WS 2008/09. Diskrete Strukturen

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1 WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München

2 Kapitel III- Kombinatorik Kombinatorische Strukturen und Algorithmen Ziehen von Elementen aus einer Menge Kombinatorische Beweisprinzipien Fundamentale Zählkoeffizienten Bälle und Urnen 2

3 Kapitel III Kombinatorik Fundamentale Zählkoeffizienten Im letzten Kapitel haben wir gesehen, dass die Binomialkoeffizienten die Anzahl k-elementiger Teilmengen einer n-elementigen Menge zählen. n k 3

4 Kapitel III Kombinatorik Fundamentale Zählkoeffizienten Im letzten Kapitel haben wir gesehen, dass die 4 Binomialkoeffizienten die Anzahl k-elementiger Teilmengen einer n-elementigen Menge zählen. Der Name Binomialkoeffizient resultiert daher, dass diese Zahlen in der Exponentiation von binomialen Ausdrücken (a+b) n vorkommen. n k

5 Kapitel III Kombinatorik Die Binomische Formel 5 Theorem: Für alle n 2 N 0 gilt: (a + b) n = nx k=0 µ n a (n k) b k k Beweis: Aus (a+b) n = (a+b)(a+b) (a+b) (n-mal) und aus dem Distributivgesetz folgt X (a + b) n = x 1 x 2 : : : x n (x 1 ;:::;x n )2fa;bg n

6 Kapitel III Kombinatorik Die Binomische Formel 6 Beweis (Fort.): Wir bestimmen die Anzahl der Tupeln (x 1,x 2,,x n ) 2 {a,b} n mit x 1 x 2 x n =a (n-k) b k. Es gilt: x 1 x 2 x n = a (n-k) b k gdw. der Term b genau k Mal in x 1 x 2 x n vorkommt. Das ist genau dann der Fall, wenn die Menge der Positionen der b s genau k-elemente enthält.

7 Kapitel III Kombinatorik Die Binomische Formel Beweis (Fort.): Damit gibt es eine Bijektion zwischen den Tupeln (x 1,x 2,,x n ) mit x 1 x 2 x n =a (n-k) b k und den k-untermengen von {1,,n}. Daraus folgt: die Anzahl der Tupeln ist n k 7

8 Kapitel III Kombinatorik Die Binomische Formel Beispiel: Was ist der Koeffizient von x 12 y 13 in der Expansion von (2x-3y) 25 Antwort: Da x ( 3 y) (2 x) j ( 3 y) j j 0 erhalten wir den Koeffizient von x 12 y 13 für j =13, also (25!/(13! 12!)) 2 12 (-3) 13. j

9 Kapitel III Kombinatorik Anwendung der Binomischen Formel: Korollar: Sei n N 0, dann gilt: n n k 0 k 2 n. 9

10 Kapitel III Kombinatorik Anwendung der Binomischen Formel: 10 Korollar: Sei n N 0, dann gilt: n n k 0 k 2 n. Beweis: Unter Verwendung der Binomischen Formel mit a = 1 und b = 1 erhalten wir: n n n n n n k k n 2 (1 1) 1 1. k k k 0 k 0

11 Kapitel III Kombinatorik Eigenschaften der Binomialkoeffizienten - die Pascalsche Identität: Theorem: Sei n, k mit n k. Dann gilt n n 1 n 1 k k 1 k 0 11

12 Kapitel III Kombinatorik Kombinatorischer Beweis der Pascalschen Identität. Sei T eine n-elementige Menge. Es gibt k-untermengen von T. Sei a 2 T und S = T \{a}. Jede k-teilmenge von T enthält entweder a und k-1 Elemente aus S, oder k Elemente aus S (und so nicht das Element a). n k 12 Forts. n. Seite.

13 Kapitel III Kombinatorik Kombinatorischer Beweis der Pascalschen Identität: 13 Da es n k 1 1 Teilmengen von S mit k-1 Elementen gibt, gibt es n 1 k 1 Teilmengen von T mit k Elementen, die a enthalten. Forts. n. Seite.

14 Kapitel III Kombinatorik Kombinatorischer Beweis der Pascalschen Identität: Da es n 1 14 k Teilmengen von S mit k Elementen gibt, gibt es n 1 k Teilmengen von T mit k Elementen, die a nicht enthalten. Forts. n. Seite.

15 Kapitel III Kombinatorik Kombinatorischer Beweis der Pascalschen Identität: Daraus folgt mit der Summenregel: n n 1 n 1 k k 1 k 15

16 Kapitel III Kombinatorik Das Pascalsche Dreieck: Die Pascalsche Identität ist die Basis für eine geometrische Anordnung der Binomialkoeffizienten in Form eines Dreiecks: Werden zwei benachbarte Koeffizienten addiert, dann ergibt dies den Koeffizienten in der nächsten Zeile zwischen diesen beiden. 16

17 Kapitel III Kombinatorik Die Vandermode Identität In unserem Vorlesungsaal befinden sich n+m Studierende, davon sind n in München geboren und m nicht. Wieviele Möglichkeiten M gibt es, k Studierende auszuwählen? 17 Lösung 1: durch ungeordnetes Ziehen ohne Zurücklegen erhalten wir n m M k

18 Kapitel III Kombinatorik Lösung 2: Wir nehmen j Elemente aus der ersten Menge und dann k-j Elemente aus der zweiten Menge, wobei 0 j k gilt. Aus der Produktregel folgt, dass es für ein k n m j k j 18 Möglichkeiten gibt.

19 Kapitel III Kombinatorik Da im vorhergehenden Beispiel die erste Lösung gleich der zweiten Lösung sein muss, wenn man die Möglichkeiten für alle Werte von j addiert, ergibt sich der folgende Satz: Satz (Vandermonde Identität): k n m n m k j k j j 0 19

20 Kapitel III Kombinatorik Aufgabe: Betrachte den Punkt der xy-ebene mit Koordinaten (m,n) 2 N 0 N 0. Wieviele Pfade gibt es vom Punkt (0,0) zu (m,n), die aus Schritten der Länge 1 nach rechts oder nach oben bestehen? Da ein Pfad aus m Schritten nach rechts und n Schritten nach oben besteht, kann jeder Pfad als Zeichenfolge der Länge m+n mit m 0en und n 1en dargestellt werden. 20

21 Kapitel III Kombinatorik Die Anzahl von Zeichenfolgen der Länge m+n, die genau n 1en beinhalten, ist gegeben durch die Anzahl Positionen, an denen die n 1en stehen oder die m 0en stehen. Hieraus folgt, dass die Anzahl von Zeichenfolgen gegeben ist durch m n m n n m 21

22 Die Stirlingzahlen der zweiten Art Definition: Eine k-partition einer n-elementigen Menge A={s 1,,s n } ist eine Zerlegung von A in k disjunkte, nichtleere Teilmengen (oder Blöcke) A 1,,A k, so dass gilt: k i 1 A i A 22

23 Die Stirlingzahlen der zweiten Art Beispiel für n = 5 und k = 4: { 1, 2, 3,4, 5 } { 1, 5, 2, 3, 4 } { 1, 2,3, 4, 5 } { 1, 2, 5, 3, 4 } { 1, 2,4, 3, 5 } { 1, 2, 3, 5, 4 } { 1,2, 3, 4, 5 } { 1, 2, 3, 4, 5 } { 1,3, 2, 4, 5 } 23 1,4, 2, 3, 5

24 Die Stirlingzahlen der zweiten Art 24 Die Anzahl der k-partitionen einer n-elementigen Menge = Die Anzahl der Möglichkeiten, n unterscheidbare Objekte in k gleiche Fächer zu verteilen (jedes Fach bekommt mindestens ein Objekt!). = (Warum?) (1/k!) Anzahl der surjektiven Funktionen f: A! B mit A =n und B =k

25 Die Stirlingzahlen der zweiten Art Die Anzahl von k-partitionen wird durch die sogenannten Stirlingzahlen zweiter Art angegeben und mit S n,k bezeichnet. Insbesondere gilt: S n,k = 0 für k>n, S n,0 = 0 für n>0, S 0,0 = 1. Frage: Wie lassen sich diese Zahlen berechnen? 25

26 Die Stirlingzahlen der zweiten Art Wir teilen die k-partitionen in zwei disjunkte Klassen auf (siehe Beweis der Pascalschen Identität): Klasse 1: alle Partitionen, in denen sich das Element s n alleine in einem Block befindet. Klasse 2: alle Partitionen, die nicht in der ersten Klasse sind. 26

27 Kapitel III Kombinatorik Die Stirlingzahlen der zweiten Art Klasse 1: alle Partitionen, in denen sich das Element s n alleine in einem Block befindet. Dann müssen die Elemente s 1,,s n-1 auf die übrigen k-1 Blöcke verteilt werden. Dies sind dann genau die S n-1,k-1 Partitionen. 27

28 Die Stirlingzahlen der zweiten Art Klasse 2: alle Partitionen, die nicht in der ersten Klasse sind. Dann befindet sich s n in einem der k Blöcke, auf die die Elemente s 1,,s n-1 verteilt wurden es gibt dann also k S n-1,k Partitionen in der zweiten Klasse. 28

29 Die Stirlingzahlen der zweiten Art 29 Durch Anwenden der Summenregel ist damit der folgende Satz bewiesen: Satz: Die Anzahl der k-partitionen einer n- elementigen Menge für alle k,n N und n k ist durch die Stirlingzahlen S n,k zweiter Art gegeben, wobei gilt: Sn, k Sn 1, k 1 ksn 1, k

30 Die Stirlingzahlen der zweiten Art 30

31 Die Stirlingzahlen der ersten Art 31 Werden verwendet zum Zählen von Permutationen. Eine Permutation einer Menge A = {a 1,,a n } ist eine bijektive Abbildung : A A, d.h. jedem Element a A entspricht ein Bild (a) und jedes Element von A ist das Bild genau eines a: a a... a 1 2 n (a ) (a )... (a ) 1 2 n

32 Die Stirlingzahlen der ersten Art Die Menge aller Permutationen einer n- elementigen Menge wird als symmetrische Gruppe G n bezeichnet. Da es n! Permutationen einer n-elementigen Menge gibt, ist G n = n! 32

33 Die Stirlingzahlen der ersten Art Beispiel: Man sieht, dass 3 und 9 Fixpunkte von sind (sie werden auf sich selber abgebildet), und das 1,5,2,8 einen Zyklus der Länge 4 bilden, d.h. ( ( ( (1))) = 1.

34 Die Stirlingzahlen der ersten Art Definition: Ein Zyklus (i 1,,i t ) einer Permutation ist eine Folge i 1,,i t, wobei (i j ) = i j+1 für alle 1 j < t gilt, und (i t ) = i 1 ist

35 Die Stirlingzahlen der ersten Art Jede Permutation lässt sich als Menge von Zyklen darstellen. Beispiel: = {( ),(3),(4 6 7),(9),(10 11)} 35

36 Die Stirlingzahlen der ersten Art Sei s n,k die Anzahl Permutationen mit k Zyklen. Da jede Permutation mindestens einen und höchstens einen Zyklus hat, gilt 36 k n 1 s n, k n Die Zahlen s n,k heißen Stirlingzahlen erster Art.!

37 Die Stirlingzahlen der ersten Art Beispiel für n = 4 und k = 3: {(1),(2 3),(4)} {(1 4),(2),(3)} {(1 2),(3),(4)} {(1),(2 4),(3)} {(1 3),(2),(4)} {(1),(2),(3 4)} 37

38 Die Stirlingzahlen der ersten Art Satz: Die Anzahl der Permutationen von n Elementen mit genau k Zyklen für alle k,n N und n k ist durch die Stirlingzahlen s n,k gegeben, wobei gilt: s s ( n 1) s n, k n 1, k 1 n 1, k 38

39 Die Stirlingzahlen der ersten Art 39 Beweis: Eine Permutation von n Elementen mit k Zyklen kann auf zwei Arten entstehen: 1. Aus einer Permutation von n-1 Elementen mit k-1 Zyklen, indem das n-te Element einen neuen Zyklus der Länge 1 bildet. 2. Indem das n-te Element in einen der k Zyklen einer Permutation von n-1 mit k Zyklen hinzugefügt wird. Dafür gibt es aber genau n-1 Möglichkeiten.

40 Die Stirlingzahlen der ersten Art 40

41 Ungeordnete Zahlpartitionen Ähnlich zur disjunkten Vereinigung von Mengen kann auch eine natürliche Zahl n N als Summe von k positiven ganzen Zahlen geschrieben werden: n = n 1 + n n k. Eine solche Zerlegung nennen wir Zahlpartition, und sie kann auf zwei unterschiedliche Arten dargestellt werden: 41

42 Ungeordnete Zahlpartitionen Eine Zahlpartition kann auf zwei unterschiedliche Arten dargestellt werden: 1: n = n 1 + n n k. 2: als Liste (m 1,m 2,,m n ), wobei m i angibt, wie oft die Zahl i in der Summe von 1 vorkommt. Dabei gilt: 42 i n m k und i m n i 1 i 1 n i

43 Ungeordnete Zahlpartitionen 43 Die Listendarstellung der Zahlpartitionen ermöglicht es, den folgenden Satz zu beweisen. Satz: Für die Anzahl der ungeordneten k-partitionen P n,k einer Zahl n gilt (mit P n,k = 0 für k > n, P n,0 = 0 für n 1, P 0,0 := 1): k i 1 P n, i Pn k, k Beweis siehe Übung!

44 Geordnete Zahlpartitionen Wir nehmen nun an, dass die gesuchten k-zahlpartitionen geordnet sein sollen, d.h. 4 = 3+1 = 1+3 = 2+2 lässt sich durch drei unterschiedliche 2-Partitionen darstellen. Entspricht das Problem: wie viele Möglichkeiten gibt es, n Euro (nicht unterscheidbar) unter k Kinder (unterscheidbar) zu verteilen, wenn kein Kind leer ausgehen soll. 44

45 Geordnete Zahlpartitionen 45 Da jede Zahl n in der Form n n x 1 x 2 geschrieben werden kann, kann jede geordnete Zahlpartition eindeutig durch die + bestimmt werden, die die x i s trennen. Dies ist gleich der Anzahl von Möglichkeiten k-1 + aus den n-1 + auszuwählen! x k

46 Geordnete Zahlpartitionen Daraus folgt der folgende Satz. Satz: Die Anzahl der geordneten k-partitionen von n ist gleich n k