Fit in Mathe. Juni 2014 Klassenstufe 9. Lineare Funktionen

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1 Thema Musterlösungen Juni 0 Klassenstufe 9 Lineare Funktionen a) Vervollständige die Tabelle mit den Funktionswerten: x x b) Gib die Funktionsgleichung an x x,5,75,5 0,5-0,5 - -,75 -,5 - c) Gib die jeweiligen Werte für x an x 7,5 9 6,75, 7, x 5 -,5 -,5-0,5 0,5,75 6,6 8, Die umme aller gefundenen Zahlen (auch in Funktionsgleichung) ganzzahlig gerundet ist 7. Gib die Funktionsgleichungen für die abgebildeten Graphen an. a) f x = b) f x = c) f x = d) f x = e) f x = f x = zu b) f x = x zu c) f x = x zu d) f x = x zu e) f x = x Die umme aller teigungen und additiven Konstanten ist,5 e

2 c) f x = 7 9 x 9 = 7 9 x 5 Die umme aller Funktionswerte f(90) ist 8. Musterlösungen Juni 0 Klassenstufe 9 Auf dem Graphen der linearen Funktion Punkt P. Bestimme den Funktionsterm. f x = mx b mit der teigung m liegt der a) m = ; P b) m = 0, ; P 0 c) m = 7 9 ; P 9 Es empfiehlt sich, die Punkt-teigungs-Formel anzuwenden, nämlich f x = x x 0 y 0 Damit ergeben sich die Funktionsgleichungen a) f x = x = x b) f x =0, x Auf dem Graphen der linearen Funktion f x = m x b liegen die Punkte P und Q. Bestimme den Funktionsterm. a) P ; Q 6 9 b) P ; Q Es empfiehlt sich die Zwei-Punkte-Formel anzuwenden, d.h. y y = y y y= y y x x x x x x x x y y= 8 x = x zu b) y= x = x 0 Die umme der Beträge aller teigungen und additiven Konstanten ist 7. Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktionen a) f x = x b) f x = x Löse die Gleichungssysteme 0 = x zu b) 0 = x = x = x x= x =,5 Die umme der Nullstellen ist 8,5 Gegeben sind die Funktionen f x =0,5 x 6 und g x =,5 x. a) Bestimme den chnittpunkt der Graphen der Funktionen. b) Bestimme die chnittpunkte der Graphen mit den Achsen.

3 Musterlösungen Juni 0 Klassenstufe 9 Im chnittpunkt sind die beiden y-koordinaten gleich, also muss erfüllt sein: 0,5 x 6 =,5 x x= Eingesetzt in eine der beiden Funktionsgleichungen hier die erste- ergibt: y= 0,5 6 = 5,5 Also ist der chnittpunkt P 5,5. Zu b) Der chnittpunkt des ersten Graphen mit der y-achse ist: P y 0 6 Der chnittpunkt mit der x-achse ist die Nullstelle, d.h. er genügt der Gleichung: 0,5 x 6 = 0 x=, also hat der Punkt die Koordinaten P x 0. Der chnittpunkt des zweiten Graphen mit der y-achse ist: P y 0 Der chnittpunkt mit der x-achse ist die Nullstelle, d.h. er genügt der Gleichung:,5 x = 0 x = 8, also hat der Punkt die Koordinaten P x 8 0. Die umme der y-koordinaten aller 5 zu berechnenden Punkte ist 5,5 Der Mobilfunkanbieter MOBILTAR bietet folgende Tarife an: CALL-FLAT: Grundgebühr je Monat 9,90 EUR (unbegrenztes Telefonieren). PREPAID-CALL: Grundgebühr je Monat,50 EUR und 9 Cent pro Minute. a) Gib die Funktionsgleichung für den CALL-FLAT-Tarif und b) für den PREPAID-CALL-Tarif an. c) Gib an, für welche Anzahl von Minuten je Monat man bei beiden Tarifen das gleiche zahlt. d) Welchen Tarif würdest Du empfehlen (und warum)? Wir stellen für beide Anbieter eine Funktion auf, die der vertelefonierten Zeit t die Kosten K(t) für den Anbieter CALL-FLAT und K(t) für den Anbieter PREPAID-CALL zuordnet (jeweils in ). Die Kosten von CALL-FLAT sind K t = 9,90, da es keine Abhängigkeit von der Zeit gibt. Zu b) Die Kosten von PREPAID-CALL sind K t = 0,09 t,5 zu c) Gleichheit der Kosten liegt vor, wenn 9,9 = 0,09t,5 5,= 0,09 t t = 60, d.h. bei 60 Minuten monatlichem Telefonieren zahlt man bei beiden Tarifen dasselbe. Zu d) Für jemanden, der weniger als 60 Minuten im Monat telefoniert, ist der PREPAID- CALL-Tarif zu empfehlen, sollte er im Monat mehr telefonieren, sollte er den anderen Tarif wählen. Gleich teuer sind die Tarife, wenn man monatlich 60 Minuten telefoniert.

4 Musterlösungen Juni 0 Klassenstufe 9 en mit Kennsilben swort: Expertenaufgabe Hat man drei (oder mehrere) Punkte vorgegeben, die nicht auf einer Geraden liegen, kann man die Ausgleichsgerade f x = m x b ziehen und berechnen, die optimal an die Punkte angepasst ist. Beispiel: Gegeben sind die Punkte P, P, P. Als erstes berechnet man den chwerpunkt P x y, indem man den Mittelwert der Koordinaten bildet, d.h. alle Koordinaten addiert und durch die Anzahl dividiert, hier. x = = und y = = also P. Eine Gerade durch den chwerpunkt ist f x = x x y und bezogen auf die x-koordinaten der drei Punkte gilt: f =m, f =, f =. Nun suchen wir das m, für welches die umme der Abstandsquadrate f f f = m =: F kleinstmöglich wird. Nach einigen Umrechnungen erhält man: F = m 6 6 bzw. in cheitelpunktdarstellung F = m,5,5. Für m =,5 ist also die umme der Abstandsquadrate am geringsten. Die in diesem inne optimale Gerade ist also f x =,5 x =,5 x Berechne die Funktionsterme der Ausgleichsgeraden zu a) P,P 6, P 6 8 b) P,P 5,P 9, P 9 Die chwerpunktskoordinaten sind x = 6 = bzw. y = 6 8 = 5 Damit kann man für die Ausgleichsgerade ansetzen f x = x 5 und es ist f = 5, f =5 und f 6 = 5. Die umme der Abstandsquadrate ist dann: F = m = m 6 6 m 9 = 8m 8 6 oder in cheitelpunktdarstellung F =8 m 7. Also muss m =,75 sein. Damit ergibt sich als Ausgleichsgerade: zu b) Die chwerpunktskoordinaten sind y = 59 = = 5,75 f x =,75 x 5=,75 x x = 9 = 6 = 6,5 bzw.

5 Musterlösungen 5 Juni 0 Klassenstufe 9 Damit kann man für die Ausgleichsgerade ansetzen f x = x 6 ist f = 5 f = m 0, f = 5,. f 9 = m 0 und und es Die umme der Abstandsquadrate ist dann: F = m 5 5 m 5 m 5 5 m 5 = 5 m m m m = 500 m = 5 m = 5 m = 5 m Die optimale teigung der Ausgleichgeraden ist also m = 50 = 0,86 und eingesetzt in den Ansatz der Funktionsgleichung ergibt sich f x = 50 6 x = 0,86 x 0,6