Optik II (Beugungsphänomene)

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1 Optik II (Beugungsphänomene) 1 Wellenoptik 2 1

2 Interferenz von Wellen, Interferenzversuche 3 Überlagerung von Wellen 4 2

3 Konstruktive und destruktive Interferenz 5 Beugungsphänomene 6 Bei der Interferenz von Wellen, also auch bei elektromagnetischen Lichtwellen, wurde festgestellt, dass es unter bestimmten Bedingeungen zu Auslöschung und Verstärkung kommen kann. Wellennatur des Lichts Technische Anwendung: a) Beugung am Spalt b) Beugung am Trennung von Licht verschiedener Wellenlänge Fällt eine ebene Lichtwelle auf einen einfachen Spalt, ist das Bild hinter dem Spalt nicht ein einfaches Schattenbild des Spalts. Abhängig von dessen Breite erzeugt der Spalt Beugungsstreifen, die umso stärker ausgeprägt sind, je schmaler der Spalt ist. Betrachtet man die Beugungsstreifen in großer Entfernung, spricht man von Fraunhoferbeugung. 3

4 Beugungsphänomene 7 Wird ein Teil einer Welle von einer Blende absorbiert, dann entsteht eine starke Änderung der Amplitude quer zur Welle. Entsprechen den Maxwellgleichungen und der Wellengleichung bewirkt diese Änderung der Amplitude eine Ausbreitung der Welle in Richtung der Änderung. Huygensches Prinzip 8 Methode zur Konstruktion der Welle hinter dem Spalt: In jedem Punkt des Spaltes wird eine Kugelwelle erzeugt. Die Phase der Kugelwelle entspricht der Phase der ankommenden Welle. Die Welle hinter dem Spalt ist die Überlagerung (Interferenz) aller Kugelwellen Bem.: Eine ebene Welle ist deshalb eben, weil sie aus vielen Kugelwellen, die alle in Phase miteinander sind, zusammengesetzt ist 4

5 Beugung am Spalt 9 Beugung hinter einem Spalt 10 Innerhalb des Einzelspaltes werden nach dem Huygenschen Prinzip an jedem Raumpunkt Kugelwellen erzeugt, die miteinander interferieren

6 Einfacher Spalt 11 d Spaltbreite Wegunterschied: d Δ x = sinα 2 Auslöschung: d λ Δ x= sin α = (2n 1) 2 2 Bedingung für Minimum: n= 1, 2, 3, d sinα =± n λ Die Maxima liegen ziemlich genau mittig zwischen den berechneten Minima Spaltfunktion 12 Intensität des hinter einem einfachen Spalt beobachteten Lichtes in Fraunhoferkonfiguration, d.h. aus großer Entfernung gesehen. ϕ Spalt π d = k Δ x= sinα λ Spaltfunktion I Spalt ( α ) = I sin ϕ 2 Spalt 0 2 ϕspalt Das erste Minimum ist bei ϕ spalt =+- π, d.h. bei sinα=+- λ/d Die Maxima ergeben sich aus den Nullstellen der Ableitung von der Spaltfunktion nach ϕ spalt, d.h. sie liegen dort, wo ϕ cosϕ = sinϕ Spalt Spalt Spalt Bedingung für Maxima 6

7 13 Technologisch interessant sind nicht einzelne, sondern viele nebeneinander angeordneten Spalte, die man als bezeichnet. Wie sieht das Beugungsmuster eines s aus? Ein, das N Spalte der Breite d hat und dessen Spaltabstand s ist: Die Transmission durch das ergibt sich aus dem Produkt aus der Transmission durch einen einzelnen Spalt und folgender Überlegung. Δx Im Vergleich zu einem Strahl, der aus dem ersten Spalt gebeugt wird, hat ein Strahl aus dem zweiten Spalt eine Phasenverschiebung ϕ, die durch den Spaltabstand s gegeben ist. Der Wegunterschied der Wellenfront mit Wellenvektor k=2π/λ beträgt ( Δ ) = sin x s α Und damit die Phasenverschiebung 2π s ϕ = k Δ x = sinα λ Für die Lichtintensität ergibt sich durch Aufsummierung der einzelnen Strahlen folgende funktion funktion I ( α ) = I sin ( N ϕ ) sin ϕ Diese funktion hat Haupt- und Nebenmaxima. Hauptmaxima treten auf wenn der Nenner der funktion Null wird, d.h. bei einer Phasenverschiebung ϕ =+- n.π, und heißen n-te Ordnung. Zwischen den Hauptmaxima liegen bei N Spalten (N-2) kleinere Nebenmaxima, bei Winkeln α p, für die der Zähler den Wert 1 hat, der Nenner aber ungleich 0 ist, also für ( 2p + 1) λ sinα p = p= 1,2,, N-2 2N s Die Höhe der Nebenmaxima ist für das p-te Maximum: I0 1 I ( α p ) = 2 N 2 π sin ( 2 p + 1) Für das mittlere Maximum p=(n-1)/2 dann I=I 0 /N 2 2 N 7

8 Beugung am 15 Um die vollständige Intensitätsverteilung eines s zu erhalten, müssen wir jetzt die funktion mit der Spaltfunktion multiplizieren. Gesamte Intensitätsverteilung Spaltfunktion Das Produkt ist: I 2 πd 2 Nπs sin sinα sin sinα λ λ ( α) = I0 πd 2 πs sinα sin sinα λ λ Spalt Beugung am 16 8

9 Reflexionsgitter 17 reflektierter Strahl Reflexionsgitter: Auflösung: ± n λ = s [ sinα sin β] A= λ = N n Δλ Überlagerung von Ordnungen 18 Auflösung: λ A= = N n Δλ 9

10 Einsatz von Kantenfiltern 19 monochromatoren 20 10

11 Kohärenzlänge 21 Kohärenzlänge II 22 11

12 Beugung hinter einer Kante 23 12

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