Gleichungen und Ungleichungen

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1 Gleichungen Ungleichungen. Lineare Gleichungen Sei die Gleichung ax = b gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b reelle Zahlen sind. Diese Gleichung hat als Lösung die einzige reelle Zahl x = b, falls a 0 ist. Es reicht a durch den Koeffizient von x zu teilen man findet sofort x. Sei jetzt a = 0 also 0x = b, d.h. 0 = b. Wir dürfen nie durch Null teilen! Falls b = 0, ist für alle x R die Identität 0 = b wahr. Die Lösungsmenge der Gleichung ist dann R (alle reelle Zahlen). Falls b 0, ist für alle x R die Identität 0 = b falsch. Die Lösungsmenge der Gleichung ist dann (die leere Menge). ax = b man teilt durch den Koeffizienten a, falls a 0 Beispiel: x = 8 ergibt x = 8 also L = 8}. Beispiel: x = ergibt x = also L = }. Beispiel: x = 4π ergibt x = π also L = π}. Beispiel: x = 4π ergibt x = 4π also L = 4 π}.immer noch Beispiel: πx = 4 ergibt x = 4 π also L = 4 π }. Beispiel: 0x = 0 ergibt L = R. Beispiel: 0x = ergibt L =. Beispiel: x = 0 ergibt L = 0}. Die Gleichung ax + c = 0 ist auch eine lineare Gleichung in einer Variablen. Wir können das als ax = c schreiben, also gibt es hier nichts Neues. Beispiel: x + = 0 ergibt x =, also x =, also L = }. Beispiel: x = 0 ergibt x =, also x =, also L = }.. Quadratische Gleichungen Sei die Gleichung ax + bx + c = 0 gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b, c reelle Zahlen sind, a 0. Wir definieren = b 4ac Die Gleichung hat: falls < 0: keine reelle Lösung falls = 0: genau die reelle Lösung x = b a falls > 0: genau die zwei reellen Lösungen x = b + a Es reicht die Formeln x = b a also x, = b ± a

2 = b 4ac x, = b± a zu merken, indem man natürlich nur eine Lösung findet falls = 0 indem man keine Lösung findet falls < 0 (negative Zahlen besitzen keine Quadratwurzel!). Beispiel: x x + = 0 ergibt = 0 x = ± 0 =, also L = }. Beispiel: x x + = 0 ergibt = 0 x = ± 0 =, also L = }. Beispiel: x x = 0 ergibt = 4 x, = ± 4 also L = 0, }. Beispiel: x x = 0 ergibt = x, = ± also L = 0, }. Beispiel: x x + = 0 ergibt = 8 also L =. Beispiel: x x + 9 = 0 ergibt = 7 also L =. Beispiel: x x = 0 ergibt = x, = ± 0 also L =, }. Beispiel: x x 9 = 0 ergibt = 44 x, = ± 44 also L =, }. Beispiel: x x + = 0 ergibt = 5 x, = ± 5 also L = + 5, 5 }. Beispiel: x 9x + = 0 ergibt = 45 x, = 9± 45 also L = + 5, 5 }. Die Gleichung 0x + bx + c ist keine quadratische Gleichung, wir kehren zurück zu einer linearen Gleichung. Die Gleichung x = x + ist immer noch eine quadratische Gleichung, nur anders geschrieben. Die Gleichung e x +x = e x +x+ ist immer noch eine quadratische Gleichung, nach Vereinfachung von linken rechten Term.. Anordnung der reellen Zahlen Die reellen Zahlen sind angeordnet, wenn wir diese Zahlen auf der Zahlgeraden veranschaulichen. Seien a b reelle Zahlen. Wir sagen a < b (kleiner), falls sich a auf der Geraden links von b befindet. Mit dem Begriff a b (kleiner-gleich) erlauben wir sowohl a < b, als auch a = b. Analog definiert man a > b (größer) a b (größer-gleich). Für alle reellen Zahlen a, b, c gelten: a < b b < c a < c (Analog : a > b b > c a > c) a < b a + c < b + c (Analog : a > b a + c > b + c) a < b c > 0 ac < bc (Analog : a > b c > 0 ac > bc) a < b c < 0 ac > bc (Analog : a > b c < 0 ac < bc) Beispiele: e < < π implizieren e < π; e < π impliziert e + 5 < π + 5; e < π impliziert e < π; e < π impliziert e > π. Beispiele: e > > implizieren e > ; e > impliziert e + 5 > ; e > impliziert 5e > 5; e > impliziert 5e < 5.

3 4. Lineare Ungleichungen Sei die Gleichung ax b gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b reelle Zahlen sind a 0. Dann haben wir x b falls a > 0 x b falls a < 0. a a Analog bearbeitet man, >, <. Also teilt man durch den Koeffizient a (selbstverständlich nur falls dies 0 ist). Man muss die Ungleichung spiegeln, wenn man durch eine negative Zahl geteilt hat. Warum eigentlich? Erklärung mit einem Beispiel: x > x < Dass die Gegenzahl sehr positiv ist, ist gleichbedeutend dazu, dass die Zahl sehr negativ istzeichnen Beispiel: x > x > (wir haben einfach durch geteilt) x < (wir haben durch geteilt). Beispiel: 5x > 7 ergibt x > 7 5, also L = ( 7 5, + ). Beispiel: 5x > 7 ergibt x > 7 7, also L = (, + ). 5 5 Beispiel: 5x > 7 ergibt x < 7, also L = (, 7). 5 5 Beispiel: 5x > 7 ergibt x < 7 7, also L = (, ). 5 5 Beispiel: 5x > 0 ergibt x < 0, also L = (, 0). Anmerkung: mit a = 0 hat man 0 b, das entweder wahr oder falsch ist. Die Lösungsmenge ist dann L = R bzw. L =. Die Gleichung ax + c 0 schreibt man auch als ax c, also ist dies eine lineare Ungleichung. Eine Gleichung ax + b 0 mit a 0 kann man mit der Geraden y = ax + b veranschaulichen. Man untersucht welche Werte für x einem positiven y entsprechen (also wann die Gerade oberhalb der x-achse liegt). Beispiele: (mit y = x+) x+ > 0 x > (mit y = x+) x+ > 0 x <. 5. Quadratische Ungleichungen Sei die Gleichung ax + bx + c > 0 gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b reelle Zahlen sind a 0. Wir lösen am besten zunächst die Gleichung ax + bx + c = 0 zeichnen die entsprechende Parabel. Dann lesen wir am Graphen ab, welche Intervalle richtig sind. (Die Nullstellen der Gleichung ergeben wo die Parabel die x-achse schneidet.)

4 y = x x + y = x 4x Beispiel: x x + < 0 hat Lösungsmenge (, ). Beispiel: x x + 0 hat Lösungsmenge [, ]. Beispiel: x x + > 0 hat Lösungsmenge (, ) (, ). Beispiel: x x + 0 hat Lösungsmenge (, ] [, ). Beispiel: x 4x + 4 < 0 hat Lösungsmenge. Beispiel: x 4x hat Lösungsmenge }. Beispiel: x 4x + 4 > 0 hat Lösungsmenge R \ } = (, ) (, ). Beispiel: x 4x hat Lösungsmenge R. y = x x + y = x + x 4 Beispiel: x x + < 0 hat Lösungsmenge. Beispiel: x x + 0 hat Lösungsmenge. Beispiel: x x + > 0 hat Lösungsmenge R. Beispiel: x x + 0 hat Lösungsmenge R. Beispiel: x + x < 0 hat Lösungsmenge R. Beispiel: x + x 0 hat Lösungsmenge R. Beispiel: x + x > 0 hat Lösungsmenge. Beispiel: x + x 0 hat Lösungsmenge.. Gleichungen oder Ungleichungen mit dem Betrag Wie man direkt am Graphen der Betragsfunktion ablesen kann: Es gilt x < c c < x < c x ( c, c) insbesondere gibt es für c 0 keine Lösung. 4

5 Es gilt x c c x c x [ c, c] Insbesondere gibt es für c < 0 keine Lösung für c = 0 nur die Lösung x = 0. Es gilt x > c x > c oder x < c x (, c) (c, + ) insbesondere hat man für c < 0 als Lösungsmenge R für c = 0 als Lösungsmenge R \ 0}. Anmerkung: x > c ist das Gegenteil von x c deswegen sind die Lösungsmengen komplementäre Mengen in R. Es gilt x c x c oder x c x (, c] [c, + ) insbesondere hat man für c 0 als Lösungsmenge R. Anmerkung: x c ist das Gegenteil von x < c, deswegen sind die Lösungsmengen komplementäre Mengen in R. Lösungsverfahren für Gleichungen oder Ungleichungen mit dem Betrag: Jeder Betrag entspricht zwei Fällen. Jeder Fall ergibt ein zu lösendes System. Die Lösungsmenge eines Systems ist der Durchschnitt der Lösungsmengen der ensprechenden Gleichungen/Ungleichungen. Um die verschiedenen Fälle zu kombinieren, also um die endgültige Lösungsmenge zu bestimmen, bilden wir die Vereinigung der Lösungsmengen der verschiedenen Fälle. Beispiel: x = ergibt x 0 x = Beispiel: x 7 = ergibt x < 0 x = also L = } } =, } x 7 0 x 7 = Beispiel: x 7 > ergibt x 7 < 0 (x 7) = also L = 0} 4} = 0, 4} x 7 0 x 7 > x 7 < 0 (x 7) > Das erste System ist zu x 7 > äquivalent hat Lösungsmenge (0, + ). Das zweite System ist zu (x 7) < äquivalent hat Lösungsmenge (, 4). Die ursprüngliche Ungleichung hat Lösungsmenge L = (, 4) (0, + ). Beispiel: x 9 x + ergibt x 9 0 x 9 x + x 9 < 0 (x 9) x + Für das erste System: die erste Gleichung hat Lösungsmenge (, ] [, + ) die zweite Gleichung hat Lösungsmenge [, 4]. Die Lösungsmenge des ersten Systems ist dann der Schnitt } [, 4]. Für das zweite System: die erste Gleichung hat Lösungsmenge (, ) die zweite Gleichung hat Lösungsmenge (, ] [, + ). Die Lösungsmenge des ersten Systems ist dann der Schnitt [, ). Die ursprüngliche Ungleichung hat Lösungsmenge L = } [, 4] [, ) = } [, 4]. 5

6 Gleichungen Ungleichungen mit dem Betrag sollten Sie sich veranschaulichen, indem Sie die entsprechenden Funktionen zeichnen. Der Graph der Funktion f(x) ist gleich dem Graphen der Funktion f(x), wobei aber die negativen Werte bzgl. der x-achse gespiegelt werden. Falls f z.b. eine Gerade bzw. eine Parabel ist, dann ist f stückweise eine Gerade bzw. eine Parabel. y = x 7 y = y = x 9 y = x Gleichungen mit Wurzeln, Exponential Logarithmus Um einfache Gleichungen mit Quadratwurzeln zu lösen, ist das übliche Lösungsverfahren Quadrieren. Vorsicht: durch Quadrieren kann man zu viele Lösungen finden. Beispiel: x = x x = x x = aber diese Lösung können wir nicht akzeptieren, da wir ansonsten die Quadratwurzel von x = ziehen. Also gibt es keine Lösung. Lösungsverfahren: Eine Gelichung mit Wurzeln, kann man potenzieren. Mit Exponentialfunktion Logarithmus kann man exponentieren oder logarithmieren. Wichtig ist, dass man nichts verbotenes macht, z.b. darf man keine Quadratwurzel oder Logarithmus einer negativer Zahl ziehen. Man muss die gefenen Lösungen in die ursprüngliche Gleichung oder Ungleichung einsetzen verifizieren, dass es sich um gültige Lösungen handelt (also wir müssen ggfl. etwas wegschmeissen). Beispiel: x = ergibt x = 4 die Lösungsmenge ist 4}. Beispiel: x = ergibt x = 4 die Lösungsmenge ist. Beispiel: x = ergibt x = 4 die Lösungsmenge ist 4}. Beispiel: x = ergibt x = 4 die Lösungsmenge ist. Beispiel: Für 5x = potenzieren wir finden x =. Beispiel: Für 5x = potenzieren wir finden x =. Beispiel: Für x = 8 ziehen wir log finden x =. Beispiel: Für x = 8 dürfen wir nicht den Logarithmus von 8 ziehen. Diese Gleichung hat keine Lösung da x 0 8 < 0 ist. Beispiel: Für log 0 x = exponentieren wir finden x = 0 = 00.