Das Rechnermodell - Funktion
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- Gertrud Beutel
- vor 8 Jahren
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Transkript
1 Darstellung von Zahlen und Zeichen im Rechner Darstellung von Zeichen ASCII-Kodierung Zahlensysteme Dezimalsystem, Dualsystem, Hexadezimalsystem Darstellung von Zahlen im Rechner Natürliche Zahlen Ganze Zahlen -- INTEGER Darstellung mit Vorzeichenbit Darstellung im Zweierkomplemet Reelle Zahlen -- REAL REAL-Zahlen nach Mikroprozessornorm erhöht genaue Zahlendarstellung Genauigkeit der internen Zahlenrepräsentation BCD-Kodierung dezimaler Zahl
2 Darstellung von Zahlen/Zeichen im Rechner Bit (0/1) ist die kleinste Informationseinheit Größere Einheiten durch Zusammenfassen mehrerer Bits, z.b. 8 Bit = 1 Byte, 4 Byte = 1 Wort 1 Byte = 8 Bit Most Significant Bit Least Significant Bit In einem Byte können 256 unterschiedliche Zustände repräsentiert werden
3 Darstellung von Zeichen im Rechner Zeichen werden durch eindeutige Byte-Codes kodiert Der ASCII-Zeichensatz ist der "Urvater" aller Zeichensätze Er enthält 2 7 = 128 Zeichen Die lateinischen Grundbuchstaben, Zahlen und einige spezielle Zeichen Er ist sozusagen der kleinste gemeinsame Nenner aller anderen Zeichensätze Der erweiterte ASCII Zeichensatze enthält 2 8 = 256 Zeichen In der ersten Hälfte identisch mit dem 7 Bit ASCII Zeichensatz In der zweiten Hälfte enthält er je nach Sprache und Computersystem verschiedene weitere Zeichen, z.b. Umlaute
4 7 Bit ASCII Interchange-Kodierung von Zeichen American Standard Code of Information Interchange
5 Erweiterung des 7-Bit ASCII-Codes Verfügbares MSB-Bit als Paritätsbit zur Erkennung von Übertragungsfehlern Setze MSB-Bit so, daß Summe aller Bits gerade/ungerade Wenn nicht erfüllt, dann Übertragungsfehler Verfügbares MSB-Bit zur Erweiterung des Zeichensatzes z.b. länderspezifische Erweiterungen - ä ö ü ß etc.
6 Ein/Ausgabemedien müssen entsprechende Zeichen-Codes senden/empfangen und darstellen z.b. Tastaturtreiber müssen ASCII Zeichen-Codes generieren Das Aussehen der Zeichen wird durch die Schriftart oder den Font festgelegt Können beliebig gewählt werden Geben vor, wie ein Zeichen auf dem Ausgabemedium erscheint Byte-Wert (interne Repräsentation) 252 Zeichensatz, z.b. ASCII, 252 = ü Schriftart (Font), realisiert Zeichen
7 Repräsentation und Bearbeitung von Zahlen Zahlensysteme: Repräsentation einer Zahl Z in einer Zahlenbasis Z = i X i Y i, (i, 0 X Y) Y: Basis des Zahlensystems X: Ziffernvorrat Negative Exponenten beschreiben Nachkommastellen Bsp.: Dezimalsystem: Y =10, 0 X 10 Z = = Prinzipiell kann die Basis beliebig gewählt werden Gängige Basen sind Y = 2 (Binär), Y = 10 (Dezimal), Y = 16 (Hexadezimal)
8 Dual- oder Binärzahlen Basis Y=2, Ziffernvorrat = 0,1 (repräsentiert durch 1 Bit) Bsp.: = Hexadezimalsystem Basis Y=16, Ziffernvorrat 0-9, A-F Bsp.: 6A = = 106 Zur Umrechnung von Dualdarstellung in Hexadezimaldarstellung splittet man 1 Byte in 2 Halbbytes 106 = = 6A
9 Umrechnung von Dezimalzahlen in Dualzahlen Restwertmethode 37 : 2 = 18 Rest > : 2 = 9 Rest 0 9 : 2 = 4 Rest 1 4 : 2 = 2 Rest 0 2 : 2 = 1 Rest 0 1 : 2 = 0 Rest 1
10 Umrechnung von gebrochenen Zahlen durch Zerlegung in den ganzzahligen und gebrochenen Teil (Bsp: 37.2) Umrechnung des ganzzahligen Teils der Dezimalzahl Umrechnung des gebrochenen Anteils der Dezimalzahl mittels fortgesetzter Multiplikation 0,2 2 = 0,4 --> 0 0,4 2 = 0,8 --> 0 0,8 2 = 1,6 --> = 0,6 2 = 1,2 --> ,2 2 = 0,4 --> >
11 Beispiel Zahlenkonvertierung dezimal binär hex dezimal binär hex A B C D E F
12 Zahlendarstellung im Rechner Natürliche Zahlen (positive ganze Zahlen) Anzahl von darstellbaren Zahlen hängt ab von der Anzahl von Bytes, die zur Repräsentation zur Verfügung stehen 1 Byte: Wertebereich von Entspricht in einigen Programmiersprachen dem Typ byte 2 Byte: Wertebereich von Entspricht in einigen Programmiersprachen dem Typ short 4 Byte: Wertebereich von 0-(2 32-1) Entspricht in einigen Programmiersprachen dem Typ int
13 Zahlendarstellung im Rechner Ganze Zahlen (Integer-Zahlen) Signed oder vorzeichenbehaftet Alternative 1: Reservierung eines Bits für das Vorzeichen und Kodierung wie gehabt Zahlenbereich bei 8 Bit: -127 bis +127 Es gibt +0 und -0 Alternative 2: Darstellung negativer Zahlen im Zweierkomplement ( X=B n+1 -X ) Negation aller Bits der positiven Zahl und anschließende Addition von = , -106 = = Zahlenbereich bei n Bits: -2 n bis 2 n -1
14 Zahlendarstellung im Rechner Reele Zahlen (Gleitkomma-Darstellung) Genauigkeit der internen Repräsentation hängt ab von der Anzahl von Bytes, die zur Repräsentation zur Verfügung stehen 4 Byte: Entspricht in einigen Programmiersprachen dem Typ float 8 Byte: Entspricht in einigen Programmiersprachen dem Typ double
15 Zahlendarstellung im Rechner IEEE-Norm (Institute of Electrical and Electronics Engineers) Gleitkommazahl p (4 Bytes) wird dargestellt als p = (-1) s m B e s = sign(m): Vorzeichenbit m: Mantisse B: Basis e: exponent Bits s exp m 1Bit 8Bit 23Bit Vorzeichen exp = e+127 Mantisse
16 Gleitkommadarstellung In der Mantisse werden Werte von 0.0 bis (Dual) repräsentiert Bsp.: = 1/2 = 0.5; = 1/4 = 0.25 Kleinste Zahl ist: (1 in Position 2-23 ) Da das höchstwertige Bit immer 0 ist, wird es nicht kodiert (Hidden-Bit)
17 Gleitkommadarstellung Den Wert des Exponenten erhält man durch Subtraktion von 127 (Hälfte des Wertebereichs) von dem in den 8 Bit dargestellten ganzzahligen Wert Werte von 127 bis 128 sind somit möglich -127 und 128 jedoch für Spezialfälle reserviert -127: 0, 128 (m=0): Infinity, 128(m 0): NaN: ungültiger Wert
18 Gleitkommadarstellung Bei 8 Byte Darstellung: s: 1 Bit m: 52 Bit e: 11 Bit Höhere Genauigkeit, da Wertebereich 32-Bit-Genauigkeit: bis Bit-Genauigkeit: bis
19 Bsp.: Normalisieren einer 64-Bit-genauen Gleitkommazahl p=( ) 2 1 Interne Darstellung: s=0; exp=(e=1)+1023; m= p: Normalisierung: Verringern des Exponenten um 3 und gleichzeitiges Verschieben der Mantisse um 3 Stellen nach links Ergebnis: p=+( ) =
20 Integer-Arithmetik Addition (mit 4 Bit Darstellung): (1)0000 Overflow Subtraktion durch Addition negativer Zahlen (Y-X=Y+X) Y-X = Y (X 2 n+1 +2 n+1 ) = Y+2 n+1 X 2 n+1 = Y+X 2 n+1 Negative Zahl wird hier im 2er-Komplement dargestellt 2er-Komplement: Bitweises negieren und addieren von = (1001+1) = 1010
21 Integer-Arithmetik = = Übertrag nur dann Overflow, wenn Vorzeichen beider Zahlen gleich und das Ergebnis ein anderes Vorzeichen hat Bsp: +(-12)+(-12) = =101000
22 Integer-Arithmetik Algorithmus zur Multiplikation Bsp.: Nach denselben Regeln, nach denen Dezimalzahlen multipliziert werden Stellenweises multiplizieren des Multiplikanten mit dem Multiplikator und addieren der Teilergebnisse *
23 Integer-Arithmetik Optimierung der Multiplikation durch Bitverschiebung Verschieben um 1 Position nach rechts = Division durch 2 Verschieben um 1 Position nach links = Multiplikation mit 2 Algorithmus (X*Y): 1) Ergebnis = 0 2) wenn letztes Bit von Y = 1, dann addiere X zum Ergebnis 3) Verschiebe Y um eine Stelle nach rechts 4) Verschiebe X um eine Stelle nach links 5) wenn Y ungleich 0, dann wiederhole beginnend mit Schritt 2
24 Integer-Arithmetik Multiplikation durch Bitverschiebung Bsp.: 1001 x 1101 Wiederholung Shift rechts Shift links Ergebnis:
25 Integer-Arithmetik Division mittels Addition, Subtraktion und Bitverschiebung Algorithmus (X/Y): 1) Quotient Q = 0, Rest = X, T = Y 2) Verschiebe T bis T>Rest (wie oft geht Y in X) 3) Wenn T = Y: Ende 4) Verdopple Q (<<1) und halbiere T (>>1) 5) Wenn T<=Rest: Rest=Rest-T und Q = Q+1 6) Wiederhole beginnend mit Schritt 3
26 Integer-Arithmetik = Betrag von 11001= (durch Bildung des 2er-Komplement) 00111
27 Gleitkomma-Arithmetik Addition/Subtraktion: Exponenten angleichen (Verschieben der Mantisse des Operanden mit kleineren Exponenten Mantissen addieren/subtrahieren Ergebnis normalisieren Beispiel: = ( )+( )= ( )+( )= 1, =1 2 6
28 Gleitkomma-Arithmetik Multiplikation/Division: Multiplikation/Division der Mantissen Exponenten addieren/subtrahieren Ergebnis normalisieren Beispiel: = ( ) ( )= = = =240
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