Der Approximationsalgorithmus von Christofides

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1 Der Approximationsalgorithms on Christofides Problem: Traeling Salesman Inpt: Ein Graph G = (V, E) mit einer Distanzfnktion d : E Q 0. Afgabe: Finde eine Tor, die alle Knoten des Graphen G gena einmal bescht nd deren Länge bezüglich d möglichst klein ist, oder stelle fest, dass keine solche Tor existiert. Anendngsbeispiele des TSP: Rotenplanngs-Probleme Bestückng on Platinen mit elektronischen Baelementen Steerng on Scheißrobotern optimale Anordnng on Leitngen af einem Halbleiter-Chip Approximierbarkeit: Sie kennen bereits ein Nicht-Approximierbarkeitsresltat. Approximationsalgorithmen gibt es dennoch für spezielle Problemklassen. Hier betrachten ir einen Approximationsalgorithms für das metrische TSP, bei dem die Distanzfnktion d der Dreiecksngleichng genügt. Approximationsfaktor on Christofides: 3 2 Konstriere eine Elertor in einem afspannenden Sbgraphen on G (d.h. eine Tor, die alle Kanten des Sbgraphen abfährt). Eentell mss die Existenz einer solchen Tor drch einen Trick gesichert erden. Verkürze die Tor z einer TSP-Tor (hier geht die Dreiecksngleichng ein)

2 Traeling Salesman Nearest-Insert-Heristik Problem: Traeling Salesman Inpt: Ein Graph G = (V, E) mit einer Distanzfnktion d : E Q 0. Afgabe: Finde eine Tor, die alle Knoten des Graphen G gena einmal bescht nd deren Länge bezüglich d möglichst klein ist, oder stelle fest, dass keine solche Tor existiert. Anendngsbeispiele des TSP: Rotenplanngs-Probleme Bestückng on Platinen mit elektronischen Baelementen Steerng on Scheißrobotern optimale Anordnng on Leitngen af einem Halbleiter-Chip Approximierbarkeit: Sie kennen bereits ein Nicht-Approximierbarkeitsresltat. Approximationsalgorithmen gibt es dennoch für spezielle Problemklassen. Hier betrachten ir einen Approximationsalgorithms für das metrische TSP, bei dem die Distanzfnktion d der Dreiecksngleichng genügt. Approximationsfaktor der Nearest-Insert-Heristik: 2 Ähnliche Heristik: Cheapest-Insert-Heristik Die Heristik bat nach nd nach eine Tor af. Sie bat dabei skzessie Knoten in eine bestehende Sbtor im Graphen ein nd ählt immer einen Knoten as, der möglichst nahe ( nearest ) an der bereits bestehenden Tor liegt. Die dabei gestrichene Kante ird so geählt, dass die nee Sbtor möglichst krz bleibt. Sbtor nee Sbtor

3 Traeling Salesman Cheapest-Insert-Heristik Problem: Traeling Salesman Inpt: Ein Graph G = (V, E) mit einer Distanzfnktion d : E Q 0. Afgabe: Finde eine Tor, die alle Knoten des Graphen G gena einmal bescht nd deren Länge bezüglich d möglichst klein ist, oder stelle fest, dass keine solche Tor existiert. Anendngsbeispiele des TSP: Rotenplanngs-Probleme Bestückng on Platinen mit elektronischen Baelementen Steerng on Scheißrobotern optimale Anordnng on Leitngen af einem Halbleiter-Chip Approximierbarkeit: Sie kennen bereits ein Nicht-Approximierbarkeitsresltat. Approximationsalgorithmen gibt es dennoch für spezielle Problemklassen. Hier betrachten ir einen Approximationsalgorithms für das metrische TSP, bei dem die Distanzfnktion d der Dreiecksngleichng genügt. Approximationsfaktor der Cheapest-Insert-Heristik: 2 Ähnliche Heristik: Nearest-Insert-Heristik Die Heristik bat nach nd nach eine Tor af. Sie bat dabei skzessie Knoten in eine bestehende Sbtor im Graphen ein. Die Wahl des einzbaenden Knotens erfolgt so, dass die Kosten der neen Sbtor so niedrig ie möglich bleiben ( cheapest ). Die für eine nee Sbtor gestrichene Kante ird so geählt, dass die nee Sbtor möglichst krz bleibt. Sbtor nee Sbtor

4 Steinerbam der KMB-Algorithms Problem: Steinerbam Inpt: Ein Graph G = (V, E) mit einer Kostenfnktion c : E Q 0, eine Terminalmenge T V. Afgabe: Finde einen zsammenhängenden Sbgraphen on G, der alle Knoten as T enthält nd bezüglich c möglichst geringe Kosten besitzt, oder stelle fest, dass kein solcher Sbgraph existiert. Anendngsbeispiele des Steinerbamproblems: Telekommnikationsnetze Gasersorgngsleitngen gemietete Netzleitngen für eine Konferenzschaltng mit mehreren Standorten Approximationsfaktor des Ko-Markosky-Berman-Algorithms: 2 Der Algorithms stellt znächst den Distanzgraphen G T af. Dabei handelt es sich m einen ollständigen Graphen af der Knotenmenge T, dessen Kantengeichte sich as Kürzeste-Wege-Berechnngen ergeben. In G T ird dann ein minimaler spannender Bam gescht, der anschließend mittels der entsprechenden kürzesten Wege in einen Sbgraphen G S on G zrückübersetzt ird. Geeignetes Asdünnen dieses Sbgraphen liefert schließlich den geschten Steinerbam. t 1 t 2 t 1 t t 3 t 3

5 Knapsack Problem: Knapsack Inpt: Eine Zahl n N, Geichte N n nd Werte N n soie eine Kapazität K N. Afgabe: Finde eine Teilmenge I {1,..., n} mit i I i K, die größtmöglichen Gesamtert besitzt. Anendngsbeispiele des Knapsack-Problems: Packen on Versandkartons oder Containern Beladng on Flgzegen, LKWs nd Schiffen Hilfsproblem bei ielen ganzzahligen Programmen nd Verfahren (z. B. Schnittebenen- Verfahren) Approximierbarkeit: psedopolynomieller exakter Algorithms, beliebig genae polynomielle Approximation Approximationsfaktor: 1 ε für beliebiges ε > 0 Modifikation des psedopolynomiellen Algorithms (dynamische Optimierng). Die aftretenden Zahlen (die z psedopolynomieller Lafzeit führen) erden gerndet. Je nach Größenordnng der Rndng erringert sich die Lafzeit, entsprechend ird aber ach die Genaigkeit des Algorithms schlechter. Z orgegebener Genaigkeit ε kann ein Algorithms mit polynomieller Lafzeit konstriert erden, ein sogenanntes Approximationsschema (genaer: ein FPTAS, d. h. ein flly polynomial time approximation scheme.)

6 k-matching Randomisierte Methoden Problem: k-matching Inpt: Ein Graph G = (V, E), eine Zahl k N. Afgabe: Finde ein k-matching in G, das möglichst iele Kanten enthält. Ein k- Matching ist eine Kantenmenge M E mit der Eigenschaft, dass jeder Knoten höchstens mit k Kanten as M inzident ist. Anendngsbeispiele des k-matching-problems: Maschinenbelegng Zordnng on Knden- nd Lieferanten-Standorten in der Logistik Erstellen on Sericeplänen Approximationsfaktor der randomisierten Rndngsheristik: Falls k für einen gegebenen Parameter ε asreichend groß ist (mindestens k(ε)), findet die Heristik mit hoher Wahrscheinlichkeit eine (1 ε)-approximation. Schreibe das Problem als LP. Berechne eine optimale Lösng x für die LP-Relaxation. Rnde alle fraktionellen Komponenten x i on x mit einer Wahrscheinlichkeit on (1 ε /2)x i af 1 (bz. mit Wahrscheinlichkeit 1 (1 ε /2)x i af 0). Vorsicht: Die Lösng mss dann nicht nbedingt zlässig sein. Der Algorithms mss also eentell mehrmals iederholt erden Matching