BITte ein BIT. Vom Bit zum Binärsystem. A Bit Of Magic. 1. Welche Werte kann ein Bit annehmen? 2. Wie viele Zustände können Sie mit 2 Bit darstellen?

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1 BITte ein BIT Vom Bit zum Binärsystem A Bit Of Magic 1. Welche Werte kann ein Bit annehmen? 2. Wie viele Zustände können Sie mit 2 Bit darstellen? 3. Gegeben ist der Bitstrom: Was repräsentiert dieser Bitstrom? 4. Gegeben ist der Bitstrom: Welche Schlüssel kennen Sie, um diesen Bitstrom zu decodieren? 5. Gegeben ist der Bitstrom: Welche Schlüssel kennen Sie, um diesen Bitstrom zu decodieren? 6. Für was steht die Bezeichnung Bit? 0 oder 1 Vier Zustände Da kein Schlüssel mit übergegeben ist, ist nicht determiniert, wie dieser Bitstrom decodiert werden soll. Binäre ganze Zahl Zahl im Zweierkomplement ASCII- Code codiert Binäre ganze Zahl Zahl im Zweierkomplement UTF- 8 Binary digit

2 7. Was ist ein Bit? Kleinste darstellbare Informationseinheit eines digitalen Rechners.

3 Binär Dezimal kodieren Binär Dezimal kodieren 8. Wie viele Zahlen lassen sich mit 8 Bit codieren? Warum? Dokumentieren Sie Ihre Antwort. 2 hoch 8 = 256 Zahlen 9. Wie viele Zeichen lassen sich mit 16 Bit codieren? Warum? Dokumentieren Sie Ihre Antwort. 2 hoch 16 = Zeichen 10. Gegeben sei eine Datenbreite k = 4 für einen beliebigen Bitstrom. Wie viele Zeichen können damit kodiert werden. 2 hoch 4 = 16 Zeichen 11. Gegeben sei eine Datenbreite k = 2 für einen belie- bigen Bitstrom. Codiert seien binäre ganze Zahlen. Welche größte dezimale Zahl ist darstellbar? Plausibilisieren Sie Ihre Antwort, indem Sie die von Ihnen gefundene größte dezimale Zahl in ihren binären Repräsentanten umrechen. (2 hoch 2)- 1 = 3 3 (10) 11 (2)

4 12. Gegeben sei eine Datenbreite k = 8 für einen beliebigen Bitstrom. Codiert seien binäre ganze Zahlen. Welche kleinste dezimale Zahl ist darstellbar? Plausibilisieren Sie Ihre Antwort, indem Sie die von Ihnen gefundene kleinste dezimale Zahl in ihren binären Repräsentanten umrechen. 0 0 (10) (2) 13. Gegeben sei eine Datenbreite k = 4 für einen beliebigen Bitstrom. Codiert seien binäre ganze Zahlen im Zweierkomplement. Welche größte dezimale Zahl ist darstellbar? Plausibilisieren Sie Ihre Antwort, indem Sie die von Ihnen gefundene größte dezimale Zahl in ihren Zweierkomplement- Repräsentanten umrechnen. 2 hoch (4-1) - 1 = 7 7 (10) 0111 (2) 14. Gegeben sei eine Datenbreite k = 2 für einen beliebigen Bitstrom. Codiert seien binäre ganze Zahlen im Zweierkomplement. Welche kleinste dezimale Zahl ist darstellbar? Plausibilisieren Sie Ihre Antwort, indem Sie die von Ihnen gefundene kleinste dezimale Zahl im Zweierkomplement in ihren binären Repräsentanten umrechen. 15. Gegeben sei der Bitstrom: Codiert ist eine - 2 hoch (2-1) = (10) 10 (2) (2) 181 (10)

5 binäre ganze Zahl. Welche dezimale Zahl stellt dieser Bitstrom dar? Dokumentieren Sie Ihre Vorgehensweise. Plausibilisieren Sie mittels Gegenprobe. Stimmt Ihr Üben Sie selbständig! Legen Sie selbständig weitere Bitströme fest, die Sie als binäre ganze Zahlen interpretieren wollen. Berechen Sie den entsprechenden dezimalen Wert. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis mit: binaer- dezimal.htm 16. Gegeben sei der Bitstrom: Codiert ist eine binäre ganze Zahl im Zweierkomplement. Stellt dieser Bitstrom eine negative oder eine positive ganze Zahl dar? Welche dezimale Zahl stellt dieser Bitstrom dar? Dokumentieren Sie Ihre Vorgehensweise übersichtlich. Plausibilisieren Sie mittels Gegenprobe. Stimmt Ihr 17. Gegeben sei der Bitstrom: Codiert ist eine binäre ganze Zahl im Zweierkomplement. Stellt dieser Bitstrom eine negative oder eine Eine negative ganze Zahl (2) 75 (10) Eine positive ganze Zahl (2) 53(10)

6 positive ganze Zahl dar? Welche dezimale Zahl stellt dieser Bitstrom dar? Dokumentieren Sie Ihre Vorgehensweise übersichtlich. Plausibilisieren Sie mittels Gegenprobe. Stimmt Ihr 18. Wie viele Bit sind nötig, um die Dezimalzahl 217 als binäre ganze Zahl darzustellen? Dokumentieren Sie Ihre Antwort übersichtlich. Plausibilisieren Sie Ihre Antwort, indem Sie die Dezimalzahl umrechnen in ihre binäre Darstellung. Stimmt Ihr 19. Welche Datenbreite k ist nötig, um die Dezimalzahl - 31 als vorzeichenbehaftete binäre Zahl darzustellen? Dokumentieren Sie Ihre Antwort. Plausibilisieren Sie Ihre Antwort, indem Sie die Dezimalzahl umrechnen in ihre binäre Darstellung. Stimmt Ihr oder: oder: Die dezimale, ganze Zahl 217 liegt zwischen 127 = (2 hoch 7)- 1 und 255 = (2 hoch 8)- 1. Somit sind 8 Bit nötig. 217 (10) (2) sind 8 Bit nötig (10) (2). Somit ist die Datenbreite k = 6 nötig. Mit 5 Bit kann maximal - 2 hoch (5-1) = - 16; entsprechend mit 6 Bit - 2 hoch (6-1) = Wie viele Bit benötigen Sie, um 256 Zeichen darzustellen? Warum? Dokumentieren Sie Ihre Antwort. 21. Wie viele Bit benötigen Sie, um die dezimale Zahl 256 in Binärsystem darzustellen? 2 hoch 8 = Bit! Die größte darstellbare ganze Zahl mit 8 Bit ist 255.

7 22. Wie viele Bit benötigen Sie, um 200 Zeichen darzustellen? Warum? Dokumentieren Sie Ihre Antwort. Der Wert liegt zwischen 127 = (2 hoch 7)- 1 und 255 = (2 hoch 8)- 1. Somit sind 8 Bit nötig. 23. Wie viele Bit benötigen Sie, um 150 Zahlen darzustellen? Warum? Dokumentieren Sie Ihre Antwort. 24. Wie viele Binärstellen genügen in jedem Fall, um jede 3- stellige Dezimalzahl im Binärsystem darzustellen? Warum? Dokumentieren Sie Ihre Antwort. Plausibilisieren Sie Ihre Antwort anhand der beiden dezimalen Zahl 100 und 378. Stimmt Ihr Der Wert liegt zwischen 127 = (2 hoch 7)- 1 und 255 = (2 hoch 8)- 1. Somit sind 8 Bit nötig. Größte 3- stellige dezimale Zahl = (10) (2) Somit genügen 10 Binärstellen. 100 (10) (2) 378 (10) (2) 25. Gegeben sei die dezimale Zahl 193. Berechnen Sie die entsprechende binäre Darstellung. Dokumentieren Sie Ihre Vorgehensweise. Plausibilisieren Sie mittels Gegenprobe. Stimmt Ihr 193 (10) (2) 26. Gegeben sei die Dezimalzahl Wie viele binäre Stellen brauchen Sie, um die gegebene Dezimalzahl im Zweierkomplement 7 binäre Stellen: - 46 (10) (2)

8 darzustellen? Dokumentieren Sie Ihren Lösungsweg. Wie können Sie Ihr Ergebnis plausibilisieren? Stimmt Ihr Üben Sie selbständig! Denken Sie sich selbständig dezimale Zahlen aus, die Sie als Binärzahlen interpretieren wollen. Berechen Sie die entsprechende binäre Darstellung. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis unter: binaer- dezimal.htm Üben Sie selbständig Denken Sie sich selbständig negative dezimale Zahlen aus, die Sie als Binärzahlen im Zweierkomplement interpretieren wollen. Berechen Sie die entsprechende binäre Darstellung. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis unter: binaer- dezimal.htm

9 Rechnen im Binärsystem Leibniz und moderen Rechner Recherchieren Sie selbständig! Warum könnten wir G. W. Leibniz ( ) als den ersten Umweltingenieur bezeichnen? Überlegen Sie selbständig Warum sind die bitshift- Operationen für die Informatik so wichtig?

10 Addieren 27. Gegeben sind die beiden binären Zahlen: 0111 und Addieren Sie die beiden Zahlen binär Gegeben sind die beiden binären Zahlen: 0110 und Addieren Sie die beiden Zahlen binär Gegeben sind die beiden dezimalen Zahlen: 4 und 5. Addieren Sie die beiden Zahlen binär. Plausibilisieren Sie Ihr Ergebnis durch Rückumrechen der Zahlen in das Dezimalsystem. Stimmt Ihr

11 Subtrahieren durch Addition 30. Gegeben ist die binäre Zahl: 1010 im Zweierkomplement. Wird hierdurch eine positive oder eine negative Zahl repräsentiert? Welche vorzeichenbehaftete dezimale Zahl wird hierdurch repräsentiert? Dokumentieren Sie auch Ihren Lösungsweg. Plausibilisieren Sie Ihr Ergebnis mittels Probe. Stimmt Ihr Es handelt sich um eine negative Zahl, da das MSB = 1 ist (- 2) - 6 (10) 31. Gegeben ist die binäre Zahl: im Zweierkomplement. Wird hierdurch eine positive oder eine negative Zahl repräsentiert? Welche vorzeichenbehaftete dezimale Zahl wird hierdurch repräsentiert? Dokumentieren Sie auch Ihren Lösungsweg. Plausibilisieren Sie Ihr Ergebnis mittels Probe. Stimmt Ihr Es handelt sich um eine positive Zahl, da das MSB = 0 ist (- 2) 10 (10) 32. Gegeben ist die dezimale Zahlen: - 7. Wie ist die Zweierkomplementdarstellung? Dokumentieren Sie Ihren Lösungsweg. Plausibilisieren Sie Ihr Ergebnis mittels Probe. Stimmt Ihr - 7 (10) 1001 (- 2)

12 33. Gegeben ist die dezimale Zahl: Lässt sich diese Zahl mittels Zweierkomplement mit einer Datenbreite k = 4 darstellen? Welche Datenbreite ist nötig? Wie lautet dann die Zweierkomplementdarstellung? Dokumentieren Sie auch Ihren Lösungsweg. Plausibilisieren Sie Ihr Ergebnis mittels Probe. Stimmt Ihr Nein! Bei einer Datenbreite k = 4 ist die kleinste darstellbare Zahl im Zweierkomplement - 2 hoch (4-1) = - 8 So ist die Datenbreite k = 5 nötig (10) (- 2) Lösen Sie selbständig! Berechen Sie (5 15) im Binärsystem. Welche Datenbreite ist nötig, um das Ergebnis im Binärsystem darzustellen? Dokumentieren Sie auch Ihren Lösungsweg übersichtlich.

13 Verdoppeln = Multiplizieren mit Gegeben ist die binäre Zahl: Multiplizieren Sie die Zahl binär mit 2 durch die entsprechende bitshift- Operation << * Gegeben ist die dezimal Zahl: 5. Wie lautet der entsprechende binäre Repräsentant? Multiplizieren Sie die Zahl binär mit 2 durch die entsprechende bitshift- Operation. 36. Gegeben ist die dezimale Zahl: - 5. Wie lautet der entsprechende binäre Repräsentant in seiner Zweierkomplement- Darstellung? Multiplizieren Sie die Zahl binär mit 2 durch die entsprechende bitshift- Operation << * << * INV

14 37. Gegeben ist die binäre Zahl: Multiplizieren Sie die Zahl binär mit 4 durch die entsprechenden bitshift- Operationen << * << * Gegeben ist die dezimal Zahl: 3. Multiplizieren Sie die Zahl binär mit 8 durch die entsprechenden bitshift- Operationen << * << * << * Gegeben ist die dezimal Zahl: 7. Multiplizieren Sie die Zahl binär mit 4 durch die entsprechenden bitshift- Operationen. Angenommen Sie verfügen nur über eine Datenbreite k = 4, welches Ergebnis entsteht dann? 40. Gegeben sind die beiden dezimalen Zahlen: 3 und ( << * << * * (- 2) (- 3) * 2 // Multiplikation ist kommunikativ! Vorzeichen distributiv!

15 2). Multiplizieren Sie die Zahl binär durch eine bitshift- Operation. Dokumentieren Sie Ihre Vorgehensweise übersichtlich. Plausibilisieren Sie Ihr Ergebnis durch Rückumrechen der Zahlen in das Dezimalsystem. Stimmt Ihr Naja! Und jetzt ist es ja nicht mehr schwer! Erarbeiten Sie selbständig! Plausibilisieren Sie die << bitshift- Operation anhand selbst gewählter Beispiele. Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse mit: binaer- dezimal.htm Vergessen Sie dabei nicht die vorzeichenbehafteten ganzen Zahlen, die ja im Zweierkomplement dargestellt werden. Was passiert, wenn Sie z.b. bei einer Datenbreite k = 4 in der Zweierkomplement- Darstellung rechnen? Machen Sie es sich klar an der Aufgabenstellung: 5 * (- 4) Bereiten Sie Ihre Ausarbeitungen übersichtlich und klar vor.

16 Halbieren = Dividieren durch Gegeben ist die binäre Zahl: Dividieren Sie die Zahl binär durch 2 mit der entsprechenden bitshift- Operation >> / Gegeben ist die dezimale Zahl: 12. Dividieren Sie die Zahl binär durch 2 mit der entsprechenden bitshift- Operation >> / Gegeben ist die dezimal Zahl: - 6. Wie lautet der entsprechende binäre Repräsentant in seiner Zweierkomplement- Darstellung? Dividieren Sie die Zahl binär durch 2 mit der entsprechenden bitshift- Operation. 44. Gegeben ist die dezimale Zahl: >> / >> /

17 Dividieren Sie die Zahl binär durch 8 mit den entsprechenden bitshift- Operationen. >> / >> / Erarbeiten Sie selbständig! Plausibilisieren Sie die >> bitshift- Operation anhand selbst gewählter Beispiele. Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse mit: binaer- dezimal.htm Überprüfen Sie auch mit negativen ganzen Zahlen, die ja im Zweierkomplement dargestellt werden. Bereiten Sie Ihre Ausarbeitungen übersichtlich auf.