3.1. Die komplexen Zahlen

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1 3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen betrachten. Addition und Subtraktion komplexer Zahlen sind bereits vektoriell definiert. Die kanonische Basis von C R besteht aus den Basisvektoren und 1 (1,0) (reelle Einheit) i (0,1) (imaginäre Einheit). Mit diesen beiden Vektoren lassen sich alle komplexen Zahlen, aufgefasst als Vektoren, eindeutig als Linearkombination darstellen: z (x,y) x1 + yi. Wir schreiben einfach x statt x1 sowie i statt i, also z x + i y x + y i. Man nennt x den Realteil und y (nicht iy!) den Imaginärteil von z, in Zeichen x Re(z), y Im(z). Die reellen Zahlen entsprechen den Punkten auf der waagerechten (reellen) Koordinatenachse, während die Vielfachen von i die rein imaginären Zahlen sind, die den Punkten auf der senkrechten (imaginären) Koordinatenachse entsprechen. (MAPLE benutzt das Symbol I für die imaginäre Einheit, R( z ) für Re(z) und I( z ) für Im(z)!) Wir zeichnen komplexe Zahlen als Pfeile (Ortsvektoren) in der Ebene C :

2 Konjugation und Negation Aus einer komplexen Zahl z x + i y entsteht durch Spiegelung an der reellen Achse die konjugierte Zahl z x i y, hingegen durch Spiegelung am Nullpunkt die negative Zahl z x i y. Für beliebige komplexe Zahlen z gilt: z + z Re(z), z z Im(z) i.

3 Multiplikation Der besondere Nutzen komplexer Zahlen kommt allerdings erst zum Tragen, wenn man eine neue Multiplikation einführt, bei der das Quadrat einer komplexen Zahl negativ werden kann. Wir fordern i 1 und sehen, daß es genau eine Multiplikation gibt, für die diese Bedingung erfüllt ist und zusammengesetzte Ausdrücke wie üblich ausmultipliziert werden: ( x + i y ) ( u + i v ) x u y v + i ( x v + y u ). Diese Multiplikation ist dann nicht nur distributiv: z ( w + c ) z w + z c, sondern automatisch auch kommutativ: w z z w und assoziativ: z (wc) (zw) c für beliebige komplexe Zahlen w, z, c. Beachten Sie, daß das neue Produkt für komplexe Zahlen nicht das Skalarprodukt und schon gar nicht das Kreuzprodukt ist! Allerdings hängt das komplexe Produkt mit diesen beiden folgendermaßen zusammen: Für w u + i v und z x + i y ist der Realteil des Produkts w z ( u i v ) ( x + i y ) gleich dem Skalarprodukt (u,v)(x,y) ux + vy w z cos(w z), während der Imaginärteil gleich dem "zweidimensionalen Kreuzprodukt" (u,v)x(x,y) uy vx w z sin(w z), also gleich dem Flächeninhalt des von w und z aufgespannten Parallelogramms ist. Insbesondere liefert z z x + y das Quadrat der Länge z der als Vektor aufgefaßten Zahl z. Man nennt diese Länge auch den Betrag der komplexen Zahl z: z x + y.

4 Für reelle Zahlen kommt hier der altbekannte Absolutbetrag heraus. Division Das Erfreuliche ist, daß wir nun auch eine beliebige komplexe Zahl z x + i y durch jede von 0 verschiedene komplexe Zahl w u + i v dividieren können: Der Trick besteht darin, den Bruch x + i y u + i v mit der Konjugierten des Nenners zu erweitern: ( u i v ) ( x + i y ) ( u i v ) ( u + i v ) In Kurzschreibweise ist das die Gleichung ux + vy i ( uy vx ) +. u + v u + v z w w z w. Vertauschbarkeit der Konjugation mit den Grundoperationen w ( w + z ) w + z, ( w z ) w z, ( w z) w z, z w z. Polynome entstehen durch iterierte Anwendung von Addition, Subtraktion und Multiplikation. Genauer gesagt, hat ein Polynom in der Variablen z die Form p( z) n a k z k a 0 + a 1 z + a z a n z n. k 0 Ist a n 0, so heißt n der Grad des Polynoms p. Rationale Funktionen sind Quotienten von Polynomen, also z.b. z i q( z) z + 1. Sie sind nur da definiert, wo der Nenner keine Nullstellen, also die Funktion q keine Pole hat. Einer der wichtigsten Vorteile der komplexen gegenüber den reellen Zahlen ist der folgende, von dem berühmten Mathematiker Carl Friedrich Gauß stammende Fundamentalsatz der Algebra Jede Polynomgleichung + a 0 a 1 z a n z n 0 n-ten Grades (n > 0) hat mindestens eine und höchstens n komplexe Lösungen. Dabei dürfen auch

5 die Koeffizienten a 0,..., a n komplex sein. Sind alle Koeffizienten reell, so ist mit z auch z eine Nullstelle. Beispiel 1: Parabeln Während die Gleichung x 1 0 offensichtlich die beiden reellen Lösungen 1 und -1 (und keine weiteren) besitzt, hat die Gleichung x natürlich keine reellen Lösungen, besitzt aber die zwei imaginären Lösungen i und -i. Dagegen hat die quadratische Gleichung x 0 nur die eine Lösung 0. Wurzeln Die (Quadrat-)Wurzel d aus einer nichtnegativen reellen Zahl d ist diejenige nichtnegative reelle Zahl w, für die d gilt. Für negatives d definiert man die Quadratwurzel aus d durch w d : i d, denn diese Zahl ergibt quadriert tatsächlich i ( d ) d. Aber auch d ergibt quadriert wieder d. Vorsicht beim Multiplizieren von Wurzeln! Es gilt i.a. nicht w z w z! 1 1 1?? ( 1 )( 1 ) 1 1? Das mittlere Gleichheitszeichen ist falsch! (Die übrigen sind in Ordnung). Die allgemeine quadratische Gleichung a z + b z + c 0 (wobei a nicht 0 ist) formt man mittels quadratischer Ergänzung um zu b z + a b a c a.

6 Sind a,b,c allesamt reell, so gewinnt man hieraus die bekannte Formel für die Lösungen: z b + a Die beiden Lösungen sind d und z b a d mit d b a c. reell und verschieden, falls d > 0, reell und gleich, falls d 0, nicht reell und konjugiert komplex, falls d < 0. Im Falle komplexer Koeffizienten bleibt die Aufgabe, Quadratwurzeln aus einer komplexen Zahl d f + i g zu ziehen (wobei allerdings f und g reell sind). Wir machen dazu den Ansatz w u + i v und w d. In Koordinaten bedeutet das ( u + i v) u v + i u v f + i g, und der Vergleich von Real-und Imaginärteil liefert das quadratische Gleichungssystem u v f u v g. Da wir den reellen Fall schon erledigt haben, dürfen wir g 0 ausschließen und die zweite Gleichung durch u dividieren. Einsetzen von g v u in die erste Gleichung ergibt mit der Lösung u g f bzw. ( u ) f u g 0 u u f + f + g. Die zweite Lösung entfällt, da hier die Zahlen u, f und g reell sein sollen, also die rechte Seite nicht negativ werden darf. Also ist u und entsprechend f + g + f v f + g f. Beachten Sie, daß die beiden Wurzelausdrücke nicht negativ werden können, da f + g stets

7 mindestens so groß wie f ist. Die richtige Wahl der Vorzeichen für u und v ergibt sich aus der Gleichung u v g : Ist g positiv, so sind u und v beide positiv oder beide negativ zu wählen; ist g hingegen negativ, so müssen u und v entgegengesetzte Vorzeichen erhalten. Beispiel : Eine quadratische Gleichung im Komplexen z ( ) z + 0 wird nach quadratischer Ergänzung zu z i. 16 Die Quadratwurzeln aus i sind nach obiger Formel die komplexen Zahlen u + i v und u i v mit u Probe: ( i) i und v Also sind die Lösungen der Ausgangsgleichung und i i 1 + i 1 i Probe: ( 1 + i) ( ) ( 1 + i) + i i + 0, 3. ( 1 i ) ( ) ( 1 i ) 3 1 i 3 i + i