Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5

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1 Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische Polynom von A ist x χ A = det x = (x )(x ) = (x ) (x + ), x wie man durch Entwickeln nach der dritten Spalte berechnet. Wir betrachten zunächst K = R und berechnen Basen für die Eigenräume zu den Eigenwerten und -. V = ker =, und V = ker = Also stimmen die algebraische und geometrische Vielfachheit jeweils überein, d.h. A ist diagonalisierbar und die Jordan-Normalform von A ist (bis auf Permutation der Diagonalelemente) gegeben durch. Über F betrachtet gilt =, d.h. das charakteristische Polynom von A ist gegeben durch χ A = (x ) 3. Wir befolgen das in der Vorlesung in 5. und 5.7 gegebene Rezept zur Bestimmung der Jordan-Form. Es ist rank(a I 3 ) = rank I 3 = 3, rank(a I 3 ) = rank =,

2 rank(a I 3 ) = rank = = rank(a I 3 ) k für k 3. Daher gibt es nach der Formel in 5.7 genau 3 + = Jordanblock der Länge und genau + = Blöcke der Länge. Damit ist die Jordan-Normalform von A über F gegeben durch. Aufgabe. a) Geben Sie Repräsentanten für alle Ähnlichkeitsklassen von nilpotenten komplexen 5 5 Matrizen an. b) Geben Sie eine Matrix an, deren charakteristisches Polynom (x ) 3 (x ) und deren Minimalpolynom (x ) (x ) ist. Ist diese bis auf Ähnlichkeit eindeutig bestimmt? c) Ist allgemein die Jordan-Normalform (bis auf Permutation der Jordanblöcke) durch Angabe von charakteristischem Polynom und Minimalpolynom eindeutig bestimmt? Beweis. a) Zwei Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn sie (bis auf Permutation der Blöcke) die gleiche Jordan-Normalform haben. Die Jordan-Normalform einer nilpotenten Matrix n n-matrix besteht aus Blöcken zum Eigenwert, deren Längen sich zu n addieren. Die natürliche Zahl 5 lässt sich auf genau 7 Weisen als Summe von natürlichen Zahlen darstellen: 5 = ++++ = +++ = ++ = 3++ = 3+ = 4+ = 5. Damit ist ein Repräsentantensystem der Ähnlichkeitsklassen von komplexen nilpotenten (n n) Matrizen gegeben durch N :=, N :=, N 3 :=,

3 N 4 :=, N 5 :=, N 6 := und N 7 :=. b) Die Matrix A := erfüllt χ A = (x ) 3 (x ) und m A = (x ) (x ): Dies ist klar für das charakteristische Polynom, und für die Berechnung des Minimalpolynoms benutzt man wieder die Tatsache, dass für eine Blockmatrix B bestehend aus Blöcken B, B, B 3 gilt m B = kgv(m B, m B, m B3 ). Ist allgemein das Minimalpolynom einer Matrix M gegeben durch m M = r i= (x λ i) d i, so gibt es zu jedem λ i (mindestens) einen Block J λi der Länge d i, aber keinen längeren Block zu diesem Eigenwert: Gibt es nämlich einen Block der Länge d, so muss auch der entsprechende Exponent d sein, und gäbe es keinen Block der Länge d i, wäre das Minimalpolynom nicht minimal. Ist nun B eine zu A ähnliche Matrix, so gilt χ B = χ A und m B = m A. Daher besteht die Jordan-Normalform von B aus Blöcken zu den Eigenwerten und, und nach dem gerade Gesagten gilt, dass es einen Block der Länge zum Eigenwert gibt (und keine längeren) und nur Blöcke der Länge zum Eigenwert. Da der Eigenwert die algebraische Vielfachheit 3 hat, die gleich der Dimension des verallgemeinerten Eigenraumes zu ist, und die Längen der Jordanblöcke zu diesem Eigenwert sich zu dieser Länge addieren, gibt es also genau einen weiteren Block der Länge zum Eigenwert. Analog argumentiert man, dass es genau zwei Blöcke der Länge zum Eigenwert geben muss. Damit ist also die Jordanform von B gleich der Jordan-Normalform von A, d.h. B und A sind ähnlich. 3

4 c) Für die im ersten Teil angegebenen Matrizen N und N 3 gilt χ N = χ N = x 5 und m N = m N = x. Diese sind aber nicht ähnlich zueinander nach dem ersten Teil, da ja die N i ein Repräsentantensystem bilden. Also bestimmen das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom alleine noch nicht die Jordan-Normalform, sondern nur die Eigenwerte und die maximalen Längen von Jordanblöcken zu den verschiedenen Eigenwerten. Aufgabe 3. Man bestimme die Jordan-Normalform der beiden reellen Matrizen A := und B :=. 3 Nach Aufgabe 3 von Blatt 4 sind die charakteristischen Polynom von A und B gegeben durch χ A = (x ) 4 und χ B = (x ) 5. Man berechnet rk(a I 4 ) = rk = und rk(a I 4) =. Damit hat A genau 4 + = Blöcke der Länge zum Eigenwert. Da es nun nur noch Blöcke der Länge gibt und A eine (4 4)-Matrix ist, gibt es genau einen weiteren Block, der Länge hat dies zeigt auch die Formel. Damit hat A die Jordan-Normalform J A = Für die Matrix B berechnet man. rk(b I 5 ) = 3, rk(b I 5 ) = und rk(b I 5 ) 3 =. Damit hat B genau 5 3+ = Blöcke der Länge, 3 + = Block der Länge und + = Block der Länge 3. Daher ist die Jordan-Normalform von B gegeben durch J B =. 4

5 Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass es zu jeder Matrix A C mit A = oder A eine Matrix B C gibt mit B = A. Beweis. Ist A =, so kann man B = A wählen. Im allgemeinen Fall sei J A die Jordan-Normalform von A und S eine invertierbare Matrix mit S AS = J A. Wir konstruieren im Folgenden eine Matrix B mit B = J A. Für B := S BS gilt dann nämlich B = S B S = SJ A S = A, also hat dieses B dann die gewünschte Eigenschaft. Gilt J A = ( λ ) λ für gewisse λ, λ C, so wähle c, c C mit c = λ, c = λ dies ist möglich, da man in C Quadratwurzeln ziehen kann. Setzt man ( ) c B :=, c so gilt dann B = J A. Hat J A nicht diese Gestalt, ist notwendig J A = ( ) λ λ für ein λ C, denn die Jordan-Normalform besteht entweder aus zwei Blöcken der Länge oder einem der Länge. Da A ist auch JA, woraus folgt λ. Setzt man jetzt B an als B = ( ) a b c d, so soll gelten B = J A, also ( ) ( ) a B = + bc ab + bd λ ac + cd bc + d =. λ Betrachtet man die Einträge (,) und (,), so gilt also b(a+d) = und c(a+d) =. Also ist a + d und c =. Damit folgt aus den Einträgen (, ) und (, ), dass a = λ = d. Da a + d, muss also a = d sein. Damit ist dann auch b eindeutig bestimmt als b =. Eine Matrix B mit B = J a A muss also notwendig die Gestalt ( ) l B = l für ein l mit l = λ l haben. Andererseits rechnet man nach, dass eine solche Matrix tatsächlich B = J A erfüllt. 5