DHBW Karlsruhe, Vorlesung Programmieren, Klassen (2)

Transkript

1 DHBW Karlsruhe, Vorlesung Programmieren, Klassen (2) Aufgabe 3 Bankkonto Schreiben Sie eine Klasse, die ein Bankkonto realisiert. Attribute für das Bankkonto sind der Name und Vorname des Kontoinhabers, der Kontostand sowie ein Limit, bis zu dem das Konto überzogen werden darf. a) Erstellen Sie einen oder mehrere geeignete Konstruktoren! b) Erstellen Sie Instanzenmethoden für folgende Operationen: Stringdarstellung des Bankkontos Einzahlung Auszahlung Abfrage des Kontostandes

2 Aufgabe 4 Polynome Schreiben Sie eine Klasse, die Polynome 2. Grades repräsentiert. Ein Polynom dieser Klasse hat allgemein das folgende Aussehen: ax 2 bx c a) Erstellen Sie einen oder mehrere geeignete Konstruktoren zur Instanziierung von Polynomen 2. Grades. b) Erstellen Sie Instanzenmethoden für folgende Operationen: Stringdarstellung eines Polynoms (z.b. 1.0x^ x ) Berechnen des Funktionswertes f(x) eines Polynoms. Addition/Subtraktion zweier Polynome. Das Ergebnis ist ein neues Polynom. Multiplikation mit einem Skalar. Das Ergebnis ist ein neues Polynom. Berechnung der Nullstellen des Polynoms. Testen Sie Ihre Klasse mit einer main-methode oder mit einer anderen Klasse.

3 Aufgabe 5 Komplexe Zahlen Eine komplexe Zahl ist durch einen Realteil a und Imaginärteil b gegeben. Komplexe Zahlen werden meist in der Form a+bi angegeben. i ist eine imaginäre Zahl mit i 2 = -1. Mit komplexen Zahlen lassen sich zum Beispiel für alle reellwertigen Polynome Nullstellen finden. So sind i (also 0+1i) und -i (also 0+( 1)i) Nullstellen von x Das Symbol + verhält sich wie eine normale Addition. Zwei komplexe Zahlen a+bi und c+di werden wie folgt addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert: Addition: (a + bi) + (c + di) = a+c + (b+d)i Subtraktion: (a + bi) (c + di) = a c + (b d)i Multiplikation: (a + bi) * (c + di) = ac bd + (ad + bc)i a bi ( a bi)( c di) ac bd bc ad Division: i c di ( c di)( c di) c d c d Implementieren Sie eine Klasse Complex für komplexe Zahlen mit den Instanzenmethoden getrealteil() getimaginaerteil() add(complex zahl) sub(complex zahl) mult(complex zahl) div(complex zahl) tostring() sowie dem Konstruktor Complex(double real, double imag) Wählen Sie jeweils geeignete Rückgabewerte! Die komplexen Zahlen C sind im Gegensatz zu den reellen Zahlen kein geordneter Körper, d. h. es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche Ordnungsrelation auf C. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sagen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. Dennoch gibt es für die komplexen Zahlen eine Quasi-Ordnung, die über ihren (reellen) Betrag a bi 2 2 ( a bi)( a bi) a b definiert ist. Implementieren Sie zunächst eine Methode getbetrag(), welche den Betrag einer komplexen Zahl liefert und anschließend eine Methode kleiner(complex zahl), die als Ergebnis einen booleschen Wert liefert, der genau dann true ist, wenn der Betrag der übergebene Zahl zahl größer oder gleich dem Betrag der komplexen Zahl ist, für welche die Methode aufgerufen wurde. Erzeugen Sie 10 zufällige komplexe Zahlen und geben Sie diese aufsteigend nach ihrem Betrag sortiert aus. Passen Sie zum Beispiel den BubbleSort-Algorithmus (vgl. Übungsblatt Arrays(2), Aufgabe 3) entsprechend an. Sehen die Zahlen nun sortiert aus?

4 Aufgabe 6 Horner-Schema Das Horner-Schema (nach William George Horner) ist ein Umformungsverfahren für Polynome, um die Berechnung von Funktionswerten so einfach wie möglich zu machen. Bei Polynomen in einer Variablen x erfordert das Auswerten an einer Stelle x = a in der klassischen Form die Berechnung der Potenzen a k. Die Umformung des Polynoms nach dem Horner-Schema beschleunigt die Berechnung, indem überflüssige Berechnungen bei den Potenzen vermieden werden. Erfolgt die Auswertung durch Gleitkommaoperationen, so wird darüber hinaus auch der Rechenfehler geringer gehalten. Durch fortgesetztes Ausklammern der freien Polynomvariablen x wird das Polynom als Schachtelung von Produkten und Summen dargestellt. In der umgewandelten Darstellung kommt keine Potenzfunktion, sondern nur noch Multiplikation und Addition vor. Beispiel: Zur Illustration an einem Beispiel sortieren wir die Terme des Polynoms nach aufsteigenden Potenzen; das Ausklammern zur Überführung in das Horner-Schema arbeitet die Terme dann von rechts nach links ab: Die Beschleunigung der Auswertung an einer Stelle x = a kann man an diesem Beispiel wie folgt quantifizieren: In der klassischen Darstellung (linke Seite) werden 7 Multiplikationen benötigt, davon 3 zur Bildung der Potenzen a 2,a 3,a 4. Im Horner-Schema (rechte Seite) kommt man dagegen mit 4 Multiplikationen aus. Die Zahl der rechnerisch weniger aufwendigen Additionen ist in beiden Fällen gleich, nämlich 4. Generell wird der Aufwand für Multiplikationen durch die Anwendung des Horner-Schemas auf fast die Hälfte reduziert. Tabellarische Schreibweise: Betrachten wir nochmals obiges Beispiel und setzen: Nun überträgt man die Koeffizienten, die Zwischenprodukte und Teilsummen in eine 3zeilige- Tabelle, wobei in die erste Zeile die Koeffizienten eingetragen werden. In die dritte Zeile kommen die Teilsummen. Dabei wird der erste Koeffizient des Polynoms direkt übernommen. Die zuvor berechnete Teilsumme multipliziert mit x ergibt dann den nächsten Summanden, den man dann in die zweite Zeile unter den folgenden Koeffizienten einträgt.

5 So erhält man nach und nach das folgende Rechenschema: = = = = (Quelle dieser Beschreibung: de.wikipedia.org) a) Schreiben Sie eine Klasse Polynom, welche Polynome beliebigen Grades darstellen kann! b) Erstellen Sie einen Konstruktor und/oder geeignete Methoden zum Erzeugen eines beliebigen Polynoms! c) Implementieren Sie eine Methode funktionswert, welche für eine beliebige Gleitkommazahl x den Funktionswert des Polynoms gemäß dem Hornerschema berechnet! d) Testen Sie Ihre Klasse mit Polynomen mindestens 10. Grades!