Dynamische Steuerung bei Versicherungen

Transkript

1 Institute für Finanzwirtschaft, Banken und Versicherungen (i. R.) 10. DAA-Workshop für junge Mathematiker September 2012 Reisensburg/Günzburg

2 Workshop für junge Mathematiker, Reisensburg Versicherungsmathematik ist spannende Mathematik Mathematische Disziplin, anspruchsvoll, angewandt Demonstration im Workshop für junge Mathematiker Diplomanden, Doktoranden der Mathematik (keine Tagungskosten, < 25) Referenten aus Praxis und Wissenschaft (keine Honorare, 4/4) Gelegenheit für Kontakte, Fragen und Antworten Reisensburg: Atmosphäre, Prof. Zwiesler

3 2003 bis 2012 Referenten aus Praxis: Dr. Lothar Stöckbauer, Mannheimer Versicherung, Christoph Heinrich, Kölner Pensionskasse, Dr. Frank Schiller, Münchener Rückversicherung, Dr. Thorsten Wagner, KPMG Referenten aus der Wissenschaft: Prof. Dr. Ralf Korn, Kaiserslautern, Prof. Dr. Hansjörg Albrecher, Lausanne, Prof. Dr. Hanspeter Schmidli, Köln, Prof. Dr. Dietmar Pfeifer, Oldenburg.

4 Journal der Versicherungs-/Finanzmathematik Salzmann, Wüthrich: Modeling accounting year dependence in runoff triangles Léveillé: Bivariate compound renewal sums with discounted claims Salah, Morales: Lévy systems and the time value of ruin for Markov additive processes Gerber, Shiu, Yang: The Omega model: from bankruptcy to occupation times in the red Planchet, Guibert; Juillard: Measuring uncertainty of solvency coverage ratio in ORSA for non-life insurance

5 Ältestes Modell für Risiken Lundberg s Riskomodell (1905): R(t) = s + ct X 1... X N(t), s Startkapital, c konstant Prämienrate, N(t) homogener Poisson Prozess für Schadenzeitpunkte, X 1, X 2,... iid Schadenhöhen, N(t), t 0, und X 1, X 2,... unabhängig.

6 Risikoprozess mit Kleinschäden

7 Kapitalmarkt Logarithmische Brownsche Bewegung für Aktie, Index oder ähnliches: dz (t) = µz (t)dt + σz (t)dw (t), Unabhängigkeit zwischen Z (t) und R(t), t 0. Dabei µ, σ > 0. Risikolose Anlage (gibt es nicht mehr) db(t) = rb(t)dt, r 0.

8 Vereinfachungen erleichern das Leben... aber ohne sie werden die Probleme interessanter! Übliche Vereinfachungen: unlimitierte Leerverkäufe; (Azcue Muler 2009) unlimitiertes Fremdkapital; (Azcue Muler 2009) ohne Transaktionskosten; (Thonhauser 2011) gleicher Zins für Leihen und Verleihen; keine Steuern (Albrecher H. 2007);...

9 Ruinwahrscheinlichkeit φ(s) ohne Steuerung Überlebenswahrscheinlichkeit: δ(s) = 1 φ(s), δ(s) = P{R(t) 0 für alle t 0}. Integro-Differentialgleichung (IDG): Homogen. 0 = λe[[δ(s X) δ(s)] + cδ (s), s 0, δ(0) = 1 λµ, δ( ) = 1, δ(s) = 0, s < 0. c

10 Beweis für IDG Angenommen, δ(s) ist glatt. δ(s) = E[δ(R(h)) R(0) = s] + o(h) = λhe[δ(s X)] + (1 λh)δ(s + ch) + o(h) = λhe[δ(s X)] + (1 λh)δ(s) + chδ (s) + o(h). Gf (s) = λe[f (s X) f (s)] + cf (s), s 0 infinitesimaler Generator des Markov-Prozesses R(t), t 0. E[f (R(h) R(0) = s] = Gf (s) + o(h), s 0. Gδ(s) = 0, s 0.

11 Steuer und Diversifikation Versicherung basiert auf dem Phänomen Diversifikation: Verträge mit hohen/vielen Schäden werden ausgeglichen durch Verträge mit geringen/wenigen Schäden Ausgleich im Kollektiv Perioden mit hohen/vielen Schäden werden ausgeglichen durch Perioden mit geringen/wenigen Schäden Ausgleich in der Zeit Ausgleich in der Zeit wird erschwert durch IFRS (einjährige Betrachtung, Schwankungsreserven sind unzulässig). Steuer, Dividenden, Solvenzbestimmungen Vortrag von Michel Dacarogna, SCOR, Hauptvortrag bei der 1. EAJ Konferenz in Lausanne, 7./8. September 2012.

12 Risikoprozess mit und ohne Steuern

13 Ruinwahrscheinlichkeit mit Steuern Steuern mit Verlustvortrag. Steuerquote γ : dr γ (t) = c(1 γ)dt ds(t), R γ (t) = M(t), dr γ (t) = cdt ds(t), R γ (t) < M(t), M(t) = max{r(τ), τ t}. Ergebnis von Albrecher und H. 2007: δ γ (s) = δ 0 (s) 1/(1 γ).

14 Rückversicherung... ist die wichtigste Maßnahme des Risikomanagements. Risikoteilung pro Schaden X: X = g(x) + X g(x) Rückversicherungsprämie h Risikoprozess des Erstversicherers: N(t) R g (t) = (c h)t g(x i ), t 0. proportionale RV: g(x) = αx; Exzedenten-RV: g(x) = min(x, M); i=1

15 Rückversicherung limitierte Exzedenten-RV: g(x) = min(x, M) + (x M L) + x g(x) = min((x M) +, L). Es gibt praktisch keine unlimitierte Exzess-RV auf dem Markt.

16 Optimale Rückversicherung Dynamische Optimierung über eine Menge von Risikoteilungen g(x, a), a A. Zulässi g sind vorhersehbare Strategien a(t), t 0, a(t) A, d.h. man muss vor (!) jedem Schaden entschieden haben, welche Rückversicherung man wählt. Beispielsweise a(t) dynamisch gewählte Proportion α, oder dynamisch gewählte Priorität M, oder dynamisch gewählte Priorität M und Limit L. In Praxis nicht durchführbar, aber interessantes mathematisches Problem! Teure Rückversicherung!

17 Hamilton-Jacobi-Bellman Gleichung 0 = sup{λe[v (g(x, a)) V (s)] + (c h(a))v (s), s 0, a A V ( ) = 1, V (s) = 0, s < 0. V (s) = inf a A λe[v (s g(x, a))], c h(a) a = a(s) liefert optimale Strategie: a opt (t) = a(r(t)) Frage 1: Existenz einer glatten Lösung? Frage 2: Ist Lösung maximale Überlebenswahrscheinlichkeit?

18 Antwort auf Frage 1 V n + 1(s) = inf a A,c>h(a) λe[v n (s) V n (g(x, s)), s 0. c h(a) V 0 (s) = δ 0 (s) : V 0 = λe[v 0(s) V 0 (g(x, s)) V 1 c (s), V n (s) = 1 + s 0 V n(s)ds Monotone Konvergenz V n(s) V (s), Integrieren; Normieren; glatte Lösung der HJB.

19 Antwort auf Frage 2: Verifikationsargument Sei V (s) eine glatte Lösung der HJB, und a(t) eine beliebige RV-Strategie mit Risikoprozess R a (t). Dann ist E[V (R a (t))] monoton fallend in t, also V (s) = E[V (R a (0))] lim t E[V (R a (t))]. Wenn kein Ruin auftritt, dann (*) R a (t). Wegen V (s) = 0, s < 0 und V ( ) = 1 ist der obige Limes die Überlebenswahrscheinlichkeit von R a (t). Für die Strategie a opt (t) ist der Erwartungswert konstant, und damit gilt = statt. (*) technische Details.

20 optimale proportionale Rückversicherung

21 optimale Exzedenten-Rückversicherung

22 optimale limitierte Exzedenten-Rückversicherung M(s), M(s) + L(s)

23 Investment ist riskant! Ein Versicherer investiert sein Kapital, und dies hat Einfluss auf sein Gesamtrisiko. Das Kapitalmarktrisiko ist bisweilen größer als das Versicherungsrisiko! Historie. dr(t) = cdt ds(t), t 0, R(0) = s; dr I (t) = (c + rr I (t))dt + θ(t)dz (t) rθ(t)z (t)dt ds(t); φ(s), φ I (s) zugehörige Ruinwahrscheinlichkeiten. Für Kleinschäden und vollem Investment (θ(t)z (t) = R I (t)) gilt mit s φ(s) K 1 exp( Rs), φ I (s) K 2 s β, R, β > 0. Für Großschäden kann gelten: φ(s) K 3 s a.

24 Unlimitiertes Investment, r = 0 dz (t) = µz (t)dt + σz (t)dw (t), Z (0) = z, t 0, HJB-Gleichung für s 0: 0 = sup{λe[v (s X) V (s)]+(c +θzµ)v (s)+ 1 θ 2 θ2 z 2 σ 2 V (s)} A = θz investierter Betrag, µ = σ = 1 Normierung: für s 0 0 = sup{λe[v (s X) V (s)] + (c + A)V (s) + 1 A 2 A2 V (s)}. (1)

25 HJB Gleichung Der Maximierer A(s) = V (s) V (s) liefert die optimale Investment Strategie: investiere A(s) wenn Du in Zustand s bist. A(0) = 0, also V (0) =. Maximierer einsetzen: λe[v (s X) V (s)] + cv (s) = V (s) 2 2V (s). V ( ) = 1, λv (0) = cv (0).V (s) = 0, s < 0 natürliche Randbedingungen. Homogen.

26 Existenz einer glatten Lösung in H. und Plum (2000,2002), nichttrivial. Verifikationsargument wieder mit Monotonie. Qualitatives Verhalten: A(s) K 1 s 1/2, V (s) K 2 s 1/2, s 0. A(s) 1/R, s, bei Kleinschäden A(s), s, bei Großschäden A(s) Ks für Schäden mit Pareto-Verteilung. Unbeschränktes Leverage d. h. A(s)/s, geliehenes Geld in Aktie.

27 Exponentialverteilung, λ + 1/2 = ac X Exp(a) mit Dichte f (x) = a exp( ax), x > 0, a > 0, dann gilt für g(s) = E[V (s X) g (s) = a(v (s) g(s)) die Gleichung (1) lässt sich dann vereinfachen. A(s) = 2c/a 1 exp( 2as).

28 Optimale Strategie A(s)

29 Leverage Pablo Azcue and Nora Muler (2009) lösten das Problem, in dem der investierte Betrag beschränkt wird auf 0 A(s) s. Die HJB lautet hier: (mit r = 0, µ = σ = 1) 0 = sup {λe[v (s X) V (s)] + (c + A)V (s) A s 2 A2 V (s)}. Das Maximum findet man bei A = 0 oder A = s oder bei A = V (s)/v (s). In diesem Fall ist V (s) nicht immer konkav, V (s) = 0 kann vorkommen, sogar für exponentielle Schäden. V (0) <. Nichttrivial!

30 Optimaler Betrag ohne Leverage/Leerverkäufe

31 Optimaler Anteil ohne Leverage/Leerverkäufe

32 Interessante Ergebnisse findet man im Fall beschränkter Leverage/Leerverkäufe. Hierbei ist der investierte Betrag beschränkt durch bs A(s) as, a > 1, b > 0. Man kann zwei Sprünge des optimalen investierten Betrages sehen: A(s) = as, 0 s x 1, Belkina, H, Luo, Taksar (2012). A(s) = bs, x 1 < s x 2, A(s) = µv (s) σ 2 V (s), s > x 2.

33 exp Schäden, λ = 0.09, µ = 0.02, σ = 0.1, a = 1, b = 3, c = 0.01, r = 0.015,

34 Auswirkung des Sprunges in der Stratege

35 Viele Methoden, viele Probleme Diese unterschiedlichen Steuerungsprobleme besitzen alle ihre eigene numerische Methode. Unterschiedliche Behandlung kleiner/großer Werte von s. Iterationen sind langsam. Rekursionen zeigen größere Ungenauigkeiten in der Nähe von Singularitäten der Wertfunktion.

36 Die Methode Euler Methode: Diskretisiere die Wertfunktion V (s) mit Schrittweite : V (s). Approximiere V (s) und V (s) durch folgende Differenzenquotienten: V (s) = (V (s) V (s ))/, V (s) = (V (s) V (s ))/. Setze diese in die HJB Gleichung ein und löse nach V (s) auf:

37 Rekursion mit HJB, µ = 1, σ = 1, r = 0. 0 = sup {λe[v (s X) V (s)]+(c+a)v (s)+ 1 A A(s) 2 A2 V (s)}, s > 0. V (s) = inf λ E[V (s ) V (s X)] A2 V (s ) A A(s) (c + A λ ) A2 V (0) = 1, V (0) = λ/c. s = k, k = 1, 2,... Nebenbedingungen A(s), z.b. A(s) = (, ) oder A(s) = [0, as] oder A(s) = [ bs, as].

38 Eigenschaften des Algorithmus schnell stabil (im Bezug auf die Wertfunktion und ihre Ableitungen, NICHT bezüglich der Strategien) universell, kann auch für optimales Investment und Rückversicherung verwendet werden, auch für limitierte XL RV. funktioniert auch, wenn keine zweite Ableitung existiert Eigenschaften von V (s) kann man leicht aus der Rekursion ablesen

39 Rekursion für Steuerung Investment und RV V (s) = λ E[V (s ) V (s g(x, M))] inf A2 V (s ) A A(s),M M (c + A h(m) λ ) + 1, 2 A2 h(m) = ρe[x g(x, M)], 0 g(s, M) s g(s, M) = min(s, M) exzess RV

40 Konvergenz von V (s) gegen V (s) universeller Beweis (?), monotone Konvergenz (?), Verhalten an Singulären Punkten (?) Beweis in Einzelfällen möglich für (a) proportionales Investment und (b) unlimitiertes Investment: Mit folgenden Schritten: 1 V (s), V (s), V (s) ist gleichmäßig beschränkt auf kompakten Mengen ohne Null. 2 V (s), V (s), V (s) ist gleichmäßig stetig auf kompakten Mengen ohne Null. 3 V (s), V (s), V (s) konvergiert punktweise auf einer Teilfolge 0. 4 Der Limes erfüllt die HJB 5 Verifikationsargument.

41 Viscosity solutions? In obigen Steuerproblemen ist die Wertfunktion immer zweimal stetig differenzierbar, und damit funktioniert das klassische Verifikationsargument mit Ito s lemma. Das ist erstaunlich im Falle mit beschränkter Leverage und Leerverkäufen, weil dort Sprünge in der optimalen Strategie vorkommen. In anderen Fällen ist diese Glattheit nicht mehr vorhanden, wir sehen dann nur noch stückweise existierende stetige zweite Ableitungen. Wir sehen nun Beispiele, in denen die zweite Ableitung stets glatt ist:

42 Zweite Ableitung, unbeschränktes Invest.

43 Zweite Ableitung, kein Lev/Leerv

44 Stetigkeit!

45 Zweite Ableitung, beschränkte Lev/Leerv

46 Singularität wenn die Strategie springt, a=1, b=3

47 Beispiel mit zwei verschiedenen Nebenbedingungen Investment mit zwei verschiedenen Nebenbedingungen: A(s) = [0, s], s s 0, A(s) = [0, ), s > s 0.

48 Der Sprung in der Strategie verursacht einen Sprung bei V (s)

49 Vorgehen, wenn V (s) nicht existiert Definition einer Lösung (Viskositätslösungen) Verifikationsargument ohne Ito (Approximation) Numerische Verfahren (Diskretisierung) Universelle Beweise (Diskretisierung?)

50 Viskositätslösungen V (s) ist eine Viskositätslösung der Gleichung HJB(V, s) = 0, s 0, wenn für jedes s 0 0 gilt: 1 für jede Testfunktion φ l (s) C 2 [0, ) mit φ l(s 0 ) = V (s 0 ) und φ l (s) V (s), s 0, gilt: HJB(φ l, s 0 ) 0. 2 für jede Testfunktion φ u (s) C[0, ) 2 mit φ u(s 0 ) = V (s 0 ) und φ u (s) V (s), s 0, gilt: HJB(φ u, s 0 ) 0. [ HJB(f, s) = λe[f (s X) f (s)] + (c + A)f (s) + 1 ] 2 A2 f (s). sup A A(s)

51 What Next? Steuerungsprobleme mit anderen Zielfunktionen (Dividenden, Dividenden und Ruin,...) Fälle ohne Lösung? (A(s) = (, s]) Nicht Markovsche Modelle (Markovisieren, Monte Carlo?) Umsetzung in der Praxis (Integration in interne Modelle, Robustheit, Solva-Relevanz, Akzeptanz) Ausbildung in Stochastik, (Funktional-)Analysis, Numerik... um Steuerprobleme zu lösen.