Vorwort und Einführung

Vorwort und Einführung Geometrische Körper Die intensive Beschäftigung mit der Geometrie der Platonischen Körper verdanke ich einer Kindergärtnerin, der ich eine Schokoladekugel elegant verpackt, schenken sollte. Als Lehrer des geometrischen Zeichnens hatte die Figur der sich durchdringenden Tetraeder im Würfel eine wichtige Stellung eingenommen. Acht geschlitzte PVC- Dreiecke liessen sich zu einem Doppeltetraeder zusammenfügen, und auch wieder auseinandernehmen. Damit war die Technik der Verschränkung von ebenen Bauelementen aus Kunststoff entdeckt. Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder, Würfel, Dodekaeder, und er ordnet ihnen die vier Elemente Feuer, Luft, Wasser, Erde und den Kosmos zu. Es ist auch von Übergängen des einen in das andere Element die Rede. Seine Aussage über das Verständnis der Beschaffenheit dieser Körper die Wahrheit über die Entstehung von Erde und Feuer erlangen zu können, kann bei uns Heutigen kaum mehr als Kopfschütteln erregen. Trotzdem war dieser Gedanke der Zuordnung und Umwandlung der Elemente bei mir motivierend immer wieder anwesend. Tetraeder Oktaeder Hexaeder Feuer Luft Erde Aus acht identisch eingekerbten Teilen liess sich das erste Doppeltetraeder zusammenfügen In der Folge entstanden unzählige, sternartige Modelle, welche alle, wie sich herausstellte nach den Gesetzmässigkeiten der Platonischen Körper gebaut waren. Ein Bausatz aus geschlitzten 3- bis 10-Ecken ermöglichte schliesslich den Bau aller Platonischen und Archimedischen Körper. Im Dialog Timaios beschreibt Plato (428-348 v.ch.) die fünf regelmässigen, geometrischen Körper, Ikosaeder Wasser Dodekaeder Kosmos 04.02.2014 u.w. 1

Bald entdeckte ich, dass auch eine mehrfache Verschränkung möglich ist, d.h. die verschränkten Ebenen können nach aussen erweitert werden und sich von neuem schneiden. das Fünfeck und der Goldenen Schnitt anwesend ist, und die Mineralischen, deren Oberflächen aus Dreiecken und Quadraten bestehen Die drei einfachen Torsionspolyeder An einer Züricher Ausstellung im Jahre 1999 über Richard Buckminster Fuller faszinierte mich die von ihm entdeckte Beweglichkeit des aus Stäben gebauten Kuboktaeders (Vectorequilibrium), das sich durch Zusammendrücken zum Oktaeder verdreht, um sich mit einem Gegenschwung wieder auszudehnen. Fuller nannte dieses Schwingen Tanz des Jitterbugs. Der Dodekaeder-Stern wird zum Ikosaeder (oben), wenn das Sternelement zum Fünfecks-Element erweitert wird (unten), dadurch drängt sich eine zweifache Verschränkung auf. Plato beschrieb die regelmässigen Körper als Zusammensetzung. Mit der Erweiterung der Flächen in den umgebenden Raum wird aber sichtbar, dass die Platonischen Körper nicht nur Körper sind, sondern den Raum im Falle von Ikosaeder und Dodekaeder um sich individuell, sternartig strukturieren, oder sich in einen endlos regelmässig strukturierten Raum ein- und unterordnen, was für das Tetraeder, Oktaeder und den Würfel zutrifft. Aus diesen Erfahrungen ergibt sich die Unterteilung in die Goldenen, bei denen Buckminster Fullers Vectorequilibrium in Kuboktaeder- Ikosaeder- und Oktaeder-Stellung. Versuche zeigten, dass sich auch die räumlichen Netze von Dreiecken aus Sperrholz kombiniert mit Quadraten (Rhombenkuboktaeder) oder Fünfecken (Rhombenikosidodekaeder) durch Verdrehung (Torsion) verwandeln. 04.02.2014 u.w. 2

Die drei einfachen Torsionspolyeder: Kuboktaeder, Rhombenkuboktaeder und Rhombenikosidodekaeder in leichter Verdrehung Sieben doppelte Torsionspolyeder Die Verdoppelung der Flächen an den drei einfachen Torsionspolyedern und an Modellen der vier verbleibenden Platonischen Körper machte sieben Polyeder durch Verdrehung beweglich, in dem die übereinander liegenden Flächenelemente gegeneinander rotieren. Verdoppelung der Flächen: das einfache und das doppelte Torsionskuboktaeder Die sieben doppelten Torsionspolyeder:Tetraeder, Oktaeder, Hexaeder, Kuboktaeder Ikosaeder, Ikosidodekaeder, Pentagondodekaeder Es stellte sich heraus, dass mit diesen sieben doppelten Torsionspolyedern alle Archimedischen und Platonischen Körper kontinuierlich durchlaufen werden können, und es ergibt sich ein zusammen hängendes Netz aller Platonischer und Archimedischer Körper, ein Stammbaum. Er zeigt einen mineralischen Ast, an dem Dreiecke und Quadrate die Körper bilden, und einen goldenen Ast, an dem das Fünfeck (mit dem Goldenen Schnitt) sich dazu gesellt. Ob sich Platon das Übergehen von einem Element in ein anders etwa so vorgestellt hat? Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper wurde hinten angefügt. Lässt man die Zwischenstellungen weg, so erhält man eine Übersicht über alle Archimedischen und Platonischen Körper, einen vereinfachten Stammbaum. 04.02.2014 u.w. 3

Objekte der Ausstellung Feste Modelle Die Technik der Verschränkung von geschlitzten Hart-PVC-Bauelementen machte es möglich mit wenig Aufwand auch komplizierte, mehrfach verschränkte, meinst transparente Modelle zu bauen. Zunächst bot sich an, die sich durchdringenden Dualpaare zu bauen. Würfel und Oktaeder sind dual, da die Anzahl der Ecken des einen Körpers der Anzahl der Flächen des anderen entspricht. Ein Dualpaar bilden auch Ikosaeder und Pentagondodekaeder. Das Tetraeder ist mit sich selbst dual. Die Technik funktioniert aber auch zum Bau beliebiger anderer Modelle, sofern sie regelmässig oder halbregelmässig sind. Durchdringungen der Dualpaare, gebaut aus den drei Bauelementen Dreieck, Quadrat und Fünfeck: Tetraeder-Tetraeder, Oktaeder- Hexaeder und Ikosaeder-Pentagondodekaeder. Das Rhombenikosidodekaeder wird aus Dreiecken, rhombischen Quadratelementen und Fünfecken zusammengesetzt. Schwarze Fünfecke lassen sich nachträglich einsetzten. Rhombenikosidodekaeder aus 20 Dreiecken, 30 rhombischen Quadrat-Elementen und 12 Fünfecken Am Fussball sind die Zacken der 12 Fünf- und der 20 Sechssterne in einem Fall nach innen und im anderen Fall nach aussen verschränkt. 04.02.2014 u.w. 4

Die Platonischen Körper als Sterne 12 schwarze Fünfsterne und 20 weisse Sechssterne sind mit ihren Zacken zu einem Fussball in Originalgrösse nach innen verwoben. Es ist ein Ikosaederstumpf. Um ihrem Charakter der Elemente näher zu kommen, kann man den Versuch unternehmen alle Platonischen Körper als Sterne auszubilden, das bedeutet ihre Flächen über ihre Kanten hinweg fortzusetzen bis sie sich wieder schneiden. Ein wirklicher Stern entsteht nur aus dem Pentagondodekaeder, die Zacken des Ikosaedersternes bilden zunächst nur stumpfe Pyramidchen. Der Würfel schickt seine Spitzen mit den parallelen Flächen und Kanten in den sechs Raumesrichtungen ins Unendliche. Das Oktaeder bleibt als Stern mit seinen Enden in der Würfelform gefangen. Ganz anders zeigt sich das Tetraeder. Seine Flächen streben in den Raum auseinander, oder anders betrachtet, diese kommen aus den Weiten des Raumes und begrenzen mit ihren hereinragenden Zacken das Tetraeder. Der Fussball als Stern; geometrisch ist es der Stern eines abgestumpften Ikosaeders. 04.02.2014 u.w. 5

Sterne der Platonischen Körper: Dodekaeder, Ikosaeder und Hexaeder, Oktaeder sowie der Antistern des Tetraeders Weitere Sterneformen bilden Pentagondodekaeder und Ikosaeder, wenn man ihre Flächen über die erste Sternform hinaus erweitert. Das Dodekaeder entwickelt sich in vier Stufen zum Dodekaeder- Stern, Ikosaeder, Ikosaederstern und Pentagrammdodekaeder, d.h. wenn anstelle der Fünfecksflächen 12 Fünfsterne erscheinen. Für die Herstellung dieser Reihe von 5 Modellen wurden jeweils 12 identische, geschlitzte Elemente zusammengebaut. Zeichnerische Darstellung Sterne des Pentagondodekaeders. Der Reihe nach: Dodekaeder, Dodekaeder-Stern, Ikosaeder (oben), Ikosaederstern, Pentagramm-Dodekaeder (unten). Ausgehend vom Ikosaeder soll es nach Angaben in der Literatur 58 Stationen geben. Gebaut wurden sie wohl nie. Hier ausgeführt wurden nur einige der ersten, darunter die Fünflinge von Oktaeder und Tetraeder. Letzterer war das komplizierteste und aufwändigste der hergestellten Modelle. Für jeden dieser Körper müssen 20 identischen Bauelementen zusammen gebaut werden. Die grüne Umrandung im Bild zeigt das Schnittmuster für den Oktaeder- Fünfling, die rote dasjenige für die 20 Dreiecke des Tetraeder-Fünflings. 04.02.2014 u.w. 6

Schnittmuster für Oktaeder- und Tetraeder-Fünfling Die Schwerkraft Oktaeder-Fünfling, aus 20 identisch geschnittenen Sechssternen zusammengebaut Wir betrachten alles in unserer Umgebung unbewusst abhängig von der Schwerkraft. Ob ein Würfel auf einer seiner Seiten ruht, auf einer Kante liegt oder auf der Spitze steht, erleben wir sehr unterschiedlich. Ähnlich ergeht es uns bei der Betrachtung eines Oktaeders oder Tetraeders. Ein Oktaeder auf einer Seite liegend wirkt unbeholfen. Weniger eindrücklich wären die drei Stellungen am Ikosaeder und Dodekaeder zu beobachten, da sie der Kugelgestalt näher sind. Paul Schatz beschreibt in seinem Buch Rhythmusforschung und Technik die drei Lagen des Würfels als lastend, schwimmend und schwebend.. Tetraeder-Fünfling, aus 20 identisch geschnittenen Dreiecken zusammen gebaut. Würfel nach Paul Schatz, am Boden ruhend, im Wasser schwimmend und aufsteigend. 04.02.2014 u.w. 7

Ein Holzwürfel untergetaucht im Wasser, steigt mit der Spitze nach oben auf, und er schwimmt mit einer Kante nach unten gerichtet Mit der Schlitztechnik bietet sich die Möglichkeit an, die Körper so auszubilden, dass sie ohne Sockel in alle drei Positionen gebracht werden können. Würfel auf der Spitze stehend, auf der Kante liegend, auf einer Seite ruhend. Oktaeder aufgerichtet, auf der Kante balancierend, auf einer Fläche ruhend. Tetraeder auf einer Spitze stehend, auf der Kante liegend und auf der Fläche ruhend 04.02.2014 u.w. 8

Ein gelbes und ein rotes Tetraeder sich durchdringend, stehen auf einer Spitze. Bündelgeometrie Eine andere Art mit der Schlitztechnik geometrische Modelle zu bauen, beruht auf der Bündelgeometrie. Das Objekt wird aus Diametralebenen zusammengebaut, die nacheinander übereinander gezogen werden. Der vorliegende Würfel besteht aus sechs Rechtecken im A5-Format. Da er aus je zwei blauen, roten und gelben transparenten Flächen zusammengesetzt wurde, ergibt die Farbigkeit in der Durchsicht einen zusätzlichen Reiz. Auch aus festem Papier im A-Format lassen sich solche Würfel bauen; die eine erstaunliche Festigkeit erhalten. Würfel aus 6 farbig-transparenten Hart-PVC-Rechtecken im A5-Format Nur drei Körper weisen regelmässige Vielecke als Diagonalebenen auf: im Oktaeder sind es drei Quadrate, im Kuboktaeder vier Sechsecke und im Ikosidodekaeder sechs Zehnecke. Gemeinsam ist diesen Polyedern, dass in den Ecken vier Flächen aufeinander treffen, und gegenüberliegende kongruent sind. 04.02.2014 u.w. 9

Goldklumpen Oktaeder aus 3 Quadraten und Kuboktaeder aus 4 regelmässigen Sechsecken Durch Aus- und Einstülpen der in den Fünfecksflächen des Pentagondodekaeders eingeschriebenen Fünfsternen ergibt sich eine Reihe von reizvollen zwölfseitigen Raumgebilden. Einer davon ist abgeschlossen und könnte Goldklumpen genannt werden. Am umgekehrt eingestülpten Körper verbleiben 20 Öffnungen, die mit Oktaeder geschlossen werden können. Er sieht eher wie ein Virus aus und ist aus Silberkarton hergestellt. Ikosidodekaeder aus 6 Zehnecken 04.02.2014 u.w. 10

Ikosaeder, aufgespannt an drei senkrecht sich durchdringenden goldenen Rechtecken. Diametralrechtecke der Platonischen Körper Das Ikosaeder gespannt über drei senkrecht sich durchdringende Rechtecke im Goldenen Schnitt ist bekannt. Gibt es ähnliche minimale Möglichkeiten für die anderen vier regulären geometrischen Körper? Das Tetraeder besitzt keine diametrale Rechtecke. Es genügen zwei gleich lange, rechtwinklig zueinander schwebende Kanten, um ein Tetraeder aufzuspannen. Das Oktaeder besitzt drei senkrecht zueinander stehende Quadrate. Um es aufzuspannen genügt eines der Quadrate und die Diagonale eines Quadrates (mit der Länge 2 : 1). Der Würfel besitzt 6 Diametralebenen im Format 1: 2. Zwei dieser Flächen spannen mit ihren Ecken einen Würfel auf. Das Ikosaeder besitzt 15 rechteckige Diametralebenen mit den Proportionen des Goldenen Schnittes (1 : 1.618 ), es genügen aber drei, um das Ikosaeder aufzuspannen. 04.02.2014 u.w. 11

Das Dodekaeder besitzt ebenfalls 15 rechteckige Diametralebenen, aber mit dem Format des hypergoldenen Schnittes (1 : 2.618). Um es aufzuspannen benötigen wir 5 Rechtecke. Dadurch entstehen zwei Zentren in der Achse. Einfaches Torsionspolyeder, in ikosaeder-stellung Die fünf Platonischen Körper, aufgespannt an einer minimalen Anzahl von Diametralebenen. Bewegliche geometrische Körper Torsionspolyeder Das einfache Torsionskuboktaeder, dessen Beweglichkeit Richard Buckminster Fuller entdeckt hat, ist das beweglichste und vielseitigste unter den Torsionspolyedern. Fuller zeigte mit seinem Stabmodell eine ganze Reihe von Stellungen, ausgehend vom Kuboktaeder über das Ikosaeder, Oktaeder, und über das ebene Dreieck bis zum Tetraeder. Eine weitere Position hat Fuller allerdings nicht beachtet. Wenn über die sich öffnenden 12 gleichschenkligen Dreiecke regelmässige Fünfsterne passen, ergänzt ein Würfel die fehlenden Ecken des Dodekaeders. 04.02.2014 u.w. 12

R. Buckminster Fullers Vectorequilibrium. oben: Kuboktaeder, Ikosaeder, Oktaeder unten: Tetraeder abgestumpft, Hypedreieck, Tetraeder Mit abstandhaltenden Stäben der Länge des Goldenen Schnittes zur Kantenlänge der Dreiecksseiten, springt das Modell mit etwas Druck resp. Zug von der Ikosaeder- in die Dodekaeder- Stellung und zurück. Oben: ikosaedrisch unten: dodekaedrisch mit Würfel Oben: dodekaedrisch unten: mit aufgespanntem Dodekaeder Die beiden anderen einfachen Torsionspolyeder (aus Sperrholz) wurden in der Einführung beschrieben. Im Unterschied zum Torsionskuboktaeder verdrehen sich bei ihnen gegenüberliegende Seiten gegeneinander. Die doppelten Torsionspolyeder Das einfache Torsionskuboktaeder wippt von der Ikosaederstellung in die Dodekaeder Stellung Beim Öffnen der doppelten Körper haben wir es in jeder Stellung mit Zwillingen in gespiegelter Form zu tun. Ausserdem spannen die Zwillingspaare bei 04.02.2014 u.w. 13

einer bestimmten Öffnung die abgestumpften Körper auf. (Oktaederstumpf, Kuboktaederstumpf, Ikosidodekaederstumpf). Der Fast-Alles-Könner ist das doppelte Torsionskuboktaeder. Das doppelte Torsionsoktaeder befindet sich im Zustand der Ikosaeder-Zwillinge. Das Acrylrohr dient als Abstandshalter, an dem auch andere Stellungen festgehalten werden können. Das Torsionsoktaeder-Kuboktaeder-System ist das vielseitigste aller sieben Systeme. Am doppelten Modell kann auch die Bewegung des einfachen Systems durchlaufen werden. Doppeltes Torsionsoktaeder in der Stellung der Ikosaeder- Zwillinge, rechts- und linksdrehend. 04.02.2014 u.w. 14

Das doppelte Hexaeder in der Stellung des Würfelstumpfes und das doppelte Tetraeder in der Stellung des Tetraederstumpfes (farblos). Hexaederstumpf Tetraederstumpf Formkörper der Torsionspolyeder, Polysome* Bein Öffnen der Torsionspolyeder wandern die Flächen unter Drehung nach aussen. Diese Bewegungen können festgehalten werden in dem die Stellungen übereinander aufgeschichtet werden. Es entstehen geometrisch festgelegte Skulpturen. Gebaut wurde nur eine Auswahl. Am sich öffnenden Torsionstetraeder, einem doppelten Polyeder wurde die eine Drehrichtung mit 3 mm dicken Leichtbauplatten ausgeführt, die andere mit 0.5mm dickem, transparentem PVC- Material. Das Torsionsoktaeder (-kuboktaeder), das dem Stabmodell Buckminster Fullers entspricht funktioniert einschichtig, so dass keine PVC- Dreiecke die andere, mögliche Drehrichtung zeigen. Doppeltes Torsionshexaeder in der Stellung des Würfelstumpfes. und doppeltes Torsionstetraeder in der Stellung des Tetraederstumpfes. * Den Ausdruck Polysom hat Paul Schatz geprägt, Ein Polysom füllt die Form aus, die ein beweglicher Körper durchläuft. 04.02.2014 u.w. 15

Das Hexaeder funktioniert nur als doppeltes Modell. Es dehnt sich beim Öffnen nur wenig aus und ist deshalb aus 2mm dickem, weissem Karton und 0.5mm PVC gebaut. Formkörper des (doppelten) Torsionshexaeder, der sich zum Kuboktaeder öffnet. Der aufwändigste der gebauten Formkörper ist das sich öffnende Ikosaeder, das sich zum Ikosidodekaeder erweitert. Formkörper des (doppelten) Torsionstetraeders, das sich zum Oktaeder öffnet (oben), Formkörper des einfachen Torsionsoktaeder, das sich zum Kuboktaeder öffnet (unten). Er entspricht Buckminster Fullers Jitterbug-Tanz 04.02.2014 u.w. 16

PolyEdra ein Baukastensystem Zum Bauen von geometrischen Objekten wurde aus Sperrholz ein Bausatz aus regelmässigen Vielecken hergestellt, deren Kanten alle die Länge von 15 cm aufweisen. Ihre gelenkige Verbindung wird mit Schlauchstücken ermöglicht, die über die zapfenbildenden Einschnitte der Bauelemente geschoben werden. Damit lassen sich konvexe und konvex-konkave geometrischen Körper, wie auch bewegliche Gebilde und Flächen zusammensetzen und wieder zerlegen. Formkörper des Ikosaeder-Ikosidodekaeder-Systems in fünfzähliger Symmetrie (oben) und dreizähliger Symmetrie sowie allgemeiner Sicht (unten) Die Bauelemente; auch Achtecke und Zehnecke stehen zur Verfügung 04.02.2014 u.w. 17

Nur die fünf Platonischen Körper setzt man aus lauter gleichen Flächen zusammen. An den Archimedischen Körpern kann es bis drei verschiedene regelmässige Vielecke haben. 04.02.2014 u.w. 18