Abitur - Leistungskurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 1999

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1 Abitur - Leistungskurs Mthemtik Schsen-Anhlt 999 Gebiet L - Anlysis Augbe.. y, D, R,. Die Funktionenschr sei gegeben durch Die Grphen der Funktionen der Schr werden mit G bezeichnet. ) Ermitteln Sieden größtmöglichen Deinitionsbereich D und berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen der Schr. Die Grphen G besitzen jeweils genu einen Hochpunkt, der der einzige lokle Etrempunkt ist. Ermitteln Sie die Koordinten der Hochpunkte der Grphen G, beschreiben Sie die Lge (Ortskurve) dieser Punkte im Koordintensystem durch eine Gleichung und geben Sie deren Gültigkeitsbereich n. W mit. Der Grph G besitzt genu einen Wendepunkt Ermitteln Sie den mimlen Anstieg des Grphen G. Zeigen Sie, dss gilt: lim ` w w w Z Z 4 (Hinweis zu möglichen Termumormungen: ) 4 4 Zeichnen Sie den Grphen G im Deinitionsbereich D. P die Tngente gelegt. Stellen Sie eine Gleichung b) An den Grphen G sei im Punkt dieser Tngente u und zeigen Sie, dss diese Tngente und der Grph G noch genu einen weiteren gemeinsmen Punkt Q besitzen. Der Koordintenursprung, der Punkt P und der Punkt Q seien die Eckpunkte eines Dreiecks. Zeigen Sie, dss die Mßzhl des Flächeninhltes dieses Dreiecks A ist. c) Durch Rottion jedes Grphen G ür um die -Achse entsteht jeweils ein Rottionskörper. Ermitteln Sie die Mßzhl des Volumens dieses Rottionskörpers. d) Drei Betonteile mit der Breite sollen, wie in nebenstehender Skizze drgestellt, zu einem Kbelschcht mit mimlem Querschnitt montiert werden. Zeigen Sie, dss zur Etremwertberechnung die Funktionenschr ls Ausgngsunktion (Zielunktion) verwendet werden knn. Berechnen Sie ds Grdmß des Winkels ür den Fll, dss der Querschnitt miml ist. Abi-LK-M-99-Gebiet L.doc /

2 Lösung: ) Ermitteln des Deinitionsbereiches: DB : ; R Nullstellen: Koordinten der Hochpunkte: () erste Ableitung: '() oder: '() Dnn muß Vereinchung bei durchgeührt werden. notwendige Bed.: '() E 9 E, E ; E d lut Augbenstellung nur HP eistiert, muß untersucht werden, welche Etremstelle zutreend ist! z.b.: n d die Funktion () ür und k N beliebiger Term n ( ) n ke n.d. ergibt, ist L E E beliebiger Term oder: d M. müßte Min. sein bei - muß ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte vorliegen, hier nicht möglich, d - Rnd des Deinitionsbereiches drstellt. E ist einzige Etremstelle Nchweis hinreichender Bedingung lut Augbenstellung nicht notwendig! Abi-LK-M-99-Gebiet L.doc /

3 oder über. Ableitung: ''() 4 ''( ) n.d. H Gleichung der Ortskurve: y Gültigkeitsbereich: ; R d (Begründung nicht verlngt!) mimler Anstieg von (): '() ' ,6 Nchweis, dß der Anstieg in miml ist: W z.b.: Mimum des Anstieges heißt ''() ds ist notwendige Bedingung ür WP oder: Nchweis: ''' lso zweite und dritte Ableitung bilden. Ableitungen müssen nur soweit vereincht werden, um die Entscheidung sicher treen zu können. Hinweis: Wenn ''() bereits oben gebildet, dnn wird olgender Weg verkürzt! Abi-LK-M-99-Gebiet L.doc /

4 ''() '''() ''',65 d 4 7 und Nenner ist ''' An der Wendestelle besitzt die Funktion den mimlen Anstieg! Abi-LK-M-99-Gebiet L.doc 4/

5 Nchweis des Grenzwertes: ' mit Hinweis in Augbe lim lim r.: r.: 4 lim 4 r.: r.: lim 4 4 lim lim r.: r.: 4 4 oder : 4 mit Hinweis in Augbe lim lim r.: r.: lim lim r.: r.: ührt zu einem nicht deinierten Ausdruck 4 4 mit Erstzolge: n n 4 4 n n n lim n 4 n n n n n n lim n n n Abi-LK-M-99-Gebiet L.doc 5/

6 n n n n n n n n n lim lim n n n n n n 6 n n n n 6 lim n n n Grph: () = (+)*sqrt(4-^) y WP(-.75/.599) Grenzen des DB HP(/5.965) b) () 4 4 P 4 Tngentengleichung n () in P : () 4 4 '() 4 4 '() m 4 Tngente : t() m n mit P 4 4 n n 4 t() 4 Abi-LK-M-99-Gebiet L.doc 6/

7 weiterer gemeinsmer Punkt Q: () t() S 4 4 S P t( ) Q c) Flächeninhlt des Dreiecks: A g hg A Q P A 4 4FE () 4 bzw.: A P P mit P Volumen des Rottionskörpers: obere Grenze ist die Nullstelle! Q P y V () d V d V d 4 4 V d 4 4 V d V V VE 4, Abi-LK-M-99-Gebiet L.doc 7/

8 d) zu zeigen, dß A Trpez: ATrpez mit h ATrpez () Grdmß des Winkels α ür A : M A '() '() E us Teilugbe ) 9 sin( ) rcsin 9 Abi-LK-M-99-Gebiet L.doc 8/

9 Augbe.. Anlysis Gegeben sind die Funktionen, g und h durch y ln cos, R, 6 y g cos, R 5 y h ln cos cos, R, Die Grphen dieser Funktionen seien F, G und H. ) Zeigen Sie, dss der Grph F symmetrisch zur y-achse liegt. Ermitteln Sie vom Grphen F die Koordinten der Schnittpunkte mit der -Achse, die Koordinten des Etrempunktes sowie dessen Art, und untersuchen Sie den Grphen F u Eistenz von Wendepunkten. Zeichen Sie den Grphen F. b) Eine Funktion hbe die gleiche Zuordnungsvorschrit wie die Funktion, jedoch den größtmöglichen Deinitionsbereich D. Ermitteln Sie ür diese Funktion die Nullstellen im Intervll 5. Ermitteln Sie den Deinitionsbereich D. c) Der Querschnitt eines Stollens sie durcheine Fläche beschrieben, die durch die -Achse, die Gerden = - und = sowie den Grphen F begrenzt wird. Eine Einheit im Koordintensystem entspricht einem Meter. Berechnen Sie den Flächeninhlt A des Querschnittes näherungsweise, indem Sie ds mßgebliche Intervll in mindestens cht gleich große Teilintervlle ugliedern. Eine Näherung ür den Flächeninhlt erhält mn uch, wenn die eine Begrenzung des Querschnittes mit dem Grphen G sttt mit dem Grphen F beschrieben wird. Dieser Flächeninhlt sei A. Berechnen Sie den Flächeninhlt A. Die eine Begrenzung des Stollenquerschnittes soll nun durch den Grphen Q einer qudrtischen Funktion im Intervll sttt mit dem Grphen F beschrieben werden. Die Grphen Q und F sollen dbei im Etrempunkt und in den Punkten m Anng und m Ende des gegebenen Intervlls übereinstimmen. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser qudrtischen Funktion. d) Zeigen Sie, dss der Grph H genu einen Etrempunkt besitzt und dss dieser mit dem Etrempunkt des Grphen F übereinstimmt. Abi-LK-M-99-Gebiet L.doc 9/

10 Lösung: ) Nchweis der Ailsymmetrie bezüglich der Ordinte: () ( ) ln cos() ln cos( ) mit cos() cos( ) ln cos() ln cos() () ilsymmetrisch zur Ordinte Schnittpunkte mit der Abszisse: () ln cos() ln cos() e cos() e bzw. cos() e, 4544, 44 wegen Symmetrie:, 44 Ableitungen : () ln cos() P, 44 ; P,44 sin() '() sin() tn() siehe uch Telwerk cos() cos() cos() cos() sin() sin() sin () cos () ''() cos () cos () cos () sin () bzw. tn () cos () (uch nch Telwerk) cos() sin() sin() tn() '''() E cos () 4 cos () cos () cos () Hinweis: '''() ist ür Lösung der Augbe nicht erorderlich! Etrempunkt: sin() '() cos() ür ; im DB cos() sin() keine weitere Lösung im DB bzw. lut Augbe nur Etrempunkt ''() M. () ln cos() ln() H Wendepunkte: ''() tn () tn () n.d. keine WP Abi-LK-M-99-Gebiet L.doc /

11 Grph: y b) weitere Nullstellen:, 44 7, 7, 44 4,84 4 Deinitionsbereich: - Kosinusunktion ür R deiniert Logrithmusunktion ür R deiniert () nur dort deiniert, wo die Kosinusunktion positiv ist Grundintervll ür Kosinusunktion: Verllgemeinerung: mit Hile der Periodizität von p k k mit k Z ndere Schreibweise: 4 k 4k 4 k 4 k mit k Z Abi-LK-M-99-Gebiet L.doc /

12 c) näherungsweise Querschnittsberechnung: wegen der Ailsymmetrie nur betrchtet 4Intervlle jedes Intervll ls Rechteck Breite: Höhe: () 4 Flächeninhlt: y F A A,968,869,688,84 A 6,99, 45 4 gleich große Teilin- Berechnung von A : A cos d sin A sin, 777 A, d) Gleichung der qudrtischen Funktion: q() b c () H ist Scheitelpunkt von Q c () q() (),8 () q( ) ( ),8,8 b,8 b, 8 b,8 b b, 6 q(), 6 Etrempunkt von h(): Ableitungen: h() ln cos() cos() sin() h '() sin() sin() sin() sin() cos() cos() cos() cos() cos() sin() sin() h ''() cos() cos() cos () cos () Abi-LK-M-99-Gebiet L.doc /

13 notwendige Bedingung: h '() sin() cos () sin() cos() E E cos(), 9 DB cos() kein weterer Etrempunkt im ngegebenen Intervll möglich! hinreichende Bedingung: h '' cos() M. cos () Hochpunkt : h() ln cos() cos() ln H stimmt mit HP von F überein (siehe Teilugbe ) Abi-LK-M-99-Gebiet L.doc /