1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:

Transkript

1 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben: Hat man zwei Zahlen, so ist die Summe der ersten und der zweiten Zahl gleich der Summe der zweiten und der ersten Zahl. Aussage 1: Für alle l, m, n N gilt (l + m) + n = l + (m + n). Aussage 2: Für alle m, n N ist m m + n. Aussage 3: Sind m, n N mit m n, so gibt es entweder ein k N mit m = n + k oder ein l N mit n = m + l. Aussage 4: Aus p + m = p + n folgt m = n. Aussage 5: Seien m, n N mit m n; dann gilt genau eine der Aussagen: (1) Es gibt ein k N, so dass m = n + k. (2) Es gibt ein l N, so dass n = m + l. In den Aufgaben 2, 3 und 4 seien die Zahlen 2, 3, 4, 5 und 6 definiert durch 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, 5 = und 6 = Nach (A1) gilt also zum Beispiel d.h = = 2 + (1 + 1) (A1) = (2 + 1) + 1 = = 4, 2. Man zeige nur unter Verwendung von (A1), dass (a) = 5. (b) = Man zeige nur unter Verwendung von (A1), dass (a) = 5. (b) = 6.

2 Zählen und Zahlbereiche: Blatt Man zeige nur unter Verwendung von (A1), dass (a) = 3. (b) = 4. (c) = 5. (d) = Seien p, q, r, s N. Man zeige nur unter Verwendung von (A2), dass ((p + q) + r) + s = s + (r + (q + p)). 6. Seien p, q, r, s N. Man zeige nur unter Verwendung von (A1) und (A2), dass ((p + q) + r) + s = ((s + r) + q) + p.

3 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 2 7. Seien m, n, p N mit m + p < n + p. Man zeige, dass m < n. 8. Seien a, b, c, l, m, n N mit a < l, b < m und c < n. Man zeige, dass (a + b) + c < (l + m) + n. 9. Seien a, b, c, l, m, n N mit a l, b m und c n. Man zeige: (1) Es gilt (a + b) + c (l + m) + n. (2) Es gilt (a + b) + c = (l + m) + n genau dann, wenn a = l, b = m und c = n. 10. Seien k, l, m, n N mit k l, l m und m n. Man zeige: (1) Es gilt k n. (2) Es gilt k = n genau dann, wenn k = l = m = n.

4 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 3 Es ist N 0 = N {0}. Per Definition ist n + 0 = 0 + n = n für alle n N 0 und insbesondere ist = 0. Seien m, n N 0 ; wir schreiben m n, wenn es ein k N 0 gibt, so dass n = m + k. Sind m, n N 0 mit m n, so gibt es ein eindeutiges Element k N 0, so dass n = m + k und dieses Element k wird mit n m bezeichnet. Es gilt also n = m + (n m). Man beachte aber: Das Element n m ist nur definiert, wenn m n. 11. Seien m, n, p N 0. Man zeige: (1) Ist p m, so ist p m + n und es gilt (m + n) p = (m p) + n. (2) Ist p n, so ist p m + n und es gilt (m + n) p = m + (n p). 12. Seien a, b, c, d N 0 mit a c und b d. Man zeige: (1) Es gilt a + b c + d. (2) Es gilt (c + d) (a + b) = (c a) + (d b). 13. Seien a, b, c, d N. Man zeige nur unter Verwendung von (M1), dass a((bc)d) = a(b(cd)) = (ab)(cd) = ((ab)c)d = (a(bc))d. 14. Man zeige, dass 3n = (n + n) + n, wobei 3 = und 2 =

5 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt (1) Seien m, n, p, q N mit m n und p < q. Man zeige, dass mp < nq. (2) Seien l, m, n N mit lm = mn = nl. Man zeige, dass l = m = n. 16. Seien a, b, c, d, p, q N mit a c, b d und p q. Man zeige: (1) Es gilt p(a + b) q(c + d). (2) Es gilt p(a + b) = q(c + d) genau dann, wenn a = c, b = d und p = q. 17. Man zeige: Für alle n Z mit n 0 ist n Nach (T) ist für jedes m Z mit m 0 (mindestens) eines von m und m in N. Man zeige: Für jedes m Z mit m 0 ist genau eines von m und m in N.

6 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 5 Die Eigenschaften von der Addition in N 0, die hier gebraucht werden, findet man auf den ersten Seiten von Kapitel 3 im Skript und insbesondere in Satz Man zeige: (1) Für alle a, b, c N 0 gilt (a + b) + c = (a + c) + b. (2) Für alle a, b, c, d N 0 gilt (a + b) + (c + d) = (a + c) + (b + d). In den restlichen Aufgaben betrachten wir Paare (m, n) mit m, n N 0. Ein solches Paar (m, n) soll man als Konto ansehen: Die erste Komponente m des Paars (m, n) ist die Summe der Einnahmen und die zweite Komponente n die Summe der Ausgaben. Der Stand des Kontos ist dann m n im Plus, wenn n m und n m im Minus, wenn m < n. Lemma 1 Zwei Konten (m, n) und (p, q) haben den gleichen Kontostand genau dann, wenn m + q = p + n. Beweis Auf der nächsten Seite. Wir sagen, dass (m, n) und (p, q) äquivalent sind und schreiben (m, n) (p, q), wenn sie den gleichen Kontostand haben, d.h. wenn m + q = p + n. 20. Man zeige: (1) Es gilt (m, n) (m, n) für alle Konten (m, n). (2) Sind (m, n) und (p, q) Konten mit (m, n) (p, q), so ist (p, q) (m, n). (3) Sind (m, n), (p, q) und (r, s) Konten mit (m, n) (p, q) und (p, q) (r, s), so ist (m, n) (r, s). Hinweis: Man wende Aufgabe 19 (1) mehrmals an, und zeige zunächst, dass (m + s) + q = (r + n) + q. Zwei Konten (m, n) und (p, q) können zu einem neuen Konto (m + p, n + q) zusammengefügt werden, das mit (m, n) (p, q) bezeichnet wird. Hier werden also die Einnahmen addiert und ebenso die Ausgaben. 21. Man zeige: Für alle Konten (m, n), (p, q), (r, s) gilt ((m, n) (p, q)) (r, s) = (m, n) ((p, q) (r, s)).

7 Zählen und Zahlbereiche: Blatt Man zeige: Sind (k, l), (m, n), (p, q), (r, s) Konten mit (k, l) (m, n) und (p, q) (r, s), so ist auch (k, l) (p, q) (m, n) (r, s). Hinweis: Man wende Aufgabe 19 (2) mehrmals an. Beweis für Lemma 1 Nehme zunächst an, dass (m, n) und (p, q) den gleichen Kontostand haben. Ist n m, so ist q p und m n = p q (da dies der gemeinsame plus- Kontostand ist), und folglich ist m + q = (n + (m n)) + q = (n + (p q)) + q (A1) = n + ((p q) + q) (A2) = n + (q + (p q)) = n + p, wobei hier und im Folgenden (A1) und (A2) sich stets auf die Eigenschaften der Addition in N 0 beziehen. Ist dagegen m < n, so ist p < q und n m = q p (da dies der gemeinsame minus- Kontostand ist), und folglich ist n + p = (m + (n m)) + p = (m + (q p)) + p (A1) = m + ((q p) + p) (A2) = m + (p + (q p)) = m + q. Haben also (m, n) und (p, q) den gleichen Kontostand, so ist m + q = p + n. Nehme nun umgekehrt an, dass m + q = p + n. Ist n m, so ist n + p (A2) = p + n = m + q = (n + (m n)) + q (A1) = n + ((m n) + q) (A2) = n + (q + (m n)) und daraus folgt nach Lemma 3.1 (1), dass p = q +(m n). Damit ist q p und p q = m n und also haben (m, n) und (p, q) den gleichen plus- Kontostand m n. Ist dagegen m < n, so ist m + q (A2) = q + m = n + p = (m + (n m)) + p (A1) = m + ((n m) + p) (A2) = m + (p + (n m)) und folglich ist nach Lemma 3.1 (1) q = p + (n m). Daraus ergibt sich, dass p < q und q p = n m und daher haben (m, n) und (p, q) den gleichen minus- Kontostand n m. Gilt also m + q = p + n, so haben (m, n) und (p, q) den gleichen Kontostand.

8 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 6 Erinnerung: Seien m, n Z. Nach Lemma 2.3 ist m n die eindeutige Zahl k Z mit m = n + k: Es gilt m = n + (m n) und ist k Z eine Zahl mit m = n + k, so ist k = m n. Insbesondere ist n < m genau dann, wenn m n N. 23. Seien m, n, p, q Z. Man zeige, dass m + q = p + n genau dann gilt, wenn q p = n m. 24. Man zeige: Für alle m, n, p, q Z gilt nq mp = m(q p) + (n m)q. 25. Seien m, n, p, q Z mit p < q und m < n. (1) Man zeige: Sind m, q N, so ist mp < nq. (2) Man zeige: Sind m, q N, so ist nq < mp. 26. Seien m, n, p, q Z mit m n und m+q = p+n. Man zeige, dass nq = mp genau dann gilt, wenn m + q = 0.

9 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 7 Für jedes n Z setze n 2 = n n und n 3 = (n n) n. 27. Man zeige: (1) Für jedes m Z ist ( m) 2 = m 2. (2) Für jedes m Z ist ( m) 3 = m 3. (3) Es gilt 0 2 = 0, und für jedes m Z mit m 0 ist m 2 N. (4) Es gilt 0 3 = 0, für jedes m N ist m 3 N und für jedes m Z mit m N ist m 3 N. 28. Man zeige: (1) Für alle m, n Z gilt m 2 n 2 = (m n)(m + n). (2) Sind m, n Z mit m 2 = n 2, so ist entweder m = n oder m = n. 29. Man zeige: (1) Sind m, n Z mit m < n, so ist m 3 < n 3. (2) Sind m, n Z mit m 3 = n 3, so ist m = n. Hinweis zu (1): Man teile das Problem in verschiedene Fälle auf. (Der erste Fall ist mit m, n N, der zweite mit m, n N, usw.) 30. Man zeige: (1) Für alle m, n Z ist (m 2 + 2(mn)) + n 2 N 0, wobei 2 = (2) Es gilt (m 2 + 2(mn)) + n 2 = 0 genau dann, wenn m + n = 0. Hinweis: Man zeige zunächst, dass (m 2 + 2(mn)) + n 2 = (m + n) 2.

10 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 8 In Kapitel 1 haben wir die natürlichen Zahlen diskutiert. Hauptsächlich haben wir Regeln für die Addition und Multiplikation eingeführt und dann Aussagen über die natürlichen Zahlen aus diesen Regeln logisch hergeleitet. Es gibt aber eine wichtige Eigenschaft der natürlichen Zahlen, die sich nicht aus den Regeln herleiten läßt und die mit Zählen zu tun hat. Beim Zählen fangen wir mit der Zahl 1 an und für jede Zahl, die wir durch Zählen erreicht haben, gibt es dann die darauf folgende Zahl: 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1, 6 = 5 + 1,.... Was man nun wahrscheinlich für selbstverständlich richtig hält, ist Folgendes: Wenn wir eine beliebige Zahl nehmen, dann wird diese Zahl durch Zählen nach endlich vielen Schritten erreicht. Um diese Eigenschaft zu verwenden, müssen wir genauer sagen, was nach endlich vielen Schritten bedeutet. (Es ist zwar richtig, dass man zum Beispiel die Zahl 42 in 42 Schritten erreicht, aber in dieser Form ist die Aussage wenig hilfreich.) Die folgende Regel, die etwas gewöhnungsbedürftigt ist, ist die mathematisch genaue Formulierung der obigen Eigenschaft: (I) Sei N eine Teilmenge von N, für die gilt: ( ) 1 N. ( ) Für jedes n N ist auch n + 1 N. Dann ist N = N. Wie wir später sehen werden, kann die Regel (I) nicht aus den restlichen Regeln hergeleitet werden. Nun wird Regel (I) zu den Regeln hinzugefügt, die für die natürlichen Zahlen gelten. Mit anderen Worten: Wir nehmen jetzt an, dass (I) eine Eigenschaft der natürlichen Zahlen ist. Regel (I) wird oft mit Hilfe von Aussagen umformuliert, wobei eine Aussage irgendetwas ist, das entweder wahr oder falsch ist. Diese Umformulierung heißt das Prinzip der vollständigen Induktion und lautet: Für jedes n N sei P(n) eine Aussage. Nehme an: ( ) Es gilt P(1). ( ) Ist n ein Element von N, für das P(n) gilt, so gilt auch P(n + 1). Dann gilt P(n) für jedes n N.

11 Zählen und Zahlbereiche: Blatt 8 11 Ist N eine Teilmenge von N, so gibt es für jedes n N die Aussage P(n), dass n N. Ist umgekehrt P(n) eine Aussage für jedes n N, so gibt es die Teilmenge N von N mit N = {n N : P(n) gilt}. Nun gelten ( ) und ( ) für P genau dann, wenn ( ) und ( ) für N gelten, und folglich ist das Prinzip der vollständigen Induktion lediglich eine Umformulierung von Regel (I). Ob man lieber Regel (I) oder das Prinzip der vollständigen Induktion verwendet, muss man selber entscheiden. Die Hinweise zu den Übungsaufgaben sind auf die Verwendung des Prinzips der vollständigen Induktion gerichtet. 31. Die folgende Regel ist ein Spezialfall von Regel (A2): (A2 1 ) Für alle n N gilt n + 1 = 1 + n. Man zeige nur unter Verwendung von (A1) und von (I) (oder dem Prinzip der vollständigen Induktion), dass (A2 1 ) gilt. Hinweis: Für jedes n N betrachte die Aussage P(n), dass n + 1 = 1 + n. Man zeige, dass P(1) gilt und ferner dass P(n+1) gilt für alle n N, für das P(n) gilt. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt dann P(n) für alle n N und folglich gilt n + 1 = 1 + n für alle n N. 32. Sei (A2 1 ) wie in Aufgabe 31. Man zeige nur unter Verwendung von (A1), (A2 1 ) und von (I) (oder dem Prinzip der vollständigen Induktion), dass (A2) gilt, d.h., dass m + n = n + m für alle m, n N. Hinweis: Für jedes n N betrachte die Aussage P(n), dass m + n = n + m für alle m N gilt. Man zeige, dass P(1) gilt und ferner dass P(n + 1) gilt für alle n N, für das P(n) gilt. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt dann P(n) für alle n N und folglich gilt m + n = n + m für alle m, n N. 33. Die folgende Regel ist ein Spezialfall von Regel (A1): (A1 1 ) Für alle p, q N gilt (p + q) + 1 = p + (q + 1). Man zeige nur unter Verwendung von (A1 1 ) und von (I) (oder dem Prinzip der vollständigen Induktion), dass (A1) gilt, d.h., dass (l + m) + n = l + (m + n) für alle l, m, n N. Hinweis: Für jedes n N betrachte man die Aussage P(n): Für alle l, m N gilt (l+m)+n = l+(m+n). Man zeige, dass P(1) gilt und ferner dass P(n+1) gilt für alle n N, für das P(n) gilt. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt dann P(n) für alle n N und folglich gilt (l + m) + n = l + (m + n) für alle l, m, n N. Um zu zeigen, dass P(n+1) gilt, wenn P(n) gilt, muss man wahrscheinlich (A1 1 ) dreimal anwenden, mit p = l + m und q = n, mit p = l und q = m + n und mit p = m und q = n.

12 Zählen und Zahlbereiche: Blatt 8 12 Die Aufgaben 31, 32 und 33 zeigen, dass die Regeln (A1) und (A2) allein aus der Regel (A1 1 ) folgen, wenn man (I) (oder das Prinzip der vollständigen Induktion) zur Verfügung hat. 34. Man zeige: Zu jedem n N mit n 1 gibt es ein m N mit n = m + 1. Hinweis: Für jedes n N betrachte die Aussage P(n), dass n = 1 oder es ein m N mit n = m + 1 gibt. Man zeige, dass P(1) gilt und ferner.... Hier ist ein Beispiel einer Aufgabe, die ähnlich zu den Aufgaben auf diesem Blatt ist: Es gibt die Kürzungsregel: (K) Sind p, q, n N mit p + n = q + n, so ist p = q. Folgendes ist ein Spezialfall dieser Regel: (K 1 ) Sind p, q N mit p + 1 = q + 1, so ist p = q. Man zeige nur unter Verwendung von (K 1 ), (A1) und von (I) (oder dem Prinzip der vollständigen Induktion), dass (K) gilt. Lösung: Für jedes n N sei P(n) die Aussage: Sind p, q N mit p + n = q + n, so ist p = q. ( ) Es gilt P(1), da die Aussage P(1) nichts anderes als die Regel (K 1 ) ist. ( ) Sei n ein Element von N, für das P(n) gilt. Sind also p, q N mit p+n = q+n, so ist p = q. Seien nun p, q N mit p + (n + 1) = q + (n + 1). Dann gilt (p + n) + 1 (A1) = p + (n + 1) = q + (n + 1) (A1) = (q + n) + 1 und daraus ergibt sich nach (K 1 ), dass p + n = q + n. (Hier haben wir (K 1 ) nicht mit p und q sondern mit p + n und q + n angewendet.) Damit ist p = q, da P(n) gilt und dies zeigt, dass P(n + 1) gilt. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt nun P(n) für alle n N. Sind also p, q, n N mit p + n = q + n, so ist p = q, d.h. (K) gilt.

13 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 9 Diese Aufgaben enthalten typische Beispiele von Aussagen, die durch vollständige Induktion nachgewiesen werden können. Man soll sie aber mehr wie Aufgaben ansehen, die in der Schule vorkamen. Im Gegensatz zum Vorlesungsskript und zu den bisherigen Aufgaben wird hier angenommen (wie man das stets in der Schule getan hat), dass bei der Summe von n Zahlen keine Klammern nötig sind, da die Summe nicht von der Reihenfolge der einzelen Additionen abhängt. Für dieses Übungsblatt darf man also Regeln wie (A1) und (A2) vergessen. Es wird weiter angenommen, dass das Schulwissen über den Umgang mit rationalen Zahlen und das Potenzieren von Zahlen immer noch vorhanden ist. 35. Man zeige durch vollständige Induktion: Für alle n N gilt n k=1 1 k(k + 1) = n n Man zeige durch vollständige Induktion: Für alle n N gilt n (2k 1) = n 2. k=1 37. Man zeige durch vollständige Induktion: Für jede rationale Zahl x mit x 1 und für alle n N gilt n 1 + x k = 1 xn+1 1 x. k=1 38. Man zeige durch vollständige Induktion, dass n + 1 < 2 n für alle n N mit n 2.

14 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 10 Dieses Übungsblatt kann angesehen werden als eine Art Probeklausur Die Klausur am 8. Februar wird je eine Aufgabe aus den Kapiteln 1, 2 und 4 plus eine Aufgabe über vollständige Induktion enthalten. Hier gibt es keine Aufgabe aus Kapitel 4, da dieses Kapitel nocht nicht in der Vorlesung besprochen wurde. 39. Die Addition in N unterliegt unter anderem den folgenden Regeln: (A1) Für alle l, m, n N gilt (l + m) + n = l + (m + n). (A2) Für alle m, n N gilt m + n = n + m. Seien p, q, r, s N. Man zeige nur unter Verwendung von (A1) und (A2), dass ((p + q) + r) + s = (s + (q + r)) + p. Beim Lösen der Aufgabe 40 darf man lediglich die folgenden Aussagen über die ganzen Zahlen benutzen: Die Addition in Z unterliegt den folgenden Regeln: (A1) Für alle l, m, n Z gilt (l + m) + n = l + (m + n). (A2) Für alle m, n Z gilt m + n = n + m. (A3) Für jedes m Z ist 0 + m = m. (A4) Zu jedem m Z gibt es eine eindeutige Zahl m Z mit m + m = 0. (T) Für jedes m Z mit m 0 ist (mindestens) eines von m und m in N. Seien m, n Z; dann wird die Zahl m + n mit m n bezeichnet. Lemma 2 Seien m, n Z; dann ist m n die eindeutige Zahl k Z mit m = n + k: Es gilt also m = n + (m n) und ist k Z eine Zahl mit m = n + k, so ist k = m n. Ferner ist m n = 0 genau dann, wenn m = n.

15 Zählen und Zahlbereiche: Blatt Lemma 3 Für alle m, n N gilt m n = (n m). Seien m, n Z; wir schreiben m < n, wenn es ein l N gibt, so dass n = m + l. Seien m, n Z; gilt n = m + l, so ist nach Lemma 1 l = n m, und dies bedeutet, dass m < n genau dann gilt, wenn n m N. 40. Man zeige: (1) Für alle a, b, c Z ist (b + c) + (a b) = a + c. (2) Sind m, n, p Z mit m < n, so ist p n < p m. Beim Lösen der Aufgabe 41 kann man annehmen (wie man das stets in der Schule getan hat), dass bei der Summe von n Zahlen keine Klammern nötig sind, da die Summe nicht von der Reihenfolge der einzelnen Additionen abhängt. Für diese Aufgabe darf man also Regeln wie (A1) und (A2) vergessen. 41. Man zeige durch vollständige Induktion: Für alle n N gilt n k=1 k 3 = n2 (n + 1) 2 4. (Hier sollte eigentlich eine Aufgabe über die rationalen Zahlen stehen.) Beim Lösen der Aufgabe 42 darf man lediglich die folgenden Aussagen über die natürlichen Zahlen benutzen: Die Addition und Multiplikation in N unterliegen den folgenden Regeln: (A1) Für alle l, m, n N gilt (l + m) + n = l + (m + n). (A2) Für alle m, n N gilt m + n = n + m. (A3) Für all m, n N ist m m + n. (A4) Sind m, n N mit m n, so gibt es entweder ein k N mit m = n + k oder ein l N mit n = m + l. (M1) Für alle l, m, n N gilt (lm)n = l(mn). (M2) Für alle m, n N gilt mn = nm. (M3) Für jedes m N ist 1m = m. (D) Für alle l, m, n N ist l(m + n) = lm + ln.

16 Zählen und Zahlbereiche: Blatt Ferner gilt das Prinzip der vollständigen Induktion: Für jedes n N sei P(n) eine Aussage. Nehme an: ( ) Es gilt P(1). ( ) Ist n ein Element von N, für das P(n) gilt, so gilt auch P(n + 1). Dann gilt P(n) für jedes n N. 42. Man zeige: (1) Für alle m, n N ist m + n 1. Hinweis: Für jedes m N betrachte die Aussage P(m), dass m + n 1 für alle n N. (2) Sind m, n N mit mn = 1, so ist m = n = 1. Hinweis: Für jedes n N betrachte die Aussage P(n): Ist n 1, so ist mn 1 für alle m N.

17 Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt Sei m/n ein Bruch. Man zeige: (1) Es gilt [(mp)/(np)] = [m/n] für alle p Z mit p 0. (2) Es gilt [m/n] = 1 genau dann, wenn m = n. 44. Nehme an, dass das Prinzip der vollständigen Induktion für die natürlichen Zahlen N gilt. Seien m, n Z mit n 0 und [1/n] = m. Man zeige: Es gilt entweder m = n = 1 oder m = n = 1. Hinweis: Aufgabe 42 (2). 45. Seien m/n und p/q Brüche. Man zeige, dass (m/n + p/q) (m/n + ( p)/q) = (m/n)(m/n) + (p/q)(( p)/q). Hinweis: Aufgabe 28 (2), Lemma 4.2 (2) und Satz 2.5 (1). 46. Seien r, s Q mit rs 0. Man zeige, dass dann r 0 und s 0. Dabei darf man nur Folgendes verwenden: (Q3), die Definition für das Produkt von Brüchen und von rationalen Zahlen, Lemma 4.8 und die Ergebnisse in Kapitel 2.