Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008

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1 Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin

2 1 Hausaufgaben vom Zahlentheorie 1 Aufgabe 1.1 Berechne die (quadratischen) Multiplikationstabellen modulo 5 und modulo 7. Aufgabe 1.2 Sei a p a q 1 (mod n) mit p > q. Zeige, dass auch Aufgabe 1.3 a (p q) 1 (mod n). Zeige, dass man für jede Primzahl p 2, 5 eine n.te Potenz von 10 findet, sodass 10 n 1 (mod p). 1

3 2 Hausaufgaben vom Zahlentheorie 2 Aufgabe 2.1 Finde den Rest von bei Division durch 29. Aufgabe 2.2 Sei a eine durch 17 nicht teilbare natürliche Zahl. Zeige, dass entweder a 8 1 oder a durch 17 teilbar ist. Aufgabe 2.3 Sei p eine Primzahl, und sei a nicht teilbar durch p. Sei n die kleinste natürliche Zahl, sodass a n 1(mod p) gilt. Zeige, dass n ein Teiler von p 1 ist. 2

4 3 Hausaufgaben vom Zahlentheorie 3 Aufgabe 3.1 Sei p eine Primzahl. Zeige, dass für beliebige ganze Zahlen a, b gilt: Aufgabe 3.2 (a + b) p a p + b p (mod p). Seien p und q zwei verschiedene Primzahlen. Zeige Aufgabe 3.3 p q + q p p + q (mod pq). Seien a, k, l, n positive ganze Zahlen und es gelte a k a l 1 (mod n). Zeige, dass a ggt(k,l) 1 (mod n), wobei ggt(k, l) der größte gemeinsame Teiler von k und l ist. 3

5 4 Hausaufgaben vom Zahlentheorie 4 - RSA-Verfahren (Open Key - Verschlüsselung) Aufgabe 4.1 Seien p und q zwei verschiedene Primzahlen und a eine nicht durch p und q teilbare natürliche Zahl. Zeige Aufgabe 4.2 Finde eine ganze Zahl d, sodass a (p 1)(q 1) 1 (mod pq). 7d 1 (mod 160). Hinweis: Benutze den erweiterten Euklidischen Algorithmus für 7x + 160y = 1. Aufgabe 4.3 Die Daten einer RSA-Kodierung sind (Bezeichnungen wie im Zirkel): p = 17, q = 11, N = 187, e = 7 (geheim) (öffentlich). Von einem Klienten habt ihr den verschlüsselten Geheimtext bekommen. Entschlüssele den Text. C = 11 4

6 5 Hausaufgaben vom Zahlensysteme 1 Aufgabe 5.1 Schreibe die Zahl 2007 im Zahlensystem zur Basis N (das heißt es gibt N Ziffern 0, 1,..., N 1) für a) N=2, (Binärzahlen; die Ziffern sind 0, 1) b) N=11, c) N=16, (Hexadezimalzahlen; die Ziffern sind 0,..., 9, A, B, C, D, E, F ). Welches ist die kleinste Zahl N, für die die arabischen Ziffern 0,..., 9 nicht reichen, um 2007 zur Basis N zu schreiben, sodass man zusätzliche Symbole einführen muss? Aufgabe 5.2 Was ist hier geschrieben? a) b) 4D D B 5

7 6 Hausaufgaben vom Zahlensysteme 2 Aufgabe 6.1 Stelle eine Vervollständigungs-Aufgabe. Möglichst viele Daten (insbesondere das Zahlensystem) sollen unbekannt sein, aber die Lösung muss eindeutig sein. Aufgabe 6.2 Seien a eine Zahl im Zahlensystem zur Basis n und m ein Teiler von n. Wann ist a teilbar durch m, wann durch m k? Aufgabe 6.3 Wie kann man gerade Zahlen im Zahlensystem zur Basis 3 charakterisieren? 6

8 7 Hausaufgaben vom Kosinussatz Aufgabe 7.1 Sei ABC ein Dreieck mit Seitenlängen AB = 4, BC = 5 und AC = 6. Berechne cos( BCA) und sin( BCA). Aufgabe 7.2 Zeige, dass in jedem Parallelogramm gilt: Die Summe der Quadrate der Seitenlängen ist gleich der Summe der Quadrate der Diagonalen. Aufgabe 7.3 Berechne cos π 5. Hinweis: Verwende die Diagonalenlängen im regelmäßigen Fünfeck. 7

9 8 Hausaufgaben vom Aufgabe 8.1 Stelle eine Formel für den Flächeninhalt S eines Dreieckes auf, wenn nur die Seitenlänge c und die Größen α, β der anliegenden Winkel bekannt sind. Aufgabe 8.2 Sei ABCD ein Quadrat der Seitenlänge 1. Auf der Seite AB wird ein gleichseitiges Dreieck ABK konstruiert, sodass der Punkt K im Quadrat liegt. a) Finde die Länge der Strecke CK. b) Zeige das KCD = 15 gilt und berechne damit cos 15 und sin 15. D K C A B Aufgabe 8.3 Beweise die folgende Formel für die Länge einer Winkelhalbierenden: l 2 a = bc(a + b + c)( a + b + c) (b + c) 2. 8

10 9 Hausaufgaben vom Aufgabe 9.1 Finde die Fläche des Dreiecks OAB mit Eckkoordinaten O(0, 0), A(5, 8), B(8, 13). Ist das Dreieck OAB positiv oder negativ orientiert? Aufgabe 9.2 Zeige, dass für sin α 0 gilt. cos α cos 2α cos 4α cos 2 n α = sin 2n+1 α 2 n sin α Aufgabe 9.3 Sei l die Gerade mit der Gleichung ay bx = 0 und sei P der Punkt mit Koordinaten (c, d). Zeige, dass der Abstand von P nach l durch die Formel berechnet werden kann. d(p, l) = ad bc a2 + b 2 9

11 10 Hausaufgaben vom Aufgabe 10.1 Berechne mit Hilfe der Additionstheoreme cos 15 und sin 15. Aufgabe 10.2 Beweise die Identitäten sin α + sin(α ) + sin(α 120 ) = 0, cos α + cos(α ) + cos(α 120 ) = 0. Aufgabe 10.3 a) Drücke cos 3α durch cos α aus. b) Finde mit Hilfe von a) ein kubisches Polynom mit cos 20 als einer Nullstelle. 10

12 11 Hausaufgaben vom Aufgabe 11.1 Schreibe die jeweils erste Ziffer nach dem Komma von den Zahlen sin 1, sin 2,..., sin 10 auf (das Winkelmaß ist im Bogenmaß angegeben). Ist die Folge der ersten Nachkommaziffern von (sin n) periodisch? Aufgabe 11.2 Man betrachte die Folge der Wörter A AB ABA ABAAB ABAABABA Hier entsteht jedes nächste Wort aus dem vorherigen nach der folgenden Regel: jeder Buchstabe B wird durch A ersetzt, jeder Buchstabe A durch die Kombination AB. a) Wie viele Buchstaben A und wie viele Buchstaben B enthält das n-te Wort? b) Zeige, dass das n-te Wort mit dem (n 1)-ten beginnt. Somit entsteht ein unendliches Wort W : ABAABABAABAAB... c) Was ist der relative Anteil an Buchstaben A im Wort W? d) Zeige, dass das Wort W nicht periodisch ist. e) Trotzdem ist W ziemlich gleichförmig: Zeige, dass jedes Teilstück in W unendlich oft vor kommt. 11

13 12 Hausaufgaben vom Trigonometrie Aufgabe 12.1 Zeige: Aufgabe 12.2 tan α + tan β tan(α + β) = 1 tan α tan β, tan α tan β tan(α β) = 1 + tan α tan β. Zeige, dass für beliebige Punkte A, B, C eines quadratischen Gitters die Zahl tan( ABC) rational ist. Aufgabe 12.3 Gibt es ein gleichseitiges Dreieck, sodass alle seine Ecken auf einem quadratischen Gitter liegen? 12

14 13 Hausaufgaben vom Komplexe Zahlen 1 Aufgabe 13.1 Bringe die folgenden komplexen Zahlen zur kanonischen Form z = x + iy: a) (1 + i) 1000 b) i c) i 13

15 14 Hausaufgaben vom Komplexe Zahlen 2 Aufgabe 14.1 Beschreibe die Drehung um den Winkel π 2 den Punkt z 0 = 1. in die positive Drehrichtung um Aufgabe 14.2 Beschreibe den Kreis vom Radius 1 mit dem Zentrum z 0 = 1 in der komplexen Ebene. Aufgabe 14.3 Die Spiegelung an der reellen Achse ist gegeben durch z z. Finde die entsprechende Formel für die Spiegelung an der imaginären Achse. 14

16 15 Hausaufgaben vom Komplexe Zahlen 3 Aufgabe 15.1 Berechne die Seitenlänge eines in den Einheitskreis einbeschriebenen regelmäßigen 17-Ecks. Aufgabe 15.2 Finde die Darstellung für cos 4ϕ durch cos ϕ. Aufgabe 15.3 Über zwei Seiten eines beliebigen Dreiecks werden außerhalb des Dreiecks Quadrate konstruiert. Zeige, dass die Strecken von den Mittelpunkten der Quadrate zum Seitenmittelpunkt der anderen Seite die gleiche Länge haben und senkrecht aufeinander stehen. 15

17 16 Hausaufgaben vom Aufgabe 16.1 Zeige, dass die affinen Transformationen z az + b (a, b C, a 0) eine Gruppe bilden. Aufgabe 16.2 Finde die Inverse für die Euklidische Transformation z e ϕ z + a (a, e φ C, e φ = 1). Aufgabe 16.3 Wie viel Zeit braucht man intuitiv, um zwei hundertstellige Zahlen zu addieren? Wie lange würde man womöglich benötigen, um sie zu multiplizieren? 16

18 17 Hausaufgaben vom Aufgabe 17.1 Zeige: log 2 10 < Aufgabe 17.2 Auf einem Taschenrechner funktionieren nur die Tasten für Addition, Subtraktion, Cosinus und Arcuscosinus. Die Taste für Division funktioniert nur, wenn man durch 2 teilt. Wie kann man mit diesem Taschenrechner die Multiplikation zweier Zahlen durchführen? Aufgabe 17.3 Zeige, dass es für jedes n eine Zweierpotenz gibt, die mit 1 00 } {{... 0} beginnt. n 17

19 18 Hausaufgaben vom Aufgabe 18.1 Ein Geheimagent soll der Zentrale einen Schlüssel übermitteln. Der Schlüssel ist eine Zahl zwischen 1 und N. Die Übermittlung erfolgt binär: jede Sekunde wird ein Signal mit Wert 0 oder 1 gesendet. Wie lange wird die Übertragung höchstens dauern? Aufgabe 18.2 Zeige, dass bei allen genügend großen n gilt: a) 2 n > n 2008 ; b) log 2 n < n ; c) (log 2 n) 2008 < n Aufgabe 18.3 a) Welche Zahl ist größer: oder 3 1 3? b) Welche Zahl ist am größten: 2 1 2, oder ( ) 2 5 5? 2 18

20 19 Hausaufgaben vom Aufgabe 19.1 Zeige, dass es eine natürliche Zahl N gibt, so dass n! > 1000 n für alle n > N gilt. Aufgabe 19.2 Sei P (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ein kubisches Polynom mit a > 0. a) Zeige, dass es Zahlen X + und X gibt, sodass P (x) > 0 für alle x > X + und P (x) < 0 für alle x < X gilt. b) Zeige, dass es ein x gibt, sodass P (x) = 0 gilt. Jede kubische Gleichung hat also mindestens eine Lösung, im Gegensatz zu einer quadratischen. Aufgabe 19.3 Welche Zahl ist größer: 2 oder log 2 3 log 3 4? 19

21 20 Hausaufgaben vom Aufgabe 20.1 Sei und sei a n 0 für alle n. Zeige: Aufgabe 20.2 Konvergiert die Reihe a) ? b) 1 log log log ? Aufgabe 20.3 Sei lim a n =: a 0, n lim n 1 a n = 1 a. a 1 = 1, a n+1 = a n + 1 a n für alle n 1. Konvergiert die Folge (a n )? 20

22 21 Hausaufgaben vom Aufgabe 21.1 Zeige, dass die unten angegebenen Folgen konvergieren und berechne ihren Grenzwert. a) a 1 = 1, a n+1 = 1 + a n für alle n 1 ; b) a n = n 2 + n n ; c) a n = n n. Aufgabe 21.2 Berechne die Grenzwerte der Reihen: a) ; b) ; c)

23 22 Hausaufgaben vom Aufgabe 22.1 Zeige, dass die Reihe ! + 1 2! + 1 3! + konvergiert. Aufgabe 22.2 Sei a 1 = 0, a n+1 = n 1 n a n + 1 n für alle n 1. Konvergiert die Folge (a n )? Aufgabe 22.3 Wie lautet die Newtonsche Binomformel: (1 + x) n = ? 22

24 Hausaufgaben für die Sommerferien 2008 Aufgabe S.1 Konvergiert die Reihe (im Zähler stehen Fibonacci-Zahlen)? Wenn ja, was ist der Grenzwert dieser Reihe? Aufgabe S.2 Man teilt ein konvexes n-eck mit Diagonalen so in Dreiecke auf, dass keine zwei Diagonalen sich schneiden. Auf wie viele verschiedene Weisen kann man das tun? Aufgabe S.3 Schreiben wir alle Zahlen auf, die als Summe zweier Quadratzahlen dargestellt werden können: 2, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 37, 40, 41, 47, 50, 50, 52,... (Die Zahl 50 wird zweimal aufgeschrieben, da sie sich auf zwei verschiedene Weisen darstellen lässt: 50 = = ) a) Welche Primzahlen treten in dieser Folge auf und welche nicht? b) Welche Vermutungen lassen sich über das Verhalten dieser Folge aufstellen? c) Wie ist es bei den Zahlen, die sich als Summe von drei oder vier Quadratzahlen darstellen lassen?