Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

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1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte) Zeigen Síe, dass f für monoton wächst. Für welche Werte von ist K linksgekrümmt? Begründen Sie Ihre Antwort.. ( Punkte) Die Parallele zur -Achse durch den Hochpunkt von K begrenzt mit K eine Fläche, die von der y-achse in zwei Teilflächen zerlegt wird. Zeichnen Sie K und kennzeichnen Sie diese Flächen. Berechnen Sie das Verhältnis der Inhalte der beiden Teilflächen.. (6 Punkte) Die Gerade g hat die Gleichung y = m. Zeigen Sie, dass es nur ein positives m gibt, so dass g und K genau zwei gemeinsame Punkte besitzen. Geben Sie deren Koordinaten an.. (5 Punkte) Bestimmen Sie den Punkt auf K, der von Q(/) den kleinsten Abstand hat. Berechnen Sie diesen kleinsten Abstand..5 (6 Punkte) Bestimmen Sie die Ortskurve der Wendepunkte aller K t. Die Funktion h ist gegeben durch h() = + e ; R.. ( Punkte) Skizzieren Sie das Schaubild von h. Geben Sie die Gleichung der Asymptote an.. (9 Punkte) Das Schaubild von h, die y-achse, die Gerade mit der Gleichung y = und die Gerade mit der Gleichung = a mit a > begrenzen eine Fläche. Wie groß ist der Inhalt der Fläche für a = 6? Weisen sie nach, dass es keinen Wert für a gibt, für den die Fläche den Inhalt hat.

2 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (6 Punkte) Die in der Abbildung dargestellten Punkte P, P, P, P und P 5 haben ganzzahlige Koordinaten. Begründen Sie, dass man durch die Punkte sowohl das Schaubild einer Polynomfunktion dritten Grades als auch das Schaubild einer trigonometrischen Funktion legen kann.. * t R+ Gegeben sind für die Funktionen f t und t t ft () = + t + ; [ ; ] π g t () = + t sin ; [ ; ] Der Graph von f t heißt K t, der Graph von g t heißt g t durch G t... ( Punkte) Zeichnen Sie K. Zeigen Sie, dass alle K t genau drei gemeinsame Punkte haben. Geben Sie deren Koordinaten an. Ermitteln Sie die Etremstellen von f t... (6 Punkte) Zeichnen Sie G in das Koordinatensystem aus.. ein. Berechnen Sie den Inhalt A der Fläche, die von K und G für eingeschlossen wird... (6 Punkte) = und = sind die einzigen Schnittstellen von K t und G t in [ ;]. Begründen Sie, dass K t für < < oberhalb von G t verläuft. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von K t und G t für eingeschlossen wird. Wie lässt sich der Inhalt dieser Fläche mit Hilfe von A aus Teilaufgabe.. bestimmen?

3 .. (6 Punkte) Die Gerade mit der Gleichung = u ( < u < ) schneidet K im Punkt A und G im Punkt B. Die Punkte A, B und C(/) sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks für alle u kleiner als ist...5 ( Punkte) Zeigen Sie, dass für von g (). [ ; ] der Mittelwert von f () genau so groß ist wie der Mittelwert. (6 Punkte) Die Abbildung zeigt den Graph der Ableitungsfunktion h einer Funktion h. Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind, und begründen Sie Ihre Entscheidungen. Die Funktion h hat bei = 6 eine Etremstelle. Die Tangente an den Graphen von h im Schnittpunkt mit der y-achse ist parallel zur ersten Winkelhalbierenden. Der Graph der Stammfunktion von h ist für alle [- ; ] linksgekrümmt.

4 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Lösung Aufgabe. Es gilt f () = + und f () = + 6 = ( + ) Für gilt f () und daraus folgt, dass f monoton wächst. Das Schaubild von K ist linksgekrümmt, wenn f () > ist. f () = > < Für < ist das Schaubild von K linksgekrümmt.. Mit dem GTR ergibt sich als Hochpunkt H(/). Die Parallele zur -Achse durch H besitzt die Gleichung y =. A = ( ( + ))d = ( + )d = + = ( + A = + = + = Flächenverhältnis: A : A = : = : 6. + ) =

5 Die Geraden y = m verlaufen alle durch den Ursprung. Die gesuchte Gerade muss gemäß der Zeichnung eine Tangente an das Schaubild von f sein. Gesucht ist somit eine Tangente an das Schaubild von f, die durch den Ursprung verläuft. Der Berührpunkt der Tangente habe die Koordinaten B(u / f (u)). Die Tangentensteigung beträgt mtan g = f (u) = u + 6u. Allgemeine Tangentengleichung in B(u / f (u)) mit der Punkt-Steigungs-Form: y f(u) = f (u) ( u) y ( u + u ) = ( u + 6u)( u) Nun wird u so gewählt, dass der gegebene Tangentenpunkt O(/) auf der Gerade liegt. Einsetzen von O(/) ergibt ( u + u ) = ( u + 6u)( u) u u = u 6u u + u = u ( u + ) = u =, u =, 5 Aus u = ergibt sich als Berührpunkt B(/f()) = B(/) mit der Tangentengleichung y =. 7 9 Aus u =,5 ergibt sich als Berührpunkt B (,5 / f(,5)) = B(,5 / ) mit m = f (,5) =.. Gesucht ist der Punkt P(u / f (u)) auf dem Schaubild, der von Q(/) den kleinsten Abstand hat. Der Abstand zweier Punkte kann mit Hilfe der Punktkoordinaten und dem Satz des Pythagoras berechnet werden: PQ = d(u) = ( ) + ( y y ) = (u ) + ( u + u P Q P Q ) Mit dem GTR ergibt sich als Minimum für u =,5 einen minimalen Abstand von,55. Der Punkt auf dem Schaubild hat die Koordinaten P(,5 / f (,5)) = P(,5 /,5).5 Berechnung der Wendepunkte von K t : ft () = + t ft () = + t ft () = 6 + t ft () = 6 Bedingung für Wendepunkt: f t () = 6 + t = = t f t ( t) = 6, also WP( t / t ) 7 5

6 Ortskurve: = t t = y = t = () = 7 7 Die Ortskurve der Wendepunkte lautet y =.. Asymptote von h() = + e Für Für strebt e und damit ist y = die schiefe Asymptote. eistiert keine Asymptote, da e strebt.. 6 Inhalt für a = 6: (6) = ( + e )d = [ e ] A 6 = e + e = 7,7 FE a Für allgemeines a: A(a) = ( + e )d = [ e ] a a = e + e Da e a = 7,9 < ist und der Termin e immer positiv ist, gilt A(a) < für alle Werte von a. 6

7 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Lösung Aufgabe. Sowohl die Punkte P und P 5 als auch die Punkte P und P liegen symmetrisch bezüglich des Punktes P. Sowohl eine ganzrationale Funktion.Grades als auch eine Sinus- oder Kosinusfunktion haben punktsymmetrische Schaubilder, also können beide Kurven durch die gegebenen 5 Punkte laufen... Gemeinsame Punkte der Scharkurven: Das GTR-Schaubild lässt vermuten, dass sich die Scharkurven alle in den folgenden Punkten schneiden: P(/), Q(/) und R(/). Um dies zu beweisen, werden die Punktkoordinaten in die Funktionsgleichung eingesetzt: () f t () f t () f t = P( / ) liegt auf allen Scharkurven t t = t + = Q( / ) liegt auf allen Scharkurven t t = t + = R( / ) liegt auf allen Scharkurven Etremstellen: f () = t t + t = t ( t + ) = 7

8 ± 9 6 ±, = = = 6,9 und =, 69 f t () = t t f t (6,9) = t 6,9 t > TP f t (,69) = t,69 t < HP also handelt es sich bei beiden Stellen um Etremstellen.. Flächenberechnung mit dem GTR: A = π, 6 (f () g())d = ( + + ( + sin )d = FE.. Es sei bekannt das = und = die einzigen Schnittstellen von K t und G t im Intervall [;] sind. Es muss also nur gezeigt werden, dass für irgendeinen -Wert aus diesem Intervall ft () > gt () ist. t t Wähle z.b. = : f t () = + t + = t + =,65t + und g t () = +,t Man erkennt nun, dass ft () > gt () für t > gilt, was aber laut Aufgabe vorausgesetzt wird.

9 A = t = ( π (ft () gt ())d = ( t + t + ( + t sin t π t + t t sin )d = t = t t + t + t =,5t t =,6t FE π π Es gilt A t = t A. ) d π t + t + t cos π.. Dreiecksfläche = g h = AB CD = (f(u) g(u)) ( u) π A(u) = u u u sin u ( u) + für u Das Maimum der Funktion A(u) liefert der GTR: Die Fläche wird maimal für u =,659 und die maimale Dreiecksfläche beträgt,96. Diese Fläche ist kleiner als. 9

10 ..5 Mittelwert von f : m = f()d = 6 = Mittelwert von f g : mg = g()d = 6 =. An der Stelle = 6 besitzt die Ableitungsfunktion eine doppelte Nullstelle. D.h. das Schaubild von h besitzt an der Stelle = 6 eine waagrechte Tangente, allerdings ist die Steigung links und rechts von = 6 positiv. Das heißt an der Stelle = 6 hat das Schaubild von h einen Sattelpunkt und keine Etremstelle. Die Aussage ist falsch. Im Schnittpunkt mit der y-achse (an der Stelle = ) gilt h () =. Die Tangente an der Stelle = an das Schaubild von h besitzt die Steigung. Da die erste Winkelhalbierende die Steigung besitzt, liegt keine Parallelität vor. Die Aussage ist falsch. Die Stammfunktion H von h ist linksgekrümmt, wenn gilt: H (). Da H () = h () gilt und das Schaubild von h gemäß der Zeichnung immer oberhalb der -Achse verläuft, gilt h (). Damit ist die Aussage wahr.