1. Das dekadische Ziffernsystem (Dezimalsystem) Eine ganze Zahl z kann man als Summe von Potenzen zur Basis 10 darstellen:

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1 Zahlensysteme. Das dekadische Ziffernsystem (Dezimalsystem) Eine ganze Zahl z kann man als Summe von Potenzen zur Basis darstellen: n n n n z a a... a a a Dabei sind die Koeffizienten a, a, a,... aus der Menge der Grundziffern {,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} zu wählen. Erweitert man dieses Konzept um negative Exponenten, so lassen sich auch Dezimalbrüche, d.h. rationale und näherungsweise reelle Zahlen r darstellen: r a n n a n n... a a... a m m Ein Bruch hat in obiger Notation also n Vorkommastellen und m Nachkommastellen. Die Zahl 3.76 lautet damit:

2 . Das Dualsystem (Zweiersystem, Binärsystem) Auf Grund der Repräsentation von Daten in DV-Anlagen durch die beiden Zustände "" und "" bietet sich in diesem Bereich das Dualsystem an. Es arbeitet mit der Basis und den beiden Grundziffern {, }. Ein weiterer Grund für die Bevorzugung des Dualsystems ist die besondere Einfachheit der Arithmetik in diesem System, insbesondere der Subtraktion. Im Dualsystem lautet die Zahl 3 dez 3 bin 8 4 3dez Dezimal Dual

3 3 3. Umwandlung von Binärzahlen in Dezimalzahlen bin 4 dez 5 3 bin bin 4 8 dez 4

4 4 4. Umwandlung von Dezimalzahlen in Binärzahlen Fortgesetzte Division durch Die Umwandlung in eine Dualzahl folgt aus der fortgesetzten Division durch : 7 : 586 Rest 586 : 543 Rest 543 : 7 Rest 7 : 635 Rest 635 : 37 Rest 37 : 58 Rest 58 : 79 Rest 79 : 39 Rest 39 : 9 Rest 9 : 9 Rest 9 : 4 Rest 4 : Rest : Rest : Rest Ergebnis: 7 dez bin

5 5 5. Umwandlung von Nachkommastellen Als Beispiel wird die Dezimalzahl in binärer Form dargestellt.. Umwandlung des ganzzahligen Anteils 39 : 9 Rest 9 : 9 Rest 9 : 4 Rest 4 : Rest : Rest : Rest Ergebnis: 39 dez bin. Umwandlung der Nachkommastellen: abspalten abspalten.75.5 abspalten.5. abspalten (fertig, Ergebnis ganzzahlig) Ergebnis:.6875 dez. bin, insgesamt also: dez. bin

6 6. Binäre Addition 6 Die Rechenregeln für die Addition zweier Binärziffern lauten: Übertrag Die Aufgabe 4 5 soll in binärer Arithmetik gelöst werden. Ergebnis: Übertrag Die Additions-Rechenregeln lassen sich ohne weiteres auch auf Brüche anwenden, wie das folgende Beispiel zeigt. Die Aufgabe soll in binärer Arithmetik gelöst werden. Ergebnis:.. Übertrag.

7 7 Aufgabe 7 9 Duale Darstellung 7 : 8 Rest 8 : 4 Rest 4 : Rest : Rest : Rest 7 dez bin : 6 Rest 6 : 3 Rest 3 : Rest : Rest dez bin

8 8 7. Binäre Subtraktion Die Rechenregeln für die Subtraktion zweier Binärziffern lauten: Übertrag Die Aufgabe 3 soll in binärer Arithmetik gelöst werden: Ergebnis: Übertrag

9 9 8. Binäre Subtraktion und Zweierkomplement Das Zweierkomplement einer binären Zahl erhält man durch Bildung des Stellenkomplements und Addieren von zum Ergebnis. Stellt man auf diese Weise eine negative Zahl dar, so kann man die Addition wie mit positiven Zahlen durchführen; das Vorzeichen des Ergebnisses lässt sich dann am MSB ablesen. (MSB: Most Significant Bit, höchste Stelle der Binärzahl) a) Unter Verwendung des Zweierkomplements ist zu berechnen: Stellenkomplement von 4 wird addiert Zweierkomplement von 4 7 Zweierkomplement von 4 wird addiert Ergebnis (positiv, da MSB ) Bei der Addition ergibt sich ein Übertrag über die feste Stellenzahl von 8 Bit hinaus, so dass MSB folgt.

10 b) Unter Verwendung des Zweierkomplements ist zu berechnen: 7 7 Stellenkomplement von 7 wird addiert Zweierkomplement von 7 Zwischenergebnis (negativ, da MSB ) Stellenkomplement des Zwischenergebnisses wird addiert Ergebnis: 7 5

11 Stellenkomplement von.65 wird addiert. Zweierkomplement von.65. Ergebnis: (negativ, da MSB ). Stellenkomplement des Zwischenergebnisses wird addiert. Ergebnis:

12 9. Binäre Multiplikation Die Rechenregeln für die Multiplikation zweier Binärziffern lauten: Die Multiplikation mehrstelliger Zahlen wird (wie von der Multiplikation im Zehnersystem gewohnt) auf die Multiplikation des Multiplikanden mit den einzelnen Stellen des Multiplikators und stellenrichtige Addition der Zwischenergebnisse zurückgeführt. a) Die Aufgabe 3 3 ist in binärer Arithmetik zu lösen. Lösung: *

13 3. Binäre Multiplikation von Zahlen mit Kommastellen Die Erweiterung auf Zahlen mit Kommastellen ist nach denselben Regeln ohne weiteres möglich. Die Aufgabe ist in binärer Arithmetik zu lösen. Lösung:.*. Nach stellenrichtigem Einfügen des Kommas erhält man das Ergebnis: dez 9.75dez.bin dez

14 4. Binäre Division Ähnlich wie die Multiplikation lässt sich auch die binäre Division in Analogie zu dem im Zehnersystem gewohnten Verfahren durchführen. : 4 5 : : 4 5,5 :. 4 5,5

15 5 Die Aufgabe : soll in binärer Arithmetik gelöst werden. : Man erhält in diesem Falle also auch in der Binärdarstellung einen unendlichen, periodischen Bruch.

16 6. Verschieben Wird eine Binärzahl mit einer Zweierpotenz k multipliziert, so entspricht dies in Analogie zur Multiplikation mit einer Potenz von im Zehnersystem einer Verschiebung dieser Zahl um k Stellen nach links. Die Multiplikationsaufgabe lautet in binärer Schreibweise: