Aufgabensammlung zur statistischen Methodenlehre und Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Aufgabensammlung zur statistischen Methodenlehre und Wahrscheinlichkeitsrechnung Mit Anhang "Tipp-Strategien fur das LOTTO" Vierte, verbesserte und erweiterte Auflage Physica-Verlag Heidelberg

2 Dr. HERBERT BASLER, Institut flir Angewandte Mathematik und Statistik, Universitat Wiirzburg, Sanderring 2, D-8700 Wiirzburg, FRG ISBN 13: e-isbn-13: DOl: 10.lO Dieses Werk ist urheberrechtlieh geschiitzt. Die dadureh begriindeten Rechte, insbesondere die der Obersetzung, des Naehdrueks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendungen, der Mikroverfilmung oder der VervielfaItigung auf anderen Wegen und der Speieherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, aueh bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine VervielfaItigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist aueh im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzliehen Bestimmungen des Urheberreehtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland Yom 9. September 1965 in der Fassung Yom 24. Juni 1985 zullissig. Sie ist grundsiitzlieh vergiitungspfliehtig. Zuwiderhandlungcn unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Physica-Verlag Heidelberg 1975, 1977, 1984, 1991 Die Wiedergabe von Gebrauehsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk bereehtigt auch ohne besondere Kennzeiehnung nieht zu der Annahme, daj3 solehe Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markensehutz-Gesetzgebung a1s frei zu betraehten waren und daher von jedermann benutzt werden diirften.

3 Vorwort zur 1. Auflage Die meisten der hier vorgelegten Aufgaben sind urspriinglich als Aufgaben zu meinen Ubungen zur Statistischen Methodenlehre sowie als einschhigige Zwischenpriifungs- und Diplompriifungs-Aufgaben entstanden. Von den Aufgaben zur elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung entstammen mehrere den Ubungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung im Rahmen eines Kurses fur Mathematiker. Insgesamt richtet sich die Aufgabensammlung an anwendungsorientierte Leser, die jedoch auch an begrifflicher Klarheit als einer Voraussetzung kritischen Anwendens statistischer Methoden interessiert sind. Die hierfiir erforderliche Praxisnahe der Aufgaben wird u. a. dadurch herzustellen versucht, dab oft die zur Beantwortung einer anschaulich relevanten Fragestellung erforderlichen Datenkranze auch Daten enthalten, die nicht unmittelbar verwendet werden konnen (ein typisches Beispiel hierfiir ist etwa Aufgabe 66), oder auch dadurch, dab die anschauliche Fragestellung vielfach erst durch geeignete Formulierungen in der statistischen Modellsprache prazisiert werden mub. Letzteres geschah, urn triviale und nutzlose Rechenbeispiele weitgehend zu vermeiden. Nach meiner Erfahrung sind es jedoch gerade die Konsequenzen aus solchen Bemiihungen urn Praxisnahe, die Aufgaben (sog. "eingekleidete Aufgaben") dem Anfanger gelegentlich als schwer erscheinen lassen. Deshalb sind die Losungen und Losungswege so ausfuhrlich dargestellt, dab sie jeder mit den Elementen vertraute Leser bequem verfolgen konnen soilte. Insbesondere die verwendeten Testverfahren sind anlablich ihrer jeweils ersten Anwendung in dieser Sammlung so ausfuhrlich dargesteilt, dab es sogar moglich sein soilte, ein solches Verfahren hier erst kennenzulernen. Da es in einer Aufgabensammlung naturgemab nicht durchgangig moglich ist, stets aile verwendeten Bezeichnungen vorweg zu erlautern, sei es mir gestattet, fur eventueil auftretende diesbeziigliche Bediirfnisse auf meine in der gleichen Reihe erschienene EinfUhrung "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und statistischen Methodenlehre" hinzuweisen. Wiirzburg, im Oktober 1974 Vorwort zur 3. Auflage Diese Auflage wurde hauptsachlich urn 11 originale Klausuraufgaben erweitert, die vorwiegend von Wirtschaftswissenschaftlern wahrend der letz-

4 4 Vorwort ten Jahre in Wiirzburg entweder im Rahmen ihrer Zwischenpriifung oder im Nebenfach Statistik in der Diplompriifung zu bearbeiten waren. Ferner habe ich bei den hinzugekommenen Aufgaben Nr. 71 bis 81 fo1- gende generelle Anderung bei der Formulierung von Testergebnissen vorgenommen: die SchluB-Floske1 "Damit ist mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von z. B. 95 % statistisch nachgewiesen, dab... " wurde ersetzt durch: "Damit ist bei Zugrundelegung einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von z. B. 95 % statistisch nachgewiesen, dab... ". Ich hoffe, dab diese Formulierung der haufigen Fehlinterpretation der Sicherheitswahrscheinlichkeit als Wahrscheinlichkeit mit der die mit Hilfe des betreffenden Verfahrens getroffenen Entscheidungen "richtig" sind, weniger Vorschub leistet (s. z. B. "Grundbegriffe", 8. Auflage, S.124). Wiirzburg, im Mai 1984 Vorwort zur 4. Auflage Die Neuauflage habe ich zum AnlaB genommen, umfangreiche Auswertungen der Spielergebnisse des Zahlen Lottos 6 aus 49, die bereits vor einigen Jahren mit Hilfe der Rechenan1age der Universitat Wiirzburg durchgefiihrt wurden, auf- und auszuarbeiten und zwar in Form von Aufgaben - wie das einer Aufgabensammlung zukommt. Dieser Weg der Publikation erschien mir sinnvoll, da nach meiner Einschatzung in unseren mathematisch-statistischen Fachzeitschriften iiblicherweise kein Platz fur solche empirischen Untersuchungen ist, weil sie wohl gemeinhin nicht als mathematische Forschungsarbeit gelten. Demzufolge bleiben empirisch basierte Bemiihungen zu mathematisch scheinbar so trivialen Gliicksspielen wie dem Zahlen-Lotto meistens Randstandigen vorbehalten und werden von innerdisziplinarem Naseriimpfen begleitet - sofern sie registriert werden. Ich hoffe, dab die hier vorgelegte empirische Untersuchung neben inhaltlichen Aspekten - die wohl auch das Interesse mathematischer Laien finden konnen - auch mathematisch-statistische methodische Aspekte bietet, die ihr gegeniiber dem arigedeuteten Schicksal einigen Schutz verleihen. Inhaltlich geht es urn einen gewissen Konsens-Effekt im Tipp-Verhalten realer Lottospieler-Kollektive, den jeder am Lotto Interessierte, ob Laie oder Mathematiker, fur moglich oder gar plausibel halten wird und der moglicherweise Bais fur rationale Tipp-Strategien sein konnte, die geeignet sind die Gewinn-Erwartung auf mehr als 50% des Spie1einsatzes zu

5 Vorwort 5 erhohen. (Beim Lotto werden 50 % der kollektiven Einsatzsumme als Gewinne ausgeschuttet.) Dem liegt die Beobachtung bzw. weit verbreitete Meinung zugrunde, dab es beim Lotto sowohl Ausspielungen mit extrem Uberhohten Gewinn-Quoten als auch Ausspielungen mit viel zu niedrigen Gewinn-Quoten gibt, was sich moglicherweise mit einer kollektiven Bevorzugung oder VernachHissigung gewisser Lottozahlen durch die Spieler bei der Bildung der Tippreihen erkhiren HiBt, also mit einem Konsensverhalten des Spieler-Kollektivs. Wenn namlich die Gewinnzahlen einer Ausspielung zufallig einmal Uberwiegend yom Spieler-Kollektiv bevorzugte Zahlen waren, so wiirde dies zu extrem Uberhohten Gewinn-Klassen-Besetzungszahlen und damit zu extrem niedrigen Quoten flihren. 1m dualen Fall gabe es extrem hohe Quoten. Offensichtlich bote ein soiches Konsensverhalten, wenn es tatsachlich existierte und jemandem hinsichtlich der bevorzugten und vernachlassigten Lottozahlen explizit bekannt ware, einen Ansatzpunkt flir rationales Tippverhalten - das naturgemab eine Form des Gegen-den-Strom-Schwimmens zu sein hatte - mit der Hoffnung, dab eine soiche rationale Spiel-Strategie die Gewinn-Erwartung erhoht. DaB dies alles so sein konnte, ist trivial. Ob es dagegen tatsachlich so ist, ist eine mit Hilfe statistischer Methoden empirisch zu beantwortende, nicht so triviale Frage. In der hier vorgelegten empirischen Untersuchung wird fur bisherige Spieler-Kollektive des Zahlenlottos 6 aus 49 soiches Konsensverhalten nachgewiesen und die Existenz von Spiel-Strategien gezeigt, die die Gewinn-Erwartung gegenuber dem "Normal"-Wert von 50% des Einsatzes signifikant vergrobern. Als Datenmaterial werden dazu ausschlieblich die Lotterie-amtlich publizierten Ergebnisse von 1264 Lottoausspielungen hinsichtlich der Anzahl der jeweils beteiligten Tippreihen, der jeweiligen Gewinnzahlen (einschlieblich Zusatzzahl) und der Gewinnklassen-Besetzungszahlen verwendet. NatUrlich stehen soiche Aussagen im Hinblick auf ihre praktische Nutzanwendung unter dem Vorbehalt, dab sich das kollektive Spielverhalten nicht signifikant verandert, z. B. weil es durch Informationen - wie die hier vorgelegten - gestort wird. Ob aber die Aussagen mathematischer Untersuchungen menschliches Verhalten tatsachlich beeinflussen konnen ist - bezogen auf den vorliegenden Fall - wieder eine rein empirische Frage, deren Beantwortung prinzipiell einer spateren Untersuchung vorbehalten bleiben mub. GUntersleben, im Marz 1991