Rundreisen Das Travelling-Salesman-Problem

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1 Rundreisen Das Travelling-Salesman-Problem MS Wissenschaft Das Matheschiff Exponatentwicklung: DFG-Forschungszentrum Matheon Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin Im Folgenden werden optimale Rundreisen für die drei verschiedenen Probleme (15, 25 und 40 Städte) vorgestellt. Es wurden präzise Koordinaten für die Lochmittelpunkte der Städte vorgegeben. Die Tische sind jedoch von einem Tischler manuell hergestellt worden, wodurch die Lochpositionen auf den Tischen ein wenig von den vorgegebenen Koordinaten abweichen. Es gibt sogar Abweichungen zwischen den beiden Spieltischen, die auch zu unterschiedlichen Längen der optimalen Rundreise führen. Die tatsächlich gebohrten Lochmittelpunkte wurden millimetergenau gemessen. Die für Spieltisch I (15 Städte vorgegeben) und Spieltisch II (25 Städte vorgegeben) gemessenen Koordinaten sind in Tabelle 1 und 2 zu finden. Die Entfernung zwischen zwei Orten mit Koordinaten (x 1, y 1 ) und (x 2, y 2 ) wird durch den euklidischen Abstand (x1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 berechnet, wobei das Ergebnis auf volle Millimeter gerundet wird. So beträgt etwa auf Spieltisch I der Abstand zwischen Berlin und Mainz 25,2 cm. Verbindet man die jeweils vorgegebenen Städte durch eine Schnur, so weicht die tatsächliche Schnurlänge von der errechneten Schnurlänge ab, weil das Herumlegen der Schnur um die Stifte zu einer Verlängerung der Schnur führt. Deswegen weichen Praxis und Theorie ein wenig von einander ab. Die theoretisch optimalen Rundreisen sind in Abbildung 1 dargestellt. 15-Städte-Problem (auf Spieltisch I) Abbildung 1(a) zeigt die kürzeste Rundreise für das 15-Städte-Problem. Sie ist theoretisch 127,9 cm lang. Tatsächlich ist eine Schnurlänge von etwa 133 cm erforderlich. Es wurden außerdem die theoretisch zweit- und drittkürzeste Rundreise bestimmt. Vertauscht man die Besuchsreihenfolge der Städte Berlin und Potsdam, so erhält man die zweitkürzeste Rundreise. Ihre Länge ist 128,8 cm. Zur drittkürzesten Rundreise (ausgehend von der optimalen Rundreise) kommt man durch Vertauschen der Besuchsreichenfolge von Mainz und Saarbrücken. Diese Rundreise ist 129,9 cm lang. 25-Städte-Problem (auf Spieltisch II) Die optimale Rundreise für das 25-Städte-Problem ist in Abbildung 1(b) dargestellt. Sie ist theoretisch 175,9 cm lang. Die entsprechende Schnurlänge beträgt 1

2 etwa 182 cm. Wenn man in dieser Rundreise Heidelberg zunächst auslässt, also nach Frankfurt direkt Würzburg besucht, und Heidelberg zwischen Freiburg und Trier einfügt, erhält man die zweitkürzeste Rundreise. Sie ist mit 176,0 cm nur geringfügig länger als die kürzeste. Ausgehend von der kürzesten Rundreise kommt man durch Vertauschen von Jena und Leipzig zur drittkürzesten Rundreise. Ihre Länge beträgt 177,0 cm. 40-Städte-Problem Abbildung 1(c) zeigt eine kürzeste Rundreise für das 40-Städte-Problem. Diese optimale Rundreise ist jedoch auf den beiden Tischen unterschiedlich lang, auf Spieltisch I 206,9 cm und auf Spieltisch II 206,5 cm. In beiden Fällen beträgt die entsprechende Schnurlänge 216 cm. Mehr zum Travelling-Salesman-Problem Das Travelling-Salesman-Problem (TSP) ist das bekannteste und am intensivsten untersuchte Problem der kombinatorischen Optimierung. Einen umfassenden Überblick über das TSP, seine Geschichte, Lösungsalgorithmen und den gegenwärtigen Forschungsstand bietet das Buch The Traveling Salesman Problem: A Computational Study (Princeton University Press, 2007) von Applegate, Bixby, Chvatal und Cook. Bill Cook, einer der Autoren, unterhält eine sehr informative Webseite zum TSP, siehe auf der man auch TSPs generieren, manuell lösen und die eigenständig gefundene Tourlänge mit dem Wert einer Optimallösung vergleichen kann. Weitere Webseiten zum TSP sind: Artikel, die für eine allgemeine Leserschaft (und nicht für Spezialisten der kombinatorischen Optimierung) geschrieben wurden und zum Download (als pdf-datei) zur Verfügung stehen, sind u. a. Die optimierte Odyssee (Grötschel und Padberg, 1999, deutsch) pdf The Optimized Odyssey (Grötschel und Padberg, 2001, englisch) pdf Schnelle Rundreisen: Das Travelling-Salesman-Problem (Grötschel 2007) pdf Eine umfangreiche Sammlung von konkreten Beispielen des Travelling-Salesman-Problems, die meisten stammen aus realen Anwendungen z. B. der Leiterplattenproduktion oder des VLSI-Designs, ist in der TSPLIB ( zib.de/pub/mp-testdata/tsp/tsplib/tsplib.html) zu finden. Diese enthält 2

3 die Daten der Problembeispiele, die Länge der optimalen Lösungen sowie bildliche Darstellungen von Optimallösungen. Kontaktpersonen: Martin Grötschel und Andreas Tuchscherer 3

4 (a) 15 Städte (b) 25 Städte (c) 40 Städte Abbildung 1: Optimale Rundreisen für die drei Probleme. 4

5 Stadt x-koordinate y-koordinate Bremen Kiel Hamburg Schwerin Düsseldorf Hannover Magdeburg Berlin Potsdam Erfurt Dresden Saarbrücken Mainz Stuttgart München Flensburg Emden Lübeck Stralsund Rostock Münster Braunschweig Stendal Frankfurt/Oder Köln Kassel Göttingen Leipzig Cottbus Gießen Jena Frankfurt Trier Heidelberg Würzburg Nürnberg Freiburg Augsburg Passau Kempten Tabelle 1: Koordinaten der Städte auf Spieltisch I (Die vorgegebenen 15 Städte sind fett gedruckt) in Millimetern. Der Nullpunkt (0, 0) liegt im Nordwesten und ist nicht eingezeichnet. 5

6 Stadt x-koordinate y-koordinate Bremen Kiel Hamburg Schwerin Düsseldorf Hannover Magdeburg Berlin Potsdam Erfurt Dresden Saarbrücken Mainz Stuttgart München Flensburg Emden Lübeck Stralsund Rostock Münster Braunschweig Stendal Frankfurt/Oder Köln Kassel Göttingen Leipzig Cottbus Gießen Jena Frankfurt Trier Heidelberg Würzburg Nürnberg Freiburg Augsburg Passau Kempten Tabelle 2: Koordinaten der Städte auf Spieltisch II (Die vorgegebenen 25 Städte sind fett gedruckt) in Millimetern. Der Nullpunkt (0, 0) liegt im Nordwesten und ist nicht eingezeichnet. 6