GPS. How it works. Jan Draegert

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1 GPS How it works Jan Draegert 15. Februar 2011

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3 Inhaltsverzeichnis Die Funktionsweise des GPS Was ist GPS? Das wesentliche Prinzip Komponenten Weltraumsegment Kontrollsegment Benutzersegment Das Signal Funktionsweise Positionsbestimmung Positionsbestimmung durch Phasenmessung der Trägerwelle Geschwindigkeitsbestimmung mit dem Dopplereffekt Fehlerquellen und Verbesserungen Fazit Literaturverzeichnis

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5 1 Die Funktionsweise des GPS Zusammenfassung. Diese Seminararbeit erläutert die Funktionsweise von GPS. Zuerst wird eine Einleitung gegeben in der erklärt wird was GPS ist und was mögliche Anforderungen sind. Anschließend folgt eine grobe Beschreibung des Ablaufs der Positionsbestimmung. Um genauer darauf eingehen zu können wie GPS funktioniert, werden zunächst die einzelnen Komponenten und deren Zusammenspiel aufgezeigt und wichtige Details zum Signal erläutert. Im darauf folgenden Abschnitt werden die mathematischen Grundlagen der Positionsbestimmung vorgestellt. Bevor noch einige Fehlerquellen und, wenn vorhanden, Verbesserungsmöglichkeiten genannt werden, wird eine kurze Erklärung der Geschwindigkeitsbestimmung mittels Dopplereffekt eingeschoben. Zum Schluss wird noch kurz ein Ausblick auf die zeitnahe Entwicklung der Satellitennavigation gegeben. Über die meisten Themen kann im Rahmen dieser Arbeit nur ein kurzer Überblick gegeben werden. Ein Schwerpunkt liegt auf den mathematischen Grundlagen der Positionsbestimmung. 1.1 Was ist GPS? GPS ist ein satellitengestütztes Navigationssystem. Es lässt sich weltweit unabhängig von der Tageszeit und den Wetterbedingungen etwa zur Positionsbestimmung, Navigation oder sogar zur Vermessung einsetzen. Der Benutzer von GPS möchte vorwiegend seinen momentanen Standort im dreidimensionalen Raum ermitteln. Das bedeutet er möchte seine Lage im Gradnetz der Erde und seine Höhe über dem Meeresspiegel feststellen. Außerdem kann der Benutzer mithilfe von GPS die Uhrzeit und seine Geschwindigkeit sehr präzise bestimmen. GPS ist eine Kurzform für NAVSTAR GPS, welche wiederum ein Akronym von NAVigational Satellite Timing and Ranging Global Positioning System ist. Es wurde in den 70ern vom US-Verteidigungsministerium entwickelt, ist allerdings erst seit 1995 offiziell in Betrieb. Daher wurde das System so konstruiert, dass es gewisse militärische Anforderungen erfüllt. Beispielsweise schlossen die Entwickler eine Verwendung von geostationären Satelliten aus, damit, falls ein Satellit außer Gefecht gesetzt wird, keine stationäre Lücke entsteht und das System immer noch funktioniert.

6 2 1 Die Funktionsweise des GPS Des Weiteren sollten die Empfangsgeräte handlich und mobil sein, auffällig große Empfangstechnik, mit ausgerichteten Antennen wie beim Satellitenfernsehen, wäre unangebracht. Also müssen die Satelliten auf eine Frequenz senden, mit der dies möglich ist. Außerdem dürfen die Empfänger auf keinen Fall zu orten sein, d. h. sie dürfen nur passiv sein und keine Signale senden. Wie kann man nun unter Verwendung von sich bewegenden Satelliten seine tatsächliche Position bestimmen? Wie muss ein solches System konstruiert sein? 1.2 Das wesentliche Prinzip Der Empfänger berechnet aus der Signallaufzeit den Abstand zu den Satelliten und damit seine eigene Position. Die Laufzeit eines Satellitensignals ergibt sich aus der Differenz von Sende- und Empfangszeitpunkt. Dabei definiert der Satellit den Sendezeitpunkt und schreibt diesen auf das Signal und der Empfänger misst den Empfangszeitpunkt. Des Weiteren befinden sich auf dem Signal auch Informationen zur aktuellen Position des Satelliten. Somit kann der Empfänger berechnen welchen Abstand er zu einem bestimmten Punkt hat. Da jeder Satellit eine eindeutige Kennung, die PRN- Nummer (PRN = PseudoRandomNoise ein von außen zufällig erscheinendes Rauschen), auf das Signal moduliert, kann der Empfänger die Signale mehrerer Satelliten unterscheiden und seine Position eindeutig bestimmen. 1.3 Komponenten Weltraumsegment Das Weltraumsegment besteht aus allen betriebsfähigen Satelliten. Jeder Satellit wiegt in etwa 1,5 Tonnen und umkreist die Erde in einer Höhe von über km mit einer Bahngeschwindigkeit von knapp 4 km/s in 11 Stunden und 58 Minuten. Damit das Satellitensystem reibungsfrei funktioniert müssen sich immer mindestens 24 funktionierende Satelliten in der Umlaufbahn befinden. Gibt es genau 24 Satelliten, so sind bei freier Sicht von jedem Punkt der Erde zu jedem Zeitpunkt sechs bis zwölf Satelliten sichtbar. Damit die Satelliten die gesamte Erde abdecken, kreisen sie auf sechs Bahnen, welche um jeweils 60 gegeneinander versetzt sind. Um eine gute Verteilung zu erreichen, sodass sich nicht zu viele Satelliten gleichzeitig über einem Ort wie z. B. den Polen befinden, beträgt die Inklination der Bahnebenen zu der Äquatorebene lediglich 55 (statt 90, wie man vielleicht vermuten würde). Für GPS sind 37 PRN-Nummern vorgesehen. Davon sind fünf reserviert (PRN33 37) und eine (PRN1) wird aktuell für Tests genutzt. Die restlichen 31

7 1.3 Komponenten 3 sind allesamt an Satelliten vergeben welche zur Navigation eingesetzt werden. Des Weiteren befinden sich noch einige Satelliten im Umlauf die nicht mehr in Betrieb sind. Der neuste Satellit wurde am 28. Mai 2010 gestartet und ist seit dem 27. August im Einsatz. Die zur Zeit aktiven Satelliten haben ein Durchschnittsalter von gut neun Jahren.[Usno] Solarsegel versorgen die Satelliten mit Energie und laden Akkus für den Weg durch den Erdschatten auf. Jeder Satellit hat Rubidium- und Cäsiumatomuhren an Bord; meist jeweils zwei von jeder Sorte. Die Atomuhren müssen klein und energiesparend sein. Daher sind sie relativ ungenau (im Verhältnis zu hochpräzisen Atomuhren auf der Erde, die bis zu mal genauer sind) und haben eine Abweichung von einer Sekunde in Jahren. Weil die Atomuhren vom Kontrollsegment laufend synchronisiert werden, sind sie für den Zweck aber völlig ausreichend. Da die Empfangsgeräte passiv sind, kommunizieren die Satelliten mit ihnen unidirektional. Der Satellit als Sender kann also nicht explizit eine Verbindung zu den Empfangsgeräten aufbauen. Er kennt nicht mal die Empfänger, sondern sendet andauert via Broadcast(Broadcast, dt. Rundfunk: Eine Nachricht wird an alle möglichen Empfänger gesendet; der Sender muss nicht jeden Empfänger einzeln adressieren). Dies bringt den Vorteil mit sich, dass gleichzeitig beliebig viele Benutzer vorhanden sein können, ohne, dass das System überlastet. Die Satelliten besitzen mehrere kurze L-Band-Antennenstäbe um mit den Benutzern und eine lange S-Band-Antenne um mit dem Kontrollsegment zu kommunizieren 1. Die S-Band-Antenne kann Signale empfangen, der Satellit kommuniziert mit dem Kontrollsegment also bidirektional. Ein Satellit sendet u. a. seine eigene Uhrzeit, Ephemeriden- und Almanachdaten. Die Uhrzeit des Satelliten braucht der Empfänger um die Entfernung zu ihm zu bestimmen und somit die eigene Position zu berechnen. Die Ephemeridendaten werden benötigt um den Satelliten zu verfolgen. Sie enthalten präzise Angaben zur Umlaufbahn des einen Satelliten. In den Almanachdaten werden Informationen über das momentane Satellitensystem gespeichert, sodass der Empfänger durch sie ermitteln kann, welche Satelliten gerade sichtbar sind und welche nicht, und wenn ja wo sie sich in etwa befinden. Die Almanachdaten umfassen zwar alle Satelliten, sind aber ungenauer als die Ephemeridendaten.[KaHe] Kontrollsegment Die Hauptaufgabe des Kontrollsegments (OCS = operational control segment) ist die Synchronisation der Satellitenuhren und die Aktualisierung der Bahndaten der Satelliten. Das Kontrollsegment beobachtet dazu die Bewegung des im Funkkontakt stehenden Satelliten, berechnet dessen voraussichtlichen Bahndaten (Ephemeriden) und übermittelt sie dem Satelliten. 1 L-Band: Frequenzbereich 1 2 GHz; S-Band: Frequenzbereich 2 4 GHz

8 4 1 Die Funktionsweise des GPS Aus den aktuellsten Ephemeriden stellt es eine Tabelle mit ungenauen Bahndaten aller Satelliten zusammen und versendet diese an alle Satelliten. Diese Tabelle ist der bereits eingeführte Almanach. Das Kontrollsegment umfasst mehrere stationäre Einrichtungen auf der Erde, welche die Satelliten überwachen. Es besteht aus dem Hauptquartier (Master Control Station) im US-Bundesstaat Colorado, den sieben reinen Monitorstationen (Monitor Stations) und den drei Bodenkontrollstationen (Ground Control Stations bzw. Ground Antennas), wobei das Hauptquartier und die Bodenkontrollstationen gleichzeitig auch Monitorstationen sind. Das Hauptquartier wird von der US-Armee gesteuert. Es regelt zentral das gesamte System. Hierfür werden aus den L-Band-Signalen Daten an den Monitorstationen gesammelt. Diese Daten werden an das Hauptquartier geschickt und daraus Updates berechnet, welche dann über die Bodenkontrollstationen auf dem S-Band zu den Satelliten gesendet werden.[kahe] Zur Überwachung der Satellitenuhren befinden sich in jeder Monitorstation sehr genaue Atomuhren. Die Differenzen der beiden Uhren werden über einen längeren Zeitraum gesammelt. Das Hauptquartier bestimmt damit die Abdriftung der Satellitenuhren. Die Satelliten werden also nicht nur synchronisiert, sondern bekommen diesen Drift inklusive Synchronisationszeitpunkt übermittelt, sodass sie sich selbst korrigieren können.[mans] Benutzersegment Beim Benutzersegment handelt es sich um die Empfangsgeräte des GPS- Signals. Diese Geräte sind mobil, daher werden sie mit einem Akku betrieben. Sie empfangen über eine Antenne auf mehreren Kanälen Signale mehrerer Satelliten. Von der Antenne gelangt das Signal über den Vorverstärker zum Hochfrequenzsignalprozessor, der es weiter verstärkt und mit einem AD-Wandler digitalisiert. Er ermittelt auch die PRN-Nummer des Signals und ermöglicht somit die Zuordnung jedes Satelliten zu einem Empfangskanal. Jetzt kann der Datenstrom vom Mikroprozessor weiterverarbeitet werden. Er berechnet die Position und legt Bahndaten in einem Speicher ab. Da die Empfänger, wie bereits erwähnt, nur passiv sind, benötigen sie keine Hardware zum Aussenden von Signalen.[Zogg] Es werden zwar ziemlich hochwertige Quarzuhren zur Messung der Empfangszeit verwendet, die nur einige Sekunden im Monat abweichen. Doch, da elektromagnetische Wellen pro Sekunde km zurücklegen, bedeuten einige Sekunden Ungenauigkeit bei der Positionsbestimmung einige km Ungenauigkeit im Monat. Das sind einige km Ungenauigkeit pro Tag viel zu unpräzise für ein Ortungssystem. Selbst eine Abweichung von einer Mikrosekunde würde 300 m Ungenauigkeit bedeuten. Also sollten die Uhren schon im Nanosekundenbereich synchronisiert sein. Solch eine Präzision kann keine Quarzuhr gewährleisten. Atomuhren sind allerdings viel zu teuer und daher keine Alternative. Die Uhren sind in allen

9 1.4 Das Signal 5 Satelliten durch das Kontrollsegment synchronisiert. Daher sind alle Entfernungen zu den Satelliten um den gleichen Betrag verfälscht. Diese verfälschten Entfernungen heißen Pseudoentfernungen. Wie es dennoch nur mit Quarzuhren möglich ist, die Position zu bestimmen, wird im Abschnitt Positionsbestimmung erläutert. 1.4 Das Signal Die Satellitensignale sind elektromagnetische Transversalwellen. Sie werden dauerhaft ausgestrahlt, sind jedoch zu jedem Zeitpunkt anders. Diese Signale werden vom Endgerät empfangen und ausgewertet. Das Endgerät muss allerdings sehr sensibel sein, denn das Signal ist relativ schwach. Das erkennt man daran, dass der Empfang in Gebäuden, im dichten Wald oder in einem Tunnel stark eingeschränkt bis gar nicht möglich ist. Eine der Atomuhren im Satelliten fungiert u. a. als Oszillator und erzeugt eine harmonische Grundfrequenz f 0 = 10,23 MHz. Daraus werden die Trägerfrequenzen ( f L1 = 1575,42 Mhz bzw. f L2 = 1227,6 MHz) und der Takt für den Datencode mit 50 Hz generiert. Ursprünglich ist die L1-Frequenz f L1 auch zivil und die L2-Frequenz f L2 nur vom US-Militär nutzbar. Tatsächlich ist es so, dass seit sechs Jahren auch auf L2 zivil gesendet wird und dass zur Zeit ein neue Frequenz (L5) eingeführt wird. Die Trägerfrequenz f L1 wird nun in zwei Frequenzen geteilt. Zum einen in eine um 90 phasenverschobene ( f L1p ) und zum anderen in die ursprüngliche Frequenz ( f L1c ). Auf f L1c wird jetzt der C/A-Code(Coarse/Aquisition-Code) und der Datencode aufgebracht und wir erhalten f L1cc. Der Datencode enthält die Navigationsnachricht, also z. B. Bahninformationen. Eine Navigationsnachricht ist 1500 Bit lang, und wird in 30 Sekunden übertragen, die Datenübertragungsrate beträgt also 50 bit/s. Die phasenverschobene Frequenz f L1p wird jetzt mit einem P-Code (Precise-Code) und den selben Datencode wie f L1c versehen ( f L1pp ). Zum Schluss werden f L1pp und f L1cc einfach überlagert und versendet. Auf der L2-Frequenz geschieht dasselbe, mit dem Unterschied, dass es keinen C/A-Code gibt und somit nur ein um 90 verschobenes, mit dem P-Code moduliertes Signal entsteht. Für das Militär ist es besonders wichtig, dass niemand vorgetäuschte GPS-Signale versenden kann um die Empfänger in die Irre zu führen. Um solche Manipulationen (spoofing) abzuwehren wird der P-Code durch eine Überlagerung mit einem W- Code verschlüsselt. Daraus entsteht der Y-Code, der dann versendet wird. Dies nennt man anti-spoofing(as). AS führt allerdings zu einem stärkeren Rauschen. Da zivile Anwender den Y-Code nicht entschlüsseln können, können sie den P-Code nicht verwenden. Im Folgenden wird es deshalb vor allem um die mit dem C/A-Code modulierte L1-Frequenz gehen, da sie für uns relevanter ist.

10 6 1 Die Funktionsweise des GPS Jeder PRN-Nummer wird ein eigener C/A-Code zugeordnet. Die Überlagerung mit der C/A-Code-Welle ist also dieses pseudozufällige Rauschen, welches jeden Satelliten identifiziert. Der Empfänger schlägt sobald er die PRN-Nummer ermittelt hat in der Tabelle mit den Almanachdaten nach und liest dort die ungefähre Position des Satelliten aus. Die anschließend aufmodulierte Navigationsnachricht enthält Informationen wie Satellitenzeit und Bahndaten. Die Nachricht ist Bits lang, die Übertragung dauert bei 50 bit/s also 12,5 Minuten. Ein Kaltstart dauert daher mehrere Minuten, die ersten Positionsdaten (Ephemeriden) sind nach 30 Sekunden vollständig übermittelt.[kami] 1.5 Funktionsweise Positionsbestimmung geometrische Betrachtung Zur Positionsbestimmung verwendet man den räumlichen Bogenschnitt (Trisphäration). Alle Positionen die einen bestimmten Abstand zu einem Satelliten haben, kann man sich als Kugelfläche mit dem Abstand als Radius um den Satelliten vorstellen. Die Schnittfläche zweier Kugeln ist ein Kreis. Nimmt man eine dritte Kugel hinzu, so schneiden sich die Kugeln in genau zwei Punkten. Von den beiden Punkte ist derjenige der gesuchte, der sich unterhalb der Satelliten Richtung Erde befindet. Allerdings ist, wie bereits erwähnt, die Uhr im Empfänger ungenau und die Empfangszeit kann nicht genau genug gemessen werden. Das heißt die Radien der Kreise sind nur Pseudoentfernungen und weichen alle um einen unbekannten aber gleichen Betrag ab. Um diesen Uhrenfehler zu eliminieren und somit einen eindeutigen Punkt zu erhalten nimmt man einfach einen vierten Satelliten hinzu. Damit GPS weltweit rund um die Uhr funktioniert, ist somit die Anforderung an das Satellitensystem, dass zu jeder Zeit, an jeder Position der Erde, unabhängig von äußeren Bedingungen, garantiert mindestens vier Satelliten sichtbar sind. analytische Betrachtung Vier Satelliten Für jeden Satelliten lässt sich eine Gleichung aufstellen. Vier Unbekannte, die drei Raumkoordinaten des Empfängers und die Laufzeitverfälschung t in allen Pseudoentfernungen, sind gesucht. Bei vier Satelliten erhält man ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen und somit eine eindeutige Lösung. Die drei gesuchten Raumkoordinaten liegen in einem kartesischen dreidimensionalen Koordinatensystem. Der Koordinatenursprung ist hierbei der

11 1.5 Funktionsweise 7 Erdmittelpunkt. Die x-achse schneidet die Erdoberfläche im Schnittpunkt von Äquator und Nullmeridian, die y-achse schneidet den Äquator bei 90 östlicher Länge und die z-achse geht durch den geografischen Nordpol. Der Empfänger möchte die Entfernung zu vier verschiedenen Satelliten Sat 1, Sat 2, Sat 3 und Sat 4 bestimmen, um seine Position (x em, y em, z em ) zu ermitteln. Die gemessenen Signallaufzeiten t gemi dabei bezieht sich i N, 1 i 4, hier und im Folgenden immer auf den jeweiligen Satelliten multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit c ergeben die Pseudoentfernungen pr i. pr i = t gemi c (1.1) Subtrahiert man von der gemessenen Signallaufzeit die Differenz von Satelliten- und Empfängeruhr t D, so erhält man die tatsächliche Laufzeit t i. Da alle Atomuhren in den Satelliten über die Bodenkontrollstation synchronisiert sind, ist t D für alle Satelliten gleich. t i = t gemi t D Durch Einsetzen von (1.2) in (1.1) ergibt sich: t gemi = t i + t D (1.2) pr i = ( t i + t D ) c = t i c + t D c (1.3) Hierbei entspricht t D c dem Uhrenfehler und t i c die wirkliche Entfernung r i. Die Positionen (x i, y i, z i ) der Satelliten sind dem Empfänger anhand der Ephemeriden ziemlich genau bekannt. Wäre auch die Position des Empfängers bekannt, so könnte man also r i mithilfe des euklidischen Anstands berechnen. t i c = r i = (x i x em ) 2 + (y i y em ) 2 + (z i z em ) 2 (1.4) Somit erhält durch Einsetzen von (1.4) in (1.3) folgende Formel zur Berechnung der Pseudoentfernung: pr i = (x i x em ) 2 + (y i y em ) 2 + (z i z em ) 2 + t D c (1.5) Es ergibt sich also ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen und den vier Unbekannten x em, y em, z em und t D. Sat 1 : pr 1 = (x 1 x em ) 2 + (y 1 y em ) 2 + (z 1 z em ) 2 + t D c Sat 2 : pr 2 = (x 2 x em ) 2 + (y 2 y em ) 2 + (z 2 z em ) 2 + t D c Sat 3 : pr 3 = (x 3 x em ) 2 + (y 3 y em ) 2 + (z 3 z em ) 2 + t D c Sat 4 : pr 4 = (x 4 x em ) 2 + (y 4 y em ) 2 + (z 4 z em ) 2 + t D c

12 8 1 Die Funktionsweise des GPS In der Praxis lösen die Empfangsgeräte dieses Gleichungssystem nicht durch eine geschlossene Formel, sondern nähren sich durch iterative Approximationsverfahren der Lösung an. Dazu eignet sich die Taylor-Entwicklung. Die unendliche Taylorreihe entwickelt nach x 0 berechnet sich folgendermaßen: f (x) = k=0 f (k) (x 0 ) ( x) k k! x = (x x 0 ) Zum iterativen linearisieren benötigt man nur das erste Taylorpolynom. f (x) = f (0) (x 0 ) 0! ( x) 0 + f (1) (x 0 ) ( x) 1 = f (x 0 ) + f (x 0 ) x 1! Um gegen die gesuchte Position konvergieren zu können, muss man zuerst einen Startpunkt (x emca, y emca, z emca ) festlegen. Die Werte der Startkoordinaten kann man beliebig wählen, man sollte sie allerdings möglichst so schätzen, dass sie nahe der gesuchten Position liegen. Die GPS- Empfangsgeräte wählen dazu gewöhnlich die zuletzt registrierte Position. So kommt es, dass, wenn man das Gerät an einem weit entfernten Ort wieder in Betrieb nimmt, die initiale Positionsbestimmung etwas länger dauert. Wenn man (1.4) entsprechend anpasst, erhält man für den geschätzten Pseudoabstand pr ica : pr ica = r ica + c t D pr ica = (x i x emca ) 2 + (y i y emca ) 2 + (z i z emca ) 2 + c t D (1.6) Die geschätzten Koordinaten haben dabei einen Fehler um x, y bzw. z. Jetzt wird in (1.6) die Wurzel an den Stellen x emca, y emca und z emca linearisiert und in die Formel für die Pseudoentfernung eingesetzt. pr ica = r ica + r i ca x x + r i ca y y + r i ca z z + c t D = r ica + x em ca x i r ica pr ica r ica = x em ca x i r ica x + y em ca y i r ica x + y em ca y i r ica y + z em ca z i r ica z + c t D y + z em ca z i r ica z + c t D (1.7) Nun lässt sich für die unbekannten Größen x, y, z und t 0 eine Matrixgleichung aufstellen.

13 1.5 Funktionsweise 9 x emca x 1 pr 1ca r r 1ca 1ca x y emca y 1 r 1ca y z emca z 1 r 1ca z c t D x pr 2ca r 2ca pr 3ca r 3ca = emca x 2 r 2ca x y emca y 2 r 2ca y z emca z 2 r 2ca z c t D x emca x 3 r 3ca x y emca y 3 r 3ca y z emca z 3 r 3ca z c t D pr 4ca r 4ca x emca x 4 r 4ca x y emca y 4 r 4ca y z emca z 4 r 4ca z c t D x emca x 1 y emca y 1 z emca z 1 pr 1ca r r 1ca 1ca r 1ca r c 1ca x pr 2ca r 2ca pr 3ca r 3ca = emca x 2 y emca y 2 z emca z 2 x r 2ca r 2ca r 2ca c x emca x 3 y emca y 3 z emca z 3 r 3ca r 3ca r 3ca c y z pr 4ca r 4ca x emca x 4 y emca y 4 z emca z 4 t r 4ca r 4ca r c D 4ca x emca x 1 y emca y 1 z emca z 1 1 x r 1ca r 1ca r c 1ca x y z = emca x 2 y emca y 2 z emca z 2 pr 1ca r 1ca r 2ca r 2ca r 2ca c x emca x 3 y emca y 3 z emca z 3 r 3ca r 3ca r 3ca c pr 2ca r 2ca pr 3ca r 3ca (1.8) t D x emca x 4 y emca y 4 z emca z 4 pr r 4ca r 4ca r c 4ca r 4ca 4ca Aufgrund der erhaltenden Werte für x, y und z kann man jetzt die aktuelle Position des Empfängers besser einschätzen (k = Anzahl der bisherigen Iterationen): x emcak+1 = x emcak + x y emcak+1 = y emcak + y z emcak+1 = z emcak + z (1.9) Mit den neu approximierten Werten kann man die obige Berechnung (1.8) durchführen und (1.8) und (1.9) solange wiederholen bis die Abweichung genügend klein ist.[zogg] Beliebig viele Satelitten In der Praxis empfangen die Anwender jedoch Signale von beliebig vielen, meist mehr als vier, Satelliten. Bei weniger als vier Satelliten gibt es keine eindeutige Lösung. Registriert der Empfänger Signale auf mehr als vier Kanälen, so erhält er ein überbestimmtes Gleichungssystem und kann alle n Satelliten durch eine Ausgleichsrechnung mit einbeziehen.

14 10 1 Die Funktionsweise des GPS x y z t D = x emca x 1 r 1ca x emca x 2 y emca y 1 r 1ca y emca y 2 z emca z 1 r 1ca z emca z 2 r 2ca x emca x 3 r 2ca y emca y 3 r 2ca z emca z 3 r 3ca x emca x 4 r 3ca y emca y 4 r 3ca z emca z 4 r 4ca r 4ca r 4ca. x emca x n r nca. y emca y n r nca. z emca z n r nca c c c c. c 1 pr 1ca r 1ca pr 2ca r 2ca pr 3ca r 3ca pr 4ca r 4ca. pr nca r nca m = H 1 p (1.10) In (1.10) ist eine einfachere Darstellung der Matrixgleichung angegeben. Jetzt wendet man auf m die Methode der kleinsten Quadrate an. Dies ist eine Schätzmethode, welche davon ausgeht, dass man eine optimale Lösung erhält, wenn man die Summe der Quadrate der Fehleinschätzungen minimiert. Konkret heißt das hier, dass man von der Summe der Quadrate von m, die erste Ableitung bildet, mit Null gleichsetzt und an dieser Stelle m berechnet. Das Ergebnis hierfür ist: m = (H T H) 1 H T p Von hier aus kann man wieder iterieren. Iterationen haben den Vorteil, dass das mobile Endgerät nicht viel Speicher benötigen, da nur die Koordinaten der zuletzt berechneten Position gespeichert werden müssen. Außerdem konvergiert der Schätzfehler gegen Null und die Position kann beliebig genau bestimmt werden 2.[GrSh, Xugu] Positionsbestimmung durch Phasenmessung der Trägerwelle Zusätzlich kann der Empfänger mit dem C/A-Code die Signallaufzeit messen, indem er die Phasenverschiebung zwischen einem im Gerät erstellten, erwarteten Signal und dem ankommenden Signal misst. Damit ist eine genaue aber mehrdeutige Bestimmung der Laufzeit möglich, da sich der C/A-Code jede Millisekunde wiederholt. (Denn dieser ist 1023 Chips lang und hat eine Frequenz von 1,023 MHz. 1 Chip = 1 Bit, es wird hier der Begriff Chips verwendet, da es sich nicht um Nutzdatenbits handelt.) Einfacher gesagt: Das Empfangsgerät weiß exakt wo es sich auf irgendeiner Welle, aber nicht auf der wievielten Welle vom Satelliten aus gesehen befindet. Hingegen ist mit dem P-Code eine präzise Messung möglich, da er sich nur alle 267 Tage wiederholt und somit Mehrdeutigkeiten ausgeschlossen sind der C/A-Code und P-Code sind also danach benannt, wie genau aus deren Messung die Laufzeit bestimmt werden kann.[seeb] 2 Wenn es nicht weitere Fehler gäbe, siehe 1.6 Fehlerquellen und Verbesserungen

15 1.6 Fehlerquellen und Verbesserungen Geschwindigkeitsbestimmung mit dem Dopplereffekt Eine sehr präzise Geschwindigkeitsmessung, selbst in Kurven und in der Vertikalen, ist durch den Dopplereffekt möglich. Der Dopplereffekt entsteht durch Relativbewegung zwischen Sender und Empfänger. Verringert sich die Entfernung zwischen beiden, registriert der Empfänger mehr Wellen pro Sekunde, die Frequenz erhöht sich also. Bewegen sich beide voneinander weg, dann verringert sich die Frequenz. Der Empfänger kennt die relative Satellitengeschwindigkeit und die eigentliche C/A-Code-Frequenz der zu empfangenden Welle. Durch Messung der tatsächlichen Frequenz kann er aus der Differenz seine Geschwindigkeit berechnen. Der durchschnittliche Messfehler bei dieser Technik liegt bei lediglich 0,05 m/s. Allerdings erscheint die Messung bei den meisten GPS-Empfänger träge. Dies liegt aber daran, dass nur alle eins bis fünf Sekunden gemessen wird, um die Akkulaufzeit nicht zu sehr zu vermindern. Die Geschwindigkeit wird also nicht über die Positionsänderung in einer Zeit berechnet. Auch für die Positionsbestimmung ist der Dopplereffekt hilfreich. Hat das Endgerät erstmal die aktuelle Position genau bestimmt, so kann es einfach aus Geschwindigkeit und Zeit die relative Positionsänderung bestimmen. Letztendlich bleibt es dem Hersteller der Endgeräte überlassen, wie die Positionsbestimmung abläuft.[seeb] 1.6 Fehlerquellen und Verbesserungen Die größte Fehlerquelle beim GPS ist zweifelsohne die Abweichung der Quarzuhr im Empfänger von der Satellitenzeit. Daher wird die Quarzuhr, wie bereits oben erklärt, bei der Positionsbestimmung gleich mitsynchronisiert. Es gibt aber noch viele weitere Fehlerquellen, welche ihre Ursachen generell im Satelliten, in der Atmosphäre und im Empfänger haben können. Ein Satellit kann von seiner berechneten Bahn abweichen. Obwohl das Kontrollsegment die Ephemeriden sobald wie möglich aktualisiert, ist die Position eines Satelliten nur in etwa eins bis fünf Meter genau bekannt. Auch die Konstellation der Satelliten hat eine Auswirkung auf die Genauigkeit. Ein Satellit der sich in einem hohen Winkel am Himmel befindet, trägt mehr dazu bei, dass die Höhe, ein Satellit im flachen Winkel, dass die horizontale Position genauer bestimmt wird. Eine gute Verteilung der Satelliten ist für die Uhrenkorrektur notwendig. Am 2. Mai 2000 (MESZ) verbesserte sich für zivile Anwender die Ungenauigkeit von ca. 100 m auf ca. 12 m. Der Grund dafür war, dass die USA das Signal ab dem Tag nicht mehr künstlich verfälschte. Dies taten sie damit verfeindetes Militär oder Terroristen GPS nicht für gezielte Angriffe nutzen konnten. Diese gewollte Ungenauigkeit nennt sich SA (Selective Availability). Technisch wurde SA umgesetzt indem das Kontrollsegment die Ephemeridendaten manipulierte und der C/A-Code mit einem

16 12 1 Die Funktionsweise des GPS Jitter übertragen wurde. Ein Jitter ist eine zeitliche Schwankung des Taktes bzw. der Übertragungsverzögerung(also der Signallaufzeit). Die USA behält sich jedoch vor SA wenn nötig zumindest regional wieder zu aktivieren. Um dieser Abhängigkeit zu entgehen entwickeln einige Staaten(-verbunde) zur Zeit eigene Satellitennavigationssysteme (Glonass von Russland, Compass von China, Galileo von der EU). Auch relativistische Effekte haben einen Einfluss. Nach der speziellen Relativitätstheorie vergeht die Zeit in einem im Bezug zum eigenen Initialsystem sich bewegenden Initialsystem langsamer. Nach der allgemeinen Relativitätstheorie vergeht die Zeit in einem Initialsystem welches einem geringerem Gravitationsfeld ausgesetzt ist jedoch schneller. Die Satelliten haben eine hohe Geschwindigkeit und die Erdgravitation ist km über der Erde deutlich geringer. Beide Effekte heben sich nicht auf, sondern der Einfluss der Gravitation auf die Zeit ist größer, sodass ein Tag im Satelliten gut 30 µs kürzer ist, was einen Ĺaufzeitfehler von zehn Kilometern pro Tag zu Folge hat. Dieser Fehler wird allerdings dadurch vollkommen beseitigt indem die Grundfrequenz der Atomuhren (10,23 MHz) leicht nach unten korrigiert wird, sodass sie von der Erde aus wieder wie 10,23 MHz erscheint. Außerdem lassen sich die Atomuhren durch den von der Kontrollstation berechneten Uhrendrift korrigieren. In der Atmosphäre gibt es ionosphärische und troposphärische Störungen. Die Ionosphäre liegt in einer Höhe von km und die Troposphäre ist die unterste Luftschicht(0 km bis je nach Jahreszeit und Breitengrad 2 18 km Höhe). Durch die energiereiche ultraviolette Strahlung der Sonne entstehen viele positiv geladene Ionen und freie Elektronen in der Ionosphäre. Diese freien Ladungsträger bilden verschiedenartige Schichten. Die Übergänge zwischen den Schichten führen zu Wechselwirkungen mit den elektromagnetischen Wellen des GPS-Signals. Es wird dabei gedämpft und gebrochen. Durch die mehrfache Brechung des Signals verlängert sich der zurückzulegende Weg und damit dessen Laufzeit. Die ionosphärischen Effekte sind vor allem vom momentanen Abstand der Erde zur Sonne, von der Tageszeit und von der momentanen Größe der Sonnenflecken abhängig. Troposphärische Einflüsse sind Wetterbedingungen wie z. B. Luftdruck, Temperatur und Luftfeuchtigkeit. Ähnlich wie in der Ionosphäre entstehen Luftschichten mit unterschiedlichen Eigenschaften, in der Troposphäre jedoch mit unterschiedlicher Dichte. Das Signal wird dadurch gebrochen und kann beispielsweise bei sehr starkem Schneefall gedämpft werden. Außerdem nimmt die Geschwindigkeit des Signals immer weiter mit der größer werdenden Dichte der Luft ab (was ja der eigentliche Grund für die Brechung in der Troposphäre ist). Die Trägerfrequenzen L1 und L2 wurden so gewählt, dass die atmosphärischen Einflüsse möglichst klein sind. Würde man die Trägerfrequenz ab etwa 5 GHz nehmen, würde das Signal in der Troposphäre so stark gedämpft werden, dass man Richtantennen bräuchte, was sehr ungünstig bei

17 1.7 Fazit 13 sich bewegenden Satelliten ist. Im Gegensatz dazu ist bei tiefen Frequenzen (<100 MHz) die ionosphärische Verzögerung zu hoch. Des Weiteren braucht man eine große Bandbreite von etwa 20 MHz um die C/A-Codes aufzumodulieren und die war in diesem Bereich verfügbar. Das Empfangsgerät geht normalerweise davon aus, dass es das Signal direkt ohne Umwege erhält. Allerdings gibt es auch terrestrische Reflexionen. Dabei werden die elektromagnetische Wellen an Oberflächen, beispielsweise an nahen und hohen Gebäuden, reflektiert und folglich ergibt sich im Endgerät ein Mehrwegeempfang. Das reflektierte Signale hat eine längere Laufzeit aber die gleiche PRN-Nummer und überschattet so das direkte Signal. Es kommt zu einem erhöhten Rauschen. Wenn nur das reflektierte Signal empfangen wird und das direkte überhaupt nicht, so wird der Abstand zum Satelliten natürlich vollkommen fehlinterpretiert. Eine Verbesserung von GPS stellt Differential GPS (DGPS) dar. Bei DGPS befinden sich Referenzstationen an bekannten Orten, sodass atmosphärische Störungen und Satelliteneinflüsse erkannt und eliminiert werden können. Dabei wird die Differenz aus errechneter Position und bekannter Position der Referenzstation dem Empfänger gesendet. Der wiederum kann mithilfe dieser Differenz empfangene Signale von den Satelliten korrigieren. Die erforderlichen Daten werden von der Referenzstation zum Empfänger über das Internet, über einen geostationären Satelliten oder GSM übertragen. Dadurch erhöht sich die Genauigkeit von etwa zwölf Metern auf zehn Zentimeter bis einen Meter, je nach Entfernung zur Referenzstation.[Mans, KaHe, Xugu] 1.7 Fazit Der Empfänger bestimmt also iterativ seine Position indem er die Signale von mindestens vier Satelliten auswertet. Dabei berechnet er aus den Signallaufzeiten seine eigene Position. Da es einige Fehlerquellen gibt, kann die Position nicht exakt bestimmt werden. Je nach Aufwand kann man aber eine gute Genauigkeit erreichen. Es gibt noch weitere Methoden, als die hier vorgestellten, mit denen die Position sogar millimetergenau ermittelt werden kann. Diese sind aber für den eigentlichen Zweck, der Navigation, nicht notwendig bzw. unverhältnismäßig schwer realisierbar. Die Navigation mittels Satelliten hat sich bewährt. Jedoch besteht bei der Nutzung des GPS immer eine Abhängigkeit von den USA. Frühstens 2013 wird daher Galileo nutzbar sein, das erste Satellitennavigationssystem das in Europa in Konkurrenz zu GPS steht. Es soll eine deutlich bessere Navigation ermöglichen. Als Reaktion auf Galileo wird zur Zeit bei GPS die neue L5- Frequenz eingeführt. Wer davon auf jeden Fall profitiert ist der Benutzer, der in Zukunft mit einem Gerät unter Nutzung von zwei Satellitensystemen noch genauer und zuverlässiger navigieren kann.

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19 Literaturverzeichnis Seeb. Seeber, Günter: Satellitengeodäsie (Gruyter 1989); Xugu. Xu, Guochang: GPS. Theory, Algorithms and Applications (Springer 2003); Mans. Mansfeld, Werner: Satellitenortung und Navigation. Grundlagen und Anwendung globaler Satellitennavigationssysteme (Vieweg+Teubner 2004); Zogg. Zogg, Jean-Marie: GPS und GNSS: Grundlagen der Ortung und Navigation mit Satelliten(Thalwil 2009) GrSh. Grafarend, Erik u. Shan, Jeffrey: GPS Solutions: Closed Forms, Critical and Special Configurations of P4P. (Springer 2002) Kami. Kaminski, Paul: Global Positioning System, Standard Positioning Service, Signal Specification (U. S. DoD 1995) KaHe. Kaplan, Elliott u. Hegarty, Christopher: Understanding GPS (Artech House 1996) Usno. United States Naval Observatory GPS Constellation Status, Stand: , letztes Update: ; ftp://tycho.usno.navy.mil/pub/ gps/gpstd.txt