Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen

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1 Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft: = Oberschicht, = Mittelschicht und = Unterschicht. Das nebenstehende Diagramm gibt an, wie stark diese Umverteilungen im Laufe von Jahren sind: 45% bleiben in der Oberschicht (Pfeil von kehrt zurück), 48% wandern von in die Mittelschicht usw. Zu einem gegeben Zeitunkt befinden sich 5% in der Oberschicht, 6% in der Mittelschicht und 5% in der Unterschicht. Wie ist die Verteilung nach Jahren, d.h. wie groß ist der Anteil der Oberschicht ( ), Mittelschicht ( ) bzw. Unterschicht ( ) dann? Dazu muss man folgende (lineare) Gleichungen berechnen: =,5,45 +,6,5 +,5, =,56 =,5,48 +,6,7 +,5,5 =,69 =,5,7 +,6,5 +,5,49 =,5 Man berechnet also jeweils das Produkt aus dem aktuellen Anteil der sozialen Schicht zu Beginn mal der Wechselwahrscheinlichkeit. Die Summe dieser drei Anteile ergibt den Prozentsatz nach Jahren. Diese drei linearen Gleichungen können auch komakt mit Hilfe einer Matrix ausgedrückt werden:

2 Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema. In unserem Fall werden die Übergangswahrscheinlichkeiten in sie eingetragen. Man definiert die Multilikation zwischen einer Matrix mit n Zeilen und m Salten und einem Vektor mit m Komonenten als Vektor mit n Komonenten. Die i-te Komonente entsteht durch das Skalarrodukt des Vektors mit der i-ten Zeile. In unserem Beisiel sind m= und n= und es ergibt etwa das Skalarrodukt aus der. Zeile mit dem Vektor der Anfangsverteilung die. Komonente der Endverteilung (siehe farbliche Markierung in obiger Abbildung). Interessiert man sich für die Verteilung der sozialen Schichten nach weiteren Jahren, muss der Verteilungsvektor noch einmal mit der Übergangsmatrix multiliziert werden:,45,48,7,5,7,5,,56,6,5,69 =,66,49,5, Wiederholt man diesen Vorgang findet man in der Regel, dass sich eine sog. Grenzverteilung einstellt, ab der sich der Wert nicht mehr ändert: M g = g - und zwar unabhängig vom Startvektor! Hier gilt also, dass die Anwendung der Matrix (anderer Ausdruck für Multilikation mit der Matrix ) den Vektor nicht mehr ändert! Symbolisch: lim x n = g mit M x n n+. Die Verteilung g r stellt also den Endunkt der Zeitentwicklung dar und wird deshalb auch stationäre Verteilung der Übergangsmatrix genannt! Wie man sie systematisch bestimmen kann, werden wir gleich behandeln. Zuvor betrachten wir jedoch: Multilikation von Matrizen mit Matrizen Bisher haben wir nun den Fall Matrix mal Vektor betrachtet. Das Produkt einer Matrix mit einem Startvektor x r hat den Zustand zum nächsten Zeitschritt ergeben: M x und so weiter: M x. Diese letzte Gleichung kann man natürlich auch so schreiben: M ( M x ). Es stellen sich hier zwei zusammenhängende Fragen, nämlich ob man auch eine Matrix finden kann, die den Startvektor x r direkt in den Vektor x r überführt und zweitens, ob die Matrizen M in dem Ausdruck M ( M x ) auch multiliziert werden können. Schreiben wir den Ausdruck für eine x Matrix einfach in Komonenten aus (wir schreiben x x r = ): y M ( M x ) m xm + ym x m xm ym = y + ( xm + ym ) + m ( xm + ym ) x ( xm ym ) m ( xm ym ) = y m + mm mm + mm x r = ( M M ) x m mm mm mm y + + r Plural: Matrizen

3 Dieser Ausdruck (die große Matrix) sieht komliziert aus ist es aber gar nicht! Sie deuten wir als das Produkt aus M mit sich selbst (also M, srich M-Quadrat ). Es ist die gesucht Matrix, d.h. jene, die mit der Verteilung x r multiliziert direkt x r ergibt! Man definiert das Produkt von zwei Matrizen ganz allgemein: Sei A eine Matrix mit m Zeilen und n Salten und sei B eine Matrix mit n Zeilen und Salten. Dann definiert man das Produkt A B = C als die Matrix, deren Komonente c ij (d.h. i-te Zeile und j-te Salte) durch das Skalarrodukt aus der i-ten Zeile von A und der j- ten Salte von B entsteht. Die folgende Abbildung illustriert diese Rechenvorschrift noch einmal: A B = C, mit: Wir können nun einen neuen Blick auf unsere Grenzverteilung werfen! Wir haben gesehen, dass in der Regel die Verteilung x r n mit wachsendem n einen festen Wert g r annimmt, und zwar unabhängig von der Startverteilung! Diese Serie von Verteilungen entsteht aber durch n wiederholte Anwendung der Matrix M auf den Startvektor, d.h. M x n. Zu der Grenzverteilung muss also eine Grenzmatrix lim M n = G gehören, für die G x = g gilt! Diese Gleichung sieht seltsam aus. Wie kann eine Matrix (G) einen beliebigen Startvektor auf den festen Vektor g r abbilden? Offensichtlich müssen alle Salten identisch sein! In einem einfachen x Beisiel: a b a x b y a( x = b( x + y a = + y ) b Wir betrachten hier gerade Vorgänge, bei denen alle Zustände in alle anderen übergehen können. Unsere Matrizen sind also quadratisch, d.h. haben genauso viele Zeilen wie Salten!

4 Die Summe aus x und y ist ( Wahrscheinlichkeitsbedingung ) und die identischen Salten der Grenzmatrix sind also identisch mit der Grenzverteilung g r! Betrachten wir ein numerisches Beisiel:,7,,7,,7,,5,5,5,5,5,5 4,64 =,6,68 =,7,656 =,744,6,4,6,8,64,76 Mit wachsender Potenz nähert sich diese Matrix tatsächlich einer Grenzmatrix an, deren Saltenvektoren identisch sind! Multiliziert man einen beliebigen Vektor mit dieser Matrix, dessen Komonenten die Summe haben, ergibt sich als Ergebnis immer dieser Saltenvektor! Dasselbe Beisiel wird uns auch im nächsten Abschnitt begegnen: Berechnung einer stationären Verteilung Natürlich kann man sich auch sofort auf die Suche nach einem Vektor machen, der die Gleichung M x erfüllt. Es handelt sich schließlich um ein lineares Gleichungssystem. Be- trachten wir ein Beisiel mit einer x Übergangsmatrix: Gesucht wird der Vektor (x, x ), für den gilt:,7,5 x x =,,5 x x,7x,x +,5x +,5x,x,x +,5x,5x = = x =,6 x Man sieht, dass diese Gleichungen nicht unabhängig sind: sie sind jeweils das (-)-fache von einander. Sie können also die Werte für x und x noch nicht eindeutig festlegen. Allerdings wissen wir zusätzlich, dass x + x = gilt. Zusammen also: x x,65 =,75 Dieser Vektor ist also der stationäre Vektor dieser Übergangsmatrix. Gleichzeitig handelt es sich um den Grenzvektor bzw. die Grenzverteilung g r dieser Übergangsmatrix für beliebige Startvektoren (siehe Beisiel oben).

5 Noch einige Anmerkungen und Sezialfälle o Eine Verteilung für die M x gilt nennt man stationäre Verteilung (bzw. Eigenvektor der Matrix M zum Eigenwert ). Allgemein nennt man nämlich einen Vektor x, der die Gleichung M x = λ x (mit λ eineeellen Zahl) erfüllt, einen Eigenvektor der Matrix M zum Eigenwert λ. o Wiederholt man die Anwendung einer Übergangsmatrix auf einen Vektor kann sich unabhängig vom Startvektor eine stabile Verteilung ergeben man nennt sie Grenzverteilung. Symbolisch: M x n n+ und lim x n = g. Für diesen Vektor gilt also: M g = g. Die Grenzverteilung ist also ebenfalls eine stationäre Verteilung. Da die wiederholte Anwendung des Vektors auch als Anwendung des Startvektors auf das n- fache Produkt der Übergangsmatrix ausgedrückt werden kann, gilt ebenso: lim M n = G, mit G der Grenzmatrix, die die BedingungG x = g erfüllt. Dies bedeutet, dass ein beliebiger Startvektor auf den Grenzvektor abgebildet wird! Allerdings muss dieser Grenzwert nicht immer existieren bzw. nicht jede Übergangsmatrix besitzt eine Grenzmatrix. Es gilt der mathematische Satz: Wenn in irgendeiner Potenz der Übergangsmatrix M alle Elemente von Null verschieden sind, existiert die Grenzmatrix und besteht aus lauter gleichen Salten. o Wie oben schon erwähnt, besitzt nicht jede Übergangsmatrix eine Grenzmatrix bzw. eine zugehörige Grenzverteilung. Beisiel:. Diese Matrix vertauscht abwechselnd die Komonenten der Startvektoren und ihre Potenzen haben ebenfalls keinen Grenzwert!,5 o Die obige Matrix hat mit dem Vektor trotzdem eine stationäre Verteilung! Wir sehen also: jede Grenzverteilung ist stationär, aber nicht jede stationäre Ver-,5 teilung ist Grenzverteilung. Beide Begriffe können sinnvoll unterschieden werden. Das sieht man auch am nächsten Beisiel: o Für die Einheitsmatrix ist jeder Vektor stationär, aber ein beliebiger Startvektor wird nicht auf eine feste Grenzverteilung abgebildet, sondern auf sich selbst! Gleichzeitig handelt es sich um keine Grenzverteilung, da die Salten verschieden sind.