Rabatt und Skonto. Rechnung Computersystem. Bruttopreis Rabatt Nettopreis Skonto Zahlung. 2' Fr. 2' Fr.

Transkript

1 Ratt und Skonto Rechnung Computersystem Computer P7 ' Fr. Drucker XX Fr. Total ' Fr. 15% Fr. ' Fr. % Fr. ' Fr. Bruttopreis Ratt Nettopreis Skonto Zahlung Worterklärungen Bruttopreis: Preis vor Azug Ratt: Preisnachlass, der dem Käufer gewährt wird Nettopreis: Preis nach Azug (Rechnungsetrag) Skonto: Preisnachlass, der vom Rechnungsetrag gezogen werden kann, falls die Bezahlung fristgerecht erfolgt Zahlung: Preis nach Azug des Skontos Berechnungsschema Ratt Skonto Brutto Netto Zahlung Ratt Skonto Folien Mathematik : Lineare Gleichungen M. Giger, 000

2 Steigung und Gefälle Steigungsdreieck C A Schrägstrecke Steigungswinkel horizontale Länge B Höhenunterschied Formel für die Steigung Steigung a = Höhenunterschied horizontale Länge = y x = y y 1 x x 1 Beispiele Steigung in % Bemerkung horiz. Länge = Schrägstrecke Division durch Null! Folien Mathematik : Lineare Gleichungen M. Giger, 000

3 Funktionen Funktionen sind mathematische Vorschriften, welche eine Zahlenmenge auf eine andere ilden. Darstellung von Funktionen Funktionen werden normalerweise in der Form einer Wertetelle, eines Graphen oder einer Funktionsgleichung dargestellt. Beispiel einer Funktion x y \ 1 [ y = 5x + oder f: x 5x + = y Wertetelle Graph Funktionsgleichung Folien Mathematik : Lineare Gleichungen M. Giger, 000

4 Lineare Funktion Eine Funktion, deren Graph eine Gerade ist, nennt man lineare Funktion. Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion hat die Form: y = ax +. 3[\ Steigung a = y - y 1 x - x 1 horizontale Länge Höhenunterschied 3[\ = y-achsenschnitt Beispiel Von einer Geraden sind die eiden Punkte P 1 (5/4) und P (7/10) ekannt. Schreie deren Funktionsgleichung auf. Mit folgender Formel kann die Steigung erechnet werden: Steigung a = y y 1 x x 1 = = 6 = 3 Ist die Steigung ekannt, wird der y-achsenschnitt wie folgt erechnet: y = ax + X = y ax = = 11 Also lautet die gesuchte Gleichung: y = 3x - 11 Folien Mathematik : Lineare Gleichungen M. Giger, 000

5 Gleichungssysteme Wir sprechen von einem Gleichungssystem, wenn wir x Gleichungen mit x Varilen zu einer Aussageform verinden. Die Lösungsmenge eines solchen Gleichungssystems esteht aus Gruppen von jeweils x Zahlen, die alle Gleichungen erfüllen. Beispiel: zwei Gleichungen mit zwei Unekannten 1. Gleichung: x + y = 7. Gleichung: 3x - 4y = 7 Das Gleichungssystem notieren wir wie folgt: x + y = 7 3x - 4y = 7 Auflösung von Gleichungssystemen Gleichungssysteme können in der Regel sowohl graphisch (Schnittpunktsuche) als auch algeraisch gelöst werden. Drei algeraische Lösungstechniken hen sich je nach Aufgentyp als esonders nützlich erwiesen: das Gleichsetzungs-, das Einsetzungs- und das Additionsverfahren. Folien Mathematik : Lineare Gleichungen M. Giger, 000

6 Produkt von Binomen Zweigliedrige Terme (z.b. a + oder c d) werden Binome genannt. Wir wissen: a (c + d) = a c + a d (Distriutivgesetz) Um das Produkt zweier Binome zu ilden, enutzen wir einen mathematischen Trick: (a + ) (c + d) =? Wir ersetzen (c + d) durch z und können nun folgende Rechnung ausführen: (a + ) z = a z + z Nun ersetzen wir z wieder durch (c + d) und erhalten: a (c + d) + (c + d) = a c + a d + c + d Es gilt also: (a + ) (c + d) = ac + ad + c + d Man multipliziert zwei Binome miteinander, indem man jedes Glied des einen Binoms mit jedem Glied des anderen multipliziert und die Produkte addiert. Binomische Formeln (a + ) (a + ) = (a + ) = a + + (a + ) (a ) = a (a ) (a ) = (a ) = a + Geometrische Deutung der inomischen Formeln: a a- a a a a- a a a a + + a a + Folien Mathematik : Algera in der Menge der rationalen Zahlen M. Giger, 000

7 Ganzzahlige Zerlegung quadratischer Trinome Ausdrücke der folgenden Art werden als quadratische Trinome ezeichnet. x + (a + )x + = (x + a)(x + ) konstantes (solutes) Glied lineares Glied quadratisches Glied Um solche Trinome zu zerlegen (sofern möglich), suchen wir zwei Zahlen, für welche gilt: a + ist der Koeffizient des linearen Gliedes und a ist das konstante Glied. Beispiele: x + (a + )x + a + (x + a)(x + ) x + 8x (x + 3)(x + 5) x + x (x 3)(x + 5) x x (x + 3)(x 5) 3 5 x 8x (x 3)(x + 5) 3 5 Folien Mathematik : Algera in der Menge der rationalen Zahlen M. Giger, 000

8 Lösung von Bruchgleichungen Gleichungen, die Nenner mit Polynomen (z.b. Binom) enthalten, werden gelöst, indem man eide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert. Beispiel: x x+ + x+6 4 = 1 [ (x + )(x + 6) x(x+)(x+6) x+ + 4(x+)(x+6) x+6 x(x + 6) + 4(x + ) = (x + )(x + 6) x + 6x + 4x + 8 = x + 6x + x + 1 x + 10x + 8 = x + 8x + 1 x 10x + 8 = 8x + 1 8x 8 x = 4 x = = 1 (x + )(x + 6) Durch die Multiplikation mit dem Hauptnenner können Lösungen entstehen, welche die Ausgangsgleichung nicht erfüllen. Daher ist stets eine Proe vorzunehmen. Besonders ist auf Werte zu achten, für die der Nenner Null wird, da diese nicht zur Definitionsmenge gehören. Proe für Beispiel: x x+ + x+6 4 = = = = 1 x = ist wirklich Lösung der Gleichung. Folien Mathematik : Algera in der Menge der rationalen Zahlen M. Giger, 000

9 Lösung von Wurzelgleichungen Wurzelausdrücke in Gleichungen lassen sich oft durch einfaches Quadrieren eseitigen. Dazu sind die drei Schritte nötig: 1. Wurzel isolieren,. Gleichung quadrieren, 3. Proe. 1. Wurzel isolieren Die Gleichung wird so umgeformt, dass der Wurzelausdruck allein auf einer Seite steht. 0 x x = [ +x. Gleichung quadrieren Beide Seiten der Gleichung werden mit sich selst multipliziert. Dies wird mit () gekennzeichnet. 0 x = + x [ ( ) Nun kann die neue Gleichung gelöst werden. 0 x = x + 4x x - 0 x + 6x 16 = 0 (x )(x + 8) = 0 => x 1 =, x = 8 3. Proe Durch Quadrieren einer Gleichung können Lösungen entstehen, welche die Ausgangsgleichung nicht erfüllen. Daher ist stets eine Proe vorzunehmen. 0 x x = 0 = 16 = 4 = x = ist eine Lösung der gegeenen Gleichung. 0 x x = = = = 14 x = 8 ist keine Lösung der gegeenen Gleichung! Folien Mathematik : Algera in der Menge der rationalen Zahlen M. Giger, 000