darauf keine Rücksicht. (könnte sie?) Man möchte aber gerne sublineare Raumkomplexitäten, z. B. 0 im Fall regulärer Sprachen. Ein analoges Problem werden wir in einem späteren Kapitel bei der Erzeugung großer Ausgaben durch eine TM haben. 48 / 52

Turingmaschinen mit speziellen Bändern Separates Eingabeband für TM Wird bei der Bestimmung der Raumkomplexität ignoriert. 49 / 52

Turingmaschinen mit speziellen Bändern Separates Eingabeband für TM Wird bei der Bestimmung der Raumkomplexität ignoriert. Es kann nur gelesen werden. 49 / 52

Turingmaschinen mit speziellen Bändern Separates Eingabeband für TM Wird bei der Bestimmung der Raumkomplexität ignoriert. Es kann nur gelesen werden. Es gibt nur einen einzigen Kopf darauf. 49 / 52

Turingmaschinen mit speziellen Bändern Separates Eingabeband für TM Wird bei der Bestimmung der Raumkomplexität ignoriert. Es kann nur gelesen werden. Es gibt nur einen einzigen Kopf darauf. Diskussion: Warum? 49 / 52

Turingmaschinen mit speziellen Bändern Separates Eingabeband für TM Wird bei der Bestimmung der Raumkomplexität ignoriert. Es kann nur gelesen werden. Es gibt nur einen einzigen Kopf darauf. Diskussion: Warum? Der Kopf darf nur auf den Eingabesymbolen und dem jeweils ersten links bzw. rechts angrenzenden leeren Feld stehen 49 / 52

Turingmaschinen mit speziellen Bändern Separates Eingabeband für TM Wird bei der Bestimmung der Raumkomplexität ignoriert. Es kann nur gelesen werden. Es gibt nur einen einzigen Kopf darauf. Diskussion: Warum? Der Kopf darf nur auf den Eingabesymbolen und dem jeweils ersten links bzw. rechts angrenzenden leeren Feld stehen Diskussion: Warum? 49 / 52

Turingmaschinen mit speziellen Bändern Separates Eingabeband für TM Wird bei der Bestimmung der Raumkomplexität ignoriert. Es kann nur gelesen werden. Es gibt nur einen einzigen Kopf darauf. Diskussion: Warum? Der Kopf darf nur auf den Eingabesymbolen und dem jeweils ersten links bzw. rechts angrenzenden leeren Feld stehen Diskussion: Warum? Schreibweise: z. B. E-W 1 -TM 49 / 52

Turingmaschinen mit speziellen Bändern Beispiel: Erkennung L vv mit einer E-W 1 -TM an der Tafel: Variante mit kleiner Raumkomplexität 50 / 52

Turingmaschinen mit speziellen Bändern Beispiel: Erkennung L vv mit einer E-W 1 -TM an der Tafel: Variante mit kleiner Raumkomplexität Ergebnis: L vv E-W 1 -TM-Spc(O(logn))-Time(Pol(n)) 50 / 52

Turingmaschinen mit speziellen Bändern Beispiel: Erkennung L vv mit einer E-W 1 -TM an der Tafel: Variante mit kleiner Raumkomplexität Ergebnis: L vv E-W 1 -TM-Spc(O(logn))-Time(Pol(n)) Und was hat das in dieser Vorlesung zu suchen...?... 50 / 52

Turingmaschinen mit speziellen Bändern Separates Ausgabeband für TM Wird bei der Bestimmung der Raumkomplexität ignoriert. anfangs immer leer; Es gibt nur einen einzigen Kopf darauf, 51 / 52

Turingmaschinen mit speziellen Bändern Separates Ausgabeband für TM Wird bei der Bestimmung der Raumkomplexität ignoriert. anfangs immer leer; Es gibt nur einen einzigen Kopf darauf, der nur schreiben und sich nur nach rechts bewegen kann. Schreibweise: z. B. A-W 1 -TM 51 / 52

Turingmaschinen mit speziellen Bändern Zusammenfassung W 1 -Turingmaschinen benötigen zur Erkennung von L vv mindestens quadratische Zeit. Mit einer W 2 -Turingmaschine kann man L vv in Linearzeit erkennen. Mit einer E-W 1 -Turingmaschine kann man L vv auf logarithmischem Platz erkennen. Eingabe- und Ausgabebänder werden bei der Bestimmung der Raumkomplexität einer TM nicht berücksichtigt. 52 / 52