Die Erweiterung vom Satz des Pythagoras anhand der resultierenden Kraft FR

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1 Michael B. H. Middendorf 1 Die Erweiterung vom Satz des Pthagoras anhand der resultierenden Kraft FR Bei meinen Überlegungen als Maschinenbauer bzgl. eines Impulsantriebes, stieß ich auf das Problem, ständig die resultierende Kraft FR berechnen zu müssen, die auftritt, wenn im Raum zwei Körper schräg aneinander stoßen. Bei meinen Berechnungen stieß ich dann auf folgenden grundlegenden Zusammenhang: Die resultierenden Kräfte FR kl und FR gr zweier im Raum schräg aufeinandertreffenden Kräfte und, die sich ggf. addieren oder subtrahieren, sind immer die Kantenlängen des Parallelogramms, das die Kräfte 2* und 2* als Diagonale durchkreuzen. 2 = FR gr + FR kl und 2 = FR gr FR kl. Jenachdem ob sich die Kräfte und addieren oder subtrahieren, gilt für die kleinere Resultierende (Diagonale) des Parallelogramms: FR² kl = (cos)² + ( sin)², und für die größere Resultierende FR gr gilt: FR² gr = (cos)² + ( + sin)². (Siehe auch Abb. 3!) Herleitung: Abb. 1 Pthagoras: FR² gr = ( + d 1)² + d 2² FR gr Trigonometrie: d 1 = sin d 2 = cos d 1 Daraus folgt: FR² gr = (cos)² + ( + sin)² d 2 Abb. 2 Pthagoras: FR² kl = d 2² + ( d 1)² FR kl Trigonometrie: d 1 = sin d 2 = cos d 2 Daraus folgt: d 1 FR² kl = (cos)² + ( sin)²

2 Michael B. H. Middendorf 2 Abb. 3 Parallelogramm zeichnerischer Beweis FR gr FR kl = (cos)² + ( sin)² d 2 Vektorgleichung: FR kl = - d 1 d 1 d 2 FR gr = (cos)² + ( + sin)² Vektorgleichung: FR gr = + FR kl Es gilt außerdem: 2 = FR gr + FR kl 2 = FR gr - FR kl Wie sich aus Abb.3 schön erkennen lässt, gelten die Gleichungen für die große und kleine Diagonale sprich Resultierende (FR gr u. FR kl) in einen Parallelogramm immer und grundsätzlich, da sich aus den Kräften und mit ihren zwei Resultierenden immer ein Parallelogramm mit den passenden Resultierenden als Kanten konstruieren lässt. Zudem beruhen die beiden Gleichungen auf unsere trigonometrische Funktionen und dem Satz des Pthagoras, beides mathematische Säulen, die sich schon seit langer Zeit bewährt und für absolut richtig erwiesen haben. 2. Rechenvorschriften beim Handhaben von FRgr u. FRkl 2.1 Bestimmung des Winkels Drehen der Kräfte und Wer nun aufmerksam war, hat auch erkannt, dass in meinen Abbildungen die Kraft senkrecht verlief, wodurch der Winkel im Zusammenhang

3 Michael B. H. Middendorf 3 mit der Kraft bestimmt wird. Denn der Winkel ist immer der Grad zwischen der Waagerechten bzw. Senkrechten und der Kraft, wenn die Kraft genau senkrecht bzw. waagerecht steht. Um nun 2 Kräfte im Raum, die willkürlich zusammentreffen, richtig berechnen zu können, muss man also den Winkel für seine Berechnung bestimmen. Das erreicht man auf zwei Arten: Einmal kann man die Kräfte und drehen, in dem man auf dem kürzesten Wege die Kraft in Richtung Senkrechte bzw. Waagerechte dreht. Dafür benötigt man für die Berechnung z. B. den Winkel und β. Siehe Abbildung 4.1. Beides Winkel, die in der Technik immer vorgegeben, leicht zu ermitteln oder gut abschätzbar sind. Abb. 4.1 Vorgegeben ist:,,, β Es gilt: FR = + Daraus folgt: FR² gr = (cos)² + ( + sin)² mit = Betrag von (90 - β ) β Die Methode die Vektoren und zu drehen ist eine zuverlässige Methode. Jedoch: Sie führt zu einer etwas unübersichtlichen Skizze, zum anderen darf man nie einen negativen Winkel ermitteln, weil sich der sin eines negativen Winkels auch negativ ist. So würde sich dadurch der Term ( + sin)² in den Term ( sin)² verwandeln, wodurch das Ergebnis falsch wäre. Deshalb ist der Winkel immer ein Betrag. Er kann nie negativ sein (s. auch Abb. 5). 2.2 Bestimmung des Winkels Drehen des Koordinatensstems um u. Die zweite Methode, den Winkel zu bestimmen, ist prinzipiell gleich. Auch sie führt immer zum richtigen Winkel und ermöglicht, dass mit Hilfe der oben hergeleiteten erweiterten Sätzen des Pthagoras jede Seite eines -beliebige Dreieck mit zwei simplen Rechenschritten bestimmt werden kann. Aber auch hier darf man nie einen negativen

4 Michael B. H. Middendorf 4 Winkel ermitteln. Bitte ermitteln sie daher immer nur den Betrag vom Winkel. Abb. 4.2 Y Es gilt: FR = - Daraus folgt: FR²kl = (cos)² + ( sin)² Mit = 90 - Betrag von ( β ) β w Erläuterung Abb. 4.2 Vorgegeben waren die beiden roten Kräfte und und die Winkel und β bezogen auf die blaue Waagerechte w. Daraufhin habe ich dieses Mal nicht die Kräfte und gedreht, sondern mir das Koordinatenkreuz - so gelegt, dass die Koordinate auf der Kraft liegt. Daraufhin kann man dann den zugehörigen Winkel berechnen. 2.3 Rechenvorschrift: Größe von und Wer weiterhin aufmerksam war, der hat erkannt, dass ich bisher immer annahm, dass die Kraft größer ist als die Kraft. Das ist auch zwingend erforderlich, denn sobald kleiner ist als wird das Ergebnis bei Benutzung der Formeln verfälscht. Somit gilt grundsätzlich:. Diese Bedingung führt dazu, dass man bei der Bestimmung der resultierenden Kraft FR kl bzw. FR gr die zugrundeliegenden Kräfte und so wählen muss, sodass die größere Kraft der beiden Kräfte immer als bezeichnet wird. Sollten beide Kräfte gleich groß sein, spielt es keine Rolle wie die Kräfte bezeichnet werden. Im dem ll liefert die Erweiterung richtige Ergebnisse. Im lle = muss man nur berücksichtigen, ob sich die beiden Vektoren addieren bzw. subtrahieren, damit man weiß ob FR kl oder FR gr berechnet werden muss.

5 Michael B. H. Middendorf Der Geltungsbereich des Winkels Im lle FR = und = ist die Resultierende gleich Null, der Winkel jedoch liegt dann bei 90, nicht, wie man vielleicht fälschlicherweise annehmen könnte, bei 0. Ist der Winkel = 0 bedeutet das, dass und senkrecht aufeinander stehen, sodass der allgemein bekannte Satz des Pthagoras vorliegt, was meine erweiterten Gleichungen für FR kl und FR gr auch ergeben. Der Geltungsbereich des Winkels liegt also nur zwischen 0 und 90! Abb. 5 = 90 FR² = ² + ² u. = 0 = 0 = 0 FR = u. = 90 FR = 0 wenn = = 90

6 Michael B. H. Middendorf 6 3. Beispielberechnung der Seite a eines schiefwinkeligen Dreiecks Abb. 6 Gegeben: Winkel, Länge b und c Gesucht: Länge a Aus Gegeben folgt: c b und 90 FR kl = - Methode: Koordinatenkreuz in Punkt A legen, so dass Koordinate auf c liegt b a Daraus folgt: = 90 - A c Lösung: a² = FR² kl = (cosb)² + (c - sinb)² Erläuterung: Wie sich aus Abb. 6 erkennen lässt, ist die Aufgabe abhängig von den Angaben, die vorgegeben sind. In diesem ll waren zwei Längen und ein Winkel vorgegeben. Außerdem benötigt man bei der Berechnung von Dreiecken zur Bestimmung der richtigen Resultierenden die geltende Vektorgleichung, was man so aber eigentlich nicht ganz korrekt sagen kann, wenn man ein -beliebiges Dreieck berechnet. Tatsächlich aber gilt für die Dreiecksberechnung immer: Ist der Winkel, der Winkel, der zwischen den gegebenen Längen des Dreiecks liegt, kleiner 90 Grad, subtrahieren sich die Vektoren und es gilt die Gleichung für FR² kl. Ist er größer 90 Grad gilt FR² gr. Ist er 90 Grad gilt der allg. bekannte Satz des Pthagoras für FR.

7 Michael B. H. Middendorf 7 4. Die Vektorgleichungen 2 = FR gr + FR kl und 2 = FR gr FR kl Abb. 7 FR gr FR kl Vektorgl.1: 2 = FR gr + FR kl FR kl FR gr Vektorgl.2: 2 = FR gr - FR kl Wie sich aus Abb. 7 erkennen lässt, beschreiben die beiden Vektorgleichungen, wenn ich beginne die Kräfte und zu drehen, einen maschinendnamischen Kraftprozess. Bei der Berechnung der Kräfte mit ihrem Betrag oder bei der Berechnung von Dreiecken kommt man aber nicht darum herum, die oben erläuterten Gleichungen für FR gr und FR kl zu benutzen, deren Handhabung ich auf diesen Seiten aufgezeigt habe. Somit gilt ganz allgemein formuliert für die beiden resultierenden Kräfte FR kl und FR gr bzw. für die resultierende Kraft FR: 5. Allgemeine Beschreibung der Resultierenden FR Die Resultierende FR ist immer die Summe zweier im Raum aufeinandertreffenden linearen Komponenten, die sich in Abhängigkeit ihrer Steigung ergänzen. Dabei entscheiden die Richtungen der beiden Komponenten ob sie sich subtrahieren oder addieren. Sind sie entgegengerichtet gilt: FR =, sind sie gleichgerichtet gilt: FR ist +. (Achtung bei der allg. Dreiecksbestimmung!)

8 Michael B. H. Middendorf 8 Abb. 8.1 Abb. 8.2 FR = + FR = - Dabei gilt für die Resultierende folgende Funktion: Erweiterung vom Satz des Pthagoras anhand der resultierenden Kraft FR FR² = (cos)² + ( +- sin)² mit und = 0 bis 90 Ich halte die Formulierung bzw. Spezifizierung der Formel anhand der resultierenden Kraft FR für richtiger, als sie mit c, a u. b zu bezeichnen. Zum einen, da sich in der angewandten Naturwissenschaft häufig das Problem zeigt, die resultierende Kraft FR zweier schräg im Raum aufeinandertreffenden Kräfte zu berechnen, zum anderen: Ich könnte auch nicht definieren: c² = (cosa)² + (b +- sina)² Bei dieser Benutzung der Formelzeichen, stellt c die Hpotenuse da, was, laut Definition, bedeutet, dass c im vorliegenden Dreieck die längste Seite ist. Das stimmt aber grundsätzlich nur für ein rechtwinkliges Dreieck. Bei schiefwinkeligen Dreiecken ist das nicht immer der ll. Bei einem schiefwinkeligen Dreieck liegt die längste Seite immer gegenüber dem größten Winkel, was aber nicht unbedingt immer die Seite c ist. Somit ist es zweckmäßiger die Erweiterung vom Satz des Pthagoras anhand der Resultierenden zu formulieren. Denn dann ist von vornherein

9 Michael B. H. Middendorf 9 klar, dass sie ein Ergebnis aus den Seiten a und b bzw. a und c bzw. c und b ist, was nicht auch grundsätzlich die längste Seite in einem Dreieck sein muss. Außerdem würde bei o. g. Formulierung der Zusammenhang, ob sich das Ergebnis addiert oder subtrahiert, verloren gehen, sodass man nicht so leicht einschätzen kann ob ( sin)² oder ( + sin)² gilt. Nun könnte ich den erweiterten Satz des Pthagoras auch noch anhand der Diagonalen beschreiben. Denn die Resultierenden sind immer die Diagonalen im Parallelogramm, das die Komponenten und ergeben. Doch ich wähle die Bezeichnung Resultierende, weil dann immer deutlich wird, dass die Summe zweier Komponenten ein Resultat ist. 6. Ethnischer Aspekt Formeln sind wie Maschinen. Sie automatisieren einen Vorgang. Mit meiner Erweiterung des Pthagoras habe ich den Vorgang Kräfte im Raum zu berechnen bzw. ein Dreieck zu berechnen dahin manipuliert, dass sich mit zwei simplen Rechenschritten (Winkel bestimmen, Formel benutzen) eine bisher recht komplee Aufgabe automatisch Abspulen lässt. Etwas, was im Unterricht zu sehr großer Erleichterung führt. Jedoch besteht keine Gefahr, dass der Satz des Pthagoras und die trigonometrischen Funktionen verloren gehen, denn bei der Herleitung des erweiterten Satzes des Pthagoras benötigt man als Basisgrundwissen unbedingt das Wissen über die Trigonometrischen Funktionen und den Satz des Pthagoras. Meine mathematische Entdeckung stellt also keine ethnische Verletzung da, sondern lediglich eine Erleichterung. München, Neuperlach, Michael B. H. Middendorf