Algorithmen und Datenstrukturen (Th. Ottmann und P. Widmayer) Folien: Hashverfahren Autor: Sven Schuierer

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1 Alorithmen und Datenstrukturen (Th. Ottmann und P. Widmayer) Folien: Hashverfahren Autor: Sven Schuierer Institut für Informatik Geores-Köhler-Allee Albert-Ludwis-Universität Freibur

2 Hashverfahren Wörterbuchproblem: Suchen, Einfüen, Entfernen von Datensätzen (Schlüsseln) Ort des Datensatzes d: Berechnun aus dem Schlüssel s von d ) keine Verleiche ) konstante Zeit Datenstruktur: lineares Feld (Array) der Größe m Hashtabelle Schlüssel s i m-2 m-1 AD Hashverfahren Sven Schuierer, 12. Februar

3 Hashverfahren Beispiele Beispiele: Compiler i int 0x87C50FA4 j int 0x87C50FA8 x double 0x87C50FAC name. Strin 0x87C50FB2 Umebunsvariablen (Schlüssel,Attribut) Liste EDITOR=emacs GROUP=mitarbeiter HOST=vulcano HOSTTYPE=sun4 LPDEST=hp5 MACHTYPE=sparc. ausführbare Proramme PATH= /bin:/usr/local/nu/bin: /usr/local/bin:/usr/bin:/bin: ::: AD Hashverfahren Sven Schuierer, 12. Februar

4 Hashverfahren Probleme 1. Größe der Hashtabelle Nur eine kleine Teilmene S aller mölichen Schlüssel (des Universums) U kommen vor 2. Berechnun der Adresse eines Datensatzes Schlüssel sind keine anzen Zahlen Index hänt von der Größe der Hashtabelle ab In Java: public class Object f. public int hashcode() f :::. Das Universum U sollte mölichst leichmäßi auf die Zahlen 2 31 ;:::; verteilt werden AD Hashverfahren Sven Schuierer, 12. Februar

5 Hashfunktion Schlüsselmene S Hashsum U code für Univeraller mölichen Schlüs- sel Hashfunktion h 0;:::;m 1 Hashtabelle T (H(U) [ 2 31 ; ] f1;:::;0) h(s)= Hashadresse h(s) = h(s 0 ) () s und s sind Synonyme bzl. h Adreßkollision AD Hashverfahren Sven Schuierer, 12. Februar

6 Hashverfahren Beispiel für U: alle Namen in Java mit Läne 40 ) juj = Falls juj > m: Adreßkollisionen unvermeidlich Hashverfahren: 1. Wahl einer mölichst uten Hash-Funktion 2. Strateie zur Auflösun von Adreßkollisionen Beleunsfaktor = # espeicherte Schlüssel Größe der Hash-Tabelle = jsj m = n m Annahme: Tabellenröße m ist fest AD Hashverfahren Sven Schuierer, 12. Februar

7 Implementation in Java class TableEntry f private Object key; private Object value; abstract class HashTable f private TableEntry[] tableentry; private int capacity; = Konstruktor = HashTable (int capacity) f this.capacity = capacity; tableentry = new TableEntry [capacity]; for (int i = 0; i <= capacity-1; i++) tableentry[i] = null; = die Hashfunktion = protected abstract int h (Object key); = fuee Element mit Schlüssel key und Wert value ein (falls nicht vorhanden) = public abstract void insert (Object key, Object value); = entferne Element mit Schlüssel key (falls vorhanden) = public abstract void delete (Object key); = suche Element mit Schlüssel key = public abstract Object search (Object key); // class hashtable AD Hashverfahren Sven Schuierer, 12. Februar

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9 Wahl der Hash-Funktion leichte und schnelle Berechenbarkeit leichmäßie Verteilun der Daten (Beispiel: Compiler) 1. Divisions-Rest-Methode Wahl von m? h(k) = k mod m Beispiele: a) m erade, letztes Bit drückt Sachverhalt aus (z.b. 0 = weiblich, 1 = männlich) ) h(k) erade, k erade b) m = 2 p ) h(k) liefert p niedristen Dualziffern von k Reel: Wähle m prim mit m 6= r i j, 0 j r 1, r = Radix der Darstellun AD Hashverfahren Sven Schuierer, 12. Februar

10 Multiplikative Methode Wähle Konstante, 0 < < 1 1. Berechne k mod 1 = k bkc 2. h(k) = bm(k mod 1)c Wahl von m unkritisch, wähle m = 2 p : Berechnun von h(k): 0, r 1, k r 0 p Bits = h(k) AD Hashverfahren Sven Schuierer, 12. Februar

11 Beispiel: p 5 1 = 0: k = m = h(k) = b10000( :61803 :::mod 1)c = b10000(76300; ::: mod 1)c = b41:151 :::c=41 8-1

12 3. Universelles Hashin Problem: h fest ewählt ) es ibt S U mit vielen Kollisionen Idee des universellen Hashin: Wähle Hashfunktion h zufälli H endliche Mene von Hashfunktionen h 2 H : U! f0;:::;m 1 Definition: H heißt universell, wenn für beliebie x; y 2 U ilt: jfh 2 H j h(x) = h(y)j jhj 1 m Folerun: x; y 2 U beliebi, H universell, h 2 H zufälli Pr H (h(x) = h(y)) 1 m AD Hashverfahren Sven Schuierer, 12. Februar

13 Universelles Hashin Beispiel Hashtabelle T der Größe 3, juj = 5 Betrachte die 20 Funktionen (Mene H): x + 0 2x + 0 3x + 0 4x + 0 x + 1 2x + 1 3x + 1 4x + 1 x + 2 2x + 2 3x + 2 4x + 2 x + 3 2x + 3 3x + 3 4x + 3 x + 4 2x + 4 3x + 4 4x + 4 (mod 5) (mod 3) und die Schlüssel 1 und 4 Es ilt: (1 1+0) mod 5 mod 3 = 1 = (1 4+0) mod 5 mod 3 (1 1+4) mod 5 mod 3 = 0 = (1 4+4) mod 5 mod 3 (4 1+0) mod 5 mod 3 = 1 = (4 4+0) mod 5 mod 3 (4 1+4) mod 5 mod 3 = 0 = (4 4+4) mod 5 mod 3 AD Hashverfahren Sven Schuierer, 12. Februar

14 Universelles Hashin Definition (x; y; h) = ( 1 falls h(x) = h(y) und x 6= y 0 sonst Erweiterun von auf Menen S U und G H: (x; S;h) = X s2s(x; s; h) (x; y; G) = X h2g (x; y; h) Folerun: H ist universell, wenn für alle x; y 2 U (x; y; H) jhj m AD Hashverfahren Sven Schuierer, 12. Februar

15 Hashin mit Verkettun der Überläufer Schlüssel werden in Überlauflisten espeichert h(k) = k mod Hashtabelle T Zeier Überläufer 19 AD Hashverfahren Sven Schuierer, 12. Februar

16 Verkettun der Überläufer Suchen nach Schlüssel k Berechne h(k) und Überlaufliste T [h(k)] Suche nach k in der Überlaufliste Einfüen eines Schlüssels k Suchen nach k (erfollos) Einfüen in die Überlaufliste Entfernen eines Schlüssels k Suchen nach k (erfolreich) Entfernen aus Überlaufliste ) Reine Listenoperationen AD Hashverfahren Sven Schuierer, 12. Februar

17 Implementation in Java class ChainedTableEntry extends TableEntry f private ChainedTableEntry next; class ChainedHashTable extends HashTable f = die Hashfunktion = public int h (Object key) f return key.hashcode () % capacity ; = suche key in der Hashtabelle = public Object search (Object key) f ChainedTableEntry p; p = (ChainedTableEntry) tableentry [h(key)]; = Gehe die Liste durch bis Ende erreicht oder key efunden = while (p!= null &&! p.key.equals(key)) f p = p.next; = Gebe Erebnis zurück = if (p!= null) return p.key; else return null; AD Hashverfahren Sven Schuierer, 12. Februar

18 Implementation in Java = fuee ein Element mit Schlüssle key und Wert value ein (falls nicht vorhanden) = public void insert (Object key, Object value) f ChainedTableEntry entry = new ChainedTableEntry(key, value); = Hole den Tabelleneintra für key = int k = h (key); ChainedTableEntry p; p = (ChainedTableEntry) tableentry [k]; if (p == null)f tableentry[k] = entry; return ; = Suche nach key = while (! p.key.equals(key) && p.next!= null) f p = p.next; = Fuee das Element ein (falls nicht vorhanden) = if (! p.key.equals(key)) p.next = entry; AD Hashverfahren Sven Schuierer, 12. Februar

19 Implementation in Java = entferne das Element mit Schluessel key (falls vorhanden) = public void delete (Object key) f int k = h (key); ChainedTableEntry p; p = (ChainedTableEntry) TableEntry [k]; TableEntry[k] = recdelete(p, key); = entferne das Element mit Schluessel key rekursiv (falls vorhanden) = public ChainedTableEntry recdelete (ChainedTableEntry p, Object key) f = recdelete ibt einen Zeier auf den Beinn der Liste, auf die p zeit, zurueck, in der key entfernt wurde = if (p == null) return null; if (p.key.equals(key)) return p.etnext(); = ansonsten: = p.next = recdelete(p.next, key); return p; public void printtable () f... // class ChainedHashTable AD Hashverfahren Sven Schuierer, 12. Februar

20 Test-Proramm public class ChainedHashinTest f public static void main(strin ars[])f int vec[] = f 12, 53, 5, 15, 2, 19, 43 ; if (ars.lenth!= 0) f vec = new int [ars.lenth]; for (int j = 0 ; j < ars.lenth ; j++)f vec [j] = Inteer.valueOf(ars[j]).intValue(); Inteer[] t = new Inteer[vec.lenth]; for (int i = 0; i <= vec.lenth - 1; i++) f t[i] = new Inteer(vec[i]); ChainedHashTable h = new ChainedHashTable(7); for (int i = 0; i <= t.lenth - 1; i++) f h.insert(t[i], null); h.printtable (); h.delete(t[0]); h.delete(t[1]); h.delete(t[6]); h.printtable(); Ausabe: 0: - 0: - 1: 15 -> 43-1: 15-2: 2-2: 2-3: - 3: - 4: 53-4: - 5: 12 -> 5 -> 19-5: 5 -> 19-6: - 6: - AD Hashverfahren Sven Schuierer, 12. Februar

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22 Analyse der direkten Verkettun Uniform-Hashin Annahme: alle Hashadressen werden mit leicher Wahrscheinlichkeit ewählt, d.h.: Pr(h(k i ) = j) = 1=m unabhäni von Operation zu Operation Mittlere Kettenläne bei n Einträen: n=m = Definition C 0 n = Erwartunswert für die Anzahl betrachteter Einträe bei erfolloser Suche C n = Erwartunswert für die Anzahl betrachteter Einträe bei erfolreicher Suche AD Hashverfahren Sven Schuierer, 12. Februar

23 Verkettun der Überläufer Vorteile: + C n und C 0 n niedri + > 1 mölich + echte Entfernunen + für Sekundärspeicher eeinet Effizienz der Suche Anzahl betrachteter separate Verkettun direkte Verkettun Einträe erfolr. erfollos erfolr. erfollos = Nachteile: Zusätzlicher Speicherplatz für Zeier Überläufer außerhalb der Tabelle AD Hashverfahren Sven Schuierer, 12. Februar