Übungsaufgaben - Kombinatorik. Übungsaufgaben - Kombinatorik. Aufgabe 1 Schwierigkeit: X. Aufgabe 3 Schwierigkeit: X

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1 Aufgabe 1 Schwierigkeit: X Aufgabe 3 Schwierigkeit: X Einer Gruppe von 15 Schülern werden 3 Theaterkarten angeboten. Auf wie viele Arten können die Karten verteilt werden, wenn sich die Karten auf nummerierte Sitzplätze beziehen und jeder Schüler nur eine Karte bekommen kann? Einer Gruppe von 15 Schülern werden 3 Theaterkarten angeboten. Auf wie viele Arten können die Karten verteilt werden, wenn sich die Karten auf unnumerierte Stehplätze beziehen und jeder Schüler nur eine Karte bekommen kann? Aufgabe 2 Schwierigkeit: X Einer Gruppe von 15 Schülern werden 3 Theaterkarten angeboten. Auf wie viele Arten können die Karten verteilt werden, wenn sich die Karten auf numerierte Sitzplätze beziehen und jeder Schüler mehrere Karten bekommen kann? Aufgabe 4 Schwierigkeit: X In einer Klasse wird ein Mathematik-Hausheft und ein Mathematik-Schulheft geführt. Heftumschläge gibt es in 7 verschiedenen Farben. Leider hat der Lehrer vergessen zu sagen, welche Farben für die Umschläge verwendet werden sollen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn a) Haus- und Schulheft immer verschiedenfarbig eingebunden sein sollen, b) diese Einschränkung nicht gilt?

2 Lösung 3 Lösung 1 Jede Verteilung der 3 gleichwertigen Karten auf die 15 Schüler stellt eine Menge von 3 Schülern (=3-Kombination ohne Wiederholung) dar. Es gibt also 15 = 3 15! 12! 3! = 455 Jede Verteilung der 3 unterschiedlichen Karten auf die Schüler stellt eine 3-Permutation aus den 15 Schülern dar. Es gibt also 15! = = 2730 (15 3)! Lösung 4 Lösung 2 a) 7 6 = 42 Jede Verteilung der 3 unterschiedlichen Karten auf die Schüler stellt ein Schülertripel dar. b) 2 7 = 49 Es gibt also 15 3 =3375 (Die erste Karte kann auf 15 Arten verteilt werden, die zweite und dritte ebenfalls.)

3 Aufgabe 5 Schwierigkeit: X Gib alle Anagramme (Buchstabenkombinationen) an, die durch Permutation der Buchstaben entstehen: a) ABC b) ROMA * *John Wallis ( ) behauptete, dass 7 dieser Anagramme sinnvolle lateinische Wörter. Welche sind es? Aufgabe 7 Schwierigkeit: XX Eine Reisegruppe von 12 Personen verteilt sich auf 2 Abteile eines Eisenbahnwagens. In jedem Abteil gibt es 3 Sitzplätze in Fahrtrichtung und 3 Sitzplätze gegen die Fahrtrichtung. Von den 12 Personen wollen auf alle Fälle 5 in Fahrtrichtung und 4 gegen die Fahrtrichtung sitzen. Wie viele Plazierungsmöglichkeiten gibt es, wenn man die Sitze unterscheidet? Aufgabe 6 Schwierigkeit: XX Auf wie viele Arten kann man zwei Buchstaben aus "COMPUTER" auswählen, wenn a) keine Einschränkung besteht, b) beide Buchstaben Konsonanten sein müssen, c) beide Buchstaben Vokale sein müssen, d) ein Buchstabe ein Vokal und der andere ein Konsonant sein muß? Aufgabe 8 Schwierigkeit: XX Aus einer Gruppe von 4 Frauen und 4 Männern wollen 4 Personen Tennis spielen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn a) keinerlei Einschränkungen bestehen, b) keine Frau mitspielen soll, c) genau eine Frau mitspielen soll, d) genau 2 Frauen mitspielen sollen, e) genau 3 Frauen mitspielen sollen, f) alle 4 Frauen mitspielen sollen?

4 Lösung 7 6 5! 4! 3! = ( 6! ) 3 = Lösung 5 a) ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten: 3! = 6 b) 4! = 24 Zur Fußnote: ROMA (Stadt Rom), RAMO (dat.sing. von ramus = Zweig) ORAM (acc.sing. von ora = Rand, Grenze) MORA (Verzögerung, Rast) MARO (Familienname des Dichters Publius Vergilius Maro) AMOR (Gott der Liebe) ARMO (1. Person Präs. Aktiv von armare: ich rüste auf) Lösung 8 8 a) 4 Personen können auf Arten ausgewählt werden. Das ergibt 70 4 b) c) d) = e) f) = = = = 36 Lösung 6 a) 8 5 = 28 b) = c) = 3 d) =

5 Aufgabe 9 Schwierigkeit: XX Aufgabe 11 Schwierigkeit: X CARGO 1.Kl.asse McDonalds 2. Kl.asse Wie viele verschiedene 5-stellige Zahlen kann man aus den Ziffern 1,2,3,4,5 bzw. 0,1,2,3,4 bilden, wenn a) in jeder Zahl alle Ziffern verschieden sein müssen, b) die Bedingung a) nicht erfüllt sein muss? Ein Zug besteht aus Lok, Gepäckwagen, einem 1. Klasse- Wagen, einem Speisewagen und einem 2. Klasse-Wagen. Die Wagen werden in der angegebenen Reihenfolge zusammengestellt. Die Deutsche Bahn AG stellt in München (Hbf.) den Zug zusammen und hat dazu zur freien Auswahl: 3 verschiedene Loks, 4 verschiedene Gepäckwagen, 8 verschiedene 1. Klasse-Wagen, 2 verschiedene Speisewagen 20 verschiedene 2. Klasse-Wagen. Wie viele verschiedene Zugzusammenstellungen gibt es? Aufgabe 10 Schwierigkeit: X Zu einer bestimmten Gesichtsform sollen Phantombilder erstellt werden. Wie viele verschiedene Gesichter lassen sich aus drei Augenpaaren, fünf Nasen und vier Mündern kombinieren? Aufgabe 12 Schwierigkeit: XX Ein Elektrogeschäft möchte sein Schaufenster mit 5 roten, 3 blauen, 4 grünen und 2 gelben Glühlampen in einer Reihe dekorieren. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn 1. es keine weiteren Einschränkungen gibt? 2. die Glühlampen gleicher Farbe jeweils neben einander angeordnet werden sollen? 3. die Reihe mit 2 roten Glühlampen anfangen und aufhören soll? 4. die 3 blauen nebeneinander stehen sollen?

6 Lösung 11 Lösung = 3840 verschiedene Züge a) 5! = 120 ; (5! - 4! = = 96) 5 4 b) 5 = 3125 ; (4 5 = 2 500) 1. 14! 5! 3! 4! 2! Übungsaufgaben Kombinatorik Lösung = 2. 4! = Die übrigen 10 Glühlampen werden auf 10 Plätze verteilt: 10! 3! 4! 2! = Lösung = 60 verschiedene Gesichter lassen sich kombinieren. 4. Es gibt 12 Möglichkeiten, die blauen neben einander zu platzieren: Plätze 1 bis 3, 2 bis 4,...,12 bis 14. Auf die restlichen 11 Plätze werden die anderen Glühlampen verteilt: nach dem Zählprinzip also 12 11! 5! 4! 2! 11! = ! 4! 2! Möglichkeiten, insgesamt

7 Aufgabe 13 Schwierigkeit: XX Aufgabe 15 Schwierigkeit: XX An einem Fußballturnier beteiligen sich 8 Mannschaften. a) Es sollen alle Mannschaften gegeneinander spielen. Wie viele Spiele gibt es? Aus 6 Ehepaaren werden zufällig 4 Personen ausgewählt. a) Wie viele verschiedenen Kombinationen gibt es insgesamt? b) Bei wie vielen Möglichkeiten hat man zwei Männer und zwei Frauen ausgewählt? b) Es werden zwei Gruppen zu je vier Mannschaften gebildet. In jeder Gruppe spielen alle Mannschaften gegeneinander. Anschließend spielen die Gruppenersten, - zweiten, - dritten und vierten gegeneinander. Wie viele Spiele gibt es jetzt? Aufgabe 14 Schwierigkeit: XX In einer Mathematikarbeit werden 6 Aufgaben aus der Analysis, 4 Aufgaben aus der Geometrie und 5 Aufgaben aus der Stochastik gestellt. Die Schüler dürfen sich je 2 Aufgaben aus jedem Stoffgebiet aussuchen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten der Zusammenstellung haben sie? Aufgabe 16 Schwierigkeit: X Drei Laplace Würfel werden nacheinander geworfen und die Augenzahlen in der geworfenen Reihenfolge notiert. Berechnen Sie die Mächtigkeiten der folgenden Ereignisse: A: Keine Sechs B: Genau einmal Sechs C: Genau zweimal Sechs D: Genau dreimal Sechs E: Die Augensumme ist kleiner als 5

8 Lösung a) = b) = 225 Lösung 13 a) Es handelt sich um zweimaliges Ziehen ohne Zurücklegen aus 8 Elementen, also 8 7 Aber Mannschaft A gegen Mannschaft b und Mannschaft B gegen Mannschaft A ergibt das gleiche Spiel! 8 7 Deswegen: = 28 Spiele b) In jeder Gruppe Spiele. Insgesamt also: = 16 Spiele A = 5 Lösung 16 Nur der erste Würfel zeigt Sechs: Möglichkeiten B = 3 25 C = = 15 D = 1 Die Augensumme ist drei oder 4. Dafür gibt es = 4 Möglichkeiten Lösung 14 6 Es gibt Möglichkeiten für die Analysis-, für die 5 Geometrie- und für die Stochastikaufgaben. Nach dem Zählprinzip gibt es also insgesamt 6 5 = = 900 Möglichkeiten