Parameter s Variance-Covariance Propagation and Calculation in the Nonlinear Dynamic Least Square Adjustment*

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1 Tao Huaxue, Guo Jinyun, Jin Fengxiang Parameter s Variance-Covariance Propagation and Calculation in the Nonlinear Dynamic Least Square Adjustment* Überlegungen zur Varianz-Kovarianz-Fortpflanzung bei nichtlinearen Ausgleichungsproblemen. in the nonlinear adjustment on the basis of measurement of the deformation monitoring net. Then (1) Suppose there are m deformation parameters and n measurements, we can get 1. Introduction On the other hand, we can have The same as the above, there are (2) There are lots of nonlinear observation functions in the classical adjustment used at home and abroad. Up to now, the function is often expanded into Taylor s series considering only the firstorder term so that the nonlinear function is reduced into the linear model. Obviously it is approximate and non-accurate with the rapid development of modern science and technology, and the observing results are required to be more strict. Especially in the modern deformation monitoring net the object to be monitored takes tiny deformation, and the deformation body is carefully analyzed. Therefore the data process and precision assessment of the deformation monitoring net are made more accurate. This paper studies on the nonlinear dynamic least square adjustment and presents the parameter s variance-covariance propagation theory. In the meantime, the paper gives its calculating formulae considering the third-order terms of the variance-covariance propagation. Without a doubt, this will obviously enhance the precision of the parameter estimation for the nonlinear adjustment and has more theoretical and practical signification. The unknown parameter is the movement parameter of the monitored body in the nonlinear dynamic least square adjustment, such as deformation, strain. Here e stands for the deformation or movement parameter, which can be calculated * The paper is supported by the National Natural Science Fund of China. Teunissen (1989) has given (^L) and ƒ (ê). The paper mainly discusses the variance-covariance accuracy estimation of the parameter e in the nonlinear dynamic adjustment. It makes parameter variance-covariance estimation to be more perfected. 2 The variance-covariance propagation of adjustment parameter e The variance-covariance ê of the parameter e can be calculated based on the variance-covariance L of the measurement L. Suppose there are random measurement vector L i, which are not interrelated. The variancecovariance of L is defined as the following (3) The movement parameter e is also random vector, whose variance-covariance is defined as (4) 346 AVN 10/1999

2 in which e = e(l). Obviously E(e) ê (^L) can be calculated based on the adjustment value we can get Then (5) To substitute formula (6) into formula (4), we can obtain (7) So e(l) ê (^L) can be expanded into Taylor s series based on ^L and V = L ^L, considering the third-order terms. Therefore we can get in which V = (V 1 V 2... V n ) T ; is a Kronecker product operator, and (V V) = (V i V) (V V V) = (V i (V V)). Substituting formula (8) into formula (5), neglecting the third-order terms based on the non-random vector J, H and K, we can get (9) where E (V V) = Vec L, Vec is a vector operator which makes a matrix to be vectors, called as a drawing into line operator. Substituting formula (8) into formula (7) and neglecting more power terms, we can get (10) If the measurement L is not interrelated each other, then (8) AVN 10/

3 where Q is a m 2 x n Hesse matrix of ƒ (e); is a n x 1 column vector, which is defined as the following Vec 1 m is the reverse operation of operator Vec whose low index m is the column number of matrix Vec 1 m (Q ). Therefore Vec 1 m (Q ) is a m x m matrix. According to the above, we can get Hence the variance-covariance propagation of adjustment parameter e is expressed as following (15) 3 Practical calculation of the variancecovariance of the adjustment parameter e (11) ê can be calculated from formula (10) or (11), based on J, H and K. But how to calculate J, H and K on the basis of the nonlinear dynamic least square adjustment model and its result? According to the nonlinear least square theory, that is (^L L) T P (^L L) T = min, to solve the following nonlinear equation, we can calculate the adjustment parameter ê,so We can get (16) where L is a n x 1 vector operator of factor L i (i = 1, 2,, n). Therefore we can get (12) Then (13) (14) We can conclude the following formula (17) According to formula (13), we know h / L = A T P, then 348 AVN 10/1999

4 References [1] Ren Peiliang: Covariance propagation formula of nonlinear function. Journal of Wuhan Technical University of Surveying and Mapping (WTUSM), Vol 21, No 2, 1996 [2] Huang Weibing: Modern Adjustment theory and its Application. Beijing: the Army Publishing House, 1990 [3] Teunissen J. G.: First and Second Moments of Nonlinear Least Squares Estimators. Bulletin Geodesique, Vol 63, No 3, 1989 We make the third partial derivation of formula (13) and get K, which is Address of the authors: Tao Huaxue, Guo Jinyun, Jin Fengxiang, Dept. of Geoscience, Shandong University of Science and Technology, Taian, Shandong Prov, P R China, (18) The study indicates that it evidently enhances the accuracy of the adjustment parameter to conclude the parameter variance-covariance in the nonlinear dynamic adjustment considering the third-order term of the expansion of Taylor s series. In the meantime, this paper directly presents the practical calculation formulae of the parameter variance-covariance, which will open up a new path to the nonlinear dynamic least square adjustment. Abstract In recent years, the study on the nonlinear least square adjustment has been conducted at home and abroad considering only the second-order terms of the expansion of Taylor s series. So far the study on the parameter s variance-covariance propagation in the nonlinear dynamic least square adjustment is still a subject to be studied. Therefore the parameter s variance-covariance propagation theory in the nonlinear dynamic adjustment is studied and its applied formulae are presented considering the third-order terms of Taylor s series expansion in the paper. It evidently enhances the scientism and precision of the parameter estimation in the nonlinear adjustment. Keywords: nonlinear dynamic adjustment, adjustment parameter, variance-covariance Wiedererstehen des Föderalen Dienstes Geodäsie und Kartographie in Rußland Mit der Auflösung der Hauptverwaltung für Geodäsie und Kartographie ergab sich für den Geodätischen und Kartographischen Dienst Rußlands eine Reihe struktureller Änderungen. Seit 30. April 1998 war er in das Ministerium für Bodenpolitik, Bauwesen und kommunale Wirtschaft als Departement Geodäsie und Kartographie integriert (siehe AVN 6/99). Durch Erlaß des Präsidenten der Russischen Förderation, Jelzin, über die Struktur der förderalen Organe der Exekutive vom entstand der Föderale Dienst Geodäsie und Kartographie erneut als selbständiges Organ der staatlichen Leitung. Geodäten, Topographen, Photogrammeter und Kartographen Rußlands nahmen diesen Erlaß mit Befriedigung auf, dienen doch Geodäsie und Kartographie vielen Zweigen der Volkswirtschaft, Verteidigung und Wissenschaft. Leiter des Dienstes ist A. A. Dražnjuk, 1938 geboren beendete er das Studium am Leningrader Topographischen Technikum mit Auszeichnung, 1964 dasjenige am MIIGAiK (heute Staatliche Moskauer Universität für Geodäsie und Kartographie). Ab 1972 leitete er den Betrieb Nr. 5 in Minsk, einen der besten der Hauptverwaltung wurde er 1. Stellvertreter des Leiters der Hauptverwaltung Geodäsie und Kartographie der UdSSR. Nach Auflösung der UdSSR hatte er die gleiche Funktion im Föderalen Dienst inne. Während seines Wirkens ging kein Betrieb in Konkurs, wurde regelmäßig der Lohn gezahlt. Von Mai bis Oktober 1998 stand er dem oben erwähnten Departement als Leiter vor. Aus: Vozroždenie federalnoj služby. Von Berk, V. I. Geodez. i Kartogr., Moskva (1998) 10, S. 2 3 Aleksandr Aleksandrovič Dražnjuk. Geodez. i Kartogr., Moskva (1998) 10, S. 3 5 Ukaz Prezidenta Rossijskoj Federacii. O strukture federal nych organov ispolnitel noj vlasti. Geodez. i Kartogr., Moskva (1998) 10, S. 1 2 Deumlich AVN 10/

5 Ingenieurvermessung 2000 XIII. International Course on Engineering Surveying März 2000 Technische Universität München Allgemeine Informationen Die Kurse für Ingenieurvermessung finden seit 1953 statt, zuletzt im regelmäßigen Zyklus von 4 Jahren, gemeinsam veranstaltet von der TU Graz, der ETH Zürich und der. Das Ziel war und ist, dem Fachmann die Fortentwicklung dieses Faches zu zeigen und den Stand der Technik zu dokumentieren. Um den Charakter der Weiterbildung noch stärker als bisher zu betonen, werden diesmal an den ersten beiden Tagen Tutorials zu den folgenden wichtigen Themen der Ingenieurvermessung stattfinden (bei mindestens 15 Teilnehmern): 1. Bezugssysteme in Lage und Höhe R. Rummel, 2. GPS in der Ingenieurvermessung F. Brunner, TU Graz 3. Moderne Methoden der Parameterschätzung in der Praxis Prof. Dr. A. Carosio, ETH Zürich 4. Digitale Signal- und Zeitreihenanalyse W. Caspary, UniBW München 5. Sensoren H. Schlemmer, TH Darmstadt 6. Kalibrierung geodätischer Meßinstrumente Dr.-Ing. W. Maurer, TH München, Dr.-Ing. W. Schauerte, Uni Bonn 7. Geoinformationssysteme in der Ingenieurpraxis H. Ingensand, ETH Zürich, M. Schilcher,, Th. Wunderlich, TU Wien Die Tutorials sind halbtägig, nur Tutorial 5 ganztägig. Die drei folgenden Tage sind als Vortragsveranstaltung geplant. Im einzelnen ist das folgende Programm vorgesehen: Montag, den Tutorials 1, 2, 3, 4 Icebrakerparty Dienstag, den Tutorials 5, 6, 7 Mittwoch, den Eröffnung K. Schnädelbach, Themenkreis A: Aktuelle Ingenieurprojekte Leitung: Prof. M. Möser, TU Dresden W. Schwarz, Uni Weimar Postersession Ausstellung Donnerstag, den Themenkreis B: Meß- und Auswertetechnik Leitung: R. Gottwald, FHBB Muttenz, B. Witte, Uni Bonn Themenkreis C: Fachinformationssysteme, Telematik Leitung: Prof. Dr. G. Brandstätter, TU Graz, W. Möhlenbrink, Uni Stuttgart Abendveranstaltung Freitag, den Themenkreis D: Projekt- und Qualitätsmanagement Leitung: H. Heiser, UniBW München, R. Staiger, Uni GH Essen Schlußdiskussion Veranstalter F. Brunner, TU Graz H. Ingensand, ETH, Zürich M. Schilcher, K. Schnädelbach, Vortragssprache ist Deutsch, in Ausnahmefällen auch Englisch oder Französisch, jedoch ohne Übersetzungsmöglichkeit Tagungsbände Die Materialien der Tutorials werden bei den einzelnen Tutorials ausgegeben. Die Vorträge zu den Themenkreisen werden zum Kursbeginn als Publikation des Dümmler-Verlages vorliegen. Die Kosten sind im jeweiligen Kursbeitrag enthalten. Teilnehmergebühr bei Anmeldung vor/nach Tutorial (halbtägig) 150. DM / 200. DM Tutorial (ganztägig) 300. DM / 350. DM Vorträge (Mittwoch Freitag) 500. DM / 550. DM Gesamtveranstaltung 850. DM / 900. DM Kontaktadresse Geodätisches Institut, Arcisstr. 21 D München Tel.: Fax: geodaetisches.institut@bv.tum.de 350 AVN 10/1999

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