Strömung im Grundwasser

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1 Strömung im Matthias Willmann Fliessgesetze Strömungsgleichung Randbedingungen HS /Strömung im 1

2 karte Isohypsen: Linien gleicher Piezometerhöhe Geoportal HS /Strömung im 2

3 Re ud Reynoldszahl charakterisiert Verhältnis von Trägheit zu Reibung u: Geschwindigkeit [L/T] d: charakteristische Länge [L] : kinematische Viskosität [L 2 /T]; Wasser 10-6 m 2 /s laminare Strömung: Re etwa < 2300 turbulente Strömung: Re etwa > 2300 : Re < 10, typisch: <<1 Strömung laminar schleichend HS /Strömung im 3

4 Laminare Rohrströmung h 1 r F p R parabolisches Geschwindigkeitsprofil l mittlere Geschwindigkeit U: g U 8 h l h R h 2 Durchfluss Q: Q g 8 h h R Hagen-Poiseuille (1839) HS /Strömung im 4 l

5 h 1 h 2 z Laminare Kluftströmung u l x b 2x l parabolisches Geschwindigkeitsprofil mittlere Geschwindigkeit U: U g 12 h l h a 2d Spaltbreite a = 2d Breite b Durchfluss Q: g Q 12 h h a b l HS /Strömung im 5

6 Geschwindigkeit, spez. Durchfluss spezifischer Durchfluss = v f = Q/A = Filtergeschwindigkeit = Darcy-Geschwindigkeit Querschnittsfläche A (inkl. Festmaterial) Q A Abstandsgeschwindigkeit u = v f /n e = Porengeschwindigkeit = mittlere Geschwindigkeit des Wassers HS /Strömung im 6

7 Geschwindigkeit, spez. Durchfluss Überstehendes Wasser mit Farbtracer Poröses Medium (Sand) Wasserspiegel fällt mit Filtergeschwindigkeit Farbfront bewegt sich mit Abstandsgeschwindigkeit HS /Strömung im 7

8 Experiment von Darcy A 1 p 1 /(rg) Q Dh v f k f k f I A Ds z Dh Ds z 1 h 1 2 p 2 /(rg) Q Q h 2 z 2 z=0 HS /Strömung im 8

9 Hydraulische Leitfähigkeit k f Grössenordnung Material k f [m/s] Grobkies 10-2 sandiger Kies 10-3 Sand 10-4 Silt 10-6 Ton 10-9 Dimension einer Geschwindigkeit: Geschwindigkeit, die sich bei einem hydraulischen Gefälle non 1 einstellt k f abhängig von Korngrösse und deren Verteilung, sowie Porosität HS /Strömung im 9

10 Gültigkeitsbereich des Darcy-Gesetzes vf d50 Strömung laminar schleichend Re 4 durchflossene Fläche genügend gross (REV) REV > etwa 30 Korndurchmesser (bei Einheitskorn) Dichte konstant oder druckabhängig r (p) Wenn Re zu gross wird, treten Abweichungen auf (z.b. in der Nähe von Brunnen!) v f Ansatz von Forchheimer: I b v f v f k HS /Strömung im 10 f

11 Verallgemeinerung des Darcy-Gesetzes Isotrope Medien: Darcy-Säule, Rohr: v f k f Dh Ds x-richtung: y-richtung: z-richtung: v v v x y z k k k f f f h x h y h z Vektorschreibweise: v k In isotropen Medien: v f zu h f f h HS /Strömung im 11

12 Verallgemeinerung des Darcy-Gesetzes Anisotrope Medien: h 1 h 2 h v f h nicht parallel zu v f HS /Strömung im 12

13 Verallgemeinerung des Darcy-Gesetzes Anisotrope Medien: v f k f h k f : Tensor 2. O. k xy : v f h h v f v h x vx kxx kxy kxz h v k k k y v z kzx kzy k zz h z f y yx yy yz spez. Durchfluss in Richtung x bei einem hydraulischen Gefälle von eins in Richtung y HS /Strömung im 13

14 y Verallgemeinerung des Darcy-Gesetzes Anisotrope Medien: geeignete Koordinatentransformation: Hauptachsenform y a x x k y v h ' ' ' 0 0 x vx kx x h v 0 k 0 y ' v z 0 0 k z ' z ' h z ' f y y ' y ' k x a x, y : Hauptachsen häufig horizontalvertikale Anisotropie HS /Strömung im 14

15 Bestimmung der Hauptachsenrichtung Eigenwerte i und Eigenvektoren e i der K- Matrix geben K-Werte längs Hauptachsen und Hauptachsenrichtungen an Ke K i i i I e 0 Nullsetzen der Determinante liefert im 3D-Fall eine algebraische Gleichung 3. Grades. HS /Strömung im 15

16 Permeabilität Die hydraulische Leitfähigkeit k f lässt sich aufspalten in einen fluidabhängigen Anteil und einen Anteil, der nur von der Porengeometrie abhängt: k f g k k: Permeabilität des porösen Mediums [L 2 ], i.a. auch ein Tensor 2. Ordnung : kinematische Viskosität des Fluids [L 2 /T] HS /Strömung im 16

17 Bestimmung von k f Bestimmung im Labor mit Hilfe von einem Permeameter analog zum Darcy-Experiment Bestimmung im Feld mit Pumpversuch oder Slug-Test HS /Strömung im 17

18 Grobe Schätzung von k f aus Korngrösse Hazen-Formel: k f d 2 10 d 10 in mm, k f in m/s Kozeni: k f r n 3 1 n 2 d 2 w d d w 0 ds k d w : wirksamer Korndurchmesser [mm] r: Rauhigkeitsgrad, für rundlichen Sand etwa 1.5 d: Korndurchmesser [mm] S k : Siebdurchgang in Gewichtsprozenten HS /Strömung im 18

19 Kornverteilung HS /Strömung im 19

20 I Strömung parallel zu Schichten h x n Schichten konstant Durchfluss in Einzelschicht: Durchfluss in Schichtpaket: Q k fi d i d B Q k d B I i fi i Analog Parallelschaltung von elektrischen Leitfähigkeiten Q k d B I k d B I f fi i i1 n n äquivalenter k f -Wert: k f gewichtetes arithm. Mittel i1 d i d k fi HS /Strömung im 20

21 Strömung senkrecht durch Schichten n Schichten Q k fi d Analog Serienschaltung von elektrischen Leitfähigkeiten h d i B Durchfluss durch Einzelschicht: Durchfluss in Schichtpaket: x Dh Q k A d i fi Dh Q k f A d i i HS /Strömung im 21

22 Strömung senkrecht durch Schichten Verlusthöhe in Einzelschicht: Dh i Q d Ak i fi Verlusthöhe in Schichtpaket: n Q d Dh Dh A k f i1 i n äquivalenter k f -Wert: 1 di 1 1 gewichtetes harmonisches Mittel k dk f i fi HS /Strömung im 22

23 Reale leiter leiter sind i.d.r. sehr heterogen aufgebaut. Ein GWL bildet ein 3D stochastisches Medium Der k f -Wert ist i.d.r. log-normal verteilt Der äquivalente k f -Wert liegt zwischen dem harmonischen und arithmetischen Mittel Für 2D-Strömungen ist der äquivalente k f -Wert etwa gleich dem geometrischen Mittel HS /Strömung im 23

24 Kontinuitätsgleichung Wassermassenfluss durch Oberfläche G des Kontrollvolumens W = Änderung der Wassermasse im Kontrollvolumen W pro Zeiteinheit jrv f r j n dg rn dw t G W G W Normaleneinheitsvektor auf G Porosität HS /Strömung im 24

25 Kontinuitätsgleichung Mit Integralsatz von Gauss folgt: j j x y j z ( rn) j divj x y z t j x In einer Dimension: x ( rn) t j x x dx 2 dx j x x dx 2 x HS /Strömung im 25

26 Wasserbilanz Bilanzgleichung in Abwesenheit r v f von Quellen und Senken: Massenänderung pro Zeiteinheit: r n t r r n r n h n h rs h 0 t h t h t t Dichte und Porosität können sich in der Zeit nur durch Veränderung von h ändern S 0 : spezifisches Speichervermögen [L -1 ] HS /Strömung im 26

27 Spezifisches Speichervermögen Volumenänderung pro Einheitsvolumen bei einer Änderung der piezometrischen Höhe um eine Einheit. h S 0 : spezifisches Speichervermögen [L -1 ] HS /Strömung im 27

28 Wasserbilanz Massenbilanz mit Quellen- bzw. Senkenterm w: r h S 0 f w t r v r Einheit von w: m 3 /(s m 3 ) Bilanzgleichung bei konstanter Dichte: Volumenbilanz S h v t 0 f w HS /Strömung im 28

29 Wasserspeicherung im porösen Medium durch Deformierbarkeit des Mediums durch Kompressibilität von Wasser Bewegung des spiegels (fr. Aquifer) Massenänderung pro Zeiteinheit spezifisches Speichervermögen: r n n p r r n p rs h 0 t p t p t t zusätzlich: Einfluss von Temperatur- und Konzentrationsänderungen n r S0 r n g p p HS /Strömung im 29

30 Wasserspeicherung im porösen Medium Dichteänderung von Wasser inf. Druckänd. r n nr p : Kompressibilität von Wasser, = Pa -1 1 V V p Deformation des porösen Mediums n r ra p a s : Kompressibilität der festen Phase, a s Pa -1 HS /Strömung im 30

31 a g : Wasserspeicherung im porösen Medium 1 V a V p Gefügekompressibilität durch Spannung s s im porösen Medium Ton: Pa -1 Sand: Pa -1 Kies: Pa -1 Sandstein Pa -1 HS /Strömung im 31

32 Spezifisches Speichervermögen S r g a n 0 Ton: S m -1 Sand: S m -1 Kies: S m -1 Fels: S m -1 HS /Strömung im 32

33 Speicherkoeffizient für 2D gespannten, vertikal integrierten Aquifer S S m 0 KV m Volumenänderung pro Einheitsgrundfläche im Kontrollvolumen bei einer Änderung der piezometrischen Höhe um eine Einheit. HS /Strömung im 33

34 Speicherkoeffizient für 2D freien, vertikal integrierten Aquifer S n S m n e 0 e n e : effektive, drainierbare Porosität KV m Volumenänderung pro Einheitsgrundfläche bei einer Änderung der Wasserspiegelhöhe um eine Einheit. HS /Strömung im 34

35 Intergranulare Spannung s s p tot s w s tot s tot : Auflast pro Flächeneinheit s s : effektive Spannung = intergranulare Spannung Bei konstanter Auflast bewirkt eine Erniedrigung des Wasserdrucks durch Pumpen eine Erhöhung der intergranularen Spannung und damit eine Reduktion der Porosität (elastisches und plastisches Verhalten). Die Folge sind Setzungen. HS /Strömung im 35 s s p w

36 Einfluss von Luftdruckänderungen auf gespannte leiter Matthess und Ubell (1992) Allgemeine Hydrogeologie, haushalt HS /Strömung im 36

37 Einfluss von Luftdruckänderungen auf gespannte leiter p a s tot + p a h s s p w Dp a = Dp w + Ds s Ds s > 0 Dp w = Dp a + r g Dh r g Dh = Ds s < 0 Im gespannten elastischen Aquifer bewirkt Luftdruckerhöhung eine Absenkung der Piezometerhöhe und umgekehrt HS /Strömung im 37

38 Einfluss von Erdgezeiten auf gespannte leiter HS /Strömung im 38

39 Einfluss von kurzfristigen Auflasten auf gespannte leiter Ds tot = Dp w + Ds s Dp w = r g Dh r g Dh = Ds tot Ds s > 0 Im gespannten elastischen Aquifer bewirkt eine Lasterhöhung eine Erhöhung der Piezometerhöhe und umgekehrt HS /Strömung im 39

40 Einfluss von Erdbeben auf gespannte leiter HS /Strömung im 40

41 Wirkung der Strömung auf Korngerüst Strömung nach oben Dh z Ds h 2 h 1 rgdh p w, s s Strömungskraft Schwerkraft F r g DV Dh / Ds r g DV I S w w 1 r 1 FG n s g n rw gd V 1 /Strömung im r S : Dichte der Körner HS Dx F S DV F G

42 Nachweis Standsicherheit, hydraulischer Grundbruch 1 nr r g DV 1 nr r FG F r g DV Dh / Ds r I s w s w S w w I: hydraulisches Gefälle F S F G Falls F S > F G : < 1 hydraulischer Grundbruch Verflüssigung des Bodens Sicherheitsfaktor bei Bauwerken: > 2 z. B. bei nach oben gerichteten Strömungen in Baugruben HS /Strömung im 42

43 Strömungsgleichung in 3D Darcy-Gesetz: Kontinuitätsgleichung: v f k f h r v f r n t eingesetzt: f r k h r n t r Für r(p) und v f r << n t k f h S0 h t HS /Strömung im 43

44 Strömungsgleichung in 3D homogene, isotrope Medien: stationäre Strömung: h h h h x y y t k f h k f S h 0 t stationäre Strömung in homogen, isotropen Medien: h h h Laplace-Gleichung x y z h HS /Strömung im 44

45 Strömungsgleichung in 3D inhomogene, isotrope Medien: h h h h k f h k f k f k f S0 x x y y z z t inhomogene, anisotrope Medien (Hauptachsen=Koordinatenachsen): h h h h k f h kx ky kz S0 x x y y z z t HS /Strömung im 45

46 Anfangsbedingung Zur Lösung der instationären Strömungsgleichung muss die Piezometerhöhe zum Zeitpunkt t=t 0 an jedem Punkt des Modellgebiets vorgegeben werden. h x, y, z, t h x, y, z 0 0 HS /Strömung im 46

47 Randbedingungen 3D Vorgabe der Piezometerhöhe (Dirichlet-RB oder RB 1. Art) h x, y, z, t f x, y, z ; R Vorgabe des Wasserflusses durch den Rand (Neumann-RB oder RB 2. Art) v vn f x, y, z, t ; R n f n: Normaleneinheitsvektor isotrop: h n f x, y, z, t ; R v n n R HS /Strömung im 47

48 Randbedingungen 3D Kombination von Piezometerhöhe und Fluss (Cauchy-RB oder RB 3. Art) semi-permeabler Rand: h ah f x, y, z; R n h Reservoir d v n k s h(x,y,z,t) h Re servoir h x, y, z, t vnks ; R d HS /Strömung im 48

49 Randbedingungen spiegel: p: Relativdruck im Wasser oder: p0; R h x, y, z, t z ; R GWS z GWS HS /Strömung im 49

50 3D oder 2D vertikal Randbedingungen HS /Strömung im 50

51 Strömungsgleichung in 2D Transmissivität T: gespannter Aquifer: freier Aquifer: T x, y k x, y m x, y f m x, y z x, y z x, y o z o : Höhenlage der Aquiferoberkante z u : Höhenlage des Stauers m x, y h x, y z x, y u u m h z u HS /Strömung im 51

52 Strömungsgleichung in 2D Speicherkoeffizient S: bzw. (freier Aquifer): Kontinuitätsgleichung: S x, y S m x, y h h N S t N: Neubildungsrate [L/T] T h h h h h Txx Txy Tyx Tyy N S x x y y x y t 0 S x y S m x y n, 0, e HS /Strömung im 52

53 Strömungsgleichung in 2D isotrop: h h h T T N S x x y y t homogen-isotrop ohne Quellen und Senken: 2 2 T h h h S 2 2 S x y t in Radialkoordinaten: 1 h S h r r r r T t HS /Strömung im 53

54 Randbedingungen 2D h x, y, t f x, y ; R Randbedingung 1. Art: z.b. Oberflächengewässer mit direktem Anschluss ans v vn f x, y, t ; R Randbedingung 2. Art: n f isotrop: h n f x, y, t ; R z.b. Hangzufluss oder undurchlässiger Rand HS /Strömung im 54

55 Strömungsgleichung in 1D gespannter Aquifer A x x gerade oder leicht gekrümmt Mittelung der 2D Gleichung über die Querschnittsfläche A 1 h h Ak f S w 0 A x x t A: Querschnittsfläche des Aquifers [L 2 ] w: Quellenterm [(L 3 /T)/L 3 ] S 0 : spezifisches Speichervermögen HS /Strömung im 55

56 Formulierung von Strömungsproblemen Dimension 3D, 2D oder 1D Geometrie des Strömungsbereichs Zeitabhängigkeit (stationär, instationär) Strömungsgleichung (Massenerhaltung) Parameter (z.b. k f, S 0, S,...) Anfangsbedingung Randbedingungen HS /Strömung im 56

57 Formulierung von Strömungsproblemen 2D Aquifer mit freier Oberfläche Q n (s 2b )=0 h(s 1 ) Q w (x w ) k f (x), N(x), S(x) Q (s 2a ) Aquifer z u (x) Q n (s 2b )=0 Q : Durchfluss pro Breiteneinheit [L 3 /(TL)] HS /Strömung im 57

58 Potentialströmung: Potentialströmungen v Stationäre 2D strömungen in isotropen Aquiferen ohne Neubildungsterm sind Potentialströmungen Es existiert eine vektorielle Stromfunktion v ψ z x y 0 vx z ψ 0 vy v y x z 0 0 x 1 /Strömung im HS k f

59 Stromfunktion, Stromlinien, Potentiallinien Geschwindigkeit, ausgedrückt durch die Stromfunktion: v x ; y v y x Mit v : ; y x x y Stromlinie Y = konst. Potentiallinie F = konst. Cauchy-Riemann-Bedingungen = Orthogonalitätsbedingung Potential- und Stromlinien stehen senkrecht zueinander HS /Strömung im 59

60 Strom- und Potentiallinien, Strömungsnetz Strom- und Potentialfunktion stehen aufeinander senkrecht in isotropen Medien Vorsicht: Strom- und Potentialfunktion stehen nicht aufeinander senkrecht in anisotropen Medien Undurchlässige Ränder bilden Stromlinien Ränder mit Festpotential bilden Potentiallinien Tauscht man Stromlinienränder und Potentiallinienränder aus, werden Stromlinien zu Potentiallinien und umgekehrt Strom- bzw. Potentiallinien schneiden sich nicht HS /Strömung im 60

61 Dn 1 Strömungsnetz 2 1 Durchfluss zwischen Stromlinien 1 und 2 21 DQ k f B Dn Ds Ds 2 v Durchfluss zwischen Stromlinien 1 und 2 ist konstant 2 2 DQ Bv x dy B dy B 1 1 y 2 1 konstant HS /Strömung im 61

62 Zeichnerische Lösung von Potentialströmungsproblemen (1) k f D Ds D Dn Tangenten an - und -Linien orthogonal Diagonalen einer Netzmasche orthogonal In Netzmaschen können Kreise einbeschrieben werden Strom- bzw. Potentiallinien dürfen sich weder berühren noch schneiden HS /Strömung im 62

63 Zeichnerische Lösung von Potentialströmungsproblemen (2) -- Abgrenzung des Strömungsbereichs, in dem das Strömungsnetz konstruiert werden soll. -- Bestimmung der Randbedingungen. - Konstruktion des Netzes durch Probieren, wobei die obengenannten Regeln HS 2015 beachtet werden müssen 1 /Strömung im 63

64 Durchfluss Q D i i 1 H n q k f D Ds D H DQ qdn B k f Dn B k f D B k f B Ds n B: Breite bzw. Dicke senkrecht zur Zeichenebene HS /Strömung im 64

65 Druck im Punkt P jd j j o o H n p Potentialhöhe j z rg Druckhöhe: p H o j rg n z Druck: H p r g o j z n HS /Strömung im 65

66 Strömungsnetz HS /Strömung im 66

67 Potentiallinie = Isolinie der piezometr. Höhe y Parallele Grundströmung Grundriss Stromlinie Stromfunktion 1 Q B x HS /Strömung im 67 2

68 Punktsenke ohne Grundströmungen Äquipotentiallinien, mit konstantem Potential i (r i ) Stromlinien, mit konstanter Stromfunktion j Y0=0 r Y 8 =Q DQ = m. ( j+1 - j )= m. Q/n; hier n=8 1 /Strömung Stromröhren im Sprung der Stromfunktion bei 0 =0, 8 =Q Q: Pumprate Q m HS n 0

69 Stromlinien der Parallelströmung HS /Strömung im 69

70 Potentiallinien der Parallelströmung HS /Strömung im 70

71 Strömungsnetz der Parallelströmung HS /Strömung im 71

72 Stromlinien der Radialströmung HS /Strömung im 72

73 Potentiallinien der Radialströmung HS /Strömung im 73

74 Strömungsnetz der Radialströmung HS /Strömung im 74

75 Brunnen in Grundströmung: Überlagerung der Potentiallinien HS /Strömung im 75

76 Brunnen in Grundströmung: Überlagerung der Potentiallinien HS /Strömung im 76

77 Brunnen in Grundströmung: Überlagerung der Stromlinien HS /Strömung im 77

78 Brunnen in Grundströmung: Überlagerung der Stromlinien HS /Strömung im 78

79 Übungsaufgabe HS /Strömung im 79

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