Modul 114. Zahlensysteme

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1 Modul 114 Modulbezeichnung: Modul 114 Kompetenzfeld: Codierungs-, Kompressions- und Verschlüsselungsverfahren einsetzen 1. Codierungen von Daten situationsbezogen auswählen und einsetzen. Aufzeigen, welche Auswirkung die Codierung auf die Darstellung von Daten hat. 2. Kompressionsverfahren gemäß Vorgaben für die Aufbewahrung, Wiederherstellung und Übertragung von Daten auswählen und einsetzen. 3. Verschlüsselungsverfahren zur Sicherung von Daten gemäß Vorgaben gegen unbefugten Zugriff auf Datenspeicher und Übertragungswegen auswählen und einsetzen. 4. Gesicherte Übertragungsverfahren für Dateien mit asymmetrischen und symmetrischen Verschlüsselungsverfahren nutzen. Dabei Aspekte wie Public/Private Key, Zertifikate, Protokolle und Standards berücksichtigen. Zahlensysteme Hier haben wir eine Tabellarische Übersicht der Wertigkeiten der Zahlensysteme von der Ziffer 0 bis 15, die Ansicht beinhaltet alle gängigen Zahlensysteme welche in diesem Beitrag behandelt wurden. Dez Hex Binär Oktal 1 aus 16 BCD Dez Hex Binär Oktal 1 aus16 BCD A B C D E F Modul114 Patrick Urfer Seite 1 von 5

2 Binärsystem: Das Binärsystem auch bekannt als Dualsystem ist ein Zahlensystem welches zur Darstellung von Zahlen mit nur zwei verschiedenen Ziffern verwendet wird, es werden im Gegensatz zum Dezimalsystem(0-9) die zwei Werte(0-1) verwendet. Mit diesen zwei Ziffern können jedoch mehr als zwei Zahlen dargestellt werden in dem man mit 0 und 1 Reihenfolgen anreiht, bildet man größere Zahlen als 0 und 1, dafür spielt die Stellenposition sowie die Wertigkeit der angereihten Zahlen eine Rolle ob es sich um eine 0 oder eine 1 handelt. Dies passiert in dem eine jede Stelle die Potenz 2 hoch der Stellenposition rechnet und dies mit der Stellenwertigkeit somit Multipliziert daraus wird ersichtlich dass bei der 1 immer der Wert der Potenz folgt und bei der 0 kein neuer Wert erfolgt, da etwas mit 0 multipliziert 0 ergibt. Die Addition und Subtraktion von Binärzahlen Umwandlung Binär Es gelten die Regeln 0+0=0, 1+0=1, 0+1=1, 1+1=0 Übertrag 1. Im Prinzip also nichts Neues. Addiert man im Dezimalsystem 2 Zahlen so kommt bei 5+5 auch 0 Übertrag 1 heraus. Der Übertrag wird bei beiden Systems jeweils voran gestellt. Also gilt im Dualsystem 1+1=10. Es gibt allerdings einen Haken an der Sache: Die Addition funktioniert nur innerhalb eines bestimmten Wertebereiches. Bei der Beispiel Aufgabe nutzen wir als Speicherbereich 1Byte also 8bit die damit größte darstellbare Zahl ist die , also dezimal 255. Was passiert nun, wenn wir eine , also 1, addieren? Das verrückte ist: es kommt , also 0 heraus. Binär zu Hexadez Jeweils 4 Binärstellen entsprechen einer Hexadezimalstelle, denn 16 = 24. Daher lassen sich diese Systeme auch ohne Umweg direkt und stellenweise umwandeln. Hexadez zu Binär Wandle die Hexadezimalziffern der Reihe nach in die entsprechenden vierstelligen Binärzahlen um. Oktalsystem Das Oktalsystem, auch Achtersystem genannt, verwendet die Basis 8 Um Zahlen darzustellen, stehen die Ziffern 0 bis 7 zur Verfügung. Da 23 8, ist lassen sich mit 3Bits eben 8 verschiedene Möglichkeiten darstellen. Umrechnungen erfolgen genauso wie beim Hexadezimalsystem es gezeigt wurde. Um die Oktalzahl auszurechnen, die einer best. Dezimalzahl entspricht, dividieren Sie die Dezimalzahl fortlaufend durch 8 und schreiben die Reste von rechts nach links an. In umgekehrter Richtung - von Oktal nach Dezimal - multiplizieren Sie die einzelnen Ziffern mit dem Stellenwert (8n für n = 0, 1, 2,...) und addieren die Teilergebnisse. Modul114 Patrick Urfer Seite 2 von 5

3 Hexadezimal-System Damit man mit möglichst wenigen Ziffern große Zahlenwerte darstellen kann, hat sich das Hexadezimalsystem etabliert. Das Zahlensystem hat dabei folgende Merkmale: Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Andere Ziffern sind ungültig. Basis: 16, da 16 verschiedene Ziffern existieren. Stellenwerte: Potenzen der Basis 16 Die Ziffern A - F haben dabei in Dezimal umgerechnet folgende Werte: A: 10 B: 11 C: 12 D: 13 E: 14 F: 15 Das System: Im Hexadezimalsystem existieren 16 verschiedene Ziffern, 0-9 und A - F. Die Basis eines Zahlensystems bestimmt die Anzahl unterschiedlicher Ziffern. Da im Hexadezimalsystem 16 verschiedene Ziffern existieren, ist die Basis 16. Eine Hexadezimalzahl besteht meistens nicht nur aus einer Ziffer, sondern aus einer Ziffernfolge. Daher muss man wissen, wie die Wertigkeiten sind. Addition und Subtraktion Even- and Odd-Parity In der Addition gelten die Regeln wie in allen Zahlensystemen man Rechnet die 2 Zahlen zusammen und wenn der Wert höher ist als der Stellenwert im Hex also 16 so gibt es einen Übertrag. Als Beispiel sollen hier die beiden Hexadezimalzahlen 2E9A und 12F7 voneinander abgezogen werden: Als erstes ziehen Sie die beiden in den Zahlen am weitesten rechts stehenden Ziffern voneinander ab, also A -7 = 3. Dann folgen die Ziffern 9 und F, wobei Sie das Ergebnis 9 F = A Übertrag 1 heraus bekommen. Anschließend ziehen Sie E und 3 (statt 2, wegen des Übertrags) voneinander ab, was E - 3 = B ergibt. Zu guter Letzt subtrahieren Sie die Ziffern 2 und 1 und bekommen das Ergebnis 2 1 = 1. Das Gesamtergebnis lautet dann 1BA3. Even-Parity: Ist für die Datenübertragung Even-Parity (Paritätssumme gerade Paritybit: 0, Paritätssumme ungerade Paritybit: 1) festgelegt, so gilt für die beiden nachfolgenden Beispiele: Das Informationswort hat vier Einsen. Vier ist eine gerade Zahl, das Paritätskontrollbit ist also die Null, und das resultierende Codewort ist Das Informationswort hat hingegen eine ungerade Paritätssumme und wird in das Codewort codiert. Modul114 Patrick Urfer Seite 3 von 5

4 Odd-Parity: Ist für die Datenübertragung Odd-Parity (Paritätssumme gerade Paritybit: 1, Paritätssumme ungerade Paritybit: 0) festgelegt, so gilt für die beiden nachfolgenden Beispiele: Das Informationswort hat vier Einsen. Vier ist eine gerade Zahl, das Paritätskontrollbit ist also die Eins, und das resultierende Codewort ist Das Informationswort hat hingegen eine ungerade Paritätssumme und wird in das Codewort codiert. 1 aus n Code Der 1-aus-n-Code oder auch die One-Hot-Kodierung stellt Zahlen binär dar, gewöhnlich, um in einem Computer benutzt zu werden. Eine dezimale Ziffer wird im 1-aus-n-Code durch n Bits dargestellt, wobei jeweils nur ein Bit auf 1 gesetzt ist, während die restlichen n-1 Bits 0 sind. Der Code ist sehr redundant, denn n Bit könnten bis zu n verschiedene Zahlen kodieren. Hamming-Abstand Beim 1 aus n Code beträgt der Hamming-Abstand 2 weil von jeder Zahl zur nächsten mindestens 2Bits den Wert wechseln, daraus lässt sich schließen das die Hamming-Distanz gleich der Anzahl Bits welche den Wert wechseln ist. Eine solche Distanz kann für die Fehlererkennung aller 1-Bit-Fehler benutzt werden, nicht aber zu deren Fehlerkorrektur. Dagegen können mit einer Hamming-Distanz von 3 alle 1-Bit-Fehler behoben werden. Das bedeutet, dass die Fähigkeit der Codes Fehler zu beheben von der Hamming-Distanz abhängt. Einerkomplement Verwendet man das Einerkomplement zur Codierung von negativen Zahlen so haben positive Zahlen immer eine führende 0. Negative Zahlen werden mit einer führenden 1 dargestellt und wie folgt codiert: Sämtliche Ziffern der entsprechenden positiven Zahl werden umgedreht. Nachteil des Einerkomplement ist das einige Rechnungen nicht aufgehen und um +1 und -1 abweichen sowie das für die Null zwei Darstellungen existieren: und sind identisch. Bsp.: +4-4 = 0 führt zu = Modul114 Patrick Urfer Seite 4 von 5

5 Zweierkomplement Das Problem des Einerkomplements zwei Darstellungen für die Null zu haben tritt nicht auf. Positive Zahlen werden im Zweierkomplement mit einer führenden 0 versehen und ansonsten nicht verändert. Negative Zahlen werden mit einer führenden 1 dargestellt und wie folgt codiert: Sämtliche Ziffern der entsprechenden positiven Zahl werden umgedreht und es wird +1 dazugerechnet. Bsp.: +4-4 = 0 führt zu ((+1)= )= (9 Ziffern) in dem Fall wird die 1 abgeschnitten das führt zu Exzessdarstellung Die Exzessdarstellung entsteht aus dem Zweierkomplement indem man das vorderste Bit Umdreht, die Exzessdarstellung ist im Vergleich zum Zweierkomplement um den halben Wertebereich verschoben, daher kommt auch die Bezeichnung Exzess-2n oder auch Exzess-128 bei einer Länge von 8Bit. Hier ein Beispiel: Zweierkomplement = und durch die Umdrehung des vordersten Bits ändern wie es in die Exzessdarstellung = BCD-Code Um eine Zahl als BCD-Zahl darzustellen, wird jede dezimale Ziffer (0 bis 9) durch jeweils vier Bit dargestellt (0000 bis 1001, siehe Codetabelle), also in einem Halbbyte (Nibble). Die verbleibenden sechs Werte (1010 bis 1111), die mit vier Bit darstellbar sind, stellen keine gültigen BCD-Zahlen dar und werden auch als Pseudotetraden bezeichnet. Zur Kodierung von Zahlen mit mehr als einer Dezimalziffer werden die BCD- Darstellungen der einzelnen Ziffern hintereinander gesetzt (z. B. wird die Zahl 2687 als dargestellt). Mit einem Byte (8 Bit) können zwei Dezimalziffern dargestellt werden. Werden die 4 Bits einer BCD-Zahl jeweils in den niederwertigen Bits kodiert und die restlichen 4 Bits mit Nullen aufgefüllt, so spricht man von einer ungepackten BCD-Zahl. Werden beide Hälften eines Bytes mit je einer BCD-Zahl belegt, so nennt man dies entsprechend eine gepackte BCD-Zahl. Die Zahl 10 ist die kleinste Zahl, die binär ( ) und BCD ( ) unterschiedlich kodiert wird. Danach wird verschieden Kodiert wegen der Pseudotetraden. Modul114 Patrick Urfer Seite 5 von 5

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