3 Rechnen und Schaltnetze

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1 3 Rechnen und Schaltnetze Arithmetik, Logik, Register Taschenrechner rste Prozessoren (z.b. Intel 4004) waren für reine Rechenaufgaben ausgelegt 4 4-Bit Register 4-Bit Datenbus 4 Kbyte Speicher Befehle/s 4004 Addierer Register Stapel ROM RAM SchiebeRegister 2

2 Grundschalter Operation binär {0,} Tabelle DIN AND xy x y OR min (x+y,) x y NOT -x 0 0 x XOR x+y mod x y = 3 UND-Gatter ine UND-Schaltung kann als ein Gatter verwendet werden: Input Beispiel Nur wenn die Kontrolleingaben genau gleich dem geforderten Muster (hier 0,,,0,0) sind, wird der Input durchgeschaltet, sonst ist der Output 0. K O N T R O L L x x 2 x 3 x 4 x 5 Output 4

3 Adress-Decodierer Die Adressen sind als m-bit-binärzahlen codiert, mit denen bis zu 2 m Speicherzellen angesprochen werden können. A D R S S x x 2 x 3 y 0 y y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 A U S G A N G Z U R Z L L 5 Halbaddierer a b = s = a+b mod 2 c : Übertrag ADDIRR a b s c Volladdierer a HA Summe a+b+c mod 2 b c HA Carry ab + c(a+b mod 2) n-bit-addierer ADD s s 2 s 3... s n a a 2 a 3... a n 7: 0 4: C: : 0 0 VA VA VA... VA Carry b b 2 b 3... b n 6

4 Stellenwertsysteme Basis: n, Ziffern {0,...,n-}, Zahlen = Folgen von Ziffern - führende 0 en werden ignoriert - a k a k-...a a 0 steht für a k n k +a k- n k a n +a 0 n 0 Der Benutzer ist das Dezimalsystem gewohnt: aus {0,,2,3,4,5,6,7,8,9} werden Folgen gebildet. Der Rechner benutzt das Binärsystem: aus {0,} werden Folgen gebildet. in Kompromiss ist das Hexadezimalsystem: aus {0,,...,9,A,B,C,D,,F} werden Folgen gebildet. Binär Hexa A B C D F Dezimal Umrechnung Division mit Rest : Umrechnung aus der eigenen Basis (2) in die fremde Basis (0) Die Umzurechnende Zahl wird in den ACCU geladen Der ACCU wird so lange mit Rest durch 00 (=0) geteilt, bis er 0 ist, dabei wird jeweils der Rest (0000,...,00) als Ziffer (0,...,9) ausgegeben und der Quotient in den ACCU geschrieben. Das rgebnis liefert die Ziffern von hinten nach vorne gelesen. Horner-Schema : Umrechnung aus der fremden Basis (0) in die eigene Basis (2) Lade in den ACCU eine 0 Multipliziere den ACCU mit 0 und addiere dazu die nächste Stelle der Zahl (von vorne beginnend) Das rgebnis steht dann im ACCU 8

5 Vorzeichen-Betrag Vorzeichen-Betrag-Notation Das erste Bit trägt das Vorzeichen ( = -), in den übrigen n- Bits wird die vorzeichenlose Binärzahl notiert. Negative Zahlen: -a wird durch Wechsel des ersten Bits gebildet -00 = 0 Subtraktion (a-b, falls a>b): a-b wird nach der Schulmethode gebildet, die untere Ziffer wird von der oberen abgezogen, falls sie größer ist, wird mit einem Carry von der nächsten Stelle geliehen, der Carry wird auf die nächste Stelle unten aufaddiert (0- = mit carry, x-(+carry) = x mit carry ). Addition und Subtraktion werden durch Fallunterscheidung über Vorzeichen und Größenvergleich ausgeführt ( 4-5 = -(5-4), -3-2 = -(3+2) ) 4: : 0 0 : Basiskomplement Negative Zahlen:. Bit fungiert als Vorzeichen ( = -) Basiskomplement-Notation positive Zahlen sind die Binärzahlem mit erstem Bit 0, die zugehörige negative Zahl addiert mit ihr genau zu auf (mit Carry = ) inerkomplement: NOT(a) = a +... inkrementiert : ist das Basiskomplement -a Addition Subtraktion ADD SUB ADC NOT, wobei ADC wie ADD mit ingangscarry (statt 0) definiert ist -00 = 0 7: 0-4: : 0 0 Wegen der einfacheren Rechnungen ist intern die Basiskomplementdarstellung vorzuziehen. 0

6 Übertrag (Carry) Bei vorzeichenlosen Zahlen bedeutet das, daß die Summe zu groß ist und daher das rgebnis falsch. Bei Zahlen mit Vorzeichen ist der Carry kein Zeichen für einen Fehler Überlauf (Overflow, Underflow) nicht für vorzeichenlose Binärzahlen Ist die Summe zweier positiver Zahlen negativ (Carry ins Vorzeichenfeld), so ist das rgebnis falsch wegen Überlaufs Ist Summe zweier negativer Zahlen positiv, so ist das rgebnis falsch wegen Unterlaufs Fehlersituationen 7: 0 2: 0 0 3: 0 0 7: 0-4: 0 0 3: 0 0 6: 0 0 3: 0 0 -: 0 0-5: 0 0-4: 0 0 6: 0 0 Aber ok: -3: 0-4: 0 0-7: 0 0 Multiplikation Auch hier arbeitet das Schulverfahren sehr gut, zumal die Multiplikation mit den Ziffern 0, trivial ist. Faktor Faktor 2 rgebnis Der zweite Faktor wird hinten in ein doppelt so langes Feld geschrieben wie eigentlich notwendig, in den vorderen Bereich und das ebenfalls lange rgebnisfeld werden 0 en geschrieben. Das letzte Bit des.faktors ist aktuell. Ist das aktuelle Bit =, so wird der zweite Faktor zum rgebnis addiert der zweite Faktor wird ein Feld nach links geschoben ( mal zwei!) und rechts eine 0 angehängt das aktuelle Bit ist nun das nächste Feld links im ersten Faktor, wenn es schon ganz vorne war ist das Verfahren zu nde. 2

7 Die Division arbeitet genau umgekehrt: Dividend ganzzahlige Division Divisor Der Dividend wird in ein Feld geschrieben, das doppelt so lang ist wie der Divisor. Der Divisor wird im zweiten Feld so weit nach links geschoben, daß seine erste unter die erste des Divisors kommt. Das aktuelle Bit ist ein Bit links von dem ersten Bit des Divisors Ist der Dividend kleinergleich dem Divisor ab aktuellem Bit, wird der Dividend vom Divisor subtrahiert und das aktuelle Bit wird gesetzt der Divisor wird um ein Bit nach rechts verschoben, wenn dies nicht mehr geht ist das Verfahren zu nde. das aktuelle Bit ist das nächste Bit rechts neben dem bisherigen aktuellen Bit. Am nde steht in der vorderen Hälfte des Dividenden der Quotient und in der hinteren Hälfte der Rest. 3 Kleinste adressierbare inheit: Byte (= 8 Bit) Halbwort Wort : 2 Byte (= 6 Bit) : 4 Byte (= 32 Bit) Datenformate Ganzzahl (Bit 0 : Vorzeichen) Festkomma Gleitkomma xponent (7) Mantisse (24 = 6 hex-ziffern) xponent (7) Mantisse (56 = 4 hex-ziffern) Logischer Datenstrom... Zeichen (8) Zeichen (8) Zeichen (8) Zeichen (8)... 4

8 ANSI / I Standard erweitert Parameter einfach doppelt einfach doppelt Mantissenlänge(+) >3 >63 xponent max min xp.-breite 8 >0 >5 Gesamtformat 32 Bit 64 Bit > 4 Bit > 78 Bit Als xponent wird der tatsächliche xponent + xp.max eingetragen (bias) Sonderwerte +, -, NaN (not a number) xponent: xp.max + Null : xponent xp.min - 5 6