Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme

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1 Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie Kern und Bild diskutiert. Weiters wird auf die Lösung von Systemen linearer zeitinvarianter Differentialgleichungen näher eingegangen, wobei die Transitionsmatrix eine fundamentale Rolle spielen wird.. Lineare Abbildungen Eine Abbildung T : V V heißt Lineare Abbildung, wenn für alle x,x V und alle Skalare α K gilt:. T(x +x ) = T(x )+T(x )... Additivität. T(αx ) = αt(x )... Homogenität Spezielle lineare Unterräume zu einer linearen Abbildung sind Bild und Kern, welche durch die Mengen ker(t) = {x V : T(x) = } definiert sind. im(t) = T(V) 7

2 x =.5 V A =... Veranschaulichung y = 3 y = V.5 x = { ker(a ) = {} im(a ) = span Abbildung.: Die lineare Abbildung A : V V x =.5 x = V { ker(a ) = span A = } V, } z V = 3 z =.5 { } im(a ) = span V Abbildung.: Die lineare Abbildung A : V V.. Veranschaulichung Im folgenden soll das Bild und der Kern zu einer linearen Abbildung durch zwei einfache Beispiele veranschaulicht werden (Abb.. und Abb..). Ergebnis der Abbildung ist eine Linearkombination der Spalten von A. Es ist unmittelbar ersichtlich, dass eine mögliche Basis für das Bild einer linearen Abbildung durch alle linear unabhängigen Spaltenvektoren der entsprechenden Matrix gebildet werden kann. Der Kern einer linearenabbildung kann durch Lösen der Beziehung Ax = berechnet werden... Beispiel Durch die Matrix A mit A = sei eine lineare Abbildung von R 3 auf sich selbst gegeben. Zu berechnen sind 8

3 ... Beispiel der Kern der Abbildung, das Bild der Abbildung, der Rang der Matrix.... Der Kern Der Kern berechnet sich als Lösung des Gleichungssystems Ax =. Hinweis. Zur Berechnung des Kernes dürfen elementare Zeilenumformungen auf die Matrix A angewendet werden (ev. um die Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen, wodurch das Lösen des Glg.sys vereinfacht wird), jedoch nicht Spaltenumformungen. Es gilt: Zeilenumformung: entspricht Multiplikation von links, d.h. aus Ax = wird QAx = }{{} Āx = Ā und der Kern x bleibt unverändert. Z.B. α a b QA = c d a+αc b+αd = c d. Spaltenumformung: entspricht Multiplikation von rechts, d.h. aus Ax = wird }{{} AP P} {{ x} = Ā x und die Lösung x zu diesem Problem entspricht nicht mehr dem Kern von A! Z.B. a b AP = c d β a+βb b =. c+βd d 9

4 ... Beispiel... Das Bild Eine Basis des Bildes kann einfach gefunden werden, indem die Abbildung y = Ax auf die trivialen Basisvektoren des Vektorraumes angewandt wird, und die linear unabhängigen Vektoren der Abbildung gesucht werden. Dann sind die y i die Spalten der Transformationsmatrix. Um eine Basis des Bildes zu bestimmen, müssen also nur die linear unabhängigen Spalten der Transformationsmatrix gefunden werden. Überzeugen Sie sich, dass gilt: span...3 Der Rang 5 5 3, 4 8 = span 7,. Den Rang der Matrix A erhält man durch elementare Zeilen- oder Spaltenumformungen. Weiters gilt dim(im(a)) = rank(a). Berechnen Sie den Rang der Matrix A durch elementare Zeilenumformungen....4 Erweiterte Spaltenstufenform Eine einfache Methode um Bild, Kern und Rang einer linearen Abbildung A auf einmal zu berechnen, ist folgendermaßen gegeben: Bringt man die m n Matrix A mit elementaren Spaltenumformungen auf Spaltenstufenform, dann bilden die Spaltenvektoren die nicht sind eine Basis für das Bild. Die Anzahl der Vektoren ist der Rang von A. Führt man die Umformungen auch an der Einheitsmatrix durch, dann kann man aus dem Ergebnis direkt ker(a) ablesen (Die Spaltenumformungen können als Multiplikation von rechts mit entsprechenden Matrizen realisiert werden: AS S = AP. Führt mandiese Umformungen auch ander Einheitsmatrix durch, dann erhält man ES S = P. Die letzten n rank(a) Spalten von P bilden dann eine Basis von ker(a)) Bereits nach dem ersten Schritt ist zu erkennen, dass die ersten beiden Spaltenvektoren linear unabhängig sind. Man kann also schon hier ein korrektes Ergebnis ablesen. Es folgt im(a) = span 5, 8 = span 5, 4 =

5 .. Lösung von LTI-Systemen und sowie ker(a) = span dim(im(a)) = rank(a) =.. Lösung von linearen zeitinvarianten Systemen Für ein System der Form ẋ(t) = Ax(t)+bu(t), x() = x, y(t) = c T x(t)+du(t) berechnet sich der Verlauf der Zustandsgrößen allgemein mit und der der Ausgangsgröße mit y(t) = c T x(t)+du(t) t x(t) = Φ(t)x + Φ(t τ)bu(τ)dτ t = c T Φ(t)x +c T Φ(t τ)bu(τ)dτ +du(t) wobei Φ(t) die Transitionsmatrix ist..3 Berechnung der Transitionsmatrix.3. Eindimensionaler Zustand Gegeben sei das System ẋ = ax+bu.3. Entkoppelte Dynamikmatrix Wir betrachten die Brückenschaltung aus der ersten Übung von den Aufgaben. Das Zustandsmodell lautet uc R = C uc R + C u i L R i L L L y = u R C. i L

6 .4. Eigenwerte und Eigenvektoren.4 Eigenwerte und Eigenvektoren.4. Paarweise verschiedene Eigenwerte.4. Mehrfache Eigenwerte Zu einem Eigenwert λ der Vielfachheit β findet man β Haupteigenvektoren Vorgehensweise analog zu oben (Anzahl der HEV = Rangverlust von (A λe) = dim(ker(a λe))) Zu einem Eigenwert λ der Vielfachheit β findet man ρ < β Haupteigenvektoren.5 Aufgaben Aufgabe. Wann hat die lineare homogene Gleichung eine nichttriviale Lösung? Ax = Aufgabe. Läßt sich über die Bestimmung der Determinante von A etwas über die Existenz einer nichttrivialen Lösung von Ax = aussagen? Aufgabe.3 Was bedeutet lineare Unabhängigkeit zweier Vektoren eines Vektorraumes V? Aufgabe.4 Wenn der Rang der Matrix A des Gleichungssystems Ax = bekannt ist, wieviele linear unabhängige Lösungsvektoren x existieren dann? Aufgabe.5 Unter welchen Voraussetzungen an die Matrix A und den Vektor b besitzt das lineare Gleichungssystem Ax = b eine / unendlich viele / keine Lösung(en)? Aufgabe.6 Durch die Matrix T sei eine lineare Abbildung T : V V mit y = Tx, x V, y V gegeben. Lösen Sie die nachfolgenden Aufgabenstellungen für folgende Abbildungen: T = T = T = T = T =

7 .5. Aufgaben Berechnen Sie zu obigen Abbildungen den Kern und das Bild. Wo ist der Kern bzw. das Bild definiert (in V oder in V ). Zeigen Sie durch Anwendung der Axiome, dass der Kern und das Bild lineare Vektorräume sind. Zeigen Sie, dass die Abbildungen linear sind. Aufgabe.7 Berechnen Sie die Transitionsmatrix des Systems λ x, ẋ = x, x λ = durch lösen der einzelnen Differentialgleichungen. x, 3