Haskell, Typen, und Objektorientierung

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1 Haskell, Typen, und Objektorientierung ZIELE dieses Kapitels Haskells Typisierung Milners Polymorpher Typcheck Haskells Typklassen P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 1

2 Typisierung in Haskell Haskell hat eine starke, statische Typisierung. jeder Ausdruck muss einen Typ haben Typchecker berechnet Typen und prüft Typen zur Compilezeit die Theorie sagt: Es gibt keine Typfehler zur Laufzeit d.h. kein dynamischer Typcheck nötig. P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 2

3 Typisierung: Begriffe (andere Programmiersprachen) dynamische Typisierung schwache, statische Typisierung passiert zur Laufzeit. Datenobjekte haben einen Typ zur Laufzeit. bei falschem Aufruf: Laufzeit-Typfehler. Typcheck zur Kompilierzeit Aber man kann Typcheck umgehen deshalb: dynamischer Typcheck notwendig. Laufzeit Typfehler sind möglich Konstanten, Variablen (Bezeichner), Prozeduren und Funktionen haben einen im Programm festgelegten Typ. Typisch: Typen können zur Laufzeit per Programmbefehl abgefragt werden P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 3

4 Typisierung: Begriffe (andere Programmiersprachen) Monomorphe Typisierung Polymorphe Typisierung Alle Objekte, Funktionen haben einen eindeutigen Typ Typvariablen sind verboten Konsequenz: verschiedene Längenfunktionen für Listen von unterschiedlichem Typ Funktion arbeitet auf mehreren Daten-Typen Typvariablen: Mittel zur Schematisierung. parametrischer Polymorphismus. Eine einzige Längenfunktion für alle Listen reicht aus Ist auch in Java 5 für generische Typen anwendbar P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 4

5 Typisierung, Begriffe polymorph: Ein Ausdruck kann viele Typen haben (vielgestaltig, polymorph). Die (teilweise unendliche) Menge der Typen entspricht einem schematischen Typausdruck [α]->int ist das Schema Instanzen sind z.b. [Int]->Int, [Char]->Int, [[Char]]->Int P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 5

6 Syntax von Typen in Haskell (ohne Typklassen) Typ ::= Basistyp ( Typ ) Typvariable Typkonstruktor n { Typ } n (n = Stelligkeit) Basistyp ::= Int Integer Float Rational Char P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 6

7 Syntax von Typen Typkonstruktoren können benutzerdefiniert sein (z.b. Baum α) Vordefinierte Liste [ ] Typkonstruktoren: Tupel (.,...,.) Funktionen (Stelligkeit 2, Infix) Konvention zu Funktionstypen mit a b c d bedeutet: a (b (c d)). P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 7

8 Bemerkungen und Wiederholung spezielle syntaktische Konventionen für Tupel und Listen. Beispiel: Typangabe (Int, Char) [Int] t :: τ Basistypen nennt man elementare Typen Grundtyp: Typ ohne Typvariablen (auch monomorph) polymorph wenn der Typ Typvariablen enthält. P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 8

9 Beispiele [1,2,3] :: [Int] map :: (α β) [α] [β] (:) :: α [α] [α] length :: [α] Int P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 9

10 length :: [α] Int Interpretation der Typen logische Formel: Interpretation: α.length :: [α] Int Für alle Typen α ist length eine Funktion, die vom Typ [α] Int ist. Logisch gilt dann: x.x :: [α] (length x) :: Int P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 10

11 Typregeln Wie berechnet man Typen von Ausdrücken? Anwendung von Funktionen auf Argumente (σ, τ sind Typen) s :: σ τ, t :: σ (s t) :: τ Beispiele: quadrat :: Int Int, 2 : Int (quadrat 2) :: Int + :: Int (Int Int), 1 :: Int (1 +) :: (Int Int) ((1 +) 2) :: Int, 2 :: Int P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 11

12 Typregel Anwendung: mehrere Argumente s :: σ 1 σ 2... σ n τ, t 1 :: σ 1,..., t n :: σ n (s t 1... t n ) :: τ Beispiele + :: Int Int Int, 1 :: Int, 2 :: Int (+ 1 2) :: Int + :: Int Int Int (1 + 2) :: Int P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 12

13 Erweiterung der Anwendungsregel auf polymorphe Typen Ziel: Anwendung der Typregel für length oder map Die Funktion γ ist eine Typsubstitution wenn sie Typen für Typvariablen einsetzt γ(τ) nennt man Instanz von τ Beispiel Typsubstitution: Instanz: γ = {α Char, β Float} γ([α] Int) = [Char] Int P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 13

14 Erweiterung der Anwendungsregel auf polymorphe Typen s : σ τ, t : ρ und γ(σ) = γ(ρ) (s t) :: γ(τ) Hierbei: die Typvariablen in ρ müssen vorher umbenannt werden. P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 14

15 Beispiel zur polymorphen Anwendungsregel Typ von (map quadrat)? map :: (α β) [α] [β] Instanziiere mit: ergibt: {α Int, β Int} map :: (Int Int) [Int] [Int] Regelanwendung ergibt: map : (Int Int) [Int] [Int], quadrat :: (Int Int) (map quadrat) :: [Int] [Int] P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 15

16 Polymorphe Anwendungsregel für n Argumente s :: σ 1 σ 2... σ n τ, t 1 : ρ 1,..., t n : ρ n und i : γ(σ i ) = γ(ρ i ) (s t 1... t n ) :: γ(τ) Die Typvariablen in ρ 1,..., ρ n müssen vorher umbenannt werden. Beachte verwende möglichst allgemeines γ P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 16

17 Beispiel mit Typvariablen id x = x id :: α α. Berechne Typ von (map id) map:: (α β) [α] [β] id:: α α Regelanwendung: d.h. (map id) :: ([α] [α]). map : (α β) ([α] [β]), id :: α α (map id) :: γ([α] [β]) P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 17

18 Berechnung von Typsubstitutionen, die Typen gleichmachen Gegeben: δ i, ρ i, i = 1,..., n Gesucht: γ mit i : γ(δ i ) = γ(ρ i ). Die Berechnung mit den folgenden Regeln nennt man auch Unifikation. P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 18

19 Unifikation durch Transformation der Gleichungen Notation: σ = γ τ statt γ(σ) = γ(τ) Sei G eine Multimenge von Gleichungen, T C ein Typkonstruktor, α eine Typvariable, σ, τ (polymorphe) Typen. Regeln zur Umformung von Gleichungssystemen: (Dekomposition) (T C σ 1... σ m ) = γ (T C τ 1... τ m ), G σ 1 = γ τ 1,..., σ m = γ τ n, G Wenn die Typkonstruktoren rechts und links verschieden sind, dann kann man die Berechnung abbrechen; es kann keine Lösung geben. P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 19

20 Unifikation durch Transformation der Gleichungen: Regeln (Ersetzung) α = γ σ, G α = γ σ, G[σ/α] G[σ/α] bedeutet: Ersetze alle Vorkommen der Typvariablen α durch den Typ σ. Hierbei: Grund: σ darf α nicht enthalten Es gibt keine Lösung Vorsicht: sonst Nichtterminierung P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 20

21 Unifikation durch Transformation der Gleichungen: Regeln (Vereinfachung) α = γ α, G G (Vertauschung) σ = γ τ, G τ = γ σ, G P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 21

22 Unifikation durch Transformation der Gleichungen: Resultat Berechnung ist erfolgreich beendet, wenn das Gleichungssystem von der Form ist: α 1 = γ τ 1,..., α k = γ τ k wobei α i Typvariablen sind, und die α i in keinem τ j auftreten. Die gesuchte Typsubstitution ist ablesbar als γ = {α 1 τ 1,..., α k τ k } P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 22

23 Beispiel map id nochmal; Variante 1 Typsubstitutionen unterschiedlich, je nach Regelanwendung: map :: (α β) [α] [β], id :: α α (map id) :: γ([α] [β]) Berechnen von γ: α β = γ α α α = γ α, β = γ α Das ergibt: γ = {α α, β α } und (map id) :: [α ] [α ] P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 23

24 Beispiel map id Variante 2 Berechnung von γ mit vertauschten Regelanwendungen: α β = γ α α α = γ α, β = γ α α = γ α, β = γ α α = γ α, β = γ α Das ergibt γ = {α α, β α} und (map id) :: [α] [α] Wegen All-Quantifizierung sind die Typen (bis auf Umbenennung) identisch P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 24

25 Typsubstitutionen: Allgemeinere Definition Sei V eine Menge von Typvariablen. und γ, γ zwei Typsubstitutionen. Dann ist γ allgemeiner als γ, wenn es eine weitere Typsubstitution δ gibt, so dass x V : δ(γ(x)) = γ (x) Es gilt: Unifikation berechnet allgemeinste Typsubstitutionen P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 25

26 Beispiel zu Typsubstitutionen γ = {α 1 (α 2, β 2 )} γ = {α 1 (Int, Int)} γ ist allgemeiner als γ : Nehme δ = {α 2 Int, β 2 Int}. Dann ist δ(γ(α 1 )) = (Int, Int) = γ (α 1 ). P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 26

27 Beispiel zu polymorpher Typberechnung Berechne Typ der Liste [1]: [1] = 1 : [] 1 :: Int und [] :: [β] (Typen der Konstanten) (:) :: α [α] [α] Anwendungsregel mit γ = {α Int} ergibt: (1 :) :: [Int] [Int] Anwendungsregel mit γ 2 = {β Int} ergibt: (1 : []) :: [Int] P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 27

28 Beispiel zu Typfehler [1, a ] hat keinen Typ: 1 : ( a : []) (voll geklammert) 1 :: Integer, [] :: [β], a :: Char Typen der Konstanten. (1 :) :: [Integer] [Integer] und a :[] :: [Char]. Kein Typ als Resultat, denn: [Integer] und [Char] sind verschieden unter allen γ. P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 28

29 Beispiel zu Typfehler;Hugs Test > [1, a ] ERROR - Illegal Haskell 98 class constraint in inferred type *** Expression : [1, a ] *** Type : Num Char => [Char] P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 29

30 Typ eines Ausdrucks Typ von (map quadrat [1,2,3,4]) : map:: (α β) [α] [β] quadrat:: Int Integer, und [1, 2, 3, 4] :: [Integer]. γ = {α Integer, β Integer}. Das ergibt: γ(α) = Integer, γ([α]) = [Integer], γ([β]) = [Integer]. Resultat: γ([β]) = [Integer] P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 30

31 Typisierung von Funktionen, Milner Problematik: rekursiv definierte Funktionen Lambda-Ausdrücke, let-ausdrücke Listen-Komprehensionen. Typcheckalgorithmus von Robin Milner (in Haskell und ML) Schnell, liefert allgemeinste (Milner-)Typen schlechte worst-case Komplexität: in seltenen Fällen exponentieller Platzbedarf Liefert in seltenen Fällen nicht die allgemeinsten möglichen polymorphen Typen P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 31

32 Typisierung von Funktionen, Milner Satz zur Milner-Typisierung in Haskell: Sei t ein getypter Haskell-Ausdruck, ohne freie Variablen (d.h. geschlossen). Dann wird die Auswertung des Ausdrucks t nicht mit einem Typfehler abbrechen. P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 32

33 Typisierung rekursiv definierter Funktionen length [] = 0 length (x:xs) = (1 + length xs) der erhaltene Typ ist Num a => [b] -> a Das ist auch der Typ von genericlength im Modul List P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 33

34 Typisierung rekursiv definierter Funktionen Vorgehen bei der Berechnung des Typs einer rekursiven Funktion f x_1... x_n =... Annahmen:f:: α x 1:: β 1... x n:: β n, Resultat: β n+1, Ergibt Typgleichung α = β 1 ->... ->β n ->β n+1 bei Pattern verwende extra Gleichungen x i = p i Typregeln zum Berechnen der Typen der Definitionsgleichung Bei bekannten Funktionen: verwende umbenannten Typ. Bei f: verwende α Lösung von Typgleichungen mittels Unifikationsalgorithmus Gleichsetzen der Typen der linken und rechten Seiten von Definitionsgleichungen Resultat: γ(β 1 ->... ->β n ->β n+1 ) wobei γ die insgesamt berechnete Typsubstitution ist. P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 34

35 Typisierung rekursiv definierter Funktionen (2) [] ++ ys = ys (x:xs) ++ ys = x: (xs++ys) P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 35

36 Typisierung rekursiv definierter Funktionen (2) [] ++ ys = ys (x:xs) ++ ys = x: (xs++ys) Annahmen: x:xs:: β 1, ys:: β 2 α = β 1 β 2 β 3 [] ++ ys = ys β 1 = [α 1 ], β 3 = β 2 (x:xs) x:: α 2, xs:: α 3, ergibt: α 3 = [α 2 ] = β 1 (x:xs) ++ ys [α 1 ] = [α 2 ], also α 1 = α 2 (xs++ys) :: β 2 keine neue Gleichung; x: (xs++ys) β 2 = [α 1 ] Erst hier wird der Resultattyp eingeschränkt! Ergebnis: ++:: [α 1 ] [α 1 ] [α 1 ] P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 36

37 Typisierung und Reduktion, genauer Erinnerung Beta-Reduktion: ((λx.t) s) t[s/x] λx.t :: τ 1 τ 2, s :: σ, γ(τ 1 ) = γ(σ) ((λx.t) s) : γ(τ 2 ) Zum Ermitteln von γ(τ 2 ) benötigt man eine Typsubstitution γ, so dass γ(τ 1 ) = γ(σ) ist. P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 37

38 Typisierung und Reduktion, genauer ((λx.t) s) t[s/x] Was ist der Typ von t[s/x]? Beh: ((λx.t) s) :: τ impliziert t[s/x] :: τ Argumentation: Milner-Typcheck beachtet nur den Typ der Unterterme, nicht deren syntaktische Form. Typ von x und s ist aber gleich (als Unterterm von t) denn γ(τ 1 ) = γ(σ) Folgerung: auch mehrere Beta-Reduktionen erhalten den ursprünglichen Typ Analoge Argumentation für andere Auswertungsregeln! P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 38

39 Typisierung und Reduktion, genauer Beachte: Nach Beta-Reduktion kann ein Ausdruck mehr Typen haben Beispiel: (((λx.(λy.x)) 1) u) Beta-Reduktion: (λy.1) u Beta-Reduktion: 1 u ungetypt. Deshalb ist der Ausdruck ungetypt. ungetypt getypt; vom Typ Integer P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 39

40 Bemerkungen zu anderen Programmiersprachen Lisp und Scheme (strikte funktionale Programmiersprachen) haben kein statisches Typsystem. der Grund liegt in der Konzeption, z.b. der Booleschen Werte In Lisp: Nil bedeutet auch False, alles andere gilt als True. Auswertung: 1 = 0 Nil, 1 = 1 1. Weitere Schwierigkeit: Typeffekte von Zuweisungen P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 40

41 Bemerkungen zu anderen Programmiersprachen Verwendung der arithmetischen Operatoren Überladung von +,,... Manche Programmiersprachen nutzen automatische (dynamische) Typkonversion Haskell: keine Typkonversion eingegebene Zahlkonstanten sind überladen 1 wird vom Compiler als (frominteger 1) eingefügt Typkonversion von Hand einfügen: Z.B. pi + 2%3 ergibt einen Typfehler, pi + (fromrational (2%3)) ::Double ergibt P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 41

42 Python und Typisierung Python ist statisch ungetypt. Vermutlich wäre ein monomorphes Typsystem für Python möglich Man muss syntaktische Elemente hinzufügen Schwierige Kombination: Python erlaubt Lambda-Ausdrücke und Zuweisung P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 42

43 Java und Typisierung Java 1.4 ist streng getypt. Das Typsystem ist monomorph. die Java-Klassen entsprechen den elementaren Typen. Zusätzlich gibt es einen Untertyp-Begriff für Klassen. Die dynamischen Typfehler sind meist (cast)-fehler. Java 5 ist streng getypt. Das Typsystem ist polymorph. Zusätzlich gibt es einen Untertyp-Begriff für Klassen. Kompliziertere statische Typangaben nötig Weniger dynamische Typfehler. P raktische Informatik 2, SS 2005, F olien Kap.3, (27. Mai2005) Seite 43