Lösungsvorschlag Aufgabe 3

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1 Lösungsvorschlag Aufgabe 3 Aufgabenstellung: Da ihr sehr umweltbewusste und engagierte Schülerinnen und Schüler seid, möchtet ihr eure Schulleitung davon überzeugen, eine private Anlage zu installieren. Zur Argumentation benötigt ihr einen Entwurf, ab wann sich eine Anlage rentiert. Zunächst einmal ist zu klären, welche Informationen für die Untersuchung der Rentabilität wichtig sind. Für ein erstes Modell wählen wir zur Berechnung aus den Faktoren (Sonnenstunden, Ort, Dachausrichtung und -neigung, Nennleistung und Ertrag usw.) nur die Anzahl der Sonnenstunden, die Nennleistung und den Ertrag der Anlage aus. Dadurch reduziert sich die Komplexität des Modells. Mit dieser Reduktion an Faktoren lässt es sich zunächst einfacher rechnen. Mit zusätzlichen Informationen über die Strompreise ergibt sich folgende Tabelle über die Gesamtkosten der Installation. Fr Fragestellung Annahmen Internetlink Wie viel Energie verbraucht ein Haushalt im Jahr? Module: wir 5050 kwh pro Jahr, das ist der Mittelwert der beiden Angaben. Die Anlagekosten für 1Watt Peak variieren zwischen 1,46 und 2,09 Euro. Die zu installierenden Module sollten eine Nennleistung von 5 kwp erzeugen, da der Energieverbrauch für ein Jahr etwa 5050 kwh beträgt. wir wieder den Mittelwert also, 1,775 Euro. Dem entsprechend werden die Kosten der Anlage für eine Jährliche Leistung von 5 kwp 8875 Euro betragen. Ein 4 Personen Haushalt htt/ verbraucht etwa 4600 kwh bis 5500 kwh pro Jahr. ovoltaik-anlagen-nennleistung-kosten.html (Wichtiges zur Nennleistung) k-komponenten/solarmodule/kwp (Wichtiges zur Nennleistung) 1

2 sten Montage Die Montagekosten für 1kWp belaufen sich zwischen 120 Euro und 180 Euro. Wechselrichter wir wieder den Mittelwert, also 150 Euro So ergibt sich für die Montagekosten eine Summe von 750 Euro. Die Kosten für einen Wechselrichter betragen etwa 2000 Euro. sten Sonstige Serviceleistungen und Bauteile Laufende Kosten wie etwa Reparatur, Versicherung und Steuern etc. 10% der Gesamtkosten. 2% der Anschaffungskosten Gesamtkosten PV Anlage Module 8875 Euro Installation Wechselrichter Sonstiges x Euro 2000 Euro Euro Laufende Kosten 232,5 Euro Gesamt : Euro + x Euro = ca Euro Nennleistung der Anlage 5 kwp Preis Pro kw 0,20 Euro pro kw 2

3 Für unsere Rechnung benötigen wir folgende Infos: 1) Die Gesamtkosten zur Installation der Anlage belaufen sich bei Euro 2) Die Strompreise stehen bei 0,2 Euro pro KW 3) Die Anlage erzeugt 5 kwh Stom Aus den ersten beiden Aufgaben wissen wir, dass die Anzahl der Sonnenstunden durch eine trigonometrische Funktion modelliert werden kann. Nutzen wir nun die Formel aus der zweiten Aufgabe, um an dieser Stelle mit der Anzahl der Sonnenstunden zu arbeiten und den Ertrag der Anlage herauszufinden. Wenn die Gesamtkosten zur Installation der Aufgabe gedeckt sind, dann kann man daran die Rentabilität der Anlage beurteilen. Mathematisch ausgedrückt: Kosten (Euro) = Nennleistung (KWh) Preis (Euro/KW) Anzahl der Sonnenstunden (h) Seien k = Kosten; n = Nennleistung; p = Preis und die Formel für die Sonnenstunden aus der zweiten Aufgabe mit (t= Monat) gegeben. Dann folgt daraus: Der erste naheliegende Ansatz ist, diese Gleichung analytisch nach t aufzulösen. Allerdings ist es durch die trigonometrische Funktion nicht möglich t eindeutig zu bestimmen. Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die Gleichung als Funktion darzustellen und anhand dieser die Nullstelle zu bestimmen. Denn die Nullstelle beschreibt den Monat, in dem die Anlage genau so viel Strom eingespart hat, wie die Höhe der Gesamtkosten. Sei also: 3

4 Zur Untersuchung der Nullstelle nehmen übernehmen wir a = 150 und b = 100 aus dem Aufgabenteil 2. Daraus ergibt sich folgende Rechnung: Für t1 = 0 gilt Nun müssen wir t2 herausfinden. Dabei fruchtet die Idee, den rechten Term mit der Umkerfunktion von Kosinus zu verrechnen nicht. Denn dadruch kommt es zu einer Rechnung mit der Umkehrfunktion im Rest des Terms. An dieser Stelle muss von der analytischen Herangehensweise abgewichen werden. Die Alternativen sind die geometrische und numerische Methode. 4

5 Geometrische Methode: Stelle die Funktion in GeoGebra dar und lies die ungefähre Nullstelle an der x-achse ab. Für die oben genannten Werte, sieht das folgendermaßen aus. Der Graph schneidet die x-achse ungefähr bei 101. Da an der horizontalen Achse die Anzahl der Monate und auf der Vertikalen der Betrag aufgetragen ist, kommt diesem Ergebnis folgende Interpretation zu: Bei einer Investition von Euro für die Installation der Anlage sind die Kosten nach 101 Monaten bzw. ca. 8,4 Jahren gedeckt. Danach beginnt sich die Anlage zu rentieren. 5