Thermische Ausdehnung

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1 Thermische Ausdehnung Man beschreibt die thermische Ausdehnung von Festkörpern durch den linearen Ausdehnungskoeffizienten α. Allgemein gilt: 1 L α = L T Damit ergibt sich L = L ( 1+ α T) 0 0 Die Volumenausdehnung von Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen wird durch den Volumenausdehnungskoeffizienten γ beschrieben: 1 V γ = V T 0 Damit ergibt sich V = V ( 1+ γ T) 0 Rateike

2 Ausdehnungskoeffizienten Material α/k -1 Aluminium Eis Glas Fensterglas Pyrex 3, Invar-Legierung Kohlenstoff Diamant 1, Graphit 7, Kupfer Messing Stahl Material γ/k -1 Aceton 1, Ethanol 1, Luft 3, Quecksilber 0, Wasser (20 C) 0, Quelle: Tipler - Physik

3 Kalorimetrie Die Kalorimetrie beschäftigt sich, wie der Name schon sagt, mit der Messung von Wärmemengen. Diese Wärmemengen (Q) werden bei physikalischen Prozessen ausgetauscht, d.h. sie werden von einem Medium abgegeben (Q ab ) und von einem anderen Medium aufgenommen (Q auf ). Für ein homogenes Medium gilt: Q ~ m Q ~ T Wärmemenge ~ Masse Wärmemenge ~ Temperaturdifferenz Daraus ergibt sich folgende Gleichung: Q = c m T Die Proportionalitätskonstante c heißt spezifische Wärmekapazität, und es gilt: J J [c] = =. kg K kg C Dabei ist es egal, ob die Temperaturdifferenz in C oder in K angegeben wird, denn der Zahlenwert von T ist jeweils der gleiche. In dieser Vorlesung sind alle Temperaturdifferenzen positiv zu nehmen, so dass alle Wärmemengen positiv sind, und es gilt dann: Q auf = Q ab ( Energieerhaltung) Rateike

4 Spezifische Wärmekapazität Festkörper Material -1 c / kj kg -1 K Aluminium 0,896 Blei 0,129 Diamant 0,472 Eis 2,1 Eisenrein 0,439 Stahl 0,477 Glas 0,6-0,8 Gold 0,130 Kupfer 0,381 Messing 0,389 Paraffin 2,094 Schaumpolystyrol 1,200 Quarzglas 0,703 Wachs 2,931 Zink 0,389 Quelle: Wikipedia

5 Spezifische Wärmekapazität Flüssigkeiten Material c / kj kg -1 K -1 Formel Ethanol 2,428 C 2 H 5 OH Benzol 1,738 C 6 H 6 Glyzerin 2,428 C 3 H 8 O 3 Methanol 2,470 CH 3 OH Quecksilber 0,139 Hg Terpentinöl 1,800 C 10 H 16 Trichlormethan 0,950 CHCl 3 Wasser bei20 C 4,187 H 2 O Quelle: Wikipedia

6 Rechenbeispiel Sie wollen einen großen Spaghetti-Topf, der 3 Liter Wasser enthält, zum Kochen bringen. Die Kochplatte, auf welche Sie den Topf stellen, hat eine Heizleistung von 1,5 kw. Wie lange dauert es mindestens, bis das Wasser kocht? Hinweis: Sie nehmen vereinfachend an, dass die Wärmekapazität des metallenen Kochtopfs Null ist, dass die gesamte Heizleistung zum Erwärmen des Wassers benutzt wird und dass es keine weiteren Wärmeverluste gibt. c Wasser = 4,187 kj/(kg K), Raumtemperatur 20 C Rechnung: Q = m Wasser c Wasser T = 3 4, = 1005 kj Q = P t t = Q/P = 670 s 11 min ganz schön lange!!! Mit realen Verlusten dauert es noch länger.

7 Latente Wärme Erwärmt man einen Eisklumpen, so steigt seine Temperatur so lange an, bis er bei 0 C zu schmelzen beginnt. Dann bleibt die Temperatur so lange bei diesem Wert stehen, bis alles Eis geschmolzen ist. Während des gesamten Schmelzvorgangs ist die Temperatur konstant geblieben, d.h. Q = m Eis c Eis T=0 ist für den Schmelzprozess eindeutig falsch. Da man die zugeführte Wärme nicht von außen sehen kann, wird sie auch als latente Wärme bezeichnet, und es gilt Q = m Q S Q S wird als Schmelzwärme bezeichnet. Für Eis ist Q S =335,5 kj/kg. Ein analoges Verhalten beobachtet man auch bei Siedevorgängen. Bekannterweise bleibt die Temperatur des Wassers beim Sieden konstant bei 100 C, bis alles Wasser verdampft ist. In diesem Fall gilt für die zugeführte Wärmemenge Q = m Q V Q S wird als Verdampfungswärme bezeichnet. Für Wasser ist Q V =2257 kj/kg. Allgemein gilt: Latente Wärmen beobachtet man bei Phasenübergängen. Rateike

8 Latente Wärme Normale Schmelz- und Siedepunkte sowie Schmelzwärmen Q S und Verdampfungswärmen Q V einiger Substanzen bei 1 atm. Die Werte für CO 2 beziehen sich auf die Sublimation, da flüssiges CO 2 bei Atmosphärendruck nicht existent ist. Quelle: Tipler - Physik

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12 Mechanisches Wärmeäquivalent James Prescott Joule Schema der Apparatur von James Joule zur Bestimmung des mechanischen Wärmeäquivalents. Das Wasser ist gegen die Umgebung thermisch isoliert, so dass keine Wärme übertragen werden kann. Beim Herunterfallen der Massenstücke wird über die Seile die Walze gedreht, die mit dem Schaufelrad im Wasser fest verbunden ist. Vernachlässigt man die Reibungen der Seile und der Drehlager, dann ist die vom Schaufelrad auf das Wasser übertragene Arbeit gleich der Abnahme der potentiellen Energie der Massenstücke, die aus der Höhendifferenz und den Massen leicht zu berechnen ist. Quelle: Tipler- Physik

13 1. Hauptsatz der Thermodynamik Vorzeichenkonvention beim Austausch von Wärme und Arbeit zwischen System und Umgebung. Dem System zugeführte Energien werden stets positiv gerechnet. Der erste Hauptsatz lautet: U = Q + W Die Änderung U der inneren Energie eines Systems ist gleich der Summe der ihm zugeführten Wärme und der an ihm geleisteten Arbeit. Quelle: Tipler Physik

14 Volumenarbeit Eine bestimmte Gasmenge mit dem Druck p befindet sich in einem thermisch isolierten Zylinder, der mit einem reibungsfrei beweglichen, dicht schließenden Kolben der Fläche A verschlossen ist. Wird dieser um die Strecke dx bewegt, dann ändert sich das Volumen um dv=a dx, und die vom Gas verrichtete Arbeit hat den Betrag pa dx = p dv. Quelle: Tipler - Physik

15 Arbeit im pv-diagramm pv-diagramme mit drei möglichen Wegen der Expansion eines idealen Gases vom Anfangszustand (p 1, V 1 ) zum Endzustand (p 2, V 2 ). Der Betrag der jeweiligen Volumenarbeit ist gleich der getönten Fläche. Quelle: Tipler Physik

16 Adiabatische Zustandsänderung Das pv-diagramm für die adiabatische Expansion eines idealen Gases. Die gestrichelten Kurven sind die Isothermen (pv = nrt) der Anfangs- und der Endtemperatur. Die durchgezogene Kurve für die adiabatische Expansion verläuft steiler als die Isothermen, weil die Temperatur während dieses Vorgangs abnimmt. Quelle: Tipler - Physik

17 Dampfmaschine 1 Das Prinzip der Dampfmaschine. Der unter hohem Druck erzeugte Dampf verrichtet Arbeit am Kolben und expandiert dabei. Nach dieser Expansion hat er eine geringere Temperatur. Das bei seiner Kondensation im Kühler entstandene Wasser wird in den Druckbehälter zurückgepumpt. Quelle: Tipler Physik

18 Dampfmaschine 2 Prinzip der doppelt wirkenden Dampfmaschine. Der Dampfeintritt wird durch den Schieber gesteuert, so dass der Dampf abwechselnd auf beide Seiten des Kolbens drückt. Die lineare Bewegung des Kolbens wird über die exzentrisch angebrachte Schubstange auf die Kurbelwelle übertragen. Bild aus: Brockhaus Enzyklopädie, modifiziert

19 Wärmekraftmaschine Der Kreisprozess einer einfachen Wärmekraftmaschine. a) Bei konstantem Volumen (der Kolben wird festgehalten) wird das Gas erwärmt. Dabei steigt sein Druck von p 1 auf p 2. Dann wird ein Massestück G auf die Schale gelegt (b), so dass der Kolben im Gleichgewicht gehalten wird. Bei konstantem Druck wird weitere Wärme zugeführt. und das Gas expandiert bei konstantem Druck und hebt das Massestück an. c) Der Kolben wird fixiert, während das Gas auf die Anfangstemperatur abgekühlt wird. d) Das Massestück wird entfernt und das Gas bei konstantem Druck auf den Anfangszustand komprimiert. Das p-v-diagramm des gesamten Prozesses. Im Schritt (b) verrichtet das Gas Arbeit, und im Schritt (d) wird Arbeit am Gas verrichtet. Die vom Gas netto abgegebene Arbeit entspricht der getönten Fläche. Quelle: Tipler - Physik

20 Das Carnot-Prinzip Zwischen zwei gegebenen Wärmereservoiren hat die reversibel arbeitende Wärmekraftmaschine den höchstmöglichen Wirkungsgrad. Bedingungen für die Reversibilität 1. Es darf keine mechanische Energie aufgrund von Reibung, viskosen Kräften oder anderen dissipativen (nicht rückgängig zu machenden) Effekten in Wärme umgesetzt werden. 2. Es darf keine Wärmeleitung aufgrund einer endlichen Temperaturdifferenz vorliegen. 3. Der Prozess (und alle Teilvorgänge) müssen quasistatisch ablaufen, so dass sich das System stets im Gleichgewichtszustand oder in infinitesimaler Abweichung davon befindet. Quelle: Tipler - Physik

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22 2. Hauptsatz der Thermodynamik Formulierung für Wärmekraftmaschinen Es ist unmöglich, eine zyklisch arbeitende Wärmekraftmaschine zu konstruieren, die keinen anderen Effekt bewirkt, als Wärme aus einem Reservoir zu entnehmen und eine äquivalente Menge Arbeit zu verrichten. Quelle: Tipler Physik, modifizier

23 2.Hauptsatz der Thermodynamik Formulierung für Kältemaschinen Es ist unmöglich, eine zyklisch arbeitende Kältemaschine zu konstruieren, die keinen anderen Effekt bewirkt, als Wärme von einem kälteren Reservoir in ein wärmeres zu übertragen. Quelle: Tipler Physik

24 Wirkungsgrade Die Definition des Wirkungsgrads hängt von der Art der Maschine ab, die man betrachtet. Bei der Wärmekraftmaschine ist man an der Arbeit W interessiert. Dazu ist es nötig, der Maschine die Wärmemenge Q W zuzuführen. Deshalb gilt hier: W ε =. Q W Die Kältemaschine entzieht dem Kühlraum die Wärmemenge Q K. Dazu ist es nötig, an der Maschine die Arbeit W zu leisten. Deshalb gilt hier für die Leistungszahl c L (äquivalent zu Wirkungsgrad ε): QK cl = W. Die Wärmepumpe gibt die Wärmemenge ab. Dazu ist es nötig, an der Maschine die Arbeit W zu leisten. Deshalb gilt hier: QW cl =. W Es gilt die Vorzeichenkonvention des 1. Hauptsatzes Rateike

25 Elektrische Ladungen 1 Zwei an Fell geriebene Plastikstäbe stoßen einander ab. Ungleichnamig geladene Gegenstände ziehen sich an. Gleichnamig geladene Gegenstände stoßen sich ab. Quelle: Tipler - Physik

26 Elektrische Ladungen 2 Es gibt zwei Arten von elektrischen Ladungen: positive und negative. Beide können, wie Millikan 1909 zeigte, nur als ganzzahlige Vielfache der elektrischen Elementarladung e auftreten, wobei gilt e = 1, C Bei normaler Materie sind positive Ladungen auf den Protonen des Atomkerns lokalisiert, wobei für die Ladung q p eines einzelnen Protons gilt: q p = +e Negative Ladungen sind auf den Elektronen lokalisiert, wobei die die Ladung q e eines einzelnen Elektrons gilt: q e = -e Rateike

27 Elektroskop Das Elektroskop dient dem Nachweis von elektrischen Ladungen. Werden diese auf die Metallkugel gebracht, so verteilen sie sich auf Kugel, Achse und die beiden dünnen Goldfolien. Aufgrund der elektrischen Abstoßung spreizen sie sich voneinander weg. Quelle: Tipler Physik, modifiziert

28 Influenz 1 Aufladen durch Influenz. a) Zwei sich berührende Metallkugeln werden entgegengesetzt aufgeladen, wenn ein positiv geladener Plastikstab in die Nähe einer Kugel gebracht wird. Der Stab zieht Elektronen auf die linke Kugel, wodurch sich die rechte positiv auflädt. b) Trennt man die Kugeln, bevor man den Stab entfernt, so verbleiben beide mit gleich großen, entgegengesetzten Ladungen. c) Entfernt man den Stab und die Kugeln voneinander, so verteilen sich die Ladungen gleichmäßig über die Kugeloberflächen. Quelle: Tipler - Physik

29 Influenz 2 a) Die freie Ladung einer leitenden Kugel wird durch die Nähe eines positiv geladenen Stabes polarisiert. b) Durch Erdung der positiv geladenen rechten Kugelseite fließen Elektronen nach und neutralisieren die rechte Kugelhälfte. c) Wird die Erdung noch vor Entfernen des geladenen Stabes unterbrochen, so verbleibt die Kugel negativ geladen. d) Die Ladung verteilt sich nach Entfernen des Stabes gleichmäßig über die Kugeloberfläche. Quelle: Tipler - Physik

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32 Das Feld einer Punktladung Wir betrachten das Feld einer ortsfesten positiven Punktladung. Denken wir uns eine ebenfalls positive Probeladung, so ergibt sich aus der Tatsache, dass beide Ladungen sich abstoßen, der eingezeichnete Verlauf des elektrischen Feldes: Die Feldlinien zeigen radial von der positiven Ladung weg, und aus dem Coulombschen Gesetz folgt: r r E(r) = 1 4π ε 0 q r r 2 e r e r ein Einheitsvektor, der radial von der positiven Ladung weg Dabei ist r zeigt. Das Feld selbst ist proportional zur Ladung q und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands r von der Ladung. Rateike

33 Darstellung von Feldern Man kann ein Vektorfeld darstellen, indem man einen Satz Pfeile zeichnet, deren Größe und Richtung das Vektorfeld an den Punkten repräsentieren, an denen die Vektoren beginnen. Man kann ein Vektorfeld auch darstellen, indem man Linien zeichnet, die an jedem Punkt tangential zur Richtung des Feldvektors sind. Die Dichte der Linien ist dann proportional zur Größe der Feldvektoren. Grafik aus: Feynman Lectures on Physics

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35 Feldlinien und Äquipotentiallinien Feldlinien (rot) und Äquipotentiallinien (blau) einer positiven Ladung. Beide Linien stehen senkrecht aufeinander. Grafik aus: Feynman Lectures on Physics, modifiziert

36 Der elektrische Dipol Zwei vom Betrag her gleiche entgegengesetzte Ladungen +q und q bilden einen elektrischen Dipol: Man charakterisiert ihn durch das elektrische Dipolmoment p=q d, wobei d der Abstand der beiden Ladungen ist. Das Dipolmoment ist ein Vektor und zeigt von der negativen zur positiven Ladung. Elektrische Dipole kommen in der Natur häufig vor: Beim Wassermolekül zieht das Sauerstoffatom (O) die Bindungselektronen etwas von den beiden Wasserstoffatomen weg. Als Folge ist die Seite des Moleküls mit den Wasserstoffatomen partiell positiv (δ+) und die Seite mit dem Sauerstoffatom partiell negativ (2δ-) geladen. Das Wassermolekül hat deshalb ein permanentes elektrisches Dipolmoment. Rateike

37 Feldlinien und Äquipotentiallinien Elektrische Feldlinien (rot) und Äquipotentiallinien (blau) von zwei entgegengesetzt geladenen Punktladungen. Quelle: Feynman Lectures on Physics II, modifiziert

38 Elektrischer Dipol Ein Dipol besteht aus zwei Ladungen mit gleichem Betrag, aber unterschiedlichem Vorzeichen, die einen Abstand d voneinander haben. Meist betrachtet man das elektrische Feld dieses Dipols an Punkten P(x,y,z), deren Abstand vom Dipol groß gegen d ist. Grafik aus: Feynman Lectures on Physics, modifiziert

39 Elektrisches Dipolfeld Das Feld eines elektrischen Dipols ist rotationssymmetrisch um eine Achse, welche das Dipolmoment p r enthält. Im Einzelnen erhält man: E z p 3cos θ 1 = und 4πε 3 r 0 2 E = p 3cos θ sinθ 4πε 3 0 r Grafik aus: Feynman Lectures on Physics, modifiziert

40 Ladung im elektrischen Feld Ein r Elektron r mit der Ladung e erfährt im elektrischen Feld eine Kraft F = e E, die entgegengesetzt zur Richtung des elektrischen Feldes ist. Im linken Bild ist das Feld parallel zur Flugrichtung: das Elektron wird abgebremst, die Flugrichtung bleibt unverändert. Im rechten Bild ist das Feld quer zur Flugrichtung. Das Elektron wird nach oben abgelenkt. Die Flugbahn ist eine Parabel. Grafik aus: Tipler Physik

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44 Dipol im elektrischen Feld Ein nichtpolares Molekül im inhomogenen elektrischen Feld einer Punktladung: Das induzierte Dipolmoment p zeigt in Richtung der Feldlinien. Da F 1 >F 2, gibt es eine anziehende Kraft zwischen Dipol und Punktladung. Ein permanenter Dipol wird in einem homogenen elektrischen Feld ausgerichtet. Auf die Ladungsschwerpunkte wirken gleich große entgegen gesetzte Kräfte, die so lange ein Drehmoment auf den Dipol ausüben, bis dessen Dipolmoment parallel zu den Feldlinien liegt. Grafiken aus: Tipler - Physik

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52 Leiter im elektrischen Feld Zwei Ansichten einer leitenden Platte in einem äußeren elektrischen Feld E 0. Auf der rechten Seite wird eine positive Ladung influenziert und auf der linken eine gleich große negative. Daher ist das resultierende elektrische Feld innerhalb der Platte null. Die elektrischen Feldlinien enden auf der linken Seite und beginnen erneut auf der rechten Seite. Quelle: Tipler - Physik

53 Elektrisches Feld eines Leiters 1. Die elektrische Ladung eines Leiters, die als solche makroskopisch in Erscheinung tritt, befindet sich auf der Oberfläche des Leiters. 2. Das elektrische Feld unmittelbar über der Oberfläche eines Leiters steht senk-recht zur Oberfläche, und seine Stärke ist σ / ε 0. Hierbei ist σ die Oberflächenladungsdichte des Leiters. Textquelle: Tipler - Physik

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55 Arbeit im elektrischen Feld 1

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60 Plattenkondensator 1 Aufbau eines Plattenkondensators. Legt man an die Platten eine Spannung an, so fließen so lange Ladungen auf die Platten, bis das elektrische Feld zwischen den Platten der angelegten Spannung entspricht. Die gespeicherte Ladung ist der angelegten Spannung proportional. Quelle: Tipler - Physik

61 Plattenkondensator 2 (a) Der Feldlinienverlauf zeigt die Homogenität des elektrischen Feldes in einem Plattenkondensator. (b) Elektrische Feldlinien in einem Plattenkondensator, sichtbar gemacht durch eine Suspension von Eisenfeilspänen in Öl. (Foto: Harold M. Waage) Quelle: Tipler - Physik

62 Plattenkondensator 3

63 Zylinderkondensator Koaxialkabel als Beispiel für einen Zylinderkondensator. In der Praxis dient der Außenleiter als Abschirmung. Er besteht oft aus vielen dünnen Adern. Zwischen dem Innenleiter und der Abschirmung befindet sich ein Isolator. Quelle: Tipler - Physik

64 Dielektrikum Chaos (a) Ohne äußeres Feld sind die elektrischen Dipole ei- Die- nes polaren lektrikums zufällig orientiert. Orientierungspolarisation: ungefähr in eine Richtung (b) Unter dem Einschen Feldes rich- fluss eines elektriten sich die Dipole entlang den Feldlinien aus. Diese Form der Polarisation heißt Orientierungspolarisation. Quelle: Tipler - Physik

65 Dielektrikum Bringt man ein nichtpolares Dielektrikum zwischen die Platten eines Kondensators, so wird es durch das elektrische Feld im Kondensator polarisiert. Dabei werden die Ladungsschwerpunkte aller Atome und Moleküle des Dielektrikums gegenein- im Inneren des ander verschoben. Während sich Dielektrikums die entgegen gesetzten Ladungen untereinander aufheben, bilden sich gebundene Oberflächenladungen, die ein Feld erzeugen, das dem äußeren Feld entgegen gerichtet ist und dieses schwächt. Man bezeichnet dieses Phänomen als Verschiebungspolarisation. Quelle: Tipler - Physik

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71 Stromdichte j r und Vektorstrom Ι r Die alte Frage Wie fließt der Strom? kann nun konsistent beantwortet werden: Der Stromfluss erfolgt von + nach Dieses gilt unabhängig davon, ob es sich um positive oder negative Ladungsträger handelt. Für positive Ladungen (linkes Bild) ist der Vektor v r d parallel zum elektrischen Feld E r r r, ebenso wie die Stromdichte j = nqvd. Für q<0 (rechtes Bild) ist v r d entgegengesetzt zum elektrischen Feld E r. r j hingegen zeigt wegen q<0 wieder parallel zu E r. Oft benutzt man diese Tatsache, um einen Vektorstrom r r r Ι zu definieren, der natürlich den Betrag j A hat und von + nach fließt. Rateike

72 Ohmsches Gesetz Für einen Leiter ist der Strom proportional zur angelegten Spannung: I ~ U Der Proportionalitätsfaktor heißt Leitwert G: I = G U Der Widerstand R ist der Kehrwert von G R = 1/G Damit ergibt sich die bekannte Gleichung U = I R. Einheit des Widerstandes ist das Ohm: [R] = Ω = V/A Für einen Leiter mit der Länge l und dem Querschnitt A gilt: R ~ l und R ~ 1/A Der Proportionalitätsfaktor ist der spezifische Widerstand ρ: R l = ρ Rateike A

73 Spezifischer Widerstand Metalle (oberer Teil der Tabelle) haben als Leiter einen geringen spezifischen Widerstand, während Isolatoren (unterer Teil) einen hohen Wert aufweisen. Dazwischen liegen die Halbleiter (Si, Ge). Tabelle aus: Tipler - Physik

74 Temperaturabhängigkeit des Widerstands Bei Leitern nimmt der spezifische Widerstand ρ mit steigender Temperatur zu. Dieses wird durch den Temperaturkoeffizienten α beschrieben: ρ = ρ 20 C [1 + α(t C -20 C) Daraus folgt eine entsprechende Gleichung für den Widerstand R: R = R 20 C [1 + α(t C -20 C) Damit lässt sich α interpretieren: α = R 1 R t 20 C Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstands von Kupfer. ρ nimmt mit steigender Temperatur zu, eine Folge der Bewegung des Kristallgitters. Grafik aus: Tipler Physik

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76 Wohin zeigt die Lorentzkraft? Die Richtung der Kraft, die ein Magnetfeld auf eine bewegte Ladung ausübt, kann man mit der Rechte-Hand-Regel bestimmen. (a) Die Kraft F r steht senkrecht auf v r und B r. Sie zeigt in die Richtung, in die sich eine Rechtsschraube bewegt, wenn man sie in die Richtung dreht, die v r unter dem kleinstmöglichen Drehwinkel in B r überführt. (b) Zeigen die Finger der rechten Hand in Richtung von v r, so dass man sie in Richtung von B r drehen kann, dann zeigt der abgespreizte Daumen in Richtung von F r. Quelle: Tipler Physik, modifiziert

77 Richtung der Lorentzkraft Richtung der Lorentz- Kraft auf geladene Teilchen, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten v r in einem Magnetfeld B r bewegen. Die durch v r und B r aufgespannten Ebenen sind grau unterlegt. Quelle. Tipler Physik, modifiziert

78 Ladung im Magnetfeld Ein geladenes Teilchen bewegt sich in einer Ebene senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld. Das Magnetfeld zeigt in die Papierebene hinein, was durch die Kreuze angedeutet wird. (Ein entgegengesetzt gerichtetes Feld wird durch Punkte symbolisiert.) Die Kraft, die das Magnetfeld auf das Teilchen ausübt, steht immer senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor des Teilchens, so dass sich das Teilchen auf einer Kreisbahn bewegt. Quelle: Tipler Physik

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81 Zyklotron Magnet (unterer Teil) Schemazeichnung eines Zyklotrons, wobei hier der obere Teil des Magneten nicht mit eingezeichnet wurde. Geladene Teilchen, zum Beispiel Protonen, werden aus der Quelle S im Zentrum der Anordnung emittiert und dann durch die Potentialdifferenz in der Lücke zwischen den beiden Ds beschleunigt. Die Potentialdifferenz wird von einer Hochfrequenzwechselspannung erzeugt, deren Periode mit der Zyklotronperiode übereinstimmt. Letztere hängt nicht vom Bahnradius und damit nicht von der Teilchengeschwindigkeit ab. Die Teilchen werden so jedes mal bei Erreichen der Lücke weiter beschleunigt und bewegen sich auf Bahnen mit immer größer werdendem Radius, bis sie den maximal möglichen Bahnradius erreicht haben und das Zyklotron verlassen. Quelle: Tipler Physik, modifiziert

82 Hall-Effekt Das Magnetfeld zeigt in die Papierebene hinein, was durch die Kreuze angezeigt wird. Sowohl auf positive Ladungsträger (a), die sich von links nach rechts bewegen, als auch auf negative Ladungsträger (b), die sich von rechts nach links bewegen, übt das Magnetfeld eine nach oben gerichtete Kraft aus. Quelle: Tipler Physik

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84 Hall-Spannung U H Im Gleichgewicht gilt F L = F C, also: qv d B=qE H, so dass für einen Leiterstreifen der Breite b folgt: U H =E H b=v d Bb Drückt man v d durch den Strom I aus I=nqv d A, so ergibt sich für die Ladungsträger- konzentration n mit A=b d (d Dicke): n = Ι Ι = Aqv d bdqv d Wegen v d b=u H /B folgt: n ΙB =, so dass: qdu H U H = A H ΙB d mit der Hall-Konstanten (Hall-Koeffizient) A H = 1 nq nach: Tipler Physik

85 Hall-Konstanten Metall n / m -3 A H / m 3 C -1 x x10-10 Na 2,50-2,5 K 1,49-4,2 Cu 11,3-0,55 Ag 7,34-0,85 Al 20,8-0,30 Bi 0,001-0,0054 W 5,29 +1,18 Zn 18,9 +0,33 Cd 10,4 +0,60 Fe 25,0 +0,25 Ladungsträgerkonzentration n und Hall- Konstante A H bei Zimmertemperatur für verschiedene Metalle. Bei den Alkalimetallen und den sehr gut leitenden Metallen sind die Hall-Konstanten negativ: die Leitung erfolgt durch Elektronen. Anders ist die Situation bei den unteren 4 Metallen der Tabelle. Die Hall-Konstanten sind positiv: die Leitung erfolgt durch Löcher Tabellenwerte aus: HJ Paus - Physik

86 Amperesches Gesetz Für die Berechnung von elektrischen Feldern in besonderen Geometrien half uns der Gaußsche Satz. Für magnetische Felder gilt das Amperesche Gesetz: r B ds r = µ Ι. Γ Das Integral ist ein Linienintegral entlang einer geschlossenen Kurve Γ. I ist der Strom, der durch die von Γ umrandete Fläche fließt. µ 0 ist eine Konstante: µ 0 =4π 10-7 Vs/(Am) Wir benutzen das Amperesche Gesetz, um für einfache Geometrien (langer gerader Draht, lange Spule) das Magnetfeld zu berechnen. Rateike 0

87 Magnetfeld eines langen geraden Leiters Die magnetischen Feldlinien eines langen geraden Leiters sind konzentrische Kreise (rot), wobei der Betrag von B vom Abstand r von der Leiterachse abhängt: B(r) = µ 0 2πr Ι Die Richtung des Feldes ist immer tangential an die Kreise, wobei die Rechte-Hand-Regel gilt: Wenn der Daumen in Richtung des Stromflusses weist, zeigen die Finger der geschlossenen Faust in Richtung der magnetischen Feldlinien. Rateike

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89 Magnetfeld einer langen Spule 1 Aus Experimenten bekannt: im Innenraum der Spule homogenes Feld B 0 im Außenraum der Spule B = 0 Als Integrationsweg Γ nehmen wir den rechteckigen Weg, der blau markiert ist. Dann gilt: r r r r r r r r r r B ds = B ds + B ds + B ds + B ds Γ Nur das 1. Integral r liefert einen Beitrag, denn auf den beiden senkrechten r Strecken ist B ds, während auf dem oberen Rand B = 0 ist: r r r r ds = B ds = B ds = I B 0 0 µ 0 Γ Rateike

90 Magnetfeld einer langen Spule 2 Es bleibt die Frage, wie groß der Strom ist, der durch die von der Kurve G eingeschlossene Fläche fließt. Man sieht aus der Zeichnung, dass der Spulenstrom I n-mal durch die Fläche fließt, wobei gilt: n N L 0 L =. Dabei ist N die Gesamtzahl der Windungen und L 0 die gesamte Spulenlänge. Also: r B ds r = B ds = B L = µ N Γ L 0 so dass schließlich im Inneren der Spule gilt: Rateike LΙ, B 0 = µ 0 N L 0 Ι

91 Biot-Savartsches Gesetz Das Gesetz von Biot-Savart erlaubt es, das Magnetfeld zu berechnen, das von einer gegebenen Stromverteilung erzeugt wird: r d l sei ein vom Strom I durchflossenes Linienelement. Dieses erzeugt ein Feld db r am Ort r, das durch r r r µ 0 Idl er db = 2 4π r gegeben ist. Wegen des Vektorprodukts ist das Feld bei P 2 gleich Null, während es bei P 1 von Null verschieden ist. Grafik aus: Tipler Physik, modifiziert

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94 Magnetisches Moment einer Leiterschleife Gegeben sei wieder eine vom Strom I durchflossene Leiterschleife. Diese schließe die Fläche A ein. Die Leiterschleife muss nicht kreisförmig sein wie hier gezeigt. Jede andere Kurve im 2-dimensionalen Raum ist auch erlaubt. Man definiert nun das magnetische Moment m r m der Leiterschleife als: Dabei ist n v der Normalenvektor auf der eingeschlossenen Fläche. Rateike

95 Orientierung einer Leiterschleife a) Die Orientierung einer stromdurchflossenen Leiterschleife kann man durch einen Einheitsvektor, den Normalenvektor n, beschreiben, der senkrecht zur Schleifenebene steht. b) Rechte-Hand-Regel, mit der sich die Orientierung von n ermitteln lässt. Wenn die Finger der rechten Hand dem Verlauf der Leiterschleife folgen, wobei die Fingerspitzen in Stromrichtung zeigen, so gibt die Richtung des Daumens die Orientierung von n an. Quelle: Tipler - Physik

96 Kräfte auf Leiterschleifen Kräfte, die auf eine stromdurchflossene, rechteckige Leiterschleife wirken, wenn diese sich in einem homogenen Magnetfeld B befindet, das parallel zur Schleifenebene liegt. Durch die Kräfte entsteht ein Drehmoment, das versucht, die Schleife so zu drehen, dass ihre Ebene senkrecht zum Magnetfeld steht. Quelle: Tipler - Physik

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98 Drehmoment auf ein magnetisches Moment Rechteckige, stromdurchflossene Leiterschleife, deren Normalenvektor n r mit einem homogenen Magnetfeld B r den Winkel θ einschließt. Auf die Schleife wirkt dann ein Drehmoment M r, das den Betrag IAB sinθ hat und das versucht, n r in Richtung B r r zu drehen. Das Drehmoment lässt sich r r r r schreiben als M = mm B, wobei m m = ΙAn das magnetische Moment der Schleife ist. Quelle: Tipler Physik, modifiziert

99 Magnetfeld in Materie 1 Bringt man Materie in ein Magnetfeld, so kommt es zu einer Ausrichtung der magnetischen Dipolmomente. Diese wird durch die Magnetisierung M r beschrieben: r r dmm M = dv Ampère führte die Magnetisierung auf atomare Kreisströme zurück, die in der Materie fließen. Da sich die Ströme im Inneren aufheben, bleibt der Oberflächenstrom übrig, was eine Analogie zur stromdurchflossenen Spule darstellt. Dort gilt: B = µ 0 ni Oberflächenstrom wobei n=n/l die Zahl der Windungen pro Einheitslänge ist. Betrachtet man einen infinitesimal kleinen Zylinder, so gilt: Nun ist dmm AdΙ dι M = = = dv Adl dl dι M = = nι. d l In Analogie zu kann man deshalb schließen: B in =µ 0 M Dabei ist B in das Magnetfeld im Inneren des Zylinders.

100 Magnetfeld in Materie 2 In einer Spule (hier als durchsichtiger Zylinder gezeichnet) befinde sich eine zylindrische Probe. In dieser gibt es zwei Felder: das durch die Spule erzeugt Feld B r r 0 und das induzierte Feld B in. Dann gilt für das resultierende Feld: r r r = B + µ M Bres 0 0 Man führt nun die magnetische Feldstärke H ein: Damit ergibt sich aus : H=n Ι. r B 0 (H r r = µ + M). Die Magnetisierung M hängt ihrerseits von H ab: r M = χ m H Dabei ist χ m die magnetische Suszeptibilität. Insgesamt ergibt sich dann: r B = r r µ (H + M) = µ Oft wird der Faktor 0 0 r (H + χ. m r H) = µ 0 (1+ χ 1+ χm als µ r bezeichnet. m r )H Rateike

101 Magnetische Suszeptibilität Material χ m Aluminium 2, Diamant -2, Gold -3, Kupfer -0, Magnesium 1, Natrium -0, Quecksilber -3, Silber -2, Titan 7, Wismut -1, Wolfram 6, Kohlendioxid (1 atm) -2, Sauerstoff (1 atm) Stickstoff (1 atm) -5, Wasserstoff (1 atm) -9, Substanzen mit χ m >0 sind paramagnetisch, während solche mit χ m <0 diamagnetisch sind. Tabelle aus: Tipler Physik

102 Para- und Diamagnetismus Atome und Moleküle sind von Natur aus diamagnetisch. Bringt man sie in ein Magnetfeld, so wird nach dem Induktionsgesetz ein magnetisches Moment m r m induziert, das dem äußeren Feld entgegengesetzt ist. Das daraus resultierende Feld hat dieselbe Ausrichtung. Besitzen die Atome oder Moleküle jedoch ungepaarte Elektronen, so ist damit ein permanentes magnetisches Dipolmoment verbunden, das sich in Richtung des äußeren Feldes orientiert. Diese Teilchen sind dann paramagnetisch. Para- und Diamagnetismus sind äußerst kleine Effekte. Die sei verursachenden Kräfte sind sehr schwach, so dass man eine ausgeprägte Temperaturabhängigkeit beobachtet. Rateike

103 Paramagnetismus Darstellung der Magnetisierung M in Abhängigkeit vom angelegten Feld B app. In sehr starken Feldern nähert sich die Magnetisierung dem Sättigungswert M s. Dies erreicht man allerdings nur bei sehr niedrigen Temperaturen (einige Kelvin). In schwachen Feldern ist die Magnetisierung proportional zu B app. Dieses Verhalten wird Curie-Gesetz genannt. Quelle: Tipler Physics, modifiziert

104 Ferromagnetismus Schematische Darstellung ferromagnetischer Domänen. Innerhalb einer Domäne sind die magnetischen Dipolmomente ausgerichtet, aber die Richtung der Magnetisierung variiert von Domäne zu Domäne, so dass die resultierende Magnetisierung Null ist. Anlegen eines kleinen externen Magnetfeldes führt dazu, dass die die Domänen, die parallel zu diesem Feld orientiert sind, vergrößern, oder dass die Magnetisierung innerhalb einer Domäne umklappt. Beide Fälle führen zu einem resultierenden magnetischen Moment parallel zum externen Feld. In deutschen Physikbüchern heißen die Domänen auch Weißsche Bezirke Bild aus: Tipler - Physics

105 Hysteresekurve Abhängigkeit der Feldstärke B vom magnetisierenden Feld H. Gestrichelt: Neukurve. H c Koerzitivfeldstärke, B r Remanenzfeld. Man beachte, dass die Magnetisierung für große Werte von H in Sättigung geht. Grafik aus: H.J. Paus - Physik

106 Stabmagnet Das Feld eines Stabmagneten, sichtbar gemacht durch Eisenfeilspäne (links), die sich längs der Feldlinien anordnen. Rechts der schematische Verlauf der Feldlinien. Sie kommen beim magnetischen Nordpol aus dem Magneten heraus und gehen beim magnetischen Südpol in dem Magneten hinein. Quelle: Tipler - Physik

107 Das Erdmagnetfeld Das Erdmagnetfeld ist in guter Näherung ein Dipolfeld, allerdings ist die Feldachse gegen die Erdachse verkippt. Der arktische Pol dieses Feldes ist ein magnetischer Südpol, der antarktische ein Nordpol.

108 Modell des Erdmagnetfeldes In diesem Modell werden die magnetischen Feldlinien der Erde mit Eisenfeilspänen sichtbar gemacht. Sie ordnen sich längs der Fellinien an.

109 Bedeutung des Erdmagnetfeldes Geladene Teilchen, die von der Sonne kommen (Sonnenwind), werden im Erdmagnetfeld abgelenkt. Sie folgen den Feldlinien auf schraubenförmigen Bahnen und treten in den Nord- und Südpolargebieten in die Erdatmosphäre ein. Dort regen sie die Luftmoleküle zum Leuchten an, was wir Polarlicht nennen. Die grüne Emission kommt von Sauerstoffatomen und entsteht in Höhe von ca. 100 bis 150 km. Quelle: NASA Astronomy Picture oft he Day.

110 Spektren der Aurora Die typischen grünen und roten Leuchterscheinungen stammen von Sauerstoffatomen in mehr als 100 km Höhe, die vom Sonnenwind (Elektronen und Protonen) angeregt werden.